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2012高考数学(文)精英备考专题讲座第七讲:第二节 选择题的解题策略(2)


选择题的解题策略( ) 第二节 选择题的解题策略(2)
【解法五】 图解法: 解法五】 图解法:
据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确判断. 习 惯上也叫数形结合法. 例1 设函数 f ( x ) = 4 sin(2 x + 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在 . ) B. [ ?2, 0] D. [ 2, 4]

零点的是(

A. [ ?4, ?2 ]
C. [ 0, 2]

点拨: 点拨:此题考查函数零点问题,可转化为两个 熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数 在与选项有关的关键点(如分界点)的函数值 大小关系. 解 : 将 f (x ) 的 零 点 转 化 为 函 数

g ( x ) = 4 sin (2 x + 1)与h( x ) = x 的交点,数形结合,答案选 A.
易错点: 易错点:图像不准确,忽略关键点,易解错. 高考江西卷理) 若曲线 C1 :x 2 + y 2 ? 2 x = 0 与曲线 C2 : y ( y ? mx ? m) = 0 有 例 2 (2011 高考江西卷理) 4 个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( A. (? ) B. (?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

3 3 ,0) U (0, ) 3 3 3 3 ) U ( ,+∞) 3 3
y

C.

[?

D. (?∞,?

点拨: 点拨: 此题考查直线与曲线的公共点问题,应利用数形结合的思 想进行求解. 曲线 C1 : ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 ,图像为圆心为(1,0) ,半径为 1 的 圆 ; 曲 线 C2 : y = 0 , 或 者 y ? mx ? m = 0 , 直 线

l1

?1

O

1

x

y ? mx ? m = 0 恒过定点 (?1,0) , 即曲线 C2 图像为 x 轴与恒过定
点 (?1,0) 的两条直线。作图分析:

l2

k1 = tan 30° =

3 3 , k 2 = ? tan 30° = ? ,又直线 l1 (或直线 l 2 ) x 轴与圆共有四个不 、 3 3 3 3 ,0) U (0, ) 3 3

同的交点,结合图形可知 m = k ∈ ( ?

易错点: (1)忽略曲线方程 C2 : y ( y ? mx ? m) = 0 表示的是两条直线(2)求直线与曲线相 易错点: 切时 m 的值时不结合图像取值导致错误. 例 3 直线 y =

? 3 ? x = 3 + 3 cos θ x + 2 与圆心为 D 的圆 ? , (θ ∈ [0, 2π )) 3 ? y = 1 + 3 sin θ ?


交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 (

A.

7 π 6

B.

5 π 4

C.

4 π 3

D.

5 π 3
π
6
, = β

点拨: 点拨:此题是直线与圆的综合题,考查圆的参数方程,直线的倾斜角及圆的性质,应用图解. 数形结合, 设直线 AD 与 BD 的倾斜角分别为 α , β , α = ∠EAD + 则 解: 由圆的性质可知

π
6

+ ∠ABD ,

∠ABD = ∠BAD ,故

α + β = ∠EAD +

π

6

+

π
6

+ ∠ABD =π +

= ( ∠EAD + ∠ABD ) +
所以答案选 C.

π
3

π
3

=

4 π. 3

易错点: 易错点:考虑代数解法,利用圆的方程和 直线方程进行求解,过程复杂,计算困难 导致错误. 点评: 点评:严格地说,图解法并非属于选 择题解题思路范畴,而是一种数形结合的解题策略. 但它在解有关选择题时非常简便有效.不 过运用图解法解题一定要对有关函数图像,方城曲线,几何图形较熟悉,否则错误的图像会 导致错误的选择.

【解法六】 分析法: 解法六】 分析法:
(1) 特征分析法:根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快 特征分析法: 速推理,迅速作出判断的方法. 例 4 已知 sin θ =

m?3 4 ? 2m π θ , cos θ = ( < θ < π ) ,则 tan 等于( m+5 m+5 2 2
B.

)

A.

m?3 9?m

m?3 9?m

C.

1 3

D. 5

点拨: 点拨:此题考查同角三角函数关系及半角公式,可先利用同角正余弦平方和为 1 求 m 的值, 再根据半角公式求 tan
2

θ
,运算较复杂,试根据答案数值特征分析.

2
2

解:由于受条件 sin θ + cos θ = 1 的制约, m 为一确定的值,进而推知 tan

θ
也为一确定的

π
值,又

2

< θ < π ,因而
2

π
4
2

<

θ
2

<

π
2

,故 tan

θ
2

2

> 1 ,所以答案选 D.

易错点: 易错点:忽略 sin θ + cos θ = 1 , m 为一确定的值导致结果与 m 有关. (2) 逻辑分析法:通过对四个选项之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误项,选出正确项 逻辑分析法: 的方法. 例 5 当 x ∈ [ ?4, 0] 时, a + ? x 2 ? 4 x ≤

4 x + 1 恒成立,则 a 的一个可能值是( 3



C. ? 5 D.-5 3 3 点拨: 点拨:此题是有关不等式恒成立的问题,可运用数形结合的思想进行求解,较复杂.
解:由 ? x ? 4 x ≥ 0 知 A 真 ? B 真 ? C 真 ? D 真,假设 A,B,C 真,则均有两个以上正确答
2

A. 5

B. 5

案,所以根据选择题答案唯一的特点,答案选 D. 也可利用数形结合思想求解. 易错点: 易错点:忽略不等式的特点,平方转化为二次不等式,导致错误. (3) 定性分析法:通过题干中已知条件对结论进行定性分析,再通过与选项的对比得出结 定性分析法: 论.

【解法七】估值法: 解法七】估值法:
对于选项是数值的选择题,可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项. 例 6 若 cos a = ? 则 sin( a +

π

4 , a 是第三象限的角, 5 ) =(


4
B.

A. ?

7 2 10

7 2 10

C. ?

2 10

D.

2 10

点拨: 点拨:此题考查同角三角函数关系及两角和公式,可根据角的范围 先求出 a 的正弦值,再根据两角和公式求 sin( a + 解:根据单位圆估算 sin( a +

π
4

).

π
4

)<?

2 , 所以答案选 A. 2

易错点:忽略角的范围,求正弦值得出两个答案,以致思路受阻. 易错点: : 例 7 据 2002 年 3 月 5 日第九届全国人大五次会议《政府工作报告》“2001 年国内生产总值达 到 95933 亿元,比上年增长 7. 3%. 如果“十五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产 总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) A.115000 亿元 B. 120000 亿元 C. 127000 亿元 D. 135000 亿元

点拨: 点拨:此题考查等比数列在实际生活中的应用,容易列式,但结果的数值难算,应进行估算. 解: 95933(1 + 7.3%) ≈ 96000(1 + 7.3%) ≈ 96000(1 + 4 × 7.3%) ≈ 96000 × 1.3
4 4

≈ 124800 95933(1 + 7.3%) 4 > 95000(1 + 7%)4 > 95000(1 + 4 × 7%) = 95000 ×1.28 = 121600
所以答案选 C.



易错点: 易错点:没有想清楚 2005 年生产总值是以 95933 为首项, (1 + 7.3%) 为公比的等比数列的第 五项,错列式 95933(1 + 7.3%)5 导致错误. 例 8 已 知 过 球 面 上 A, B, C 三 点 的 截 面 和 球 心 的 距 离 等 于 球 半 径 的 一 半 , 且

AB = BC = CA = 2 ,则球面面积是( 16 8 A. π B. π 9 3

) C. 4π D.

64 π 9

点拨: 点拨:此题考查球的性质及球面面积公式,可先求截面圆半径,结合球心到截面的距离,利 用勾股定理求出球半径,再求球面面积. 解:球的半径 R 不小于△ ABC 的外接圆半径 r = 所以答案选 D. 点评: 点评:估值法,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷. 其应 用广泛,减少了运算量,却加强了思维的层次,是人们发现问题、研究问题、解决问题的一 种重要方法.

2 3 16 2 2 ,则 S球 =4π R ≥ 4π r = π > 5π , 3 3

【解法八】逆推法: 解法八】逆推法:
假设选项正确, 以部分条件作为已知条件进行推理, 看是否能推出与已知条件矛盾的结论, 从而找出正确答案. 例 9 用 min{a, b} 表示 a, b 两数中的最小值. 若函数 f ( x) = min{ x , x + t } 的图像关于直线

C. ?1 D. 1 点拨: 点拨:此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性,应考虑画图像,由于 t 的值未知,图像 不容易确定,所以从选项假设出发. 解:根据图像, t = ?2 时,函数 f ( x) 的图像关于直线 x = 1 对称, t = 2 时,函数 f ( x) 的图 像关于直线 x = ?1 对称, t = ?1 时,函数 f ( x) 的图像关于直线 x =

1 x = ? 对称,则 t 的值为( 2 A. ?2 B. 2

).

1 对称,所以答案选 D. 2

∠ 例 10 在 ABC 中, A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a, b, c , sin C = 若

sin A + sin B , ABC 则 cos A + cos B

是( ) A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 点拨: 点拨:此题考查解三角形,条件比较难转化,考虑从选项出发. 解:等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况,故先假设选项 B 正确.此时

A = B = C = 60o ,

3 3 + 3 sin A + sin B 2 = 3 ,不满足题目条件,所以 A, B,C 均不满足 sin C = = 2 , 1 1 2 cos A + cos B + 2 2
题意,故答案选 C. 易错点: 易错点:利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解, 忽略三角形内角和 180 .
o 例 11 平行四边形的周长等于 26m, ∠ABC = 120 , BCD 的内切圆半径等于 3m ,已知
o

AD > AB ,则它的边长是(
A. AD = 5m, AB = 8m
C. AD =

). B. AD = 8m, AB = 5m D. AD = 9m, AB = 4m

26 13 m, AB = m 3 3

点拨: 点拨:此题考查解三角形问题,条件多而复杂,考虑从选项出发. 解: AD > AB ,显然 A 选项不符合. 以“周长等于

A

D

26m, ∠ABC = 120o ”为条件,假设选项 B 正确,即
AD = 8m, AB = 5m ,则在 BCD 中,
B C

BC = 8m, CD = 5m, ∠C = 60o ,根据余弦定理可求得 BD = 7 ,从而 BCD 的内切圆半径
1 × 5 × 8 ? sin 60o 10 3 r= 2 = = 3 ,恰好符合条件,所以答案选 B. 1 10 × (5 + 7 + 8) 2
点评: 点评:逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题,逆向思维,常结合逻辑法,

排除法进行运用,是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理,且由条件得 出的答案唯一.

从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要 、 的,但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因. 另外,在解答一道选择题 时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自 身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确,快速. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想,但更应该充分挖掘题目的“个性” , 寻求简便方法,充分利用选项的暗示作用,迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确 地获取正确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.

习题 7-2
1. 若 a>0,b>0,则不等式 ?b <

1 < a 等价于( ) x 1 1 1 1 A. ? < x < 0 或 0 < x < B. ? < x < b a a b 1 1 1 1 C. x < ? 或 x > D. x < ? 或 x > a b b a

2.已知以 T = 4 为周期的函数 f ( x) = ? 有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(

?m 1 ? x 2 , x ∈ (?1,1] ? , 其中 m > 0 . 若方程 3 f ( x ) = x 恰 1 ? x ? 2 , x ∈ (1,3] ? ?


A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7 )

4 3

3. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是 边长为 3 的正方形, EF ∥ AB , EF = 的距离为 2 ,则该多面体的体积为( A.

3 , EF 与面 AC 2


9 2

B. 5

C. 6

D.

15 2

4. 已知 sin x + cos x = ( A. ? )

1 ,且 0 ≤ x ≤ π ,则 tan x 的值是 5 3 4 3 4 4 3

4 3

B. ?

C.

D.

5. 如图, 在ΔABC 中, AD ⊥ AB , = 3 BD , AD = 1 , AC ? AD = BC 则 ( )
B

uuu r

uuu uuur r

uuur uuur

A

D

C

A. 2 3

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

6.将正奇数 1,3, 5, 7,9,??? ,排成 5 列,按右图的格式排下去, . 1985 所在的列从左数起是( ) A.第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列

1

3

5 9

7

15 13 11 17 19

21 23

31 29 27 25 33 35 37 39 ... ... ... ...

2 7. 如果 log a < 1 ,那么 a 的取值范围是( ) 3 2 2 A. 0 < a < B. a > 3 3 2 2 C. < a <1 D. 0 < a < 或a > 1 3 3

【答案】 答案】

习题 7-2
1. D. 提示: (特例法)可令 a = 1, b = ? ,x = 2 ,代入知 D 为真. 也可解不等式直接判断. 提示: 2.B. 提示: (图解法)直线 y = 提示:

1 2

x 与 y = f ( x) 图像要有五个交点时须保证直线与函数在 [3,5] 上的 3

图像(半椭圆)有两个交点,与 [7,9] 上的图像没有交点,相切是临界位置.

3. D. 提示: 提示:法一:(直接法)将几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥.

法二: (估值法)由已知条件可知, EF ∥平面 ABCD ,则 F 到平面 ABCD 的距离为 2 ,所 以 VF ? ABCD = 4. A. 提示: (逆推法)假设 tan x = ? 提示:

1 2 ? 3 ? 2 = 6 ,而多面体的体积必大于 6,故选择 D. 3 4 4 3 ,且 0 ≤ x ≤ π ,易得 sin x = , cos x = ? ,满足题意.也 3 5 5

可将等式两边平方得到 sin x ? cos x ,联立方程求出 sin x, cos x ,进而求出 tan x . 5. D. 提示: 提示:(图解法)本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化 归与转化的数学思想,有点难度.作 CE 垂直 AD 的延长线于 E,则 CE∥AB,利用平面几何知识进行求解.

A

uuur uuur uuur uuur uuur uuu r AC ? AD = | AD | ?(| AC | ? cos ∠DAC ) = | AD | ? | AE | ,
uuu r uuu r uuur uuur uuur 2 | AE | | BC | r 而 uuur = uuu = 3 ,即 AC ? AD = 3 | AD | = 3 . | AD | | BD |

B

D E

C

uuur
也可将 AC 转化. 6.C. 提示: 提示:(特征分析法)第一列数被 16 除余 15,第二列数被 16 除余 1 或 13,第三列数被 16 除余 3 或 11,第四列数被 16 除余 5 或 9, ,第五列数被 16 除余 7.也可直接找规律. 7.D. 提示: 提示:(逆推法)


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