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东北三省三校2012届高三第二次联考



哈 师 大 附 中 东 北 师 大 附 中 辽宁省实验中学 2012 年高三第二次联合模拟考试

文 科 数 学

本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 24 题,满分 150 分, 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在 条形

码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 书写,字体工整、笔记清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求。
2 x 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2x ? x ? 0}, 集合B ? { y | y ? e ? 1} ,则 A ? B ? ( )

A. {x |1 ? x ? 2} 2.已知

B. {x | x ? 2}

C. {x | x ? 1}

D. {x |1 ? x ? 2} )

x ? yi ? 3i, 其中x, y是实数,i是虚数单位, x ? y 的值为( 则 1? i
B.6 C.9 D.-6

A.0

x ?x 3.已知命题 p : 对于 x ? R, 恒有 2 ? 2 ? 2 成立;命题 q : 奇函数 f ( x ) 的图像必过原点,

则下列结论正确的是( A. p ? q 为真

) C. p ? (?q) 为真 D. ? q 为真 )

B. ? p ? q 为真

4.已知 a, b 是两个向量,则“ a ? 3b ”是“ | a |? 3| b | ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? ?

?

?

?

?

5.要得到函数 y ? sin(2 x ? A.左移

?
4

) 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像(



? 各单位 4

B.左移

? ? 各单位 C.右移 各单位 4 4


D.右移

? 各单位 4

6.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ?1, 则其通项公式 an ? (

2 A. 3?

n?1

3 B. 2?

n?1

C. 2

n

A

D. 3

n

7.如图,三棱锥 A-BCD 的底面是等腰直角三角形,AB ? 平面 BCD, AB=BC=BD=2,E 是棱 CD 上的任意一点,F、G 分别是 AC、BC 的中点, 则在下面的命题中:①平面 ABE ? 平面 BCD②平面 EFG ? 平面 ABD ③四面体 FECG 的体积最大值是 A.0 B.1
F D B G 第7题 E C

1 ,真命题的个数是( ) 3
C.2 D.3 )

8. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的结果是(

3 2 1 B. 6 25 C. 12 137 D. 60
A. 9.已知圆 C: x ? y ? 12 ,直线 l : 4 x ? 3 y ? 25 ,
2 2

开始

K=1

S=0 否 K<5? 是 S=S+1/k 输出S

则圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为( A.


K=k+1 第8题 结束

5 6

B.

1 6

C.

( 10.设函数 f ( x) ? sin ? x +
为( )A.

?
3

1 3

D.

2 3

)+ sin ? x(?>0)相邻两条对称轴间的距离为 2,则 f (1) 的值
3 2

3 2

B. ?

C.

3 2

D. ?

3 2

11.已知 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点, F1、F2 是该椭圆的两个焦点,若 ?PF1F2 的内切圆 4 3

的半径为

1 ,则 tan ?F PF2 ? ( ) 1 2
B.

A.

3 4

4 3

C.

4 7 7

D.

3 7 7

12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 对任意 x ? R , 都有 f (2+x)=-f ( x) , 且当 x ? [0,1] 时 在 f ( x) ? ? x 2 ? 1,若 a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? 3 ? 0 在 [?1,5] 上有 5 个根 xi (i ? 1, 2,3, 4,5) ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 的值为(
A.7 B.8

) C.9 D.10

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.曲线 y ? 2 x2 在点(1,2)处的切线斜率为____. 14.直线 y ? kx ? 2 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于 A、B 两点,且 OA? OB ? 2, 则| AB|= ___. 15.一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为____.

??? ??? ? ?

??? ?

?x ? y ? 2 ? 16.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,-2),若点 M(x,y)平面区域 ? x ? 1 上的一个动点,使 ?y ? 2 ?
??? ??? ???? 1 ? ? OA?(OA ? MA) ? ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围为____. m
三、解答题:解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分)

( -1 n ( 已知向量 m ? 2,), ? sin

??

?

A , cos( B ? C )), A、B、C为?ABC 的内角,其所对的边 2

分别为 a, b, c. (1)当 m ? n 取得最大值时,求角 A 的大小; (2)在(1)的条件下,当 a ? 3 时,求 b +c 的取值范围。
2 2

?? ?

18. (本小题满分 12 分) 国家统计局发布最新数据显示,2011 年 11 月份全国副省级城市中 CPI(消费指数)值位于 前 15 位的城市具体情况如下表: 城市 济南 广州 哈尔滨 杭州 深圳 CPI 105.2 104.6 104.3 104.1 104.1 序号 1 3 5 7 9 城市 青岛 西安 厦门 武汉 南京 CPI 104.7 104.4 104.2 104.1 103.9 序号 2 4 6 8 10

长春 大连 宁波

103.9 103.3 102.6

11 13 15

沈阳 成都

103.6 103.0

12 14

(1)求这 15 个城市 CPI 值的平均值及众数 (2)完成下表: CPI [102.5,103.0) [103.0,103.5) [103.5,104.0) [104.0,104.5) [104.5,105.0) [105.0,105.5)

频数 (3)从【103.0,104.0】区间内随机选取 2 城市,求恰有 1 个城市 CPI 的值在【103.5,104.0】 中的概率。 19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱中, AC ' ? 面BB'C 'C, ?CC ' B' ? 60?,BC ? CC ' ? AC ? 2, D、E 分 点 别为棱 AB, AC 的中点 (1)求证: DE ?平面BB'C 'C ; (2)求四棱锥 D- ACEA 的体积。
'

'

'

A

A'

E D C

C'

20. (本小题满分 12 分)

B 第19题

B'

x2 y 2 3 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 的离心率为 e ? , A,B 分别为椭圆的长轴和短 a b 2
轴的端点,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,且 | OM |? (1)求椭圆的方程; (2)过(-1,0)的直线 l 与椭圆交于 P、Q 两点,求 ? POQ 的面积的最大时直线 l 的方 程。

???? ?

5 . 2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x+

1 ? 2ax(a ? R) , x

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (2)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (3)对任意的 a ? (?3, ?2), 及x1、x2 ?[1 3], 恒有 m ? ln 3)a ? 2ln 3 ?| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | , ( 成立,求 m 的取值范围。 请考生在 22—24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请 写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P。 (1)求证:PM2=PA· PC (2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM 求:MN 的长 23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ?
N C B

O

M

A

P

第22题

? x ? ?2 ? 3t (t为参数) 它与曲线 C: y ? 2 ? 4t ?

(y-2)2 ? x2 ? 1 交于 A、B 两点。
(1)求|AB|的长 (2) 在以 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, x 设点 P 的极坐标为 (2 2, 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。 24. (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | (a ? R) (1)当 a=4 时,求不等式 f ( x) ? 5 的解集

3? ), 4

(2)若 f ( x) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。 2012 三校联考二模文科数学参考答案:

参考答案:
一、选择题 1 2 D 二、填空题 13. 4 ; 14. 2 ; 15. 11? ; 16. ? ??,0 ? ? ? , ?? ? A 3 4 5 6 7 8 C 9 B 10 11 12

C

A

B

B

C

A

B

D

?1 ?3

? ?

三、解答题 17.解: (Ⅰ) m ? n ? 2sin

A A A A 1 3 ? cos( B ? C ) ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? , 2 2 2 2 2 2

? 0 ? A ? ? ,? 0 ?

A ? A 1 ? ? ,? 当 sin ? ,即 A ? 时, m ? n 取得最大值; 2 2 2 2 3
-----------6 分

-------- 3 分

(Ⅱ)由

a b c 3 ? ? ? ? 2,? b ? 2sin B, c ? 2sin C , -----------8 分 sin A sin B sin C sin ? 3 2? ? ?C ? ? ? A ? B ? ? B ? b 2 ? c 2 ? 4sin 2 B ? 4sin 2 C ? 4 ? 2sin(2 B ? ) , 3 6
---------10 分

? ? 7? 1 ? 2? ?0 ? B ? , ? ? ? 2B ? ? ? ? ? sin(2 B ? ) ? 1, ? 3 ? b2 ? c 2 ? 6 6 6 6 2 6 3 2 2 ? b ? c 的取值范围为 (3, 6] .
--------------12 分 -------------4 分

18.解:(Ⅰ)平均值为 104.0, 众数为 104.1 (Ⅱ) CPI ?102.5,103.0? ?103.0,103.5? ?103.5,104.0?

?104.0,104.5? ?104.5,105.0? ?105.0,105.5?
6 2 1 -------------7 分

频数

1

2

3

(Ⅲ)设"恰有 1 个城市 CPI 值在 ?103.5,104.0? 中"为事件A. 在 ?103.0,103.5? 中有2个城市,分别设为 a,b,在 ?103.5,104.0 ? 中有3个城市,分别设为 c,d,e

则从 ?103.0,104.0? 区间内随机选取 2 个城市构成的基本事件为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d) ,(b,e) ,(c,d),(c,e),(d,e)共有10个, -------------9 分 事件A"恰有 1 个城市 CPI 值在 ?103.5,104.0? 中"包括的基本事件为:(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d) ,(b,e)共有6个 -------------11 分

3 6 故所求事件A的概率 P ( A) = = . 10 5
答:恰有 1 个城市 CPI 值在 ?103.5,104.0 ? 中的概率为

3 . 5
-------------12 分

19. (I)证明:取 BC 的中点 F,连 DF , FC ' ,

? D 为 AB 的中点,E 为 A ' C ' 的中点

? DF // AC , EC ' // AC ,
所以, DF //EC ,得平行四边形 C ' EDF , 所以, DE // FC ' , ---------------4 分 又因为 DE ? 平面 BB ' C ' C , FC ' ? 平面 BB ' C ' C , 所以, DE // 平面 BB ' C ' C . --------------6 分 (II) 解: CC ' 的中点 G , B ' G , B ' G ? CC ' , 取 连 则 因为, AC ? 面 BB ' C ' C ,所以, B ' G ? 平面 ACC ' A ' ,

1 2

1 2

G

B ' G ? 3 .平行四边形 BB ' C ' C 中,F为BC的中
点,所以F到 C ' C 的距离等于

B

DF AC

B'

E AC ' '

1 3 3 B 'G ? ,即F到平面 ACC ' A ' 的距离为 . 2 2 2
--------------9 分

梯形 ACEA ' 的面积S=

1 (1 ? 2) ? 2 =3 2

四棱锥 D ? ACEA ' 的体积 V ?

1 3 3 ? ?3 ? . 3 2 2

-------------12 分

? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 20.解:(Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,则 ?a 2 ? b 2 ? 5 ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所 ? ?c ? 3 ?a 2 ? 2 x ? y 2 ? 1. 以椭圆的方程为 4
-----------------4 分 (Ⅱ)方法一:设交点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 则易得 S ?

3 . 2

--------------6 分

当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ( k 得

x ? 0) ? y 2 ? 1, ,联立椭圆方程 4

2

(4k 2 ? 1) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ?1) ? 0 ,两个根为 x1 , x 2
8k 2 4(k 2 ? 1) ? ? 0 恒成立, x1 ? x 2 ? ? 2 , x1 ? x 2 ? 4k ? 1 4k 2 ? 1
则 | PQ |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2

---------------7 分

4 3k 2 ? 1 (k ? 0) , 4k 2 ? 1
--------------8 分

又原点到直线 l 的距离 d = 所以 S ?

|k| 1? k 2



(3k 2 ? 1)k 2 1 1 4 3k 2 ? 1 | k | | PQ | ?d ? 1? k 2 ?2 (k ? 0) 2 2 4k 2 ? 1 1 ? k 2 4k 2 ? 1
3k 4 ? k 2 3 8k 2 ? 3 ?2 ? 16k 4 ? 8k 2 ? 1 16 16(16k 4 ? 8k 2 ? 1)
--------------11 分 --------------12 分

?2

3 3 ? 4 2 所以,当直线 l 的方程为 x ? ?1 时, ?POQ 面积最大. 方法二:设交点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , ? 2?
当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? ?1 , 则易得 S ?

3 . 2

----------6 分
2

x ? y 2 ? 1,得 当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) ( k ? 0 ) ,联立椭圆方程 4
(4 ? 1 2 2 ) y ? y ? 3 ? 0 ,两个根为 y1 , y2 , k2 k

? ? 0 恒成立, y1 ? y2 ?

2k ?3k 2 , y1 ? y2 ? 2 , 4k 2 ? 1 4k ? 1

-----------7 分

y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 ? y2 ? 4


3k 4 ? k 2 16k 4 ? 8k 2 ? 1

---------------8

1 1 ? S?POQ ? S?POT ? S?QOT ? ? OT ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? y1 ? y2 2 2

?

1 8k 2 ? 3 = 3? 2 16k 4 ? 8k 2 ? 1
? 2? 3 3 ? 4 2
--------------11 -----------12 分

分 所以,当直线 l 的方程为 x ? ?1 时, ?POQ 面积最大.

21.解: (Ⅰ)依题意,知 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

-------------1 分

1 2 1 2x ?1 , f ?( x ) ? ? 2 ? . x x x x2 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 1 1 当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2
当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?

? 1? ?1 ? f ( x) 在 ? 0, ? 上递减,在 ? , ?? ? 上递增 ? 2? ?2 ?
所以 x ?

1 1 时, f ( x ) 有极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 2 2

---------------3 分

1 a(2 x ? 1)( x ? ) 2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 a (a ? 0) ? 2 ? 2a ? (Ⅱ) f ?( x) ? ? x x x2 x2 1 1 1 1 1 1 ? ? , 令 f ?( x) ? 0 , x ? ? 或 x ? , f ?( x ? , ? ? x ? ; ) 0 得 当 a ? ?2 时, 得 令 a 2 a 2 a 2 1 1 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时,得 ? ? ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ? ,令 f ?( x ) ? 0 ,得 a 2 a 2 1 1 ?x?? ; 2 a

当 a ? ?2 时, f ?( x) ? ?

(2 x ? 1) 2 ? 0. x2
1 a 1 2
1 1 , ). a 2

综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x ) 的递减区间为 (0, ? ), ( , ?? ) ;递增区间为 ( ? 当 a ? ?2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减. 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x ) 的递减区间为 (0, ), ( ?

1 2

1 1 1 , ?? ) ;递增区间为 ( , ? ) . 2 a a

---------------7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x ) 在 ?1,3? 单调递减. 当 x ? 1 时, f ( x ) 取最大值;当 x ? 3 时, f ( x ) 取最小值. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ?

? ?

1 ? ? 6a ? 3 ?

?

2 ? 4a ? (a ? 2) ln 3 . 3

因为 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立, 所以 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ?

2 2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 ,整理得 ma ? ? 4a . 3 3
---------------10 分

2 1 2 2 ? 4 , 又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ? ? ?? , 3a 3 3a 9 13 13 2 38 ? ? 4 ? ? 所以 m ? ? 所以 ? . 3 3 3a 9
又 a ? 0 所以 m ? ---------------12 分 22.解: (Ⅰ) 连结 ON,则 ON ? PN ,且 ?OBN 为等腰三角形,则

?OBN ? ?ONB ,? ?PMN ? ?OMB ? 90? ? ?OBN , ?PNM ? 90? ? ?ONB

? ?P M N ?P N M,? PM ? PN . ?
由条件,根据切割线定理,有 PN ? PA? PC ,所以 PM ? PA? PC .
2
2

---------------3 分 --------------5 分
B

(Ⅱ) OM ? 2 ,在 Rt?BOM 中, BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 . 延长 BO 交⊙ 于点 D,连结 DN.由条件易知 O

BO BM ?BOM ∽ BND ,于是 ? ? , BN BD

C

M O A N D

P



2 3 4 ,得 BN ? 6 . ? BN 4 3

---------------8 分 ---------------10 分

所以 MN ? BN ? BM ? 6 ? 4 ? 2 . 23.解: (Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

7t 2 ? 12t ? 5 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 ,t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
2 2

12 5 , t1t 2 ? ? . 7 7
2

---------------3 分

所以 AB ? (?3) ? (?4) t1 ? t 2 ? 5 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ?

10 71 . 7

------5 分

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) , 根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为

t1 ? t 2 6 ? . 2 7

---------8 分

所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

PM ? (?3) 2 ? (?4) 2 ?

6 30 ? . 7 7

-------10 分

24 解:: (Ⅰ) x ? 1 ? x ? 4 ? 5 等价于

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ? ??2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5
解得: x ? 0 或 x ? 5 .

或?

?x ? 4 , ?2 x ? 5 ? 5

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .

??5 分

(Ⅱ)因为: f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) 所以: f ( x)min ? a ?1 由题意得: a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 . ??8 分 ??10 分



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