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山东省青岛市2011届高三教学质量3月统一检测数学文科试题及答案详解(青岛一模)



山东省青岛市 2011 年第一次统一高考模拟

数学(文)试题
第Ⅰ卷
(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

3?i 1. 复数 ( i 为虚数单位) 的虚部是 ( ) 1? i A. ?

2 B. 2 C. ?i D. ?1 2.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地
频率分布直方图如右图所示 ,则时速超过 的汽车数量为( ) A. 38 辆 B. 28 辆 C. 10 辆 D. 5 辆 3 . 已 知 全 集 U ?R , 集 合

频率 组距

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005 30 40 50 60 70 80 时速

区, 时速 60 km/h

A ? { x |2 x ?

,xB ? 2 ? 0{x} | y ? lg( x ? 1)} ,则 (? U A) ? B 等于





A. {x | x ? 2 或 x ? 0} B. {x |1 ? x ? 2} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} 4.下列四个函数中,在区间 (0,1) 上为减函数的是 A. y ? log 2 x (
1 3



1 B. y ? x

1 x C. y ? ?( ) 2

D. y ? x

5.设 a, b 为两条不重合的直线, ? , ? 为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是( A.若 a, b 与 ? 所成角相等,则 a / /b C.若 a ? ? , b ? ? , a // b ,则 ? // ? 6.已知 cos ? ? ? A. ? B.若 a // ? , b // ? , ? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? ,则 a ? b ( D. 7



1 7

4 ? ? ,且 ? ? ( , ? ) ,则 tan( ? ? ) 等于 5 2 4 1 B. ?7 C. 7
2



7.已知实数 m 是 2 , 8 的等比中项 ,则双曲线 x ?

y2 ? 1 的离心率为( m



第 1 页 共 9 页

A. 5 C. 3

B.

5 2
正视图 侧视图

D. 2

8.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为 2 和 4 ,腰长为 2 的等腰梯形,则该几何体的体积是 A.
俯视图



第8题 )

28 ? 3

B. ?

7 3

C. 28?

D. 7? ( )

9.“ a ? 0 ”是“函数 y ? ln | x ? a | 为偶函数”的 A.充要条件 C.必要不充分条件 10.定义运算 A. x ? B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

a b c d

? ad ? bc, 则函数 f ( x ) ?
B. x ?

3 1

3 sin x c ox s

图象的一条对称轴方程是( D. x ? (
2



5? 6

2? 3

C. x ?

?
3

?
6

2

11.若 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是 A.

1 1 ? ab 2

B.

1 1 ? ?1 a b

C. ab ? 2

D. a ? b ? 8

12 . 若 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ) ? ? 1

1 , 当 x ? [0,1] 时 , f ( x) ? x , 若 在 区 间 (? 1 , 1 ] f (x ? 1 )
( D. (0, ] 共 90 分) 开始 )

上, g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是 A. [0, )

1 2

B. [ , ??)

1 2

C. [0, )

1 3

1 2

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知向量 a 、 b 的夹角为 60 , | a |? 2,| b |? 3 ,
?

?

?

则 | 2a ? b |?

? ?

; ;

i ? 1, S ? 1

14.右面程序框图中输出 S 的值为

?x ? y ? 0 ? 15.若 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是__________; ?y ?1 ?
16.点 P 是曲线 y ? x ? x 上任意一点,则点 P 到直线
2

i ? i ?1
S ? 2(S ? 1)

i ? 5?
是 输出 S 结束



第 2 页 共 9 页

14 题图

y ? x ? 3 的距离的最小值是


[来源:Z&xx&k.Com]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 12 分)设集合, A ? {1, 2} B ? {1, 2,3} ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b . (Ⅰ)若向量 m ? (a, b), n ? (1, ?1) ,求向量 m 与 n 的夹角为锐角的概率; (Ⅱ) 记点 P (a, b) ,则点 P (a, b) 落在直线 x ? y ? n 上为事件 Cn (2 ? n ? 5,n ? N) , 求使事件 Cn 的概率最大的 n .

??

?

??

?

18. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, ?1), b ? ( 3 cos x, ? ) , 函数 f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ; (Ⅱ) 已知 a 、b 、c 分别为 ?ABC 内角 A 、B 、C 的对边, 其中 A 为锐角, a ? 2 3, c ? 4 ,且 f ( A) ? 1 , 求 A, b 和 ?ABC 的面积 S .

?

?

? ? ?

1 2

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,正方形 ADEF 与 A B 所 C 在D的 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD, AB // CD, CD ? 2AB ? 2AD . (Ⅰ)求证: BC ? BE ; (Ⅱ)在 EC 上找一点 M , 使得 BM // 平面 ADEF ,请确定 M 点的位置,并给出证明.

梯 E



F D C

A

B

第 3 页 共 9 页

20. (本小题满分 12 分)数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? t ,点 ( Sn , an ?1 ) 在直线 y ? 2 x ? 1 上, n ? N . (Ⅰ)当实数 t 为何值时,数列 {a n } 是等比数列? (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设 bn ? log3 an ?1 , Tn 是数列 {

?

[来源:Zxxk.Com]

1 } 的前 n 项和,求 T2011 的值. bn ? bn ?1

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 2 .
3 2

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,令函数 g ( x) ? 2 x ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 (?1, 2) 上的极大值、极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数,求实数 a 的取值范围.

1 3

22. (本小题满 分 14 分)已知圆,点 C1 : ( x ? 1) ? y ? 8 C2 (1, 0) ,点 Q 在圆 C1 上运动,
2 2

QC2 的 垂直平分线交 QC1 于点 P . (Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 W 的方程;
(Ⅱ) 设 是曲线 W 上的两个不同点 ,且点 M 在第一象限,点 N 在 第三象限,若 M ???? ? , N ???? ???? ? OM ? 2ON ? 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 k ; (Ⅲ)过点 S (0,? ) 且斜率为 k 的动直线 ...l 交曲线 W 于 A, B 两点,在 y 轴上是否存在定点 D ,使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由.

1 3

第 4 页 共 9 页

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. DACBD D A B AA DD 二、填空题:本大题 共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.
[来源:Z&xx&k.Com]

13. 13

14. 94

15. 3

16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 设向量 m 与 n 的夹角为 ?

??

?

?? ? ?? ? m?n 因为 ? 为锐角 ∴ cos ? ? ?? ? ? 0 ,且向量 m 与 n 不共线,因 为 m n
? a ? 0, b ? 0 , n ? (1, ?1) ,
显然 m 与 n 不共线,所以, m ? n ? a ? b ? 0 , a ? b ………………………2 分 分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b 的基本事件有;

??

?

?? ?

(1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3) ………………………………………5 分

1 ………………………………………6 分 6 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知;当 n ? 2 时,满足条件的概率 P2 ? ………………………7 分 6 1 当 n ? 3 时,满足条件的概率 P ………………………………………8 分 3 ? 3 1 当 n ? 4 时,满足条件的概率 P4 ? ………………………………………9 分 3 1 当 n ? 5 时,满足条件的概率 P ………………………………………10 分 5 ? 6
所以向量 m 与 n 的夹角为锐角的概率 P ? 所以使事件 Cn 的概率最大的 n 值为 3 或 4 …………… ………………………12 分 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? a ? 2 ? a ? a ? b ? 2

??

?

? ? ?

?2

? ?

1 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ? ? 2 …………………………………………2 分 2
? 1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ……………4 分 2 2 2 2 2 6

第 5 页 共 9 页

因为 ? ? 2 ,所以 T ?

2? ? ? …………………………………………6 分 2

(Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ? 因为 A ? (0,
2 2

?

?
2

), 2 A ?

?
6

6

) ?1

? (?

? 5?
6 6 ,

) ,所以 2 A ?
2

?
6

?

?
2

,A?

?
3

……………8 分

则 a ? b ? c ? 2bc cos A ,所以 12 ? b ? 16 ? 2 ? 4b ?
2

则 b ? 2 …………………………………………10 分 从而 S ?

1 2 ,即 b ? 4b ? 4 ? 0 2

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4 ? sin 60? ? 2 3 ………………………12 分 2 2

19. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, DE ? AD 所以 DE ? 平面 ABCD ? DE ? BC ………………………………………1 分 因为 AB ? AD ,所以 ?ADB ? ?BDC ? 取 CD 中点 N ,连接 BN 则由题意知:四边形 ABND 为正方形 所以 BC ?

?

4

, BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD

1 BN 2 ? CN 2 ? AD 2 ? CD 2 ? AD 2 ? AD 2 ? 2 AD , BD ? BC 4 E

则 ?BDC 为等腰直角三角形 则 BD ? BC …………5 分 M 则 BC ? 平面 BDE F 则 BC ? BE ………………7 分 D (Ⅱ)取 EC 中点 M ,则有 BM // 平面 ADEF …………8 分 N 证明如下:连接 MN 由(Ⅰ)知 BN // AD , A 所以 BN // 平面 ADEF B 又因为 M 、 N 分别为 CE 、 CD 的中点,所以 MN // DE 则 MN // 平面 ADEF ………………10 分 则平面 BMN // 平面 ADEF ,所以 BM // 平面 ADEF ……………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意得 an ?1 ? 2Sn ? 1 , an ? 2Sn ?1 ? 1 (n ? 2) ……1 分 两式相减得 an ?1 ? an ? 2 an , 即an?1 ? 3an (n ? 2) ,……4 分 所以当 n ? 2 时, {a n } 是 等比数列, 要使 n ? 1 时, {a n } 是等比数列,则只需 (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 an ? 3
n ?1

C

a 2 2t ? 1 ? ? 3 ,从而 t ? 1 . ……7 分 a1 t

, bn ? log 3 an ?1 ? n ,……9 分
第 6 页 共 9 页

1 1 1 1 ……10 分 ? ? ? bn ? bn ?1 (n ? 1)n n n ? 1

T2011 ?

1 1 1 1 1 1 1 2011 …12 分 ? ??? ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? b1b2 b2011b2012 2 2 3 2011 2012 2012

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) g ( x) ? 2 x ? ( x ? x ? x ? 2) ? ? x ? x ? x ? 2 ,所以 g ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 1
3 2 3 2 2

由 g ?( x) ? 0 得 x ? ? 或 x ? 1 ………………………………………2 分

1 3

x
g ?( x) g ( x)

1 (??, ? ) 3

?

1 3

1 ( ? ,1) 3

1
0

(1, ??)

?
?

0
? 1 3 59 27

?
?

?
?

?1

59 ;在 x ? 1 处取得极大值 ?1 …………6 分 27 a 2 (Ⅱ) 因为 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 1 的对称轴为 x ? ? 3 a 1 1 2 (1) 若 ? ? ? 即 a ? 1 时, 要使函数 f ( x) 在 (? , ??) 上恒为单调递增函数, 则有 ? ? 4a ? 12 ? 0 , 3 3 3
所以函数 g ( x) 在 x ? ? 处取得极小值 ? 解得: ? 3 ? a ? 3 ,所以 ? 3 ? a ? 1 ;………………8 分 (2)若 ?

a 1 1 ? ? 即 a ? 1 时 , 要 使 函 数 f ( x) 在 (? , ??) 上 恒 为 单 调 递 增 函 数 , 则 有 3 3 3 1 1 1 f (? ) ? 3 ? (? )2 ? 2a ? (? ) ? 1 ? 0 ,解得: a ? 2 ,所以 1 ? a ? 2 ;…………10 分 3 3 3

综上,实数 a 的取值范围为 ? 3 ? a ? 2 ………………………………………12 分 22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 因为 QC 2 的垂直平分线交 QC1 于点 P .所以 PQ ? PC 2

PC2 ? PC1 ? PC1 ? PQ ? QC1 ? 2 2 ? C1C 2 ? 2
所以动点 P 的轨迹 W 是以点 C1 , C 2 为焦点的椭圆……………3 分

设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

第 7 页 共 9 页

则 2a ? 2 2 ,2c ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,则椭圆的标准方程为 (Ⅱ) 设 M (a1 , b1 ), N (a2 , b2 ) ,则 a1 ? 2b1 ? 2, a2 ? 2b2 ? 2
2 2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 ……5 分 2


因为 OM ? 2ON ? 2OC1 ,则 a1 ? 2a2 ? ?2, b1 ? 2b2 ? 0 由①②解得 a1 ?

???? ?

????

???? ?



1 14 5 14 , b1 ? , a2 ? ? , b2 ? ? ……………8 分 2 4 4 8
b2 ? b1 3 14 ? ……………10 分 a2 ? a1 14

所以直线 MN 的斜率 k ?

(Ⅲ)直线 l 方程为 y ? kx ?

1 ,联立直线和椭圆的方程得: 3

1 ? y ? kx ? ? ? 3 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2

得 9(1 ? 2k ) x ? 12kx ? 16 ? 0 …………11 分
2 2

由题意知:点 S (0,? ) 在 椭圆内部,所以直线 l 与椭圆必交与两点, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ). 则 x1 ? x2 ?

1 3

4k 16 , x1 x2 ? ? 2 3(1 ? 2k ) 9(1 ? 2k 2 )

假设在 y 轴上存在定点 D(0, m) ,满足题设,则 DA ? ( x1 , y1 ? m), DB ? ( x2 , y2 ? m) 因为以 AB 为直径的圆恒过点 D , 则 DA ? DB ? ( x1 , y1 ? m) ? ( x2 , y2 ? m) ? 0 ,即: x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? 0 因为 y1 ? kx1 ? , y2 ? kx2 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

(*)

1 3

1 3
2

则(*)变为 x1x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m …………12 分

1 1 1 1 ? x1x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? m(kx1 ? ? kx2 ? ) ? m2 3 3 3 3
1 2 1 ? (k 2 ? 1) x1x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m2 ? m ? 3 3 9
? 18(m 2 ? 1)k 2 ? (9m 2 ? 6m ? 15) 9(2k 2 ? 1)
??? ? ??? ?

[来源:学科网 ZXXK]

由假设得对于任意的 k ? R , DA ? DB ? 0 恒成立,
第 8 页 共 9 页

即?

?m 2 ? 1 ? 0 ? 解得 m ? 1 . 2 ? ?9m ? 6m ? 15 ? 0

因此,在 y 轴上存在满足条件的定点 D ,点 D 的坐标为 (0,1) .………………14 分

第 9 页 共 9 页



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