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1.3.4 函数的奇偶性(2) 课件(人教A版必修1)



1.3.4

函数的奇偶性(2)

【学习目标】 1.掌握函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性). 2.能应用函数的基本性质解决一些问题. 3.会运用函数图象理解和研究函数的性质.

练习 1:下列结论正确的是( B )
A.偶函数的图象一定与 y 轴相交 B.若奇函数 y=f(x)在 x=0 处有定义,则

f(0)=0 C.定义域为 R 的增函数一定是奇函数 D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数

练习 2:如果定义在区间[3-a,5]上的函数 f(x)为奇函数,
那么 a=__________. 8

练习 3:设 f(x) 是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且当

-5 x>0 时,f(x)=x2+1,则 f(-2)=__________. 练习 4:已知当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1-x).若 f(x)为
x(1+x) ;若 f(x)为偶 奇函数,则当 x∈(-∞, 0)时,f(x)=__________ -x(1+x) 函数,则当 x∈(-∞, 0)时,f(x)=__________.

【问题探究】 已知 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是增函数,判断 f(x)在

(-∞,0)上的单调性,并加以证明.
答案:f(x)在(-∞,0)上单调递增. 证明:设任意的 x1,x2,且0<x1<x2, 因为 f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以 f(x1)<f(x2). 又-x2<-x1<0,且 f(x)是奇函数,所以 f(-x2)-f(-x1)= -f(x2) +f(x1) =f(x1) -f(x2)<0,即f( -x2)<f( -x1).所以f(x) 在 (-∞,0)上是单调递增.

题型 1 函数奇偶性与单调性的关系
【例 1】 已知 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数, 判断 f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并加以证明. 解:由偶函数的图象特征,可知:f(x)在(-∞,0)上是增函 数.用单调性定义证明如下: 设任意的 x1<x2<0,则-x1>-x2>0. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数,

∴f(-x1)<f(-x2). 又∵f(x)是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2). ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 函数的奇偶性与单调性密切相关,其关系如下

表所示:

a>0,b>0,a<b f(x)是奇函数

f(x)是偶函数

[-b,-a] 增函数 减函数 增函数 减函数

[a,b] 增函数 减函数 减函数 增函数

【变式与拓展】 1.函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)在 (-∞,0)上是增函数,试讨论函数 f(x)在(0,+∞)上的增减性, 并证明你的结论. 解:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 证明:任取 x1,x2 使 x2>x1>0, 则-x2<-x1<0.由于 f(x)在(-∞,0)上是增函数, ∴f(-x2)<f(-x1),又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1), ∴-f(x2)<-f(x1),∴f(x2)>f(x1).

∴f(x)在(0,+∞)上也是增函数.

题型 2 函数奇偶性与单调性的应用

【例 2 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在
?1? (0,+∞)上是增函数,且 f ? ? =0,则不等式 xf(x)>0 的解集是 ?3?

(

)
? 1? A.?0,3? ? ? ? 1 ? ?1 ? C.?-3,0?∪?3,+∞? ? ? ? ? ?1 ? B.?3,+∞? ? ? ? 1? ? 1? D.?-∞,-3?∪?0,3? ? ? ? ?

思维突破:根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等
式进行转化,即可得到不等式的解集.

解析:∵偶函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,又 ∴函数 f(x)在(-∞,0)上为减函数,且
∴函数f(x)的草图如图D13.

?1? f?3?=0, ? ?

? 1? f?-3?=0. ? ?

1 则不等式 xf(x)>0,等价为 x>0,f(x)>0,此时 x>3.

1 当 x<0 时,f(x)<0,此时 x<-3,
? 1 ? ?1 ? 即不等式的解集是?-3,0?∪?3,+∞?. ? ? ? ?

图 D13
答案:C

【变式与拓展】 2.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0)上是减 函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( D ) A.(-∞,2)

B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-2,2)

题型 3 抽象函数的奇偶性与单调性

【例 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(-∞,
0)上是增函数. (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+1),求实数 a 的取值范围.

思维突破:这是抽象函数问题.欲要脱掉函数符号“f ”,必 须应用函数的单调性.

解:(1)函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数. 证明如下: 设任意 0<x1<x2,则-x2<-x1<0, ∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,∴f(-x2)<f(-x1). 又∵f(x)为偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2), ∴f(x2)<f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是减函数.

(2)由于 2a 2a
2

2

? 1?2 7 7 +a+1=2?a+4? +8≥8>0, ? ?

? 1?2 1 1 -2a+1=2?a-2? +2≥2>0, ? ?

又∵f(x)在(0,+∞)上是减函数, 且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+1), ∴2a2+a+1>2a2-2a+1, 解得 3a>0,即 a>0. 故实数 a 的取值范围是(0,+∞).
本题以抽象函数为载体,综合考查函数的奇偶性

与单调性的关系,以及利用函数的单调性解不等式的能力.判断
出 2a2+a+1>0,2a2-2a+1>0,对本题的解答起到关键作用.

【变式与拓展】 3.已知函数 f(x)为奇函数,且在(-2,2)上单调递增,且有 f(2+a)+f(1-2a)>0,求 a 的取值范围. 解:因为函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x). 由 f(2+a)+f(1-2a)>0,得 f(2+a)>-f(1-2a). 即 f(2+a)>f(2a-1). 又因为 f(x)在(-2,2)上单调递增,

?-2<2+a<2, ? 则?-2<2a-1<2, ?2+a>2a-1, ?
? 1 ? 1 解得-2<a<0.因此,a 的取值范围为 a∈?-2,0?. ? ?

【例 4】 已知当 x>0 时,函数 f(x)=x2-2x-1. (1)若 f(x)为 R 上的奇函数,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)为 R 上的偶函数,能确定 f(x)的解析式吗?请说 明理由. 解:(1)当 x>0 时,f(x)=x2-2x-1. 设 x<0,则-x>0, 有 f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1, 因为 f(x)为 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),

即当 x<0 时,f(x)=-x2-2x+1; 当 x=0 时,f(0)=f(-0)=-f(0), 即 2f(0)=0,f(0)=0.
?x>0?, ?x2-2x-1 ? ?x=0?, 故 f(x)=?0 ?-x2-2x+1 ?x<0?. ?

(2)若 f(x)为 R 上的偶函数,不能确定 f(x)的解析式,因为 不知 f(0)的表达式.

[方法· 规律· 小结] 1.把函数 f(x)(x∈R)写成一个偶函数与一个奇函数之和的

f?x?+f?-x? f?x?-f?-x? f?x?+f?-x? + ,其中, 是偶函 形式 f(x)= 2 2 2
数,

f?x?-f?-x? 是奇函数.以上代数式说明:任意的函数都可 2

写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.

2.函数的单调性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考 的内容,而且函数的单调性仍将是高考考查的重点,在题型所 占比例上有上升趋势.若函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇 函数,则 f(x)在(-∞,0)与 f(x)在(0,+∞)上的单调性相同;若 函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,则 f(x)在(-∞,0) 与 f(x)在(0,+∞)上的单调性相反.



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