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2011届高三数学第一次模拟测试题3



江门市 2011 年高考模拟考试



学(理科)
1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在

每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 A ? x | x ? a ? (a 2 ? 1)i , a ? R , i 是虚数单位 ,若 A ? R ,则 a ? A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D. 0

?

?

⒉若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD) ? AC ? 0 ,则该四边形一定是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

⒊某社区现有 480 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他 为高收入家庭。在建设幸福广东的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则该社区本次被抽取的总户数为 A. 20 ⒋直线 x ? B. 24 C. 30 D. 36

? ? , x ? 都是函数 f ( x ) ? sin( ?x ? ? )(? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) 的对称轴, 3 2 ? ? 且函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上单调递减,则 5 5 3 2 ? ? A. ? ? 6 , ? ? B. ? ? 6 , ? ? ? 2 2 ? ? C. ? ? 3 , ? ? D. ? ? 3 , ? ? ? 6 6 2 2 ⒌一个底部水平放置的几何体,下半部分是圆柱, 6 6 上半部分是正四棱锥,其三视图如图 1 所示, 正视图 侧视图
则这个几何体的体积 V ? A. 54? ? 30 C. 66? B. 69? D. 54? ? 24
图1 俯视图

⒍ a 、b 、c ? 0 , “ ln a 、 ln b 、 ln c 成等差数列”是“ 2 a 、 2 b 、 2 c 成等比数列” 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
y

D.既不充分也不必要条件

O

x

⒎在平面直角坐标系 xOy 中, ax ? by ? c ? 0 与 ax 2 ? by 2 ? c 所 表示的曲线如图 2 所示,则常数 a 、 b 、 c 之间的关系可能是 A. c ? a ? 0 且 b ? 0 C. a ? c ? 0 且 b ? 0 B. c ? a ? 0 且 b ? 0 D.A 或 C

⒏已知平面区域 D ? ?( x , y ) | ?1 ? x ? 2 , ? 1 ? y ? 2? , z ? ax ? y ( a 是常数) , ?P( x0 , y 0 ) ? D ,记 z ? ax 0 ? y 0 ? A. 0 个 B. 1 个
5 1 为事件 A ,则使 p( A) ? 的常数 a 有 2 8

C. 2 个

D. 3 个以上

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知 X ~ N ( ? , ? 2 ) , P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.68 ,
开始 输入 a1 , a 2 , ?

P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.95 ,某次全市 20000 人
参加的考试,数学成绩大致服从正态分布

s ? a1 , i ? 2
i ? i ?1

N (100 , 100) ,
则本次考试 120 分以上的学生约有 人.
s?0
否 输出 i 图3

s ? s ? ai
是 结束

⒑图 3 是讨论三角函数某个性质的程序框图,若输入
i ai ? sin ? (i ? N ? ) ,则输出 i ? 11
2



⒒设抛物线 C : y ? 4 x 的准线与对称轴相交于点 P , 过点 P 作抛物线 C 的切线,切线方程是 .

⒓在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 在映射 f : ( x , y ) ? (2 y , 1 ? x ) 作用下的 象 集 为 四 边 形 A / B / C / D / , 若 ABCD 的 面 积 S ? 1 , 则 A / B / C / D / 的 面 积

S/ ?

. (请填写所有真命题的序号) .

⒔以下命题中,真命题的序号是

? ? ?2 ? 1.5 x 表示变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 1.5 个单位. ①回归方程 y
②已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,若 m // ? 且 ? ? ? ,则 m ? ? . ③“若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? ?1 或 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ” . ④若函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称, f (a) ? b ,若 1 f / (a) ? 2 ,则 g / (b) ? . 2 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

?x ? 1 ? t ? x ? cos ? ⒕ (坐标系与参数方程选做题) 若直线 ? ( t ? R 为参数) 与圆 ? ? y ? 2t ? y ? sin ? ? a ( 0 ? ? ? 2? , ? 为参数, a 为常数且 a ? 0 )相切,则 a ? ⒖(几何证明选讲选做题)如图 4, P 是圆 O 外 一点,直线 PO 与圆 O 相交于 C 、 D , PA 、 PB 是圆 O 的切线,切点为 A 、 B 。若 PC ? CD ? 1 , 则四边形 PADB 的面积 S ? .
图4


B

P

C

? O
A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 14 分)如图 5,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680km 的 空中 B 处,为避开直飞途中的雷雨云层,飞机在 A 处沿与原飞行方向成 ? 角的 方向飞行,在中途 C 处转向与原方向线成 45 o 角的方向直飞到达 B 处.已知
sin ? ? 5 . 13
C

⑴在飞行路径 ?ABC 中,求 tan C ; ⑵求新的飞行路程比原路程多多少 km .
(参考数据: 2 ? 1.414 , 3 ? 1.732 )

?
A
图5

45o
B

⒘(本小题满分 12 分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分, 初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机 会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛:答对 3 题者直接进入 决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同,并且相互
1 之间没有影响,答题连续两次答错的概率为 . 9

⑴求选手甲可进入决赛的概率; ⑵设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试求 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

D1
⒙(本小题满分 14 分)如图 6, ABCD ? A1 B1C1 D1 是棱长 为 6 的正方体, E 、 F 分别是棱 AB 、 BC 上的动点, A1
D F A
图6

C1 B1

C

E

B

且 AE ? BF . ⑴求证: A1 F ? C1 E ; ⑵当 A1 、 E 、 F 、 C1 共面时,求: ① D1 到直线 C1 E 的距离; ②面 A1 DE 与面 C1 DF 所成二面角的余弦值.

⒚ (本小题满分 14 分) 已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1 (?1 , 0) 、F2 (1 , 0) 的距离之和为常数,曲线 C 的离心率 e ? ⑴求圆锥曲线 C 的方程; ⑵设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A 、B , 试证明在 x 轴上存 在一个定点 P ,使 PA ? PB 的值是常数.
1 . 2

⒛ (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?(n ? N ? ) ,a1 ? 0 ,a n?1 ? 2a n ? n ? 2 n (n ? 1) . ⑴求数列 ?a n ? 的通项; ⑵ 设 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 试 用 数 学 归 纳 法 证 明
S n ? 2 n ?1 ? (n 2 ? 3n ? 4) ? 2 .

21(本小题满分 14 分)设 y ? f ( x ) 是定义在区间 (a , b) ( b ? a )上的函数,若 对 ?x1 、x 2 ? (a , b) , 都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 | , 则称 y ? f ( x ) 是区间 (a , b) 上的平缓函数. ⑴试证明对 ?k ? R , f ( x ) ? x 2 ? kx ? 1 都不是区间 (?1 , 1) 上的平缓函数; ⑵若 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的、周期为 T ? 2 的平缓函数,试证明对 ?x1 、

x 2 ? R , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 .

理科数学评分参考
一、选择题 CBBA DDAC

二、填空题
2

⒐ 500

⒑ 22

⒒ x ? y ? 1 ? 0(对一个 3 分,全对 5 分)



⒔①④(正确选项一个 3 分,全对 5 分;错误选项一个扣 3 分,2 个扣 5 2 2 分,扣完为止) ⒕ 2 ? 5 (答 2 ? 5 给 3 分,其他 0 分) ⒖ 3 三、解答题 ⒗⑴ sin ? ?
5 5 , ? 是锐角,所以 tan ? ? ……1 分, 13 12
0 0

tan ? ? tan 45 0 tan C ? tan[? ? (? ? 45 )] ? ? tan(? ? 45 ) ……2 分, ? ? ……4 1 ? tan ? ? tan 45 0 5 ?1 17 12 分, ? ? ? ? ……5 分. 5 7 1 ? ?1 12 17 2 AB AC BC ⑵ sin C ? sin(? ? 45 0 ) ? ……7 分, 由正弦定理 ? ? …… 0 26 sin C sin 45 sin ?
9 分,得 AC ?
AB ? sin 45 0 ? 520 ……11 分, BC ? 200 2 ……13 分,新的飞行 sin C

路程比原路程多 AC ? BC ? AB ? 520 ? 200 2 ? 680 ? 122.8(km) ……14 分.
1 …… 1 分 , 9

⒘ ⑴ 设 选手甲 任答一题, 正确的概率为 p , 依题意 (1 ? p ) 2 ?
p?

2 2 8 ……2 分,甲选答 3 道题目后进入决赛的概率为 ( ) 3 ? ……3 分,甲 3 3 27

2 1 8 选 答 4 道 、 5 道 题 目 后 进 入 决 赛 的 概 率 分 别 为 C 32 ( ) 3 ? ? 、 3 3 27 16 2 2 3 1 2 C4 ( ) ( ) ? ……5 分 ,所以 ,选手甲可进入决赛的概率 3 3 81 P? 8 8 16 64 ? ? ? ……6 分. 27 27 81 81 8 1 1 ? ? ……8 分, 27 27 3

⑵ ? 可取 3,4,5……7 分,依题意 P(? ? 3) ?

2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C 32 ( ) 2 ? ? ? C 32 ( ) 2 ? ? ? ……9 分, 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 8 2 2 2 2 1 2 P(? ? 5) ? C 4 ( ) ? ( ) 2 ? ? C4 ( ) ? ( )2 ? ? ……10 分, 3 3 3 3 3 3 27

(或 P(? ? 5) ? 1 ? [ P(? ? 3) ? P(? ? 4)] ?

8 ……10 分) 27

所以, ? 的分布列为:

?
P

3

4

5

1 3

10 27

8 27

……11 分
1 10 8 107 E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? ……12 分. 3 27 27 27

⒙⑴以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间 直角坐标系……1 分, 则 A1 (6 , 0 , 6) 、 C1 (0 , 6 , 6) , 设 AE ? m , 则 E (6 , m , 0) ,

F (6 ? m , 6 , 0) ……2 分,从而 A1 F ? (? m , 6 , ? 6) 、C1 E ? (6 , m ? 6 , ? 6) ……
3 分,直接计算知 A1 F ? C1 F ? 0 ,所以 A1 F ? C1 E ……5 分. ⑵①当 A1 、 E、 F、 C1 共面时, 因为底面 ABCD // A1 B1C1 D1 , 所以 A1C1 // EF …… 6 分,所以 EF // AC ,从而 E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点……7 分,设 D1 到直 线 C1 E 的 距 离 为 h , 在 ?C1 D1 E 中 , C1 E ? 6 2 ? 6 2 ? 3 2 ? 9 ,
C1 E ? h C1 D1 ? BC1 ? ,解得 h ? 4 2 ……9 分. 2 2

② 由 ① 得 , E (6 , 3 , 0) 、 F (3 , 6 , 0) , 设 平 面 A1 DE 的 一 个 法 向 量 为
? ?n ? DE ? 6a ? 3b ? 0 n1 ? (a , b , c) , 依题意 ? 1 ……10 分, 所以 n1 ? (?1 , 2 , 1) …… ? n ? DA ? 6 a ? 6 c ? 0 ? 1 1

11 分,同理平面 C1 DF 的一个法向量为 n2 ? (2 , ? 1 , 1) ……13 分,由图知,面

A1 DE 与面 C1 DF 所成二面角的余弦值 cos? ?
分.

| n1 ? n 2 | | n1 | ? | n 2 |

?

1 ? (即 ? ? )……14 2 3

⒚⑴依题意,设曲线 C 的方程为 分,e ? 4 分.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )……1 分, c ? 1 ……2 a2 b2

x2 y2 c 1 ? ,a ? 2 ……3 分, b ? a2 ? c2 ? 3 , 所求方程为 ? ? 1 …… a 2 4 3

⑵ 当 直 线 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 其 方 程 为 y ? k ( x ? 1) … … 5 分 , 由

? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?4 ? y ? k ( x ? 1) ?
……6 分,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 ……7 分,从而 x A ? x B ?

8k 2 , 3 ? 4k 2

4(k 2 ? 3) x A ? xB ? ……8 分,设 P(t , 0) ,则 PA ? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B 3 ? 4k 2 ? (k 2 ? 1) x A x B ? (t ? k 2 )( x A ? x B ) ? (k 2 ? t 2 ) ?
分, 当

3t 2 ? 12 ? (?5 ? 8t ? 4t 2 )k 2 … … 10 3 ? 4k 2

3t 2 ? 12 ? 5 ? 8t ? 4t 2 11 135 ? , t ? 时……11 分, 对 ?k ? R , PA ? PB ? ? …… 3 4 8 64

3 12 分;当 AB ? x 轴时,直线 AB 的方程为 x ? 1 , x A ? x B ? 1 , y A ( y B ) ? ? …… 2

13 分,对 t ? 上的点 P(

11 9 9 135 , PA ? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B ? ? ?? ,即存在 x 轴 8 64 4 64

11 135 , 0) ,使 PA ? PB 的值为常数 ? ……14 分. 8 64

⒛⑴(方法一)由 a n?1 ? 2a n ? n ? 2 n 得 分,所以

a n?1 a a a n ?1 ? nn ? n , nn ? n ? n ? 1 ……2 n ?1 ?1 2 2 2 2 ?2

an a a n?1 a n?1 a n? 2 a a ? ( nn ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? a1 ……3 分, n ?1 ?1 ?2 ?2 2 20 2 2 2 2 2

? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 1 ……4 分, ?

n(n ? 1) , a n ? 2 n? 2 ? n(n ? 1) ……5 分. 2

(方法二)由 a n?1 ? 2a n ? n ? 2 n 得 a n ? 2a n?1 ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ,
a n?1 ? 2a n ?2 ? (n ? 2) ? 2 n ? 2 ……1 分,2a n?1 ? 2 2 a n ?2 ? (n ? 2) ? 2 n?1 ……3 分, ……,

2 n? 2 a 2 ? 2 n ?1 a1 ? 1 ? 2 n?1 , 累加得 a n ? [(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 1] ? 2 n ?1 ? 2 n? 2 ? n(n ? 1) ……5 分. ⑵ n ? 1 时,左边 S1 ? a1 ? 0 ,右边 2 n ?1 ? (n 2 ? 3n ? 4) ? 2 ? 1 ? (1 ? 3 ? 4) ? 2 ? 0 , 左边=右边,命题成立……7 分; 设 n ? k (k ? N ? ) 时,命题成立,即 S k ? 2 k ?1 ? (k 2 ? 3k ? 4) ? 2 …… 8 分,则 S k ?1 ? S k ? a k ?1 … … 9 分 ,

? 2 k ?1 ? (k 2 ? 3k ? 4) ? 2 ? 2 k ?1 ? k (k ? 1) ? 2 k (k 2 ? k ? 2) ? 2 2 k ? [(k ? 1) 2 ? 3(k ? 1) ? 4] ? 2 ,从而 n ? k ? 1 时,命题成立……11 分. 综上所述,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 2 n ?1 ? (n 2 ? 3n ? 4) ? 2 ……12 分.

21.⑴ ?x1 、 x 2 ? (?1 , 1) , | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 ? k | ? | x1 ? x 2 | ……1 分。
1 若 k ? 0 , 则 当 x1 、 x 2 ? ( , 1) 时 , x1 ? x 2 ? k ? 1 … … 2 分 , 从 而 2

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 | ……3 分;
1 若 k ? 0 ,则当 x1 、 x 2 ? (?1 , ? ) 时, x1 ? x 2 ? k ? ?1 , | x1 ? x 2 ? k |? 1 …… 4 2

分,从而 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 | ,所以对任意常数 k , f ( x ) ? x 2 ? kx ? 1 都不是 区间 (?1 , 1) 上的平缓函数……5 分. ⑵若 x1 、 x 2 ? [0 , 2] ,①当 | x1 ? x 2 |? 1 时, | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| x1 ? x 2 |? 1 …… 6 分 ; ② 当 | x1 ? x 2 |? 1 时 , 不 妨 设 0 ? x1 ? x 2 ? 2 , 根 据 f ( x ) 的 周 期 性 ,

f (0) ? f (2)





7





| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| f ( x1 ) ? f (0) ? f (2) ? f ( x 2 ) |?| f ( x1 ) ? f (0) | ? | f (2) ? f ( x 2 ) |
……9 分, ?| x1 | ? | 2 ? x 2 |? x1 ? 2 ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? x1 ) ? 1 ……11 分,所以对 ?x1 、

x 2 ? [0 , 2] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 ……12 分.
对 ?x1 、 x 2 ? R , 根据 f ( x ) 的 周期性 (且 T ? 2 ) ,存 在 p1 、 p 2 ? [0 , 2] , 使

f ( x1 ) ? f ( p1 ) 、 f ( x 2 ) ? f ( p 2 ) ,从而 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?| f ( p1 ) ? f ( p 2 ) |? 1 ……14 分.



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