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2.3椭圆及其标准方程



第二章第三节椭圆及其标准方程

课前预习学案
一、 二、 预习目标;预习椭圆的定义和标准方程的推导 预习内容:1.椭圆的定义

(1) 平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫椭圆,这两个定点 叫做椭圆的 , 之间的距离叫做焦距. 注:①当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是 . ②当 2a

<|F1F2|时,P 点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程 (1) 焦点在 x 轴上,中心在原点的椭圆标准方程是:
a2 ?

x2 a
2

?

y2 b2

? 1 ,其中(

>

>0,且

)
y2 a2 ? x2 b2

(2) 焦点在 y 轴上, 中心在原点的椭圆标准方程是

其中 a, b 满足: ?1 ,



三、提出疑惑:同学们 ,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标:熟练掌握椭圆的定义及标准方程,熟练掌握解析几何的基本思想方法——坐 标法,体会数形结合思想和类比思想的应用。

学习重难点:1.重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.2.难点:椭圆的标准方 程的推导
二、学习过程: (一)椭圆的定义 1、[动动手]:取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔拉紧绳 子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图版的两 点处,套上铅笔拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线? 2、[问题]:①对比两条曲线,分别说出移动的笔尖满足的几何条件。 ②能否说,椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹 呢?为什么? 3、[讨论]: 平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什 么? 4、[概括归纳] 椭圆的定义:

1

(二)椭圆的标准方程 1、[问题]① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗? ② 我们是如何建系求圆的标准方程的?观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐 标系才能使椭圆的方程简单? 2、[动动手]:根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。
2 2 2 2 【注意】问题 1 怎样化简方程 ( x ? c) ? y + ( x ? c) ? y =2a

同位合作: 相互检查化简的过程、结果是否正确?出现什么问题?如何更正? 分组讨论: 对 a? -b? 该如何处理?它有几何意义吗?画图说 明。 问题2 如果焦点F1,F2 在y轴上,坐标分别为(0,-C) (0,C) ,a,b 的 意义同上,那么椭圆的方程是什么?它和焦点在轴上的椭圆方程有什么区别? 三、反思总结:椭圆的标准方程:

四、当堂检测:1.已知椭圆
到另一焦点距离为( A.2 )

x2 y2 ? ? 1 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P 25 16

B.3

C.5

D.7 )

2.中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为 4,短轴长为2,则椭圆方程是( A.

x2 y 2 ? ?1 4 3

B.

x2 y 2 ? ?1 3 4

C.

x2 ? y2 ? 1 4

D. x ?
2

y2 ?1 4

答案 D C

课后练习与提高
1.与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点,且短轴长为 4 5 的椭圆方程是(
2 2

)

A

x2 y2 ? ?1 25 20
2 2

B

x2 y2 ? ?1 20 25

C

x2 y2 ? ?1 20 45

D

x2 y2 ? ?1 80 85


2.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么 k 等于( A.

?1

B.

1

C.

5

D.

? 5
)

3.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于 ( A.

1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

2

4.方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴的椭圆时,实数 m 的取值范围是____________ | m | ?1 2

5.过点 (2, ?3) 且与椭圆 9x2 ? 4 y 2 ? 36 有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________ 6.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程。 3

答案:1.B 2.A 3.B 4. m ? (1,3) ? (?3, ?1) 5.

y 2 x2 ? ?1 15 10

6.

x2 y2 ? ?1 或 144 80

x2 y2 ? ?1 80 144

3

2.3 椭圆及其标准方程
【教学目标】 1.使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程,并能进行简单应用. 2.通过数形结合,教学生猜想,培养学生的探索发现能力. 3.帮助学生树立运动变化的观点,培养学生的探索能力和进取精神. 【教学重难点】 教学重点:对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆, 教学难点:椭圆标准方程的推导. 【教学过程】 一、复习并引入新课 师:在解析几何中,我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线.曲线和 方程的关系是什么? 生:如果曲线上任意一点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解,同时以方程 f(x,y)=0 的 解为坐标的点又都在曲线上,那么方程就是曲线的方程,曲线就是方程的曲线. 师:圆的定义是:在平面上,到定点的距离等于定长的点的轨迹;那么当动点满足哪 些条件时轨迹仍然是圆? 生:①平面上到两个定点(距离为 2d)距离的平方和等于定值 a(a>2d )的点的轨迹是 圆; ②平面上,与两个定点连线的斜率乘积为-1 的点的轨迹是圆. (以上结论在本节课之前书上习题中,请学生自己总结.) 师:由此可见,平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比 较特殊,下面就从这点出发研究. 二、讲授新课 1.请学生观察 计算机演示如图 2-23,并思考两个问题.
2

(1)动点是在怎样的条件下运动的? (2)动点运动出的轨迹是什么? 观察后请学生回答. 生:动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下

4

运动的,轨迹是椭圆. 师:椭圆这种曲线你在哪些地方见过? 生:立体几何中圆的直观图是椭圆. 生:人造卫星的运行轨道. 师:好,这种曲线在实际生活中是很常见的,很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆, 可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的. (联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切,激发学生的学习热情.) 师:是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢? (学生可能一时答不出,教师可请学生观察计算机演示如图 2-24 并思考.)

师:当两个定点位置变化时,轨迹发生了怎样的变化? 生:当两个定点重合时,轨迹变化为圆;当定值等于两个定点间的距离时,轨迹是一 条线段. 师:可见圆是椭圆的特例.据此你能得到什么结论? 生:平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点. 说明:观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”,首先 从一个点分裂为两个点,曲 线从圆变成椭圆;随着两点间距离的增大,椭圆越来越扁,直 到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时, 动点的运动曲线变成了线段, 然后随着两 点间距离的缩小,曲线再变成椭圆;当两点重合时,曲线又变成了圆,如此反复??如图 2-24.从而启发学生发现椭圆定义中的条件 ,然后师生共同小结完成下表,教师可用投影 进行完整的总结. 在平面上到两个定点 F1,F2 距离之和等于定值 2a 的点的轨迹为

5

最后由学生口述教师板书:把平面内与两个定点 F1,F2 距离之和等于定值 2a 的点的轨 迹叫做椭圆,其中 2a>|F1F2|.顺便可以指出两个定点叫做焦点,两个焦点之间的距离叫做 焦距,用 2c(c>0)表示. 2.推导椭圆的标准方程. 师:下面我们一起来推导椭圆的方程. 教师提出问题:求到两个定点 F1,F2 距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹. 师:求曲线方程的步骤是什么? 生:求曲线方程的步骤是:①建立坐标系设动点坐标:②寻找动点满足的几何条件; ③把几何条件坐标化;④化简得方程;⑤检验其完备性. 师:那么此题应如何建立坐标系呢?建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则, 如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化,注意要充分利用图 形的特殊性. (让学生思考后回答) 教师归纳大体上有如下三个方案: ①取一个定点为原点,以 F1,F2 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,如图 2-25;

②以 F1,F2 所在直线为 y 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系,如图 2-26;

③以 F1,F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系,最后选定方案 ②,如图 2-27,推导出方程.

6

解析: 1)建系:以 F1,F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系, 并设椭圆上任意一点的坐标为 M(x,y), 设两定点坐标为: F1(-c,0),F2(c,0), 2)则 M 满足:|MF1|+|MF2|=2a,

4)化简. 师:我们要化简方程就是要化去方程中的根式,你学过什么办法? 生:化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法. 师: 好,下面我们就一起来完成这部分计算.(师生共同完成)

a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y ,整理得: (a -c )x +a y =a (a -c ). 师:还有其它化简的方法吗?一般遇到化简根式的问题你应该想到什么? 生:共轭根式. 师:好,下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式. (师生共同完成.此部分内容可根据学生情况选讲) (x+c ) +y -[(x-c) +y ]=4cx
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

②,由②÷①得:

化简得:(a -c )x +a y =a (a -c ). 师:到此我们已经推导出了椭圆的方程,但此形式还不够简洁,且 x,y 的系数形式不 一致,为了使方程形式和谐且便于记忆和使用,我们应该如何将方程进行变形呢?(这里, 数学审美成为研究发现的动力.) 学生此时可能还不理解, 教师可启发学生观察图形如图 2-28, 看看 a 与 c 的关系如何?

2

2

2

2 2

2

2

2

7

师:请结合图形找出方程中 a、c 的关系. 生: 根据椭圆定义知道 a >c , 且如图所示, a 与 c 可以看成 Rt△MOF2 的斜边和直角边. 师:很好!那我们不妨令 b =a -c ,则方程就变形为 b x +a y =a b ,如果再化简,你会 得到什么形式的方程呢?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

师:其中 a 与 b 的关系如何?为什么? 生:a>b>0,因为 a 与 b 分别是 Rt△MOF2 的斜边、直角边. 教师指出(*)式就是焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程,最后说明: 1)方程中条件 a>b>0 不可缺少(结合图形),当 a=b>0 时,就化成圆心在原点的圆的 方程,从而进一步说明圆是椭圆 的特例;(这实际上是一种极限情况.) 2)b 的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐,但也有实际的几何意义,即:b =a -c ; 3)请学生猜想:若用方案③(即焦点在 y 轴上),得到的方程形式又如何呢? (启发学生根据对称性进行猜想)
2 2 2

师:请同学们课后进行推导验证. 师:此时方程中 a 与 b 的关系又如何?(结合图形请学生将条件 a>b>0 补上.) 三、例题 例 1. 方程. 平面内两个定点间的距离为 8,写出到这两个定点距离之和为 10 的点的轨迹

解析: 所求轨迹是椭圆,两个定点为焦点,用 F1,F2 表示,不妨以 F1,F2 所在直线 2 2 2 为 x 轴,线段 F1F2 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系,则 2a=10,2c=8,因为 b =a -c =9,

点评:很多学生不建立坐标系就写出了方程.强调建立不同的坐标系会得到不同的方 程,因此当题目中没有给定坐标系时,首先应选择合适的坐标系. 变式训练 1。写出适合下列条件的椭圆的标准方程(其中((1)、(2))学生回答) .
8

(1)a=4,b-1,焦点在 x 轴上;

例 2. 已知定圆 x +y -6x-55=0,动圆 M 和已知圆内切且过点 P(-3,0),求圆心 M 的轨迹及其方程. 分析师:由两圆内切,你会得到什么结论? 生:圆心距等于半径之差的绝对值. 师:根据图形,请用数学符号表示此结论.(如图 2-29)

2

2

生:此结论表示为:|MQ|=8-|MP|. 师:观察上式,你有何联想? 生:上式可以变形为|MQ|+|MP|=8,又因为|PQ|=6<8,所以圆心 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆. 解析: 已知圆化为:(x-3) +y =64,
2 2

圆心 Q(3,0),r=8,所以 P 在定圆内. 设动圆圆心为 M(x,y),则|MP|为半径. 又圆 M 和圆 Q 内切,做|MQ|=8-|MP|, |MQ|+MP=8,故 M 的轨迹是以 P,Q 为焦点的椭圆,且 PQ 中点
9

变式训练 2:已知:△ABC 的一边长 BC=6,周长为 16,求顶点 A 的轨迹方程. 略解 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设顶点 A(x,y), 根据已知条件得|AB|+|A C|=10 再根据椭圆定义得顶点 A

因为 A 为△ABC 的顶点,故点 A 不在 x 轴上,所以方程中要注 明 y≠0 的条件. 四、小结(由师生共同完成) 1.知识方面:椭圆的定义(要注意定义中的条件)以及椭圆的标准方程要注意焦点的位 置与方程形式的关系; 2.能力方面:巩固了求曲线方程的步骤与方法,要学会用运动变化的观点研究问题; 3.体会到数学知识的和谐美,几何图形的对称美.

10



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