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2010年数学试题分类汇编四川卷



2010 年数学试题分类汇编四川卷
一、选择题 1、函数 f ( x) ? x2 ? mx ? 1 的图像关于直线 x ? 1 对称的充要条件是
(A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 (D) m ? 1

2、.设集合 A={3,5,6,8},集合 B={4,5, 7,8},则 A∩B 等于
(A){3,

4,5,6,7,8} (B){3,6} (C) {4,7} (D){5,8}

3、下列四个图像所表示的函数,在点 x ? 0 处连续的是

(A)

(B)

(C)

(D)

4、2log510+log50.25=
(A)0 (B)1 (C) 2 (D)4

5、函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 (A) m ? ?2 (B) m ? 2 (C) m ? ?1 m 解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为 x=- 2 m 于是- =1 ? m=-2 2

(D) m ? 1

6、函数 y=log2x 的图象大致是

(A)

( B)

(C)

(D)

二、填空题 7、 (本小题满分 14 分)
设 f(x)?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1) ,g(x)是 f(x)的反函数. 1? ax t ? g( x ) 在区间[2,6]上有实数解,求 t 的取值范围; ( x ? 1 )( 7 ? x )
2

(Ⅰ)设关于 x 的方程求 log a

(Ⅱ)当 a=e(e 为自然对数的底数)时,证明:

? g( k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ; 2n( n ? 1 )

n 1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较? f ( k ) ? n ?与 4 的大小,并说明理由. 2 k ?1

?

本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识,考察化归、分类整合等数学思想方 法,以及推理论证、分析与解决问题的能力.

三、选择题 8、 (2010 四川文数) (12)半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 a ,垂足为 B ,?BCD 是平面 a 内
边长为 R 的正三角形,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M 、 N ,那么 M 、 N 两点间的球面距离是

(A) R arccos (C) ? R

17 25

(B) R arccos (D)

18 25

1 3

4 ?R 15

9、 (2010 四川理数) (11)半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面 ? ,垂足为 B ,
A

O
M

?
的球面距离是 (A) R arccos (C) ? R
1 3

B

N D C

? BCD 是平面 ? 内边长为 R 的正三角形,线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M,N,那么 M、N 两点间
17 25
(B) R arccos (D)
4 ?R 15

18 25

四、解答题 10、 (本小题满分 12 分)
D?

C?
B?

A?
M? D A

?O
C
B
已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点 M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角

线 BD'的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积.

五、填空题 11、已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程
为 。

12、直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 8 相交于 A、B 两点,则?AB ??

.

六、选择题 13、一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初级职称
的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本. 则从上述各层中依次抽取的人数分别是 (A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

七、填空题 14、 (本小题满分 12 分)
某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一 瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 (Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (Ⅱ)求中奖人数ξ 的分布列及数学期望 Eξ .
1 6

八、解答题 15、 (本小题满分 12 分)
1 证明两角和的余弦公式 C (Ⅰ)○ ? ? ? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; 2 由C ○ ? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ? ? : sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? .

(Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? ???? 1 ??? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。

16、 (本小题共 13 分)
2 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

九、选择题

??? ?2 ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? 17、 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, 则 AM ? BC ? 16 , AB ? AC ? AB ? AC ,
(A)8 (B)4 (C)2 (D)1

???? ? ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 18、设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16, ?AB ? AC???AB ? AC?? 则?AM??
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1

19、 (2010 四川文数) (9)由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个
数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24

20、 (2010 四川理数) (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的
个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144 算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个

21、某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工
时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加 工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工,每天 甲 、 乙 车 间 耗 费 工 时 总 和 不 得 超 过 480 小 时 , 甲 、 乙 两 车 间 每 天 获 利 最 大 的 生 产 计 划 为

y 80 70 (15,55)

70 x 0 48

(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

22、设 a>b>0 ,则 a 2 ?
(A)1 (B)2

1 1 ? 的最小值是 ab a ? a ? b ?
(D)4

(C)3

23、某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时
10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工 出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、 乙 两 车 间 耗 费 工 时 总 和 不 得 超 过 480 小 时 , 甲 、 乙 两 车 间 每 天 总 获 利 最 大 的 生 产 计 划 为 y 80 70 (15,55)

70 x 0 48

(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱

(B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱

24、设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a 2 ?
小值是 (A)2 (B)4

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最 ab a(a ? b)

(C) 2 5

(D)5

25、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 a 2 b2
? 1?

AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是 (A) ? ? 0,
? ? 2? ? 2 ?

(B) ? 0, ? ? 2?

(C) ? ? 2 ?1,1?

(D) ? ,1?

?1 ? ?2 ?

26、椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F,其右准线与 x 轴的交点为 A .在椭圆上存在点 P 满 a 2 b2

足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是 (A) (0,

1 2 ] (B) (0, ] 2 2

(C)[ 2 ? 1 ,1) (D)[

1 ,1) 2

27、抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到准线的距离是
(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8

28、i 是虚数单位,计算 i+i2+i3=
(A)-1 (B)1 (C) ?i (D) i

十、填空题 29、甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的数字表示零件个数

的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。

30、某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选
一门,则不同的选法共有 种.(用数字作答)

以下是答案 一、选择题 1、A
解析:函数 f(x)=x2+mx+1 的对称轴为

m 2 m 于是- =1 ? m=-2 2
x=-

2、D
解析:集合 A 与集合 B 中的公共元素为 5,8

3、D
解析:由图象及函数连续的性质知,D 正确.

4、C
解析:2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2

5、A 6、C
解析:本题考查对数函数的图象和基本性质.

二、填空题 7、解:(1)由题意,得 ax=
故 g(x)= log a 由 log a

y ?1 >0 y ?1

x ?1 ,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) x ?1

t x ?1 得 ? log a ( x ? 1)(7 ? x) x ?1
2

t=(x-1)2(7-x),x∈[2,6] 则 t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下: x t' t 5 2 (2,5) + ↗ 5 0 极大值 32 (5,6) ↘ 25 6

所以 t 最小值=5,t 最大值=32 所以 t 的取值范围为[5,32]????????????????????5 分 (2)

? g (k ) ? ln 3 ? ln 4 ? ln 5 ? ?? ? ln n ? 1
k ?2

n

1

2

3

n ?1

1 2 3 n ?1 ? ??? ? ) 3 4 5 n ?1 n(n ? 1) =-ln 2
=ln( ?

1? z2 1 令 u(z)=-lnz - =-2lnz+z- ,z>0 z z
2

则 u'(z)=-

2 1 1 ? 1 ? 2 =(1- )2≥0 z z z

所以 u(z)在(0,+∞)上是增函数 又因为

n(n ? 1) n(n ? 1) >1>0,所以 u( )>u(1)=0 2 2

2 即 ln ? n(n ? 1)

1?

n(n ? 1) 2 >0 n(n ? 1) 2



? g (k ) ?
k ?2

n

2 ? n ? n2 ????????????????????????9 分 2n(n ? 1)

(3)设 a=

1 1? a 2 ? 1 ? ≤3 ,则 p≥1,1<f(1)= 1? a p 1? p

当 n=1 时,|f(1)-1|= 当 n≥2 时

2 ≤2<4 p

设 k≥2,k∈N 时,则 f(k)=

*

(1 ? p)k ? 1 2 ? 1? k (1 ? p) ? 1 (1 ? p)k ? 1
2 C p ? C p ? ? ? Ckk p k
1 k 2 k 2

=1+

所以 1<f(k)≤1+

2 4 4 4 ? 1? ? 1? ? 2 C ? Ck k (k ? 1) k k ?1
1 k

从而 n-1<

? f (k ) ≤n-1+ 2 ? n ? 1 =n+1- n ? 1 <n+1
k ?2

n

4

4

4

所以 n<

? f (k ) <f(1)+n+1≤n+4
k ?1

n

综上所述,总有|

? f (k ) -n|<4
k ?1

n

三、选择题 8、A
解析:由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BAC=

1 2

cos∠BAC=

2 5 5

连结 OM,则△OAM 为等腰三角形 AM=2AOcos∠BAC=

4 5 4 5 R ,同理 AN= R ,且 MN∥CD 5 5

而 AC= 5 R,CD=R 故 MN:CD=AN:AC ? MN=

4 R, 5

连结 OM、ON,有 OM=ON=R

OM 2 ? ON 2 ? MN 2 17 ? 于是 cos∠MON= 2OM ? ON 25
所以 M、N 两点间的球面距离是 R arccos

17 25

9、A
解析:由已知,AB=2R,BC=R,故 tan∠BA