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1.2.2组合和组合数公式



莱阳市第九中学 数学组

教学目标:
1.理解组合与组合数的概念。 2. 会推导组合数公式并应用公式求值。

一、讨论及要求(约10分钟) (一)重点讨论的问题:
1、组合的基本含义是什么? 2、组合数及其表示。

3、排列数与组合数的关系如何? 4、排列与组合的主要区别是什么?

(二)讨论要求: (1)小组内先集中讨论,再组内一对一讨论,小 组长注意控制讨论节奏,及时安排展示与点评。 (2)力争全部达成目标,且多拓展,注重方法总结, 力争全部掌握.

探究一:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活 动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参 加下午的活动,有多少种不同的选法?

探究二:

A ?6
2 3

有顺序

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活 动,有多少种不同的选法? 无顺序 甲、乙;甲、丙;乙、丙

思考:上述两个问题的区别与联系?

组合定义:
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个组合.

排列定义:
一般地说,从n个不同元素中,取出m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列.

思考:排列与组合的概念,它们有什么共
同点、不同点?

共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:
对于所取出的元素,排列要“按照一定的顺序排成 一列”,而组合却是“不管怎样的顺序合成一 组”. 排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关 想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

练习:判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个 元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线 上共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合问题

(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个 学习小组,共有多少种分法?? 组合问题

(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互 问候,共需握手多少次?? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少 组合问题 种不同的方法?
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题

如:从 a , b , c三个不同的元素中取出 两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc

(3个)

如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每 次取出两个元素的所有组合.
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个

组合数:
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取 m 出m个元素的组合数,用符号 表示 n 2 2 如: C3 ? 3 4

C C ?6

探究三: 排列数与组合数的关系如何?

思考: A 组合

3和 4

C 的关系?
abc acb abd adb acd adc bcd bdc

3 4

排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

abc abd acd bcd

求 A34可分两步考虑: 求 P4 可分两步考虑:
第一步, C 4 ( ? 4)个;
3

3

第二步, A3 ( ? 6)个;
3

根据分步计数原理, A4 3

3

?

P4 C ? 3 P3
3 4

?C?A
3 4

3 3 .

思考: A

m 和 n
m m

C

m n

的关系?

A

m n

? C n ? Am

组合数公式:
A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! C ? m !(n ? m)!
m n

二、展示与点评:
展示问题

展示与点评要求

改正点 展示地点 展示小 评小组 组

课本25页5 前黑板
6 例2(1) (2) 前黑板 前黑板

1组
3组 5组

2组
4组 6组

展示自我,提高自信,我是最棒的!

1、展示人规范快速; 其他同学讨论完毕总 结整理完善,不浪费 一分钟,力争全部过 关。 2、点评人员:点评 人要声音洪亮,语言 清晰,先点评书写、 对错,再点评思路, 最后总结规律方法; 其它同学:认真倾听、 积极思考,重点内容 记好笔记,有不明白 或有补充的要大胆提 出

四、课堂小结

组合与组合数公式.
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并 成一组,叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个组合.

A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! C ? m !(n ? m)!
m n

探究与发现
组合数的两个性质
性质1 性质 2

C ?C
m n

n?m n m n

,
m?1 n

C

m n?1

?C ?C

.

一般地, 从n个不同元素中取出 个元素后, m 必然剩下n ? m个元素,因此从n个不同元素 中取出 m 个元素的组合 与剩下的 n ? m 个 , 元素的组合一一对应这样, 从n个不同元素 . 中取出m 个元素的组合数, 等于从这n个不 同元素中取出n ? m 个元素的组合数.于是 我们有
m n?m 性质1 Cn ? Cn , 为了使上面的等式在m ? n 时也能成立 我 ,
0 们规定 Cn ? 1 .

探究 你能根据上述的思想方 , 利用分类 法 计数原理 证明下列组合数的性质 ? , 吗
性质 2

C

m n?1

?C ?C
m n

m?1 n

.

思考: 1、将四本不同的书平均分成两份 共有多少种分法? 2、 将四本不同的书分成1本和3本 有多少种分法?



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