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1.4.3



三角函数
1.4.3正切函数的性质与图象

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图形 定义域 值域 最值

?? 2

0
-1

>?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 2 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 增函数
2 2 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 减函数 2 2
奇函数

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]

x ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? ? ? 2k?
时,ymin

? ?1

x?[?? ? 2k? , 2k? ]

增函数

单调性 奇偶性 周期 对称性

x?[2k? , ? ? 2k? ]
偶函数

减函数

2?
关于原点对称 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2?
关于y轴对称 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心:( ? ? k? , 0) k ? Z

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2

正切函数和正切线

定义域
y ? tan x
终边不能落在y轴上。
定义域: { x | x ?

?
2

? k ?? ,k ? Z}

周期性
y ? sin x

T ? 2? T ? 2?
T ? 2? T ??

y ? cos x

y ? tan x

sin ? x ? ? ? ? sin x ? tan ? x ? ? ? ? ? ? tan x cos ? x ? ? ? ? cos x

奇偶性
f ( x ) ? sin x , x ? R f ( x ) ? cos x , x ? R

为奇函数 为偶函数

f(x)=tanx呢?

二、探究用正切线作正切函数图象
问题: 正切函数

y=tanx 是否为周期函数?

设f(x)=tanx

∵f ? x +π = tan ? x +π = tanx ? f ? x ? ? ?
∴ y 期.

= tanx

是周期函数,

? 是它的一个周

? ? ?? x ? ? ? , ? 一个周期内的图象。 我们先来作 ? 2 2?

? ? ?? 思考1:利用正切线画函数 y ? tan x, x ? ? ? , ? 的图像? ? 2 2?
作法: (1) 等分 (2) 作正切线, 平移
?

知识(二):正切函数的图象

y

?
2 3? ? ? ? 8 4 ?

o1
(3) 连线

? ?

?
8

0

?
8

? 4

3? 8

x

三点两线(渐近线)
y

?

?
2 ?

? ?

?
4

0

? 4

x


y


渐 近 线
? 2
3? 2

渐 近 线
3? ? 2

?

?
2

x





其中x的取值集合,即定义域为

{x | x ? R且x ? k? ?

?

又由图像可知正切函数的值域是实数集R

2

, k ? z}

练习:P45 2

思考2:结合周期性, 如何画出在整个定义域内的图象?
y

?? ? 2
定义域

??

?

? 2

O

? 2

?

?? 2

x

值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性

对 称 中心

渐近线 方程

? ? ? ? x x ? k? ? ,k ? Z? 2 ? ?

R

?

奇 ? k? ? ? ,k? ? ? ? ? ? 2 2? 函 ? 数 k?Z

? k? ? ,? x ? k? ? ? 0 ? ? 2 ? 2 k?Z k?Z

思考3:平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少?

例1.观察图象,写出满足下列条件的x值的范围:

(1)tan x ? 0; (2)tan x ? 0; (3)tan x ? 0
解:
y

(1) x ? (k? ,

?
2

y ? tan x

? k? )

k ?Z

(2) x ? k?
(3) x ? (?

k ?Z
? k? , k? ) k ?Z
? ?? 2
??

?
2

?? 2

o

? 2

?

??
2

x





1. 有无穷多支曲线组成, 由直线 2. 在每个分支里是单调递增的 3. 关于原点对称(奇函数).

x?

?
2

? k? , k ? Z

隔开

? k? ? 4.正切函数是中心对称图 形,对称中心是? ,0 ?, k ? Z ? 2 ?

单调性

在每个分支里是单调递增的
? ? ? ? k? ? k? , 增区间:? ? 2 ? 2
? ? k?Z ?

注意:只能说 y ? tan x 在某个区间内是增函数, 不能说 y ? tan x 在定义域范围是增函数.

正切曲线的简图的画法:
? ? ?? 请看在 ? ? , ? 三点两线在图中的位置。 ? 2 2? y

? 3? ? 2

?
4

1 O ?

??

?

?
2

4
-1

? 2

π

3? 2

x

1.正切函数 y ? tan x的性质:
定义域: {x | x ? 值域:

y

y ? tan x

?
2

? k? , k ? Z }

R
? ?? 2
??

周期性: 正切函数是周期函数, 周期是 ?

?? 2

o

? 2

?

??
2

x

奇偶性: 奇函数
单调性: 在 (?

?

2 2 内是增函数 在R上没有单调性 k? 对称性: 对称中心是 ( , 0), k ? Z 最值:没有最值 2

? k? ,

?

? k? ) k ? Z

例6
? (1)定义域

?? ?? y ? tan? x ? ? 3? ?2
? x ? ? ? ? ? k? , k ? Z
2 3 2
1 ? 2k , k ? Z }. 3

解:原函数要有意义,自变量x应满足 即 所以,原函数的定义域是 {x | x ?

x ? 1 ? 2k , k ? Z 3

例6
? (2)周期性

?? ?? y ? tan? x ? ? 3? ?2

由于 tan[ ? ( x ? 2) ? ? ] ? tan( ? x ? ? ? ? ) ? tan( ? x ? ? )

2

3

2

3

2

3

所以原函数的周期是2.

? (3)单调区间

例6
2

?? ?? y ? tan? x ? ? 3? ?2
2 3 2

由 ? ? ? k? ? ? x ? ? ? ? ? k ? , k ? Z 解得

5 ? 2k ? x ? 1 ? 2k , k ? Z ? 3 3 (? 5 ? 2k , 1 ? 2k ), k ? Z 3 3

所以原函数的单调递增区间是

?? ? ? 思考: y ? tan? ? x ?的单调区间呢? ?3 2 ?

? (1) y ? 3 tan( 2 x ? ); 4 ?
? 3 tan( 2 x ?

求下列函数的周期: (提示:利用正切函数的最小正周期 ? 来解)



解 : f ( x) ? 3 tan( 2 x ? ) ? 4

1 ? (2)变式: y ? 3 tan( x ? ); 2 4
1 ? 解 :? f ( x) ? 3 tan( x ? ) 2 4

?

? f (x ? ) 2 ? ? 周期 T ? 2

? ? ? 3 tan[ 2( x ? ) ? ] ? 2 4

4

?? )

1 ? ? 3 tan( x ? ? ? ) 2 4 1 ? ? 3 tan[ ( x ? 2? ) ? ]

? f ( x ? 2? ) ? 周期T ? 2?

2

4

? 周期T ? |? |

P46 A9(1)
? 解不等式 1 ? tan x ? 0
? ? ?? 方法(1)在 ? ? 2 , 2 ? ? ?

内找到相应的范围

(2)在两边加上 k?

基础练习
1.关于正切函数 y

? tan x , 下列判断不正确的是(B )

A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
2.函数

y ? tan(3x)的一个对称中心是(
B. ( , 0) 4

C )

A . ( , 0) 9

?

?

C. ( , 0) 6

?

D. (? , 0) 4

?

反馈演练

1、比较大小:
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 2、求函数y=tan3x的定义域,值域,单调增 区间。 0

k? ? 定义域:{ \ x ? x ? , k ? z} 3 6 值域: R

? k? ? k? 单调递增区间:( ? ? , ? )k ? z , 6 3 6 3

3 解:

解不等式: x ? 3 tan
y

3

T

A

0

x

解法1

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

3

解不等式: x ? 3 tan
y

解:

3
0 ?

? x
2

3

解法2

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

反馈演练

1、 解不等式 1+tanx ? 0

2、解不等式:1- tan x ? 0
3 3、解不等式: x ? ) ? tan( 6 3
答案: 1. x ? ? x k? ? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? ? ?
4 2 ? ? ? ? ? ? 2. x ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 4 ? ? ? 2? ? ? x ? ? x k? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z? 3. 3 3 ? ?

?

补充练习
1. 已知

a ? tan1, b ? tan 2, c ? tan 3, 则(C)
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c

A.a<b<c

2.求y ? (tan x)2 ? 4 tan x ?1 的值域; -5,+? ? ?
3. 已知? 是三角形的一个内角,且有 tan ? ? ?1, 则?的取值范围是 ( c )
3 ? ? A.? ? , ? ? B ? 0, ? C. ? 0,? ? ? ? 3 ? , ? ? D.以上都不对 . ? ? ?4 ? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ?4 ? ? ?

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? ? tan x, x ? ( ? , )的图象, 1、正切曲线是先利用平移正切线得y 2 2 再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。 2 、y ? tan x 性质:

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z } 2 ⑶ 周期性: ⑵ 值域: R ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点对称。

?

(5) 对称性:对称中心:

无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ), k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z (7)渐近线方程: x ? k? ? , 2



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