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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.3圆与圆的位置关系课件 苏教版必修2



2.2.3 .

圆与圆的位置关系

学习目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法; 掌握圆与圆的位置关系及判定方法; 掌握圆与圆的位置关系及判定方法 2. 会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆 . 位置关系的判断; 位置关系的判断; 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题. .能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题
<

br /> 2.2.3 圆 与 圆 的 位 置 关 系

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 (x-a)2+(y-b)2 - - 1. 圆的方程 : (1)标准方程 : _________________ 标准方程: . 圆的方程: 标准方程 =r2 (r>0) . __________. + + = (2)一般方程:__________________________ (D2+ 一般方程: x2+y2+Dx+Ey+F=0 一般方程 E2-4F>0). . 相交 相切 2 . 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 : _______ 、 _______ 、 相离 . ______.

知新益能 外离 1 . 平 面 内 两 圆 的 位 置 关 系 有 五 种 , 即 ______ 、 ______、 ______、 ______、 ______. 外切 、 相交 、 内切 、 内含 . 2.圆与圆位置关系的判定 . (1)几何法 : 若两圆的半径分别为 1 、 r2 , 两圆的圆 几何法: 若两圆的半径分别为r 几何法 心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 心距为 ,则两圆的位置关系的判断方法如下:

位置 关系 图示

外离

外切

相交

内切

内含

d与r1、 与 d>r1+ d=r1+ |r1r2|<d< d=|r1- d< = = r2的 r1+r2 |r1-r2| r2 r2 ______ r2| _______ 关系

(2)代数法: 代数法: 代数法 通过两圆方程组成方程组的公共解的 圆C1方程? 消元 ? ――→ 一元二次方程 个数进行判断. ――→ 个数进行判断 圆C2方程?
??>0?相交 ? ? ??=0?内切或外切 = ? ? ? ??<0?外离或内含

思考感悟 1.两圆没有交点,一定外离吗? .两圆没有交点,一定外离吗? 提示:不一定.两圆内含时也没有交点. 提示:不一定.两圆内含时也没有交点.

思考感悟 2. 将两个相交的圆的方程 2 + y2 + Dix+ Eiy+ Fi = . 将两个相交的圆的方程x + + 0(i= 1,2)相减 , 可得一直线方程 , 这条直线方程具 = 相减, 相减 可得一直线方程, 有什么样的特殊性呢? 有什么样的特殊性呢? 提示:两圆相减得一直线方程, 提示 : 两圆相减得一直线方程 , 它经过两圆的公共 点 . 经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共 弦所在的直线. 弦所在的直线.

课堂互动讲练

考点突破 两圆位置关系的判定 判定圆与圆的位置关系时,通常用几何法, 判定圆与圆的位置关系时,通常用几何法,即转化 为判断圆心距与两圆半径的和与差之间的大小关 系.

例1

a为何值时,两圆 1:x2+y2-2ax+4y+a2 为何值时,两圆C 为何值时 + +

-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. = 和 - + = (1)外切;(2)相交;(3)外离. 外切; 相交 相交; 外离 外离. 外切

【思路点拨】 思路点拨】 化成标准方程 ―→ 求圆心和半径 ―→

列不等式(或方程) 求圆心距 ―→ 列不等式(或方程) ―→ 求解

将两圆方程写成标准方程. 【解】 将两圆方程写成标准方程. C1:(x-a)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-a)2=4. - + , + - ∴两圆的圆心和半径分别为 C1(a,- ,r1=3,C2(-1,a),r2=2. ,-2), ,- , - , , 设两圆的圆心距为 d,则 d2=(a+1)2+(-2-a)2 , + - - =2a2+6a+5. + (1)当 d=5,即 2a2+6a+5=25 时,两圆外切, 两圆外切, 当 = , + = =-5 此时 a=- 或 a=2. =- = (2)当 1<d<5,即 1<2a2+6a+5<25 时,两圆相交, 两圆相交, 当 , + 此时- 此时-5<a<-2 或-1<a<2. - 两圆外离, (3)当 d>5,即 2a2+6a+5>25 时,两圆外离, 当 , + 此时 a>2 或 a<-5. -

名师点评】 【名师点评】

(1)判断两圆的位置关系或利用两圆 判断两圆的位置关系或利用两圆

的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤: 的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤: ①化成圆的标准方程,写出圆心和半径; 化成圆的标准方程,写出圆心和半径; ②计算两圆圆心的距离d; 计算两圆圆心的距离 ; 通过d, ③通过 ,r1+r2, |r1-r2|的关系来判断两圆的位置 的关系来判断两圆的位置 关系或求参数的范围,必要时可借助于图形, 关系或求参数的范围,必要时可借助于图形,数形 结合. 结合. (2)应用几何法断定两圆的位置关系或求字母参数的 应用几何法断定两圆的位置关系或求字母参数的 范围是非常简单清晰的, 范围是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径 的关系. 的关系.

与两圆相切有关的问题

两圆相切时常用的性质有: 两圆相切时常用的性质有: (1)设两圆的圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r1、 设两圆的圆心分别为
?内切?O1O2=|r1-r2| 内切? r2,则两圆相切? . 外切? ?外切?O1O2=r1+r2

(2)两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相 两圆相切时,两圆圆心的连线过切点 两圆若相 两圆相切时 交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦 . 在解题过程中应用这些性质, 在解题过程中应用这些性质, 有时能大大简化运算

例2

已知圆O 和圆O 已知圆 1 : x2 + y2 + 2x+ 6y+ 9= 0和圆 2 : + + = 和圆

x2 + y2 - 6x+2y+1=0,求圆 1 、 圆 O2 的公切线方 + + = , 求圆O 程. 思路点拨】 【 思路点拨 】 首先判断两圆的位置关系, 首先判断两圆的位置关系 , 以确

定公切线的条数,从而防止漏解. 定公切线的条数,从而防止漏解.

-3), r 【解】 圆 O1 的圆心坐标为 O1(-1, - , - , 1=1, , ,-1), 圆 O2 的圆心坐标为 O2(3,- ,r2=3, ,- , 两圆外离,有四条公切线. 则 O1O2>r1+r2,∴两圆外离,有四条公切线. 当斜率存在时, 当斜率存在时,设公切线方程为 y=kx+b, = + , 即 kx-y+b=0. - + =
?|-k+3+b| - + + ? =1, , 2 ? k +1 则? + + ?|3k+1+b| =3. ? 2 k +1 ?

两式相除得|3k+ + = - + + , 两式相除得 +1+b|=3|-k+3+b|, 5 化简得 b=3k-4 或 b=- , = - =- 2 |-k+3+b| - + + 当 b=3k-4 时,代入 = - =1,得|2k-1| , - 2 k +1 4 2 = k +1,解得 k=0 或 ,即当 k=0 时,b=- , = = =- 3 4 4,当 k= 时,b=0, , = = , 3 此时公切线方程为 y+4=0 或 4x-3y=0. + = - =

|-k+3+b| - + + 5 当 b=- 时,代入 =- =1, , 2 2 k +1 ? 1? ? + ? 得?-k+2?= k2+1. ? ? 3 解得 k=- ,此时公切线方程为 3x+4y+10= =- + + = 4 0. 当斜率不存在时, 当斜率不存在时,直线 x=0 与两圆也相切, = 与两圆也相切, 综上所述, 综上所述,所求的公切线方程为 y+4=0 或 4x + = -3y=0 或 x=0 或 3x+4y+10=0. = = + + =

名师点评】 【名师点评】

(1)对于求切线问题,注意不要漏解 对于求切线问题,注意不要漏解, 对于求切线问题

主要是根据几何图形来判断切线的条数. 主要是根据几何图形来判断切线的条数. (2)求公切线的一般步骤是:①判断公切线的条数; 求公切线的一般步骤是: 判断公切线的条数; 求公切线的一般步骤是 设出公切线的方程; ②设出公切线的方程;③利用切线性质建立所设字 母的方程,求解字母的值; 母的方程,求解字母的值;④验证特殊情况的直线 是否为公切线; 归纳总结. 是否为公切线;⑤归纳总结.

变式训练 1 一个圆和已知圆 x2+y2-2x=0 外切, = 外切, 并与直线 l:x+ 3y=0 相切于点 M(3,- 3),求 : + = ,- , 该圆的方程. 该圆的方程. 解:已知圆方程化为(x-1)2+y2=1, 已知圆方程化为 - , 其圆心 P(1,0),半径为 1. , 设所求圆的圆心为 C(a,b), , ,

则半径为 (a-3)2+(b+ 3)2, - ) + ) 因为两圆外切, 因为两圆外切,|PC|=1+ = + (a-3)2+(b+ 3)2, - ) + ) - ) + - ) + ) ① 从而 (a-1)2+b2=1+ (a-3)2+(b+ 3)2.① x+ 又所求圆与直线 l: + 3y=0 相切于 M(3, 3), : = , - ,

+ 1 b+ 3 =-1,于是- ∴直线 CM⊥l,kC M·kl=- ,于是- · ⊥, = 3 a-3 - -1, , 即 b= 3a-4 3.② = - ② 代入①化简, 将②代入①化简,得 a2-4a=0,∴a=0 或 a=4. = , = = 2 =-4 , 当 a=0 时,b=- 3,所求圆的方程为 x +(y+ = =- + 4 3)2=36; ; 当 a=4 时,b=0,所求圆的方程为 -4)2+y2= = = ,所求圆的方程为(x- 4.

与两圆相交有关的问题 (1)若两圆相交,只要 2,y2的系数对应相等,两圆 若两圆相交,只要x 的系数对应相等, 若两圆相交 方程作差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程; 方程作差所得方程即为两圆公共弦所在直线方程 ; (2)若求两圆公共弦长 , 则 ① 利用两圆方程组成的 若求两圆公共弦长, 若求两圆公共弦长 方程组求得两交点的坐标, 方程组求得两交点的坐标 , 再利用两点间距离公 式即可; 式即可 ; ② 利用圆心到公共弦所在直线的距离及 勾股定理也可求得公共弦长. 勾股定理也可求得公共弦长.

例3 (本题满分 分)已知两圆 1:x2+y2-2x+ 本题满分14分 已知两圆 已知两圆C 本题满分 +

10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0. - = , + - = (1)求两圆公共弦的方程及其长度; 求两圆公共弦的方程及其长度; 求两圆公共弦的方程及其长度 (2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程. 求以两圆公共弦为直径的圆的方程. 求以两圆公共弦为直径的圆的方程 思路点拨】 【 思路点拨 】 (1)先求出公共弦所在直线的方 先求出公共弦所在直线的方

再利用半径、弦心距、 程,再利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三 角形求解; 求出圆心 半径, 求出圆心、 角形求解 ; (2)求出圆心 、 半径 , 也可用经过两 圆交点的圆系方程求解. 圆交点的圆系方程求解.

【规范解答】 (1)两圆方程相减得 x-2y+4=0, 规范解答】 两圆方程相减得 - + = , 此即公共弦所在的直线方程, 此即公共弦所在的直线方程,3 分 ,-1)到公共弦的距离 又圆 C2 的圆心 C2(-1,- 到公共弦的距离 - ,- |-1+2+4| - + + l 2 2 2 d= 为公共弦长), = = 5, d +( ) =r2(l 为公共弦长 , , 且 2 5 6分
2 ∴l=2 r2-d2=2 5, = , 即公共弦长为 2 5.8 分

(2)连心线 C1C2 的方程为 2x+y+3=0,10 分 连心线 + + = , 它与公共弦的交点(- 即为所求圆的圆心, 它与公共弦的交点 -2,1)即为所求圆的圆心,…12 即为所求圆的圆心 分 l 又所求圆半径为 = 5, , 2 圆的方程为(x+ - ∴圆的方程为 +2)2+(y-1)2=5.14 分

名师点评】 【 名师点评 】

涉及圆的弦问题, 涉及圆的弦问题 , 一般都考虑利

用半径 、 弦心距 、 半弦长构成的直角三角形求 而不采取求出弦的两端点坐标, 解 . 而不采取求出弦的两端点坐标 , 然后利用两 点间的距离求解. 点间的距离求解. 变式训练2 变式训练 求过直线l: + + = 与圆 与圆C: 求过直线 : 2x+ y+ 4= 0与圆 : x2 + y2 + 2x- 4y+ 1= 0的交点且分别满足下列条件 - + = 的交点且分别满足下列条件 的圆的方程. 的圆的方程. (1)过原点;(2)有最小面积. 过原点; 有最小面积 有最小面积. 过原点

解:设所求圆的方程为 x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0, - + + + + = , 即 x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+1+4λ=0. + + - + + = 1 (1)因为此圆过原点 (1)因为此圆过原点,∴1+4 =0,λ=- . 因为此圆过原点, 1+4λ=0, =- 4 3 17 2 2 所以所求圆的方程为 x +y + x- y=0. - = 2 4

(2)当半径最小时,圆面积也最小,对原方程 当半径最小时,圆面积也最小, 当半径最小时 左边配方得: 左边配方得: λ-4 2 5 - 82 4 2 ) = (λ- ) + [x+(1+λ)] +(y+ + + + - 2 4 5 5 8 此圆面积最小, ∴当 λ= 时,此圆面积最小,故满足条件的 = 5 13 2 62 4 圆的方程为(x+ 圆的方程为 + ) +(y- ) = . - 5 5 5

方法感悟 1.判断两个圆的位置关系常用两圆心距 与两圆 .判断两个圆的位置关系常用两圆心距d与两圆 半径的和、差比较大小. = + 时 两圆外切 两圆外切; 半径的和、差比较大小.d=R+r时,两圆外切;d = |R-r|时,两圆内切;d<|R-r|时,两圆内含; - 时 两圆内切; - 时 两圆内含; d>|R+ r|时 , 两圆相离 ; |R- r|<d<R+ r时 , 两圆 + 时 两圆相离; - + 时 相交. 相交.

2. (1)公共弦长的求法 : ① 代数法: 将两圆的方 . 公共弦长的求法: 代数法 : 公共弦长的求法 程联立,解出两交点的坐标, 程联立 , 解出两交点的坐标 ,利用两点间的距离 公式求其长; 几何法: 公式求其长; ② 几何法 : 求出公共弦所在直线的 方程,利用圆的半径、半径长、 方程 , 利用圆的半径、 半径长、 弦心距构成的直 角三角形,用勾股定理求出弦长; 角三角形,用勾股定理求出弦长; (2)公共弦所在直线方程的求法:用两圆方程相减, 公共弦所在直线方程的求法:用两圆方程相减 公共弦所在直线方程的求法 所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程; 所得直线方程即为两圆公共弦所在直线方程; (3)重要结论:两圆公共弦所在直线是两圆圆心连 重要结论: 重要结论 线的垂直平分线. 线的垂直平分线.



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