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平面向量的数量积的坐标表示


学习目标:
1、平面向量数量积的坐标表示. 2、两个向量垂直的坐标表示的充要条件.

3、平面内两点间的距离公式.
4、运用两个向量的数量积的坐标表示 解决处理有关长度垂直的几个问题. 5、两个向量垂直与平行的充要条件的区别.

在直角坐标系中,已知两个非零向量a = (x1,y1), b = (x2,y2), 如何用a 与b的坐标表示a ? b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同,求 1 ① i ? i ? _____ 0 ③ j ? i ? ______ 0 ② i ? j ? ______ 1 ④ j ? j ? _____ B(x2,y2) Y

∵ a = x1 i + y1 j , b = x 2 i + y2 j

b
j O

A(x1,y1)

a ? b ? ? x1i ? y1 j ? ? ? x2 i ? y2 j ?
? x1 x2 i 2 ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2

a
X

i

? x1 x2 ? y1 y2

在坐标平面xoy内,已知a=(x1,y1),

b= (x2,y2),则
a· b=x1x2+y1y2.

即:两个向量的数量积等于它们对 应坐标的乘积的和

重要性质
? ? (1).设 a ? ? x, y ? , 则 a ? x 2 ? y 2 用于计算向量的模
a?

如果表示向量 a的有向线段的起点和终点的坐标分别为? x1 , y1 ?, ? x2 , y2 ?, 那么

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2 . 即平面内两点间的距离公式.

(2)写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐 标表示式.

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

a // b ?b ? 0? ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

例 1:已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ),
(1)求a· b; (2)求a与b的夹角θ. 解:(1)a· b=1×(–2)+√3×2√3=4; (2) a =

√1 +(√3 ) =2, b =√(– 2) +(2√3 ) =4,
2 2 2 2

cos θ =

a· b a b

1 4 = =2 , 2×4

∴ θ =60? .

例 2:已知a=(5, 0),b=(–3.2, 2.4),
求证:(a+b)⊥b .

证明: ∵(a+b)· b
= a· b+ b2 =5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42 = 0, ∴ (a+b)⊥b .

例3:已知A(1、2),B(2,3),C(2,5),
求证Δ ABC是直角三角形
证明: ∵AB = (2 - 1,3 - 2)= (1,1) AC = (2 - 1,5 - 2)= (3,3)C ∴AB ? AC = 1╳(3 )+ 1 ╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC
∴Δ ABC是直角三角形
O A Y

B

注:两个向量的数量积是否为零是判断相应的 两条直线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线 垂直等。

X

例4:已知 a ? ?1,2?, b ? ?? 3,2? ,当k取何值时,

1). k a ? b 与 a ? 3b 垂直?
2). k a ? b 与 a ? 3b 平行? 平行时它们是同向还是反向? 分析: 由已知启发我们先用坐标表示向量 k a ? b和a ? 3b
然后用两个向量平行和垂直的充要条件来解答。

解:1) k a ? b ? k ?1,2? ? ?? 3,2? ? ?k ? 3,2k ? 2? a ? 3b ? ?1,2? ? 3?? 3,2? ? ?10,?4?
这两个向量垂直 当 k a ? b ? a ? 3b ? 0时 解得k=19 由?k ? 3??10 ? ?2k ? 2?? ?? 4? ? 0

?

??

?

2)

当k a ? b与a ? 3b平行时, 存在唯一实数 ?, 使k a ? b ? ? a ? 3b 1 ?k ? ? 得 k ?? ?? ? 3 1 ? ?3?
?

?

?

?

1 因此 k ? ? 时, k a ? b与a ? 3b平行 , 此时它们方向相反。 3

基础训练题
1.有四个式子: ?1?0 ? a ? 0, ?2?0 ? a ? 0, ?3?a ? b ? a ? c ? b ? c,

?4? a ? b ? a ? b , 其中正确的个数为: D
A. 4个 B.3个 C. 2个
2

D.1个

2. 已知a, b均为单位向量 , 下列结论正确的是 :

B
D.a ? b ? 0

A.a ? b ? 1

3.设向量a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 有下列命题: ?1? a ? x12 ? y12 ,

B.a ? b

2

C.a平行b ? a ? b

?2?b

2

2 2 ? x2 ? y2 , ?3?a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , ?4?a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

其中假命题序号是: ⑵

4.若a ? ?0,1?, b ? ?1,1?且 a ? ?b ? a, 则实数?的值是 (A) A.-1 B.0 C.1 D.2

?

?

能力训练
1.已知 a ? 1, b ? 4, a ? b ? a ? 0, 则a与b的夹角是 :
2 2

A.90

?

B.60? C.120?

? ?

D.150?

2.已知 a ? 3, b ? 5, 且a ? b ? 12, 则b在a的方向上投影为___

3. 已知向量x与a ? ?2,?1?共线, 且a ? x ? ?18, 则x的坐标为_________
4.已知a与b的夹角为 30? 且 a ? 3, b ? 1, 求向量p ? a ? b与q ? a ? b的夹角的余弦 .

5.已知平面四边形 ABCD中, AB ? a, BC ? b, CD ? c, DA ? d , 且a ? b ? b ? c ? c ? d ? d ? a, 试判断四边形 ABCD的形状特征 .

小结:
(1)掌握平面向量数量积的坐标表示,

即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的乘积之和; (2)要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.

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