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⑤竞赛中的不等式问题



Y.P.M 数学竞赛讲座

1

不等式的基本问题
高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.

1.同向可加 [例 1]:(1983 年全国高中数学联赛试题)(2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数 f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)

≤-1,-1≤f(2)≤5.那么,f(3)的取值范围是_______.

[解析]:

[类题]:
1.(2010 年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示). 2.(2004 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数 y=ax +c,且当 x=1 时,-4≤y≤-1,当 x=2 时,-1≤y≤5,则当 x =3 时,y 的取值范围是 . ) (C)价格相同
x y 2

3.(2001 全国高中数学联赛试题)己知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和 小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是( (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (D)不确定

4.(1988 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 x+2y≥1,5x+y≥2,则 log8(2 +2 )的最小值是_____. 5.(2010 年江苏高考试题)设实数 x,y 满足 3≤xy ≤8,4≤
2

x3 x2 ≤9,则 4 的最大值是_________. y y

6.(2008 年四川高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 7.(1986 年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程 4 与最小值的乘积等于 .
5 x ?9 y ? 4 z

.

-68× 2

5 x ?9 y ? 4 z

+256=0,那么 x+y+z 的最大值

2.函数单调性 [例 2]:(1999 年全国高中数学联赛试题)若(log23)x?(log53)x≥(log23)
(A)x?y≥0 (B)x+y≥0
?y

?(log53)

?y

,则(

) (D)x+y≤0

(C)x?y≤0

[解析]:

[类题]:
1.(2005 年全国高中数学联赛试题)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a +a+1)<f(3a- 4a+1)成立,则 a 的取值 范围是 . ) (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) ) 2.(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3+x1>O,则( (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0
2 2

3 3.(2006 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)=x +log2(x+ x 2 ? 1 ),则对任意实数 a,b,a+b≥0 是 f(a)+f(b)≥0 的(

(A)充分必要条件

(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

3 4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x -log2( x 2 ? 1 -x).则对于任意实数a、b(a+b≠0),

f ( a ) ? f (b ) a 3 ? b3

的值(

) (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定

(A)恒大于零

2
5.(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设 f(x)=

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1 1? x 1 1 +lg ,则不等式 f[x(x- )]< 的解集为 2x ? 5 1? x 2 5

.

6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a、b是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( (A)a >b
2 2

) (D)(
1 a 1 b ) <( ) 2 2

(B)

b <1 a

(C)lg(a-b)>0

7. ⑴(1985 年全国高中数学联赛试题)(2003 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 0<a<1,若 x1=a,x2= a x1 ,x3= a x2 ,?, xn= a xn ?1 ,?,则数列{xn} (A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的
a

(D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ) (D)c<a<b

⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a ,c= a a ,若0.9<a<1,则( (A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c

a

3.大小比较 [例 3]:(1982 年全国高中数学联赛试题)当 a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+ )(b+ ),乙:(
1 ab

1 a

1 b

ab +

) ,丙:(

2

a?b 2 2 + ) 中间,值最大的一个是( 2 a?b

) (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与 a、b 的取值有关

(A)必定是甲

(B)必定是乙

[解析]: [类题]:
1.(1983 年全国高中数学联赛试题)x=
1
1 log3 1 2

?

1
1 3 log1 5

的值是属于区间(

)

(A)(-2,-1) (A)a>b

(B)(1,2) (B)a<b

(C)(-3,-2) (C)a=b

(D)(2,3) ) (D)a、b的大小与m的取值有关

2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a= m ? 1 - m ,b= m - m ? 1 那么(

3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n为正整数,x=(1+ (A)x >y
x y x

1 n 1 n+1 ) ,y=(1+ ) ,则( n n
x x

)

(B)x =y
x

y

x

(C)x <y
x x

y

(D)以上都有可能 ) (D)不确定. ) (D)x+y≤xy
2

4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a =a+t,则b 与b+t的大小关系是( (A)b >b+t (B)b <b+t (C)b =b+t

5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x、y≥1,且 n x ? 1 + n y ? 1 ≤2,则( (A)x≥y (A)a>b>c (B)x≤y (B)b>c>a (C)x+y≥xy
2

6.(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a +c =2bc,则下列关系中可能成立的是( (C)b>a>c (D)a>c>b )
3 2 2 3

)

7.(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)若 0<a<b,且 a+b=1,则下列各式中最大的是( (A)-1 (B)log2a+log2b+1 (C)log2b

(D)log2(a +a b+ab +b ) )

8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a、b是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( (A)(a+
1 1 )(b+ )>( ab + a b
1 ab

)

2

(B)(a+

a?b 2 1 1 2 )(b+ )>( + ) 2 a?b a b

(C)

a 3 ? b3 a ?b
2 2

>

a 2 ? b2 a?b

(D)

a 2 ? b 2 a 3 ? b3 > 2 2 a?b a ?b

4.解不等式

Y.P.M 数学竞赛讲座 [例 4]:(2001 年全国高中数学联赛试题)不等式|
1 log x 1
2

3
+2|>
3 的解集为 2

.

[解析]:

[类题]:
1.(1998 年全国高中数学联赛试题)设命题 P:关于 x 的不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集相同;命题 Q:
c1 .则命题 Q( c2
2 2

a1 b = 1 = a 2 b2

) (B)是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (D)既不是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件

(A)是命题 P 的充分必要条件 (C)是命题 P 的必要条件但不是充分条件

2.⑴(1989 年全国高中数学联赛试题)若 loga 2 <1,则 a 的取值范围是___________. ⑵(1995 年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果 loga ⑶(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若 loga
3 <1,那么 a 的取值范围是 4

,

3 <1,则 a 的取值范围是___________. 5
2

⑷(1994 年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若 loga(2-a )<1,则实数 a 的取值范围是 3.⑴(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x -2|≤2x+1 的解集为_________. ⑵(2003 年全国高中数学联赛试题)不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是____________. ⑶(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|
1 1 |> 的解集是 3 log 1 x ? 1
3
3 2 2

.

.

⑷(1995 年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若 a>0,a≠1,且|loga2|>loga+12,则 a 的取值范围是
x 4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式 1 ? log 2 >1–log2x的解是

.

. .

⑵(2006 年全国高中数学联赛试题)设 logx(2x +x-1)>logx2-1,则 x 的取值范围为
x ?1 + ⑶(2004 年全国高中数学联赛试题)不等式 log 2
3 1 logx 1 +2>0 的解集为 2

2

.

2

4.(2007 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于 x 的不等式 x ?ax?20a <0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小 值的和是 . 5.(2007 年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为 d-c,其中 d>c.已知实数 a>b, 则满足
1 1 ? ≥1 的 x 构成的区间的长度之和为 x?a x?b

2

2

.
lg 2ax <1 的解为(1,2,则 a 的取值范围是 lg(a ? x)
8 6 4

6.(1996 年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若
12

.

7.(2008 年全国高中数学联赛试题)解不等式 log2(x +3x +5x +3x +1)>1+log2(x +1).

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Y.P.M 数学竞赛讲座

1

基本不等式
高中联赛客观题中的不等式包括:⑴二元均值不等式:①基本不等式 a +b ≥2|ab|及其推论 a +b +c ≥ab+bc+cd;
2 2 2 2 2

a +b +c +d ≥ab+bc+cd+da;x1 +x +…+xn ≥x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,等号当且仅当 x1=x2=…=xn 时成立;②当 a>0,b>0 时,

2

2

2

2

2

2

2

2 1 1 ? a b

≤ ab ≤

a?b a2 ? b2 1 1 1 1 4 2 ≤ ,等号当且仅当 a=b 时成立,其中 ? ≥ , ? ≥ 称为调和不等式;⑵三元均值 2 a b a b a ? b 2 ab
a?b?c ≥ 3

不等式:①当 a+b+c≥0 时,a3+b3+c3≥3abc,等号当且仅当 a+b+c=0,或 a=b=c 时成立;②当 a>0,b>0,c>0 时,
3

abc ,等号当且仅当 a=b=c 时成立;③当 a>0,b>0,c>0 时,

a?b?c 3 ≤ 3 abc ≤ ≤ 1 1 1 3 ? ? a b c

a 2 ? b2 ? c2 ,等号当且仅当 3

a=b=c 时成立;⑶n 元均值不等式:当 ai>0(i=1,2,…,n)时,

n (调和平均数)≤ n a1a2 ? ? ? an (几何平均数) 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 an



a1 ? a2 ? ? ? ? ? an (算朮平均数)≤ n

2 3 2 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an (方幂平均数),等号当且仅当 a1=a2=…=an 时成立;⑷柯西不等式:① n
2 2 2 2 2 2 2

基本形式 C0:当 ai,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a1 +a2 +…+an )(b1 +b2 +…+bn )≥(a1b1+a2b2+…+anbn) ,等号当且仅当 a1:b1=a2:b2= …=an:bn 时成立;②变形式 C1:当 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n)时,(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥( a1b1 + a2b2 +…+ anbn ) ,等号 当且仅当 a1:b1=a2:b2=…=an:bn 时成立;③变形式 C2:当 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n)时,(a1b1+a2b2+…+anbn)(
2 n

a a1 a 2 + +…+ n )≥ b1 b2 bn
2 b12 b2 + + a1 a2

(a1+a2+…+an) ,等号当且仅当 b1=b2=…=bn 时成立;④变形式 C3:当 ai∈R+,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a1+a2+…+an)( …+

2 bn 2 )≥(b1+b2+…+bn) ,等号当且仅当 a1:|b1|=a2:|b2|=…=an:|bn|时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、 等号成立 an

条件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行.

1.等号成立的条件 [例 1]:(2011 年全国高中数学联赛试题)设 a,b 为正实数, [解析]:
1 1 2 3 b ? ≤2 2 ,(a-b) =4(ab) ,则 loga = a b

.

[类题]:
1.(2007 年北京高考试题)如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么( (A)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值惟— (C)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不惟— 2.(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题 ) 已知函数 f(x)= 是 . . ) (B)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值惟— (D)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不惟—
x 4 ? (k 2 ? 2k ? 4) x 2 ? 4 x4 ? 2x2 ? 4

的最小值是 0, 则非零实数 k 的值

3.⑴(2010 年全国 I 高考试题)(理)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是

2
f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 .

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2

⑵ (2009 年全国高中数学联赛上海初赛试题 )(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题 ) 设函数 f(x)=|x -2|, 若

⑶ (2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题 ) 已知函数 f(x)= ? f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是 .

?| log 2 x | (0 ? x ? 8) ? . 若 a,b,c 是互不相等的实数 , 且 1 ? ? 4 x ? 8( x ? 8) ?

4.①(1996 年全国高中数学联赛试题)如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+ 么 f(x)在该区间上的最大值是 .
2

2

1 x2

在同一点取相同的最小值,那

②(2011 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知 f(x)=2x +3px+2q 和φ (x)=x+

4 9 是定义在集合 M={x|1≤x≤ }上的 x 4

函数,对任意的 x∈M,存在常数 x0∈M,使得 f(x)≥f(x0),φ (x)≥φ (x0),且 f(x0)=φ (x0),则函数 f(x)在 M 上的最大值 为 .
b a + =4cosC,则 a b

5.(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若
1 1 + 的最小值是 tan A tan B

.
3

6.①(1990 年全国高中数学联赛试题)点集{(x,y)|lg(x + y + (A)0 (B)1

1 3

3

1 )=lgx+lgy}中元素的个数为( 9

)

(C)2

(D)多于 2
1 1 1 + +?+ =4,则 a1 a 2 an

②(2010 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知 a1,a2,?,an 均为正实数,且满足 a1+a2+?+an=1, a1a2?an 值是 .

2.二元均值不等式 [例 2]:(2003 年全国高中数学联赛试题)已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u=
是 .
4 4 ? x2

+

9 9 ? y2

的最小值

[解析]:

[类题]:
1.⑴(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若 a、b∈R ,且 a-b=1,则 a +b ( ) (A)既有最大值,也有最小值 (B)有最大值,无最小值 (C)有最小值,无最大值
+ 2 2

(D)既无最大值,也无最小值

x ⑵(1996 年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当 a,b<0 时,函数 y= 在区间(0,+∞)上的最大值是 ( x ? a)(x ? b)

(

)
|a|

(A)-(

-

|b|

)

2

(B)(

|a|

+

|b|

)

2

(C)-

1 ( | a | ? | b | )2
x

(D)
y

1 ( | a | ? | b | )2

2.⑴(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)若点 P(x,y)在直线 x+3y=3 上移动,则函数 f(x,y)=3 +9 的最小值等于
x y

.

⑵(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知,点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2 +4 取最小值时,点(x,y)与原点 的距离是 .
x x x x

⑶(2005 年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数 f(x)=9 +9? ?2(3 +3? )的最小值是 3.⑴(2008 年全国高中数学联赛试题)函数 f(x)=
5 ? 4x ? x 在(-∞,2)上的最小值是 2?x
2

. .

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⑵(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知 a>b,ab=1,则
a ?b 的最小值是 a?b
2

3
2 2

.
a ? 2b ? 4c 的最小值是 b?a

⑶(2010 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知二次函数 y=ax +bx+c≥0(a<b),则 M= 4.⑴(2007 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设 a,b 为正实数,且 a+b=1,则

.

1 4 ? 的最小值为 a b

.

⑵(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正实数 x,y 满足 x+2y=4,则

1 1 ? 的最小值为_________. x y

⑶(2010 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 y=logc(x+2)+2(c>0 且 c≠)的图象恒过 同一个定点,则
1 1 ? 的最小值为 a b

.
a2 b2 的最小值为 ? x 1? x
+

⑷(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)设 0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则

.

5.⑴(1993 年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2003 年江苏省数学夏令营数学竞赛题)设 x,y,z∈R ,且 xyz(x+y+z)=1,则 (x+y)(y+z)的最小值是_____. ⑵(2009 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)实数 x,y,z 满足 x +y +z =1,则 2 xy+yz 的最大值为 6.⑴(2010 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知 x1,x2,?,x2010 均为正实数,则 x1+
4 的最小值为 x1x2 ? ? ? x2010
2 2 2

,

x2 x x2010 + 3 +?+ + x1 x1x2 x1x2 ? ? ? x2009

.

4 ? ab, ab ? 2 ? ? a ? 4b 2 ⑵(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a,b 为正实数,记 M= ? ,则 M 的最大值是 4 4 ? , ab ? 2 2 2 2 ? a ? 4b a ? 4b ?

.

3.二元均值的变式 [例 3]:(2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数 f(x)=
(0,
? )时的最小值为 2
sin x ? cos x tan x ? cot x sin x ? cos x tan x ? cot x + + + 在 x∈ sin x ? tan x cos x ? tan x cos x ? cot x sin x ? cot x

.

[解析]:

[类题]:
1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则 2.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a>b>0,那么 a +
2 2 2 2 2 2

2 xy 的最小值是 x ? y ?1

. . .

1 的最小值是 b(a ? b)

3.①(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知 a +b +c =1,则 ab+bc+ca 的值域为
2 2

②(1997 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知实数 x、y、z、t 满足 x+y+z+t=0,x +y +z +t =10,则 xy+yz+zt+tx 的最 大值与最小值的和为_____. 4.(2002 年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数 a,b,c,d 满足 a +b +c +d =5,则(a?b) +(a?c) +(a?d) +(b?c) +(b?d) +(c? d) 的最大值是_____. 5.(2001 年第十二届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当 0<θ <
? 1 1 时,函数 y=( -1)( -1)的最大值是 2 cos ? sin ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

.

4

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? ]内任意实数,则函 2

6.(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知 n(n∈N,n≥2) n 是常数,且 x1,x2,?,xn 是区间[0, 数 f(x1,x2,?,xn)=sinx1cosx2+sinx2cosx3+?+sinxncosx1 的最大值等于_______.

4.n 元均值不等式 [例 4]:(1994 年全国高中数学联赛试题)设 0<θ <π ,则 sin ? (1+cosθ )的最大值是__________.
2

[解析]:

[类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x,y,z是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z),则xyz的最大值是 2.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设a>b>0.则a +
4

.

32 的最小值是 b(a ? b)

.

3.(2000 年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)从半径为 1 分米的圆形铁片中剪去圆心角为 x 弧度的一个扇形, 将余下部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 4.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于 . . .

1 5 2 ≤x≤1,当(1+x) (1-x)(1-2x) 取得最大值时,x= 2
2 3

5.(2011 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 x,y,z>0,且 x+y+z=1,则 f(x,y,z)=xy z 的最大值是 6.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设 x∈(0,

225 ? 2 ),则函数 y= + 的最小值为__________. 2 4 sin 2 x cos x

5.柯西不等式 [例 5]:(1983 年全国高中数学联赛试题)设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=
(A)P≥Q (B)P≤Q (C)P<Q
ab ? cd ,Q= ma ? nc ?

b d ? ,那么( m n

)

(D)P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关

[解析]:

[类题]:
1.(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数 m,n,x,y 满足 m +n =a,x +y =b,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大 值为 . 2.(2007 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知 a,b 为正整数,a≤b,实数 x,y 满足 x+y=4( x ? a + y ? b ),若 x+y 的最 大值为 40,则满足条件的数对(a,b)的数目为( (A)1 (B)3 ) (C)5 (D)7 .
2 2 2 2

3.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a 2 ? b 2 +b 2 ? a 2 的最大值是

②(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a、 b、 c为正常数,x、 y、 z为实数,且满足|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,则(x+y+z) ( a 2 ? x 2 + b 2 ? y 2 + c 2 ? z 2 )的最大值是_____. 4.(2000 年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知 x、 y、 z∈R ,且
+

y 1 2 3 z + + =1,则 x+ + 的最小值是 2 3 x y z

.

5.(2009 年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若 2 x ? 1 + 3 y ? 2 =4,则 2x+3y 的取值范围是

.

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6.(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题 ) 若 0<a 、 b 、 c<1 满足条件 ab+bc+ca = 1, 则 是 .

5
1 1 1 + + 的最小值 1? a 1? b 1? c

6.对称不等式 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)若 0<a、b、c<1 满足条件 ab+bc+ca=1,则
是 .
1 1 1 + + 的最小值 1? a 1? b 1? c

[解析]:

[类题]:
1.(1990 年全国高中数学联赛试题)设 n 为自然数,a、b 为正实数,a+b=2,则 2.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 x,y 均为正实数,则
2 2

1 1 ? an

+

1 1 ? bn

的最小值是________. . .

x y + 的最大值是 2x ? y x ? 2 y 2 xy 的最小值是 x ? y ?1

3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则

4.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)设 a1,a2,?,a2007 均为正实数,且 的最小值是 .

1 1 1 1 + +?+ = ,则 a1a2?a2007 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2007 2

5.(2010 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知 a1,a2,?,an 均为正实数,且满足 a1+a2+?+an=1, a1a2?an 值是 .
4 4 ? x2

1 1 1 + + ?+ =4,则 a1 a 2 an

6.(2003 年全国高中数学联赛试题)已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u=

+

9 9 ? y2

的最小值是

.

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1

恒成立问题
不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,就其中所含变量的多少可分为两类:单元问题、多元问题. 解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式 F(x,a)≥0 是关于哪个变量恒成立?关于哪个变量恒成立,就要把 F(x,a) 视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题. 1.等价转化法:不等式 f(x)≥m 恒成立 ? f(x)min≥m;不等式 f(x)≤M 恒成立 ? f(x)max≤M; 2.分离参数法:不等式 F(x,a)≥0 恒成立,求参数 a 的取值范围.首先对不等式 F(x,a)≥0 进行等价变形,使得 F(X,a) ≥0 ? f(x)≥(≤)g(a),然后通过求不含参数 a 的函数 f(x)的最值,解决问题; 3.函数分析法:(1)函数 f(x)=ax+b,则当 x∈[m,n]时,不等式 f(x)≥0 恒成立 ? ? ≤0 恒成立 ? ?
? f (m) ? 0 ; ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 ; 当 x∈[m,n]时,不等式 f(x) ? f (n) ? 0

(2)f(x)≥g(x)恒成立 ? 函数 y=f(x)的图像不在函数 y=g(x)的图像的下方; (3)如果函数 f(x)在[m,n]内是凸函数,则当 x∈[m,n]时,不等式 f(x)≥0 恒成立 ? ? 内是凹函数,则当 x∈[m,n]时,不等式 f(x)≤0 恒成立 ? ?
? f (m) ? 0 . ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 ; 如果函数 f(x)在[m,n] ? f (n) ? 0

1.变量分析法 [例 1]:(2003 年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高一))关于 x 的不等式 lg2x-(2+m)lgx+m-1>0 对于|m|≤1 恒成立,则 x
的取值范围是 .

[解析]:

[类题]:
1.①(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式 x +px>4x+p-3 对于一切 0≤x≤4 恒成立,则 x 的取值范围是 ②(2008 年安徽高考试题)若不等式 ax -3x+a+1>x -x-a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立,则实数 x 的取值范围是
4 3 2 2 2
2

. .

2.(2009 年天津高考试题 )(文) 若对任意的 a∈[-2,2], 不等式 x +ax +2x +b ≤1 在[-1,1]上恒成立,则实数 b 的取值范围 是 .
1 a 1 ,2],不等式 x+ +b≤10 在[ ,1]上恒成立,则实数 b 的取值范围 2 x 4

3.(2009 年天津高考试题)(理)若对任意的 a∈[ 是 .

2.函数分析法 [例 2]:(2000 年全国高中数学联赛河北初赛试题)当 a>1 时,若不等式
小于 2 的正整数 n 恒成立,则 x 的取值范围是 .
1 1 1 7 + +?+ > (loga+1x-logax+1)对于不 n ?1 n ? 2 2 n 12

[解析]:

[类题]:
1.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于x∈[0,1]的一切值,a+2b>0是使ax+b>0恒成立的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件
2

)

(D)既非充分条件,也非必要条件

②(2002 年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t ?4)x 恒成立,则 t 的取值范围是__________.

2
2

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.
1 3 2 ],不等式 ax -x +x+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围 2

2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=x -2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,则a的取值范围 是

3.(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对于一切 x∈[-2, 为 .

3.分离参数法 [例 3]:(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式 sin2θ -(2
2 + 2 a)sin(θ +

? )4

2 2 cos(? ?

?
4

>-3-2a 对θ ∈
)

[0,

? ]恒成立,则实数 a 的取值范围是 2

.

[解析]:

[类题]:
1.(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 f(x)=x -2x+3,若|f(x)-a|<2 恒成立的充分条件是 1≤x≤2,则实数 a 的 取值范围是 小值为 .
2 3 2 2

.
2 4 4

2.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 f(x)=k(x -x+1)-x (1-x) .如果对任何 x∈[0,1],都有 f(x)≥0,则 k 的最 3.(2006 年上海高考试题)三个同学对问题 “关于 x 的不等式 x +25+|x -5x |≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围” 提出各自的解题思路.甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的 函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成 x 的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他 们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 .

4.基本不等式法 [例4]:(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有正数x,y,不等式
x +
y ≤a x ? y 都成立,则a的最小值是

.

[解析]:

[类题]:
1.(2005 年第十六届希望杯数学邀请赛(高一)试题)己知 x,y∈R 且 x+y=5,若 lgx+lgy≤k 恒成立,则 k 的最小值是 2.①(2010 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式|x+ .
1 |≥|a-2|+1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 . x

2 ②(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)对于任意的x∈R,不等式2x -a x 2 ? 1 +3>0恒成立.则实数a的取值范围是.

③(2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x、y,恒有

xy ( x ? y )(3x ? y )
2 2 2 2



1 ,则k的最大值为_____. k

3.①(2004 年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式 x+2 2 xy ≤a(x+y)对一切正数 x,y 恒成立,则实数的最 小值为_____.

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②(2004 年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当 a>b>0 时,使不等式 的最大值是 .
a b

3
b a

>k( a - b )恒成立的常数 k

③(2002年第十三届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式 a + b ≤ m 4 a 2 ? b2 对所有正实数a、b都成立,则m的最小值是 .

5.柯西不等式法 [例 5]:(1993 年全国高中数学联赛试题)设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 log x0 1993+ log x1 1993+ log x 2 1993≥k log x0 1993
x1 x2 x3 x3

恒成立,则 k 的最大值是_______.

[解析]:

[类题]:
1.(2005 年第十六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设 a,b,c∈R ,若(a+b+c)( 是 . .
+

1 1 + )≥k 恒成立,则 k 的最大值 a b?c

2.(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式 x + y ≤k 2 x ? y 对任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围是

6.综合分析法 [例 6]:(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)若正整数 m 使得对任意一组满足 a1a2a3a4=1 的正数 a1,a2,a3,a4 都有 a1m+
a2 +a3 +a4 ≥
m m m

1 1 1 1 成立,则正整数 m 的最小值为 ? ? ? a1 a2 a3 a4

.

[解析]:

[类题]:
1.(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数 f(x)=ax +x,已知 f(3)<f(4),且当 n≥8,n∈N 时,f(n)>f(n+1)恒成立, 则实数 a 的取值范围是 _____. 3.①(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知 a +b =1,且恒 c<a+b 成立,则 c 的取值范围是 ②(2003 年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设 x,y,z 都是正数,且 x+y+z=1,则使 x +y +z +λ 立的实数 λ 的最大值是 .
2 2 2 2 2 2 *

.
2 2 2 2 4 4 4

2.(1990 年全国高中数学联赛试题)设 n 是自然数,对任意实数 x,y,z 恒有(x +y +z ) ≤n(x +y +z )成立,则 n 的最小值是 .
xyz ≤1 恒成

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1

不等式的基本问题
高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.

1.同向可加 [例 1]:(1983 年全国高中数学联赛试题)(2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数 f(x)=ax2-c,满足-4≤f(1)
≤-1,-1≤f(2)≤5.那么,f(3)应满足( (A)7≤f(3)≤26 ) (C)-1≤f(3)≤20 28 35 (D)- ≤f(3)≤ 3 3

(B)-4≤f(3)≤15

[解析]:

[类题]:
1.(2010 年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示). 2.(2004 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数 y=ax +c,且当 x=1 时,-4≤y≤-1,当 x=2 时,-1≤y≤5,则当 x =3 时,y 的取值范围是 .
2

3.(1983 全国高中数学联赛试题)己知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和 小于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是( (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 ) (C)价格相同
x y

(D)不确定

4.(1988 年全国高中数学联赛上海初赛试题)设 x+2y≥1,5x+y≥2,则 log8(2 +2 )的最小值是_____. 5.(2010 年江苏高考试题)设实数 x,y 满足 3≤xy ≤8,4≤
2

x3 x2 ≤9,则 4 的最大值是_________. y y

6.(2008 年四川高考试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 7.(1986 年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程 4 与最小值的乘积等于 .
5 x ?9 y ? 4 z

.

-68× 2

5 x ?9 y ? 4 z

+256=0,那么 x+y+z 的最大值

2.函数单调性 [例 2]:(1999 年全国高中数学联赛试题)若(log23)x?(log53)x≥(log23)
(A)x?y≥0 (B)x+y≥0
?y

?(log53)

?y

,则(

) (D)x+y≤0

(C)x?y≤0

[解析]: [类题]:
1.(2005 年全国高中数学联赛试题)已知 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f(2a +a+1)<f(3a- 4a+1)成立,则 a 的取值 范围是 . ) (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3) ) 2.(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>O,x2+x3>O,x3+x1>O,则( (A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0
2 2

3 3.(2006 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)=x +log2(x+ x 2 ? 1 ),则对任意实数 a,b,a+b≥0 是 f(a)+f(b)≥0 的(

(A)充分必要条件

(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

3 4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x -log2( x 2 ? 1 -x).则对于任意实数a、b(a+b≠0),

2
f ( a ) ? f (b ) a 3 ? b3

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的值( ) (B)恒等于零
3

(A)恒大于零
3

(C)恒小于零

(D)符号不确定

解:f(x)=x -log2( x 2 ? 1 -x)=x +log2( x 2 ? 1 +x)递增的奇函数, 5.(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设 f(x)=
1 1? x 1 1 +lg ,则不等式 f[x(x- )]< 的解集为 2x ? 5 1? x 2 5 1 )]<f(0). 2

.

解:因为 f(x)的定义域为(-1,1),且 f(x)为减函数.原不等式即为 f[x(x-

6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a、b是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( (A)a >b
2 2

) (D)(
1 a 1 b ) <( ) 2 2

(B)

b <1 a

(C)lg(a-b)>0

7. ⑴(1985 年全国高中数学联赛试题)(2003 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 0<a<1,若 x1=a,x2= a x1 ,x3= a x2 ,?, xn= a xn ?1 ,?,则数列{xn} (A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的
a

(D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ) (D)c<a<b

⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a ,c= a a ,若0.9<a<1,则( (A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c

a

3.大小比较 [例 3]:(1982 年全国高中数学联赛试题)当 a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+ )(b+ ),乙:(
1 ab

1 a

1 b

ab +

) ,丙:(

2

a?b 2 2 + ) 中间,值最大的一个是( 2 a?b

) (C)必定是丙
2

(A)必定是甲

(B)必定是乙

(D)一般并不确定,而与 a、b 的取值有关
b a a 2 (a ? b)2 ) >0,丙-乙= b 4

[解析]:甲=ab+
( a ? b) 2 ab(a ? b) 2

1 b a 1 b a 4 (a ? b) + + ,乙=ab+ +2,丙= + +2,甲-乙= + -2=( ab a b ab a b 4 (a ? b)2

不能确定,取 a=1,b=5 ? 甲<丙 ? (D).

[类题]:
1.(1983 年全国高中数学联赛试题)x=
1
1 log3 1 2

?

1
1 3 log1 5

的值是属于区间(

)

(A)(-2,-1) (A)a>b

(B)(1,2) (B)a<b

(C)(-3,-2) (C)a=b

(D)(2,3) ) (D)a、b的大小与m的取值有关

2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a= m ? 1 - m ,b= m - m ? 1 那么(

3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n为正整数,x=(1+ (A)x >y
y x y x

1 n 1 n+1 ) ,y=(1+ ) ,则( n n
x

)

(B)x =y

y

x

(C)x <y
x

y

(D)以上都有可能
x

解:取对数易得 x =y .故选(B). 4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a =a+t,则b 与b+t的大小关系是( (A)b >b+t
x x

)

(B)b <b+t
x-1 x-1 x-1 x-1

x

(C)b =b+t
x-1 x-1 x-1

x

(D)不确定.
x-1 x x x x

解:由 b>a>1,t>0 ? a >a ? x>1 ? b >1,a >1 ? b >a ? b -1>a -1 ? b(b -1)>a(a -1) ? b -b>a -a ? b -(b+t)=b -

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b-(a -a)>0. 5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x、y≥1,且 n x ? 1 + n y ? 1 ≤2,则( (A)x≥y (B)x≤y (C)x+y≥xy
n x

3

) (D)x+y≤xy
n

解:由x、 y的对称性,显然,选项(A)、 (B)均不正确.令a= n x ? 1 ,b= n y ? 1 ,则a +1=x,b +1=y.由已知ab≤ a +1+b +1-(a +1)(b +1)=1-a b ≥0.
n n n n n n

a?b =1 ? x+y-xy= 2

6.(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a +c =2bc,则下列关系中可能成立的是( (A)a>b>c
2 2 2 2 2 2

2

2

)

(B)b>c>a

(C)b>a>c
2 2 2

(D)a>c>b

解:若 a>b,则 a +c >b +c ≥2bc 不合条件,排除(A),(D);又由 a -c =2bc-2c =2c(b-c),故 a-c 与 b-c 同号,排除(B);且当 b>a>c 时,a +c =2bc 有可能成立,例如取(a,b,c)=(3,5,1),故选(C). 7.(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)若 0<a<b,且 a+b=1,则下列各式中最大的是( (A)-1 解:由 0<a<b,且 a+b=1 ? 0<a<
3 2 2 3

)
3 2 2 3

(B)log2a+log2b+1

(C)log2b

(D)log2(a +a b+ab +b )

1 1 <b<1,ab< ? log2a+log2b+1=log2(ab)+1>-2+1=-1,log2b>-1,log2a+log2b+1<-1+log2b+1 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=log2b;log2(a +a b+ab +b )=log2[(a+b)(a +b )]=log2(a +b ),a +b -b=a -b(1-b)=a -ab=a(a-b)<0 ? log2(a +b )<log2b. 选 (C). 8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a、b是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( (A)(a+
1 1 )(b+ )>( ab + a b
1 ab

)

)

2

(B)(a+

a?b 2 1 1 2 )(b+ )>( + ) 2 a?b a b

(C)

a 3 ? b3 a ?b
2 2

>

a 2 ? b2 a?b

(D)

a 2 ? b 2 a 3 ? b3 > 2 2 a?b a ?b

解:选(B).

4.解不等式 [例 4]:(2001 年全国高中数学联赛试题)不等式|
1 log x 1
2

+2|>

3 的解集为 2

.

[解析]:|

1 log x 1
2

+2|>

3 3 1 7 2 1 1 1 -2|> ? < ,或 > ? log2x<0, 或 log2x>2, 或 0<log2x< ? x∈(0,1) ∪ ?| x x x 2 2 2 2 7 log2 log2 log2

2

(1, 2 7 )∪(4,+∞).

[类题]:
1.(1998 年全国高中数学联赛试题)设命题 P:关于 x 的不等式 a1x +b1x+c1>0 与 a2x +b2x+c2>0 的解集相同;命题 Q:
c1 .则命题 Q( c2
2 2

a1 b = 1 = a 2 b2

) (B)是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (D)既不是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件

(A)是命题 P 的充分必要条件 (C)是命题 P 的必要条件但不是充分条件

2.⑴(1989 年全国高中数学联赛试题)若 loga 2 <1,则 a 的取值范围是___________. ⑵(1995 年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果 loga
3 <1,那么 a 的取值范围是 4

,

4
⑶(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若 loga

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3 <1,则 a 的取值范围是___________. 5
2

⑷(1994 年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若 loga(2-a )<1,则实数 a 的取值范围是 3.⑴(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x -2|≤2x+1 的解集为_________. ⑵(2003 年全国高中数学联赛试题)不等式|x| -2x -4|x|+3<0 的解集是____________. ⑶(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|
1 1 |> 的解集是 3 log 1 x ? 1
3
3 2 2

.

.

⑷(1995 年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若 a>0,a≠1,且|loga2|>loga+12,则 a 的取值范围是
x 4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式 1 ? log 2 >1–log2x的解是

.

. .

⑵(2006 年全国高中数学联赛试题)设 logx(2x +x-1)>logx2-1,则 x 的取值范围为
x ?1 + ⑶(2004 年全国高中数学联赛试题)不等式 log 2
3 1 logx 1 +2>0 的解集为 2

2

.

2

4.(2007 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于 x 的不等式 x ?ax?20a <0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小 值的和是 . 5.(2007 年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为 d-c,其中 d>c.已知实数 a>b, 则满足
1 1 ? ≥1 的 x 构成的区间的长度之和为 x?a x?b

2

2

.
lg 2ax <1 的解为(1,2,则 a 的取值范围是 lg(a ? x)
8 6 4

6.(1996 年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若
12

.

7.(2008 年全国高中数学联赛试题)解不等式 log2(x +3x +5x +3x +1)>1+log2(x +1). [解法一]:由 1+log2(x +1)=log2(2x +2),且 y=log2x 在(0,+∞)上为增函数,故原不等式等价于 x +3x +5x +3x -2x -1>0,分 组分解:(x +x -x )+(2x +2x -2x )+(4x +4x -4x )+(x +x -x )+(x +x -1)>0 ? (x +2x +4x +x +1)(x +x -1)>0 ? x +x -1>0. [解法二]:x +3x +5x +3x +1>2x +2 ? x +3x +5x +3> 2(
1 x2
3 12 10 8 6 4 6 4 2 12 10 8 10 8 6 8 6 4 6 4 2 4 2 8 6 4 2 4 2 4 2 4 4 12 10 8 6 4

10

2 x2

+

1 x6

? x +3x +3x +1+2x +2>
1 x2

6

4

2

2

2 x2
2

+

1 x6

? (x +1) +2(x +1)>(

2

3

2

1 x2

)+

3

),令 g(t)=t +2t,g(t)在 R 上为增函数,则不等式为 g(

)<g(x +1) ?

2

1 x2

<x +1.

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1

基本不等式
高中联赛客观题中的不等式包括:⑴二元均值不等式:①基本不等式 a +b ≥2|ab|及其推论 a +b +c ≥ab+bc+cd;
2 2 2 2 2

a +b +c +d ≥ab+bc+cd+da;x1 +x +…+xn ≥x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,等号当且仅当 x1=x2=…=xn 时成立;②当 a>0,b>0 时,

2

2

2

2

2

2

2

2 1 1 ? a b

≤ ab ≤

a?b a2 ? b2 1 1 1 1 4 2 ≤ ,等号当且仅当 a=b 时成立,其中 ? ≥ , ? ≥ 称为调和不等式;⑵三元均值 2 a b a b a ? b 2 ab
a?b?c ≥ 3

不等式:①当 a+b+c≥0 时,a3+b3+c3≥3abc,等号当且仅当 a+b+c=0,或 a=b=c 时成立;②当 a>0,b>0,c>0 时,
3

abc ,等号当且仅当 a=b=c 时成立;③当 a>0,b>0,c>0 时,

a?b?c 3 ≤ 3 abc ≤ ≤ 1 1 1 3 ? ? a b c

a 2 ? b2 ? c2 ,等号当且仅当 3

a=b=c 时成立;⑶n 元均值不等式:当 ai>0(i=1,2,…,n)时,

n (调和平均数)≤ n a1a2 ? ? ? an (几何平均数) 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 an



a1 ? a2 ? ? ? ? ? an (算朮平均数)≤ n

2 3 2 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an (方幂平均数),等号当且仅当 a1=a2=…=an 时成立;⑷柯西不等式:① n
2 2 2 2 2 2 2

基本形式 C0:当 ai,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a1 +a2 +…+an )(b1 +b2 +…+bn )≥(a1b1+a2b2+…+anbn) ,等号当且仅当 a1:b1=a2:b2= …=an:bn 时成立;②变形式 C1:当 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n)时,(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥( a1b1 + a2b2 +…+ anbn ) ,等号 当且仅当 a1:b1=a2:b2=…=an:bn 时成立;③变形式 C2:当 ai,bi∈R+(i=1,2,…,n)时,(a1b1+a2b2+…+anbn)(
2 n

a a1 a 2 + +…+ n )≥ b1 b2 bn
2 b12 b2 + + a1 a2

(a1+a2+…+an) ,等号当且仅当 b1=b2=…=bn 时成立;④变形式 C3:当 ai∈R+,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a1+a2+…+an)( …+

2 bn 2 )≥(b1+b2+…+bn) ,等号当且仅当 a1:|b1|=a2:|b2|=…=an:|bn|时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、 等号成立 an

条件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行.

1.等号成立的条件 [例 1]:(2011 年全国高中数学联赛试题)设 a,b 为正实数, [解析]: [类题]:
1.(2007 年北京高考试题)如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么( (A)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值惟— (C)ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不惟— 2.(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题 ) 已知函数 f(x)= 是 . .
2

1 1 2 3 b ? ≤2 2 ,(a-b) =4(ab) ,则 loga = a b

.

1 1 3 2 2 2 2 b ? ≤2 2 ? a+b≤2 2 ab,4(ab) =(a-b) =(a+b) -4ab≤8(ab) -4ab ? (ab-1) ≤0 ? ab=1 ? loga =-1. a b

) (B)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值惟— (D)ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不惟—

x ? (k 2 ? 2k ? 4) x 2 ? 4 x4 ? 2x2 ? 4

4

的最小值是 0, 则非零实数 k 的值

3.⑴(2010 年全国 I 高考试题)(理)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 .

⑵ (2009 年全国高中数学联赛上海初赛试题 )(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题 ) 设函数 f(x)=|x -2|, 若

2
⑶ (2011 年全国高中数学联赛河南初赛试题 ) 已知函数 f(x)= ? f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是 .
2

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?| log 2 x | (0 ? x ? 8) ? . 若 a,b,c 是互不相等的实数 , 且 1 ? ? 4 x ? 8( x ? 8) ?

4.①(1996 年全国高中数学联赛试题)如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x +px+q 与 g(x)=x+ 么 f(x)在该区间上的最大值是 .
2

1 x2

在同一点取相同的最小值,那

②(2011 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知 f(x)=2x +3px+2q 和φ (x)=x+

4 9 是定义在集合 M={x|1≤x≤ }上的 x 4

函数,对任意的 x∈M,存在常数 x0∈M,使得 f(x)≥f(x0),φ (x)≥φ (x0),且 f(x0)=φ (x0),则函数 f(x)在 M 上的最大值 为 .
b a + =4cosC,则 a b

5.(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若
1 1 + 的最小值是 tan A tan B

.

解: =

1 1 sin C 2ab b a 2 sin2 C a 2 ? b2 2 2 2 2 2 2 + =4cosC ? a +b =2c , + = = = ≥ (a=b,由 a +b =2c ? a=b=c) tan A tan B sin A sin B 2 sin A sinB sinC 2absinC 2ab sin C a b

1 2 3 2 = = (A=B=C 时). sin C 3 3
3

6.①(1990 年全国高中数学联赛试题)点集{(x,y)|lg(x + y + (A)0 (B)1

1 3

3

1 )=lgx+lgy}中元素的个数为( 9

)

(C)2

(D)多于 2
1 1 1 + +?+ =4,则 a1 a 2 an

②(2010 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知 a1,a2,?,an 均为正实数,且满足 a1+a2+?+an=1, a1a2?an 值是 .
n

解:(法一)1=a1+a2+?+an≥n n a1a2 ? an ?
? n=1,2,当 n=1 时,a1=1,

a1a2 ? an ≤

1 1 1 1 ;4= + +?+ ≥n a1 a 2 an n

1
n

a1a2 ?an

?

n

a1a2 ? an ≥

1 n n ? ≥ n 4 4

1 1 1 1 1 1 =4 不成立;当 n=2 时,a1+a2=1, + =4 ? a1a2= ? a1+a2=2 a2 a1 ? a1=a2= ? a1a2= ; a1 a1 a 2 4 2 4

(法二)4=(a1+a2+?+an)(

1 1 1 2 + +?+ )≥n . a1 a 2 an

2.二元均值不等式 [例 2]:(2003 年全国高中数学联赛试题)已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u=
是 .
4 4?x
2

4 4 ? x2

+

9 9 ? y2

的最小值

[解析]:由 xy=-1 ? y=- 1 ,又由 y∈(-2,2) ? x∈(-2,- 1 )∪( 1 ,2),且 u=
x 2 2

+

9 9? y
4 x2
2

=

4 4?x
2

+

9x2 9x ? 1
2

=

?9 x 4 ? 72x 2 ? 4 ? 9 x 4 ? 37x 2 ? 4

=

(?9 x 4 ? 37x 2 ? 4) ? 35x 2 ? 9 x ? 37x ? 4
4 2

=1+

35x 2 ? 9 x ? 37x 2 ? 4
4

=1+

35 37 ? (9 x 2 ? 4 x2 )

,由 9x +

2

4 x2

≥12,当且仅当 9x =

2

,即 x=

6 3

时等号成立 ? 当 x=

6 3

时 u 取得最小值

12 5

,故选(D).

[类题]:
1.⑴(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若 a、b∈R ,且 a-b=1,则 a +b (
+ 2 2

)

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(A)既有最大值,也有最小值 (B)有最大值,无最小值 (C)有最小值,无最大值

3
(D)既无最大值,也无最小值

x ⑵(1996 年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当 a,b<0 时,函数 y= 在区间(0,+∞)上的最大值是 ( x ? a)(x ? b)

(

)
|a|

(A)-(

-

|b|

)

2

(B)(

|a|

+

|b|

)

2

(C)-

1 ( | a | ? | b | )2
x

(D)
y

1 ( | a | ? | b | )2

2.⑴(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)若点 P(x,y)在直线 x+3y=3 上移动,则函数 f(x,y)=3 +9 的最小值等于
x y

.

⑵(2004 年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知,点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2 +4 取最小值时,点(x,y)与原点 的距离是 .
x x x x

⑶(2005 年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数 f(x)=9 +9? ?2(3 +3? )的最小值是 3.⑴(2008 年全国高中数学联赛试题)函数 f(x)=
5 ? 4x ? x 在(-∞,2)上的最小值是 2?x
a 2 ? b2 的最小值是 a?b
2

. . .
a ? 2b ? 4c 的最小值是 b?a

2

⑵(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知 a>b,ab=1,则

⑶(2010 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知二次函数 y=ax +bx+c≥0(a<b),则 M=
b2

.

a ? 2b ? 2 2 2 b2 a ? 2b ? 4c 2 2 a = a ? 2ab ? b ,令 t= b >1,M≥ t ? 2t ? 1 = 解:ax +bx+c≥0 ? a>0,△=b -4ac≤0 ? c≥ ≥ ? M= 4a b?a a b?a a(b ? a) t ?1

(t-1)+

4 +4=8. t ?1 1 4 ? 的最小值为 a b

4.⑴(2007 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设 a,b 为正实数,且 a+b=1,则

.

⑵(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正实数 x,y 满足 x+2y=4,则

1 1 ? 的最小值为_________. x y

⑶(2010 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 y=logc(x+2)+2(c>0 且 c≠)的图象恒过 同一个定点,则
1 1 ? 的最小值为 a b

.
a2 b2 的最小值为 ? x 1? x
+

⑷(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)设 0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则

.

5.⑴(1993 年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2003 年江苏省数学夏令营数学竞赛题)设 x,y,z∈R ,且 xyz(x+y+z)=1,则 (x+y)(y+z)的最小值是_____. 解:(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz≥2.yz=x(x+y+z)=1,y=z=1,x= 2 -1. ⑵(2009 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)实数 x,y,z 满足 x +y +z =1,则 2 xy+yz 的最大值为 解:1=x +y +z =x +λ y +(1-λ )y +z ≥2 ? xy+2 1 ? ? yz,令 ? : 1 ? ? = 2 :1 ? λ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

,

2 3

?

6.⑴(2010 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知 x1,x2,?,x2010 均为正实数,则 x1+
4 的最小值为 x1x2 ? ? ? x2010

x2 x x2010 + 3 +?+ + x1 x1x2 x1x2 ? ? ? x2009

.

解:x1+

x2 x 4 x x2010 x 4 4 + 3 +?+ + ≥x1+ 2 + 3 +?+ ≥?≥x1+ ≥4(x1=x2=?=2). x1 x1 x1 x1x2 x1x2 ? ? ? x2009 x1x2 ? ? ? x2010 x1x2 x1x2 ? ? ? x2009

4

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.

4 ? ab, ab ? 2 ? ? a ? 4b 2 ⑵(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a,b 为正实数,记 M= ? ,则 M 的最大值是 4 4 ? , ab ? 2 2 2 2 ? a ? 4b a ? 4b ?

解:M 是 ab 与

4 a 2 ? 4b 2

的较小者 ? M≤ab,M≤

4 a 2 ? 4b 2



1 2 ? M ≤1 ? M≤1(a=2b= 2 ). ab

3.二元均值的变式 [例 3]:(2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数 f(x)=
(0,
? )时的最小值为 2
sin x ? cos x tan x ? cot x sin x ? cos x tan x ? cot x + + + 在 x∈ sin x ? tan x cos x ? tan x cos x ? cot x sin x ? cot x

.
1 1 1 1 + )+(tanx+cotx)( + )( 由 调 和 平 均 值 不 等 sin x ? tan x cos x ? cot x cos x ? tan x sin x ? cot x

[ 解 析 ]:f(x)=(sinx+cosx)(
式:

a?b 1 1 4 4 4 2 ? ≥ ≤ ) ≥ (sinx+cosx) +(tanx+cotx) =4. 要 ? 1 1 2 a b a?b sin x ? tan x ? cos x ? cot x sin x ? tan x ? cos x ? cot x ? a b

使上式等号成立,当且仅当 sinx+tanx=cosx+cotx,tanx+cosx=cotx+sinx,两式相减:sinx-cosx=cosx-sinx ? x=

? . 4

[类题]:
1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则
( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) 2 xy = =x+y+1=1-[(-x)+(-y)]≥1-2 x ? y ?1 x ? y ?1
2 2 2

2 xy 的最小值是 x ? y ?1

.

解:

x2 ? y 2 =1- 2 . 2

2.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 a>b>0,那么 a +
2 2 2

1 的最小值是 b(a ? b)

. .

3.①(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知 a +b +c =1,则 ab+bc+ca 的值域为 解:ab+bc+ca≤a +b +c =1,ab+bc+ca=a(b+c)+bc≥2 2 2

1 1 1 2 2 2 2 2 [a +(b+c) ]+bc=- (a +b +c )=- ,等号在 a=-(b+c). 2 2 2
2 2 2 2

②(1997 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知实数 x、y、z、t 满足 x+y+z+t=0,x +y +z +t =10,则 xy+yz+zt+tx 的最 大值与最小值的和为_____. 解:xy+yz+zt+tx=(x+z)(y+t)≤[
( x ? z) ? ( y ? t) 2 10 10 2 2 2 2 2 ] =0(x=y= ,z=t=);0=(x+y+z+t) =x +y +z +t +2(xy+xz+xt+yz+ 2 2 2
2 2 2 2

yt+zt)=10+2(xy+yz+zt+tx)+2xz+2yt)≤10+2(xy+yz+zt+tx)+x +y +z +t =20+2(xy+yz+zt+tx) ? xy+yz+zt+tx≥-10(x=z=
10 10 ,y=t=). 2 2

4.(2002 年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数 a,b,c,d 满足 a +b +c +d =5,则(a?b) +(a?c) +(a?d) +(b?c) +(b?d) +(c? d) 的最大值是_____. 解:(a?b) +(a?c) +(a?d) +(b?c) +(b?d) +(c?d) =3(a +b +c +d )-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=4(a +b +c +d )-(a+b+c+d) ≤20 (a=b=
5 5 ,c=d=). 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

5.(2001 年第十二届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当 0<θ <

? 1 1 时,函数 y=( -1)( -1)的最大值是 2 cos ? sin ?
2 ab

.
? ) 4

解:y=(

1 1 1 1 1 1 1 2 -1)( -1)= -( + )+1(由调和平均值不等式: ≤ ab ? ? ≥ 1 1 cos ? sin ? cos ? a b sin ? sin ? cos ? ? a b

?θ =

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1 sin ? cos ?

5

2 sin? cos?

+1=3-2 2 .
? ]内任意实数,则函 2

6.(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知 n(n∈N,n≥2) n 是常数,且 x1,x2,?,xn 是区间[0, 数 f(x1,x2,?,xn)=sinx1cosx2+sinx2cosx3+?+sinxncosx1 的最大值等于_______. 解:f(x1,x2,?,xn)=sinx1cosx2+sinx2cosx3+?+sinxncosx1≤

sin2 xn ? cos2 x1 sin2 x1 ? cos2 x2 sin2 x2 ? cos2 x3 + +?+ = 2 2 2

(sin2 x1 ? cos2 x1) ? (sin2 x2 ? cos2 x2 ) ? ? ? ? ? (sin2 xn ? cos2 xn ) n = . 2 2

4.n 元均值不等式 [例 4]:(1994 年全国高中数学联赛试题)设 0<θ <π ,则 sin ? (1+cosθ )的最大值是__________.
2

? ? ? [解析]:sin (1+cosθ )=2sin cos2 = 4 sin2 ? cos4 ? = 2(2 sin2 ? ) cos2 ? cos2 ? ≤ 2( 2 2 2 2 2 2 2 3

2 sin 2

? ? ? ? cos 2 ? cos 2 2 2 2 )3 = 4 3 . 3 9

[类题]:
1.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x,y,z是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z),则xyz的最大值是 解:xy+z=(x+z)(y+z) ? x+y+z=1 ?
3

.

xyz ≤

x? y?z 1 1 = ? xyz的最大值是 . 3 3 27
4

2.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设a>b>0.则a +

32 的最小值是 b(a ? b)

.

解:a +

4

64 64 32 64 64 32 4 4 ≥a + =a + 2 + 2 ≥3 3 a 4 ? 2 ? 2 =48. b ? ( a ? b) 2 b(a ? b) a a a a [ ] 2

3.(2000 年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)从半径为 1 分米的圆形铁片中剪去圆心角为 x 弧度的一个扇形, 将余下部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 解:V=
2

.
1 2 2 ,其中(4π -4π x+x )+(4 2

1 1 ? 2? ? x 2 2? ? x 2 2 ( ) 1? ( (2π -x) 4?x ? x 2 = ) = 3 2? 2? 24 ? 2 24 ? 2
2 2 2 2 2

(4? 2 ? 4?x ? x 2 )2 (8?x ? 2 x 2 ) ?

π -4π x+x )+(8π x-2x )=8π 为常量,所以当 4π -4π x+x =8π x-2x ,即 x= 4.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于
5 2

2

6?2 6 π 时,圆锥的容积达到最大. 3

1 5 2 ≤x≤1,当(1+x) (1-x)(1-2x) 取得最大值时,x= 2

.

解:我们考虑[α (1+x)] [β (1-x)][γ (2x-1)] 的最大值,这里α ,β ,γ 是正整数,满足 5α -β +4γ =0,α (1+x)=β (1-x)= γ (2x-1) ?
5

? ?? ? ?? = ,代入 5α -β +4γ =0 得 2(5α -2γ )(α +γ )=0,取(α ,β ,γ )=(2,30,5),由均值不等式得: ? ? ? ? ? 2?
2

[2(1+x)] [30(1-x)][5(2x-1)] ≤(

15 8 7 37 ? 55 5 2 ) ,当且仅当 x= 时等号成立.所以,(1+x) (1-x)(1-2x) 的最大值是 22 . 4 8 2
2 3

5.(2011 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 x,y,z>0,且 x+y+z=1,则 f(x,y,z)=xy z 的最大值是 解:f(x,y,z)=xy z =
2 3

.

3x ? 3 y ? 3z 6 4 1 1 4 3 4 3 1 1 1 2 3 (3x)( y) z ≤ ( )= = .3x= y=z ? x= ,y= ,z= . 6 432 27 2 27 27 2 6 2 6 3 2
225 ? 2 ),则函数 y= + 的最小值为__________. 2 2 cos x 4 sin x

6.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设 x∈(0,

6
解:因为 x∈(0,

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225 ? 1 1 2 2 ),所以 sinx>0,cosx>0,设 k>0,y= +ksin x+ + +kcos x-k≥15 k +3 3 k -k.其中等号成 2 2 cos x cos x 4 sin x

15 ? 2 ? 225 ? sin x ? ? k sin2 x ? 2 1 15 1 2 k 6 4 3 3 2 ? ? 立当且仅当 ? 4 sin x ? ? 1 成立,此时 2 k + 3 2 =1 设 k =t ,则 2t +15t -2=0 ? (2t-1)(t +8t +4t+2) 2 1 2 ?cos x ? ? k ? k cos x 3 2 ? ? ? cos x k ?

=0,而 cos x=

2

1
3

k2

∈(0,1] ? t∈(0,1] ? t=

1 ? k=64 ? 15 k +3 3 k -k=68 ? 最小值为 68. 2

5.柯西不等式 [例 5]:(1983 年全国高中数学联赛试题)设 a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=
(A)P≥Q (B)P≤Q (C)P<Q
ab ? cd ,Q= ma ? nc ?

b d ? ,那么( m n

)

(D)P、Q 的大小关系不确定,而与 m,n 的大小有关

[解析]:Q= [类题]:

ma ? nc ?

b d 2 b d b 2 d 2 ? nc ? ) = ab ? cd =p. ? = [( ma ) 2 ? ( nc ) 2 ][( ) ?( ) ] ≥ ( ma ? m n m n m n

1.(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数 m,n,x,y 满足 m +n =a,x +y =b,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny 的最大 值为 . 解:由柯西不等式(mx+ny) ≤(m +n )(x +y )=ab,或三角换元即可得到:mx+ny≤ ab .当 m=n=
ab .
2 2 2 2 2

2

2

2

2

a b ,x=y= 时,mx+ny= 2 2

2.(2007 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知 a,b 为正整数,a≤b,实数 x,y 满足 x+y=4( x ? a + y ? b ),若 x+y 的最 大值为 40,则满足条件的数对(a,b)的数目为( (A)1 为 5. 3.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a 2 ? b 2 +b 2 ? a 2 的最大值是 解:(a 2 ? b 2 +b 2 ? a 2 ) ≤(a +b )[4-(a +b )]≤(
2 2 2 2 2

) (C)5 (D)7

(B)3

解 :x+y=4( x ? a + y ? b ) ≤4 (1 ? 1)( x ? a ? y ? b) ? x+y ≤ 16+4 16 ? 2a ? 2b ? a+b=10 ? 满足条件的数对(a,b) 的数目

.

(a 2 ? b2 ) ? [4 ? (a 2 ? b2 )] 2 2 2 ) =4.a +b =2,且 a=b=1 2

②(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a、 b、 c为正常数,x、 y、 z为实数,且满足|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,则(x+y+z) ( a 2 ? x 2 + b 2 ? y 2 + c 2 ? z 2 )的最大值是_____. 解:(x+y+z)( a 2 ? x 2 + b 2 ? y 2 + c 2 ? z 2 )=(x+y+z)[ (a ? x)(a ? x) + (b ? x)(b ? x) + (c ? x)(c ? x) ]≤(x+y+z)
( a ? b ? c) 2 ? ( x ? y ? z ) 2 ≤
1 2 (a+b+c) . 2
+

4.(2000 年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知 x、 y、 z∈R ,且
y y z z 1 2 3 + =(x+ + )( + + )≥( x 2 3 2 3 x y z
1 x

y 1 2 3 z + + =1,则 x+ + 的最小值是 2 3 x y z

.

解:x+

+

y 2

2 + y

z 3

1 3 2 ) =9. x : = z x

y : 2

2 : y

z 3

y z 3 ? x= = ? 2 3 z

x=3,y=6,z=9.

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5.(2009 年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若 2 x ? 1 + 3 y ? 2 =4,则 2x+3y 的取值范围是 解:16=( 2 x ? 1 + 3 y ? 2 ) ≤(1+1)(2x+1+3y-2) ? 2x+3y≥9, 2 x ? 1 = 3 y ? 2 =2 ? x=
2 x ? 1 + t ? 2 ? 2 x =4 ? 2 (2 x ? 1)(t ? 2 ? 2 x) =17-t ? t≤17,x=2

7
.

3 ,y=2;令 2x+3y=t ? 3y=t-2x ? 2

1 ,y=6.2x+3y 的取值范围是[9,17]. 2 1 1 1 + + 的最小值 1? a 1? b 1? c

6.(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题 ) 若 0<a 、 b 、 c<1 满足条件 ab+bc+ca = 1, 则 是 .

解:考虑到对称性知,a=b=c=
2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 3 3? 3 3? 3 + + =3 .以下证明: + + ≥3 . ? 1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c 3 2 2

由(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca) ? a+b+c≥ 3 ? 3- 3 ≥3-(a+b+c)=[(1-a)+(1-b)+(1-c)] ? (3- 3 ) (
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3? 3 + + )≥[(1-a)+(1-b)+(1-c)]( + + )≥9 ? + + ≥3 . 1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c 2

6.对称不等式 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)若 0<a、b、c<1 满足条件 ab+bc+ca=1,则
是 .
1 1 1 + + 的最小值 1? a 1? b 1? c

[解析]: [类题]:
1.(1990 年全国高中数学联赛试题)设 n 为自然数,a、b 为正实数,a+b=2,则 解:考虑到对称性知,
1 1 ? an 1 1? a
n

+

1 1 ? bn

的最小值是________.

+

1 1 ? bn

的最小值是 1(a=b=1).

1 1 ? an

+

1 1 ? bn

≥1 ? ab≤1. .

2.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 x,y 均为正实数,则 解:考虑到对称性知,x=y 时, (法一)

x y + 的最大值是 2x ? y x ? 2 y

2 2 x y x y + = ,以下证明: + ≤ . 3 2x ? y x ? 2 y 3 2x ? y x ? 2 y

2 x y 2 2 2 2 + ≤ ? 3x +3y +12xy≤4x +4y +10xy. 3 2x ? y x ? 2 y
2 2

(法二)令 2x+y=a,x+2y=b ?
2 xy 的最小值是 x ? y ?1

3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则

.

4.(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题)设 a1,a2,?,a2007 均为正实数,且 的最小值是 .

1 1 1 1 + +?+ = ,则 a1a2?a2007 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2007 2

解:考虑到对称性知,

1 ? xi 2007 1 2 2007 = ? ai=2×2006 ? a1a2?a2007 的最小值是 4012 .设 xi= (x1+x2+?+xn=1) ? ai=2 2 ? ai 2 2 ? ai xi

=2

2006 x ? x x ? x 2006 x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ?1 ? ? ? xn 2007 2007 1 i ?1 i ?1 n ≥2 ? a1a2?a2007≥2 ×2006 . xi xi

5.(2010 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知 a1,a2,?,an 均为正实数,且满足 a1+a2+?+an=1, a1a2?an 值是 .

1 1 1 + + ?+ =4,则 a1 a 2 an

6.(2003 年全国高中数学联赛试题)已知 x,y 都在区间(-2,2)内,且 xy=-1,则函数 u=

4 4 ? x2

+

9 9 ? y2

的最小值是

.

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1

恒成立问题
不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,就其中所含变量的多少可分为两类:单元问题、多元问题. 解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式 F(x,a)≥0 是关于哪个变量恒成立?关于哪个变量恒成立,就要把 F(x,a) 视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题. 1.等价转化法:不等式 f(x)≥m 恒成立 ? f(x)min≥m;不等式 f(x)≤M 恒成立 ? f(x)max≤M; 2.分离参数法:不等式 F(x,a)≥0 恒成立,求参数 a 的取值范围.首先对不等式 F(x,a)≥0 进行等价变形,使得 F(X,a) ≥0 ? f(x)≥(≤)g(a),然后通过求不含参数 a 的函数 f(x)的最值,解决问题; 3.函数分析法:(1)函数 f(x)=ax+b,则当 x∈[m,n]时,不等式 f(x)≥0 恒成立 ? ? ≤0 恒成立 ? ?
? f (m) ? 0 ; ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 ; 当 x∈[m,n]时,不等式 f(x) ? f (n) ? 0

(2)f(x)≥g(x)恒成立 ? 函数 y=f(x)的图像不在函数 y=g(x)的图像的下方; (3)如果函数 f(x)在[m,n]内是凸函数,则当 x∈[m,n]时,不等式 f(x)≥0 恒成立 ? ? 内是凹函数,则当 x∈[m,n]时,不等式 f(x)≤0 恒成立 ? ?
? f (m) ? 0 . ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 ; 如果函数 f(x)在[m,n] ? f (n) ? 0

1.变量分析法 [例 1]:(2003 年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高一))关于 x 的不等式 lg2x-(2+m)lgx+m-1>0 对于|m|≤1 恒成立,则 x
的取值范围是 .
1 ? f (1) ? 0 3 ? x∈(0, )∪(10 ,+∞). ? 10 ? f (?1) ? 0

[解析]:lg2x-(2+m)lgx+m-1>0 ? f(m)=(1-lgx)m+(lg2x-2lgx-1)>0 ? [类题]:

1.①(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式 x +px>4x+p-3 对于一切 0≤x≤4 恒成立,则 x 的取值范围是 ②(2008 年安徽高考试题)若不等式 ax -3x+a+1>x -x-a+1 对任意 a∈(0,+∞)都成立,则实数 x 的取值范围是
4 3 2 2 2

2

. .

2.(2009 年天津高考试题 )(文) 若对任意的 a∈[-2,2], 不等式 x +ax +2x +b ≤1 在[-1,1]上恒成立,则实数 b 的取值范围 是 .
1 a 1 ,2],不等式 x+ +b≤10 在[ ,1]上恒成立,则实数 b 的取值范围 2 x 4

3.(2009 年天津高考试题)(理)若对任意的 a∈[ 是 .

解 : 令 f(a)= x+

1 1 2 1 a+(x+b)(x>0), 则 f(a) 在 [ ,2] 上单调递增 ? fmax(a)=f(2)= +x+b, 故对任意的 a ∈ [ ,2], 不等式 x 2 x 2

a 1 2 1 2 1 +b ≤ 10 在 [ ,1] 上恒成立 ? 不等式 +x+b ≤ 10 在 [ ,1] 上恒成立 ? +x ≤ 10-b 在 [ ,1] 上恒成立 ? ( 令 x 4 x 4 x 4 2 1 1 1 7 7 +x ? gmax(x)=g( )=8+ )8+ ≤10-b ? b≤ .所以,实数 b 的取值范围是(-∞, ]. x 4 4 4 4 4

g(x)=

2.函数分析法 [例 2]:(2000 年全国高中数学联赛河北初赛试题)当 a>1 时,若不等式
小于 2 的正整数 n 恒成立,则 x 的取值范围是 .
1 1 1 7 + +?+ > (loga+1x-logax+1)对于不 n ?1 n ? 2 2 n 12

[解析]:令 f(n)=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + +?+ +?+ + + -( + ) ? f(n+1)= ? f(n+1)-f(n)= n?2 n ?1 n ? 2 2n 2n 2n ? 1 2n ? 2 n ?1 2n ? 1 2n ? 2

>0 ? f(n)≥f(2)=

1 7 1 1 7 7 7 .所以, + +?+ > (loga+1x-logax+1)恒成立 ? > (loga+1x-logax+1) ? loga+1x< 12 n ?1 n ? 2 2 n 12 12 12

logax ? lgx>0 ? x>1.

[类题]:
1.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于x∈[0,1]的一切值,a+2b>0是使ax+b>0恒成立的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 ) (D)既非充分条件,也非必要条件

解:令 f(x)=ax+b,ax+b>0 ? f(x)>0 ? ?

? b?0 ? f (0) ? 0 ? ? ? a+2b>0. ?a ? b ? 0 ? f (1) ? 0
2

②(2002 年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t ?4)x 恒成立,则 t 的取值范围是__________. 解:令f(x)=(t ?4)x-(t+1) 2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=x -2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,则a的取值范围 是 .
2 2 2 2

解:f(x)≥a ? x -2ax+2-a≥0,令g(x)=x -2ax+2-a,g(a∈(-1,1].综上,a∈[-3,1].

a ? ?1 a ? ?1 ? ? 1 9 )= .① ? ? a∈[-3,-1];② ? ? 2 2 4 g ( ? 1 ) ? a ? 3 ? 0 ? ? a ?a?2?0 ? ?

3.(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对于一切 x∈[-2, 为 解: .

1 3 2 ],不等式 ax -x +x+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围 2

3.分离参数法 [例 3]:(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式 sin2θ -(2
2 + 2 a)sin(θ +

? )4

2 2 cos(? ?

?
4

>-3-2a 对θ ∈
)

[0,

? ]恒成立,则实数 a 的取值范围是 2
2 + 2 a)sin(θ +

.
? )4
2 2 cos(? ?
4 >-3-2a. cos ? ? sin ?

[解析]:sin2θ -(2

?
4

>-3-2a ? sin2θ -(2+a)(sinθ +cosθ ))

设 t=sinθ +cosθ = 2 sin(θ +

? 4 4 2 2 2 )∈[1, 2 ] ? sin2θ =t -1,t -1-(2+a)t- >-3-2a ? (2-t)a>-t +2t-2+ =t(2-t)+2 4 t t

2?t 2 (2-t>0) ? a>t+ ? a>3. t t

[类题]:
1.(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 f(x)=x -2x+3,若|f(x)-a|<2 恒成立的充分条件是 1≤x≤2,则实数 a 的 取值范围是 (1,4). 2.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 f(x)=k(x -x+1)-x (1-x) .如果对任何 x∈[0,1],都有 f(x)≥0,则 k 的最 小值为 解:f(x)≥0 ? k≥ .
x 4 (1 ? x) 4 x ? x ?1
2
2 4 4 2

.

解:依题意知,1≤x≤2 时,|f(x)-a|<2 恒成立 ? f(x)-2<a<f(x)+2 恒成立 ? fmax(x)-2<a<fmin(x)+2 ? 3-2<a<2+2 ? a∈

(令 x(1-x)=t,t∈[0,

1 3 1 t4 (1 ? s) 4 ]) ? k≥ (令 1-t=s,s∈[ ,1]) ? k≥ ? k≥( 1 4 4 1? t s s4

3

s 4 ) .函数 g(s)=

4

1
1 s4

3

- s 4 在[

3 3 3 1 4 ,1]上递减,且 g(s)≥0 ? gmax(s)=g( ) ? k≥g ( )= . 4 4 4 192
2 3 2

3.(2006 年上海高考试题)三个同学对问题 “关于 x 的不等式 x +25+|x -5x |≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的取值范围” 提出各自的解题思路.甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的 函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成 x 的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他 们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 .
2 3 2

解:按乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.x +25+|x -5x |≥ax ? (x∈[1,12]
? x>0)a ≤ (x+
25 25 25 2 2 2 )+|x -5x| ? (f(x)=x+ ,g(x)=|x -5x| ? fmin(x)=f(5)=10,gmin(x)=g(5)=0 ? F(x)=(x+ )+|x -5x| x x x

的最小值=F(5)=10)a≤10,故 a 的取值范围是(-∞,10].

4.基本不等式法 [例4]:(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有正数x,y,不等式
x +
y ≤a x ? y 都成立,则a的最小值是

. +
y x? y

[解析]:

x +

y ≤a x ? y ? a≥

x x? y

.令t=

x x? y

,s=

y x? y

,则t +s =1 ? t+s≤2

2

2

t 2 ? s2 = 2 ? a的最 2

小值是 2 .

[类题]:
1.(2005 年第十六届希望杯数学邀请赛(高一)试题)己知 x,y∈R 且 x+y=5,若 lgx+lgy≤k 恒成立,则 k 的最小值是 2.①(2010 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式|x+ .
1 |≥|a-2|+1 对一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的最大值是 . x
2

②(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)对于任意的x∈R,不等式2x -a x 2 ? 1 +3>0恒成立.则实数a的取值范围是. 解:令 x 2 ? 1 =t(t≥1) ? x =t -1.2x -a x 2 ? 1 +3>0 ? 2t -at+1≥0 ? a≤2t+
2 2 2 2

1 ? a≤3. t

③(2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x、y,恒有

xy ( x ? y )(3x ? y )
2 2 2 2



1 ,则k的最大值为_____. k

解:

xy ( x 2 ? y 2 )(3x 2 ? y 2 )



1 ? k≤ k

( x 2 ? y 2 )(3x 2 ? y 2 ) xy

= 3

x2 y
2

?

y2 x
2

?4 , 3

x2 y
2

?

y2 x2

? 4 ≥ 2 3 ? 4 = 3 +1.

3.①(2004 年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式 x+2 2 xy ≤a(x+y)对一切正数 x,y 恒成立,则实数的最 小值为_____. 解:x+2 2 xy ≤x+(x+2y)=2(x+y). ②(2004 年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当 a>b>0 时,使不等式 的最大值是 解:
a b

a b

-

b a

>k( a - b )恒成立的常数 k

. >k( a - b ) ?
( a )3 ? ( b )3 ab

-

b a

>k( a - b ) ?

a ? b ? ab ab

>k ? 3≥k.

③(2002年第十三届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式 a + b ≤ m 4 a 2 ? b2 对所有正实数a、b都成立,则m的最小值是 .

解: a + b ≤m 4 a 2 ? b2 ? m≥

a
4

a 2 ? b2

+

b
4

a 2 ? b2
3

,令x=

a
4

a 2 ? b2

,y=

b
4

a 2 ? b2

,则x +y =1 ? x+y≤2

4

4

x2 ? y2 = 2 2

x2 ? y 2 ≤ 2

2

x4 ? y 4 = 2 4 ? m的最小值是 2 4 . 2

3

5.柯西不等式法 [例 5]:(1993 年全国高中数学联赛试题)设任意实数 x0>x1>x2>x3>0,要使 log x0 1993+ log x1 1993+ log x 2 1993≥k log x0 1993
x1 x2 x3 x3

恒成立,则 k 的最大值是_______.

[解析]:令 a=log1993
?

x0 x x x ,b=log1993 1 ,c=log1993 2 ? a+b+c=log1993 0 ? log x0 1993+ log x1 x2 x3 x3
x1

x1 x2

1993+ log x 2 1993≥k log x0 1993
x3 x3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + + ≥k ? (a+b+c)( + + )≥k.(a+b+c)( + + )≥(1+1+1) =9. a?b?c a b c a b c a b c

[类题]:
1.(2005 年第十六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设 a,b,c∈R ,若(a+b+c)( 是 解:(a+b+c)( .
1 1 + ) ≥( a a b?c
1 a
+

1 1 + )≥k 恒成立,则 k 的最大值 a b?c

+ b?c

1 b?c

) =4 ? k 的最大值是 4.

2

2.(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式 x + y ≤k 2 x ? y 对任意正实数 x,y 成立,则 k 的取值范围是
2 2 2 2 ) ? 1][( 2 x ) 2 ? ( y ) 2 ] 6 2 = . 2 2x ? y

.

解: x + y ≤k 2 x ? y ?

x? y 2x ? y

≤k,

x? y 2x ? y

(

2x ? 2x ? y

y )2

[(

=



6.综合分析法 [例 6]:(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)若正整数 m 使得对任意一组满足 a1a2a3a4=1 的正数 a1,a2,a3,a4 都有 a1m+
a2 +a3 +a4 ≥
m m m

1 1 1 1 成立,则正整数 m 的最小值为 ? ? ? a1 a2 a3 a4

.

[解析]:取 a1=

1 1 m 1 1 1 1 m m m m m ,a2=a3=a4=3 ? a1 +a2 +a3 +a4 =( ) +3×3 , ? ? ? =28. ? 27 27 a1 a2 a3 a4

[类题]:
1.(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数 f(x)=ax +x,已知 f(3)<f(4),且当 n≥8,n∈N 时,f(n)>f(n+1)恒成立, 则实数 a 的取值范围是 .
1 1 1 2 2 ;f(n)>f(n+1) ? an +n>a(n+1) +n+1 ? (2n+1)a<-1 ? a<. ? a<7 2n ? 1 17
2 2 2 2 4 4 4 2 *

解:f(3)<f(4) ? 9a+3<16a+4 ? a>-

2.(1990 年全国高中数学联赛试题)设 n 是自然数,对任意实数 x,y,z 恒有(x +y +z ) ≤n(x +y +z )成立,则 n 的最小值是 _____.

解:令 a=x ,b=y ,c=z ,(x +y +z )≤n(x +y +z ) ? (a+b+c) ≤n(a +b +c ).(a+b+c) =a +b +c +2(ab+bc+ca)≤a +b +c +2(a + b +c )=3(a +b +c ) ? n 的最小值是 3. 3.①(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知 a +b =1,且 c<a+b 恒成立,则 c 的取值范围是 ②(2003 年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设 x,y,z 都是正数,且 x+y+z=1,则使 x +y +z +λ 立的实数 λ 的最大值是 解:x +y +z +λ tan
?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.
xyz ≤1 恒成

.
2 2 2 2

xyz ≤1 ? (x+y+z) -(x +y +z )≥λ

xyz ? 2(xy+yz+zx)≥λ

xyz ?

xy + z

zx + y

? yz ≥ .令 x= 2 x
C yz =tan 2 x

A B B C C A A B C tan ,y=tan tan ,z=tan tan ? tan tan tan = xyz ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B xy =tan , 2 z

A zx =tan , 2 y

xy + z

zx + y

A B C yz 0 =tan +tan +tan ≥3tan30 = 3 ? λ ≤2 3 . 2 2 2 x



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