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高一数学必修四第2章平面向量导学案(全)



§2.1 向量的概念及表示(预学案)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标 1. 了解向量的实际背景,会用字母表示向量,理解向量的几何表示。 2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。 高考要求:B 级 重难点:对向量概念的理解. 课前准备 (预习教材 P55 ~ P57,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1

、在现实生活中,有些量(如距离、身高、质量、 就能表示,我们称之为 必须用 2、我们把 来表示, 为 3、 4、 5、 量. 。 称为向量的长度(或称为 称为零向量, 记作 叫做平行向量 叫做共线向量. ; ) ,记作 叫做单位向量. 叫做相等向 和 等)在取定单位后只用 等) ,而另外一些量(如位移、速度、加速度、力、







才能表示。 称为向量,向量常用一条 表示向量的大小。以 A 为起点、 B 为终点的向量记

二、小试身手、轻松过关
1、下列各量中哪些是向量? 浓度、年龄、面积、位移、人造卫星速度、向心力、电量、盈利、动量 2、判断下列命题的真假: (1) 向量 AB 的长度和向量 BA 的长度相等. (2)向量 a 与 b 平行,则 b 与 a 方向相同. (3) 向量 a 与 b 平行,则 b 与 a 方向相反. (4) 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.

??? ?

??? ?

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?

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?

?

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?

§2.1 向量的概念及表示(作业)
完成时间: 年 月 日
一、 【基础训练、锋芒初显】 1、判断下列命题的真假: ? ? ? ? ? ? (1) 若 a 与 b 平行同向,且 a > b ,则 a > b
(2)由于 0 方向不确定,故 0 不能与任意向量平行。 (3) 如果 a = b ,则 a 与 b 长度相等。 (4) 如果 a = b ,则与 a 与 b 的方向相同。 (5) 若 a = b ,则 a 与 b 的方向相反。 (6)若 a = b ,则与 a 与 b 的方向没有关系。

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2、关于零向量,下列说法中正确的有
(1)零向量是没有方向的。 (2)零向量的长度是 0

(3) 零向量与任一向量平行 (4)零向量的方向是任意的。

? ? ? ? 3、如果对于任意的向量 a ,均有 a // b ,则 b 为_________________

二、 【举一反三、能力拓展】
1 、 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是 _____________.

2、 把平面上的一切单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ______________.

1

§2.2.1 向量的加法(预学案)
课时:一课时 预习时间:
学习目标 1. 掌握向量加法的定义. 2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用他们进行向量计算. 高考要求:B 级 重难点:对向量概念的理解. 课前准备 (预习教材 P59 ~ P61,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现 ? ? 1、如何求 a 与 b 的和?
2、向量的加法: 规定:零向量与任一向量 a ,都有 3、向量加法的法则: (1)三角形法则: (2)什么是平行四边形法则? 的方法,称为向量加法的三角形法则。 叫做向量的加法。







?



4、向量的运算律: (用向量表示) 交换律: 结合律:

二、小试身手、轻松过关
1 已知△ABC 中,D 是 BC 的中点,则 3AB ? 2BC ? CA = 2、在平行四边形 ABCD 中,下列各式中不成立的是 1) AB ? BC ? CA 3) AC ? BA ? AD

???

??? ?

?? ?

???

??? ? ?? ?

?? ?

2) AB ? AC ? BC

???

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

???

4) AC ? AD ? DC

??? ?

???

2

§2.2.1 向量的加法(作业)
完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a ,AC ? c , BC ? b , 则| a ? b ? c |= 2、课本 P61——3 证明:


? ??? ?


? ??? ?


?

???

?

?

?

3、课本 P61——4(作图) 提示:以 A 点为坐标原点,北、东方向分别为 y 轴、 x 轴正半轴方向。

二、 【举一反三、能力拓展】 ? ? ? ? ? ? ? | a | ? | b |; 1、当向量 a 与 b _______________________时,| a ? b |
? | a | ? | b |; 当向量 a 与 b _______________________时,| a ? b | ? | b | ? | a |; 当向量 a 与 b _______________________时,| a ? b |
当向量 a , b 不共线时,| a ? b |_______________| a | ? | b |;

? ? ?

? ? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? 同理:| a ? b |______________ a ? b 。
2、向量 a , b 皆为非零向量,下列说法正确的是

?

?

.

| b |,则向量 a ? b 的方向与 a 的方向相同. 1) .向量 a 与 b 反向,且| a |? | b |,则向量方向相同. 2) .向量 a 与 b 反向,且| a |?
3) .向量 a 与 b 同向,则向量 a ? b 与 a 的的方向相同. 4) .向量 a 与 b 同向,则向量 a ? b 与 b 的方向相同.

? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

3

§2.2.2 向量的减法(预学案)
课时:一课时 预习时间:
学习目标 1. 掌握向量减法的定义,明确相反向量的意义 2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用他们进行向量计算 高考要求:B 级 重难点:对向量概念的理解 课前准备 (预习教材 P61 ~ P63,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现 1、向量减法是 2、若 求 ,则 ,记为 ,







,叫做向量的减法。 ? ? 3、预习 P—62 例 1 了解如何得到向量 a ? b 的作图方法。

二、小试身手、轻松过关 ??? ?
① AB ? AC

1、在△ABC 中,向量 BC 可表示为

???

??? ?

② AC ? AB

??? ?

???

③ BA ? AC

?? ?

??? ?

④ BA ? CA

?? ?

?? ?

2、在菱形 ABCD 中,下列各式中成立的是 1) AC ? AB ? BC 3) BD ? AC ? BC

??? ? ???

???

??? ? ??? ?

2) AD ? BD ? AB

???

???

??? ??? ?

??? ?

4) BD ? CD ? BC

???

???

4

§2.2.2 向量的减法(作业)
完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、课本 P63——1(作图)







2、课本 P63——6 证明:

3、化简: AB ? DA ? BD ? BC ? CA =_______________。

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

二、 【举一反三、能力拓展】
1、已知 ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中 OA ? a ,OB ? b ,OC ? c 则 EF =

?? ?

? ???

? ???

?

???

2、一架飞机向北飞行 300km 后改变航向向西飞行 400km,则飞行的总路程为___________, 两次位移和的和方向为____________,大小为______________。

5

§2.2.3 向量的数乘(预学案)
课时:一课时 预习时间:
学习目标 1. 理解并掌握数乘的意义 2. 理解并掌握数乘的运算律 高考要求:B 级 重难点:向量的数乘的综合运用 课前准备 (预习教材 P63 ~ P64,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
? 1、一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个







,记作

,它的长度和

方向规定如下: ? (1) | ? a | =________; (2)当 ? >0 时, ? ? 当 a = 0 时, 当 ? <0 时, 当 ? =0 时, 相乘,叫做向量的数乘 2、数乘的运算律
? (1)结合律: ? ( ? a ) ? ? (2)分配率: (? ? ? )a ? ? ? 、 ? ( a ? b) ?

二、小试身手、轻松过关 ? 1、 (?4) ? 2.5a =___________
3、 5 ? (a ? b) = ______

2、 2 ? 4a =_____________。 4、 6 ? (a ? b ? c) =___________。

?

? ?

__

? ? ?

5、 8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =___________。 6、 (a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =_________ 。

? ?

? ? ?

?

?

?

?

?

6

§2.2.3 向量的数乘(作业)
完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、课本 P64——4(要求有图)







2、课本 P64——5

3、

? ? ? ? 1 ?1 ? (2 a ) ? 8 b ? (4 a ? 2 b )? = 3? ?2 ?

二、 【举一反三、能力拓展】 ???? ??? ? ???? 3 ??? ? 1、点 C 在线段 AB 上,且 AC ? AB ,则 AC ? ________ CB 。 5

2、 (2006 安徽高考 文 11)



? ? ABCD 中, AB ? a , AD ? b , AN ? 3NC, M 为 BC 的中点,
? ? (用 a, b 表示)

则 MN =

7

§2.2.4 向量的共线定理(预学案)
课时:一课时 预习时间:
学习目标 1. 掌握两个向量共线的条件,能根据条件判断两个向量是否共线 2. 学会用共线向量的条件处理一些几何问题 高考要求:B 级 重难点:共线向量的条件 课前准备 (预习教材 P64 ~ P66,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现 ? ? ? ? 1、如果 b ? ? a (a ? 0) ,则称







? ? ? ? 2、一般地对于两个向量 a (a ? 0), b ,有如下的向量共线定理

如果有一个实数 ? ,使 反之, 如果

, 那么



, 那么

.

二、小试身手、轻松过关 ? ? ? ? ? ? ? ? 已知非零向量 a , b 满足 2(a ? b ) ? (a ? 4b ), 求证:向量 a与b 共线.

8

§2.2.4 向量的共线定理(作业)
完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、课本 P66——1 证明:







2、课本 P66——2 证明:

3、课本 P66——3 证明:

二、 【举一反三、能力拓展】 ? ? ? ? ? ? 1、设两非零向量 e1 , e 2 ,不共线,且 k (e1 ? e2 ) //(e1 ? ke 2 ) ,求实数 k 的值。

2、设两非零且不共线向量 a , b ,实数 x、y 满足 ( x ? y ? 1)a ? (2 x ? y )b ? 0 ,试讨论

? ?

?

?

?

x、y 的取值.

9

§2.3.1 平面向量的基本定理(预学案)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标
了解平面向量基本定理, 掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示, 理 解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法, 能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他 向量都能够用基底来表达;事物之间的相互转化.







高考要求:B 级

课前准备 (预习教材 P68 ~ P69,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1.平面向量的基本定理:如果 e1 , e 2 是同一平面内两个 的任一向量,那么有且只有一对实数 ?1 , ? 2, 使 向量 e1 , e 2 叫做表示这一平面内所有向量的基底。 2.我们把________________ e1 , e 2 叫做这一平面内所有向量的一组__________. 3. 一个平面向量用一组基底 e1 , e 2 表示成 a ?? 1 e1 ? ?2 e2 的形式,我们称它为向量 a 的 ___________, 当 e1 , e 2 所 在 直 线 ___________________, 这 种 分 解 也 称 为 向 量 a 的 ________________.

? ?

的向量, a 是这一平面内 。其中,不共线的这两个

?

? ?

? ?

? ?

?

?

二、小试身手、轻松过关
1. 设 e1 , e 2 是同一平面内所有向量的一组基底,则以下各组向量中,不能作为基底的是 ( A. C. )

? ?

? ? ? ? e1 + e 2 和 e1 - e 2 ? ? ? ? e1 +2 e 2 和 2 e1 + e 2

B. D.

2 e1 -3 e 2 和 4 e1 -6 e 2

?

?

?

?

? ? ? e1 + e 2 和 e 2

7.已知AM是△ABC的BC边上的中线,若 AB = a , AC = b ,则 AM =(

?

?



? ? 1 ( a- b ) 2 ? ? 1 C.- ( a + b ) 2
A.

B. -

? ? 1 ( a- b ) 2 ? ? 1 D. ( a + b ) 2
10

§2.3.1 平面向量的基本定理(作业)
完成时间: 年 月 日
一、 【基础训练、锋芒初显】
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1. 已知 e1 , e 2 不共线, a = ?1 e1 + e 2 , b =4 e1 +2 e 2 ,并且 a , b 共线,则下列各式正确
的是( ) A. ?1 =1, B. ?1 =2, C. ?1 =3, D. ?1 =4

? ? ? ? ? ? CB = e1 +3 e 2 , CD 2、 已知 e1 , e 2 是同一平面内两个不共线的向量, 且 AB =2 e1 +k e 2 ,
=2 e1 - e 2 ,如果A,B,D三点共线,则k的值为

?

?



? ? 3.已知ABCDEF是正六边形, AB = a , AE = b ,则 BC =( ) ? ? ? ? 1 1 A. ( a - b ) B. - ( a - b ) 2 2 ? 1 ? ? ? 1 C. a + b D. ( a + b ) 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.如果3 e1 +4 e 2 = a ,2 e1 +3 e 2 = b ,其中 a , b 为已知向量,则 e1 =



? e2 =

.

二、 【举一反三、能力拓展】 ? ? ? ? ? ? ? ? 1.当k为何值时,向量 a =4 e1 +2 e 2 , b =k e1 + e 2 共线,其中 e1 、 e 2 是同一平面
内两个不共线的向量。

? ? ? ? 2.若向量 a 的一种正交分解是 a = e1 + e 2 ,且 e1

? 2e 2

=2,则 a ? _____.

11

§2.3.2(1)平面向量的坐标运算(预学案)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标
1.理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系; 2.正确地用坐标表示向量,对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的 关系来用坐标表示; 3.掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。







高考要求:B 级

课前准备 (预习教材 P70 ~ P71,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、两个向量和差的坐标运算 已知: a ? (x 1 ,y 1 ),b ? (x 2 ,x 2 ), ? 为一实数 则 a ? b ? (x 1i ? y j ) ? (x 2i ? y 2 j )=______________________; 即 a ? b =_____________________________。 同 理 将 a ? b =_____________ 这 就 是 说 , 两 个 向 量 和 ( 差 ) 的 坐 标 分 别 等 于 ______________________。 2、数乘向量和坐示运算

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

?

?

?a ? ?(x1i ? y 1j )=____________
即 ? a =____________________________ 这就是说, 实数与向量的积的坐标等于: _______________________________________。 3、向量 AB 的坐标表示 若已知 A(x1,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ) ,则 AB =_____________=___________________即一个向 量的坐标等于此向量的有向线段的________________________。

?

?

? ?

?

???

???

二、小试身手、轻松过关
? ? ? ? ? ? 1、设 a ? (1,?3),b ? (?2,4),c ? (0,5) 则 3a ? b ? c =_________________
2、若点 A(-2,1) ,B(1,3) ,则 AB =___________________________

???

12

§2.3.2 平面向量的坐标运算(作业)
完成时间:
1、P75、T1







一、 【基础训练、锋芒初显】

2、P75、T4(2)

3 知 a ? (3,?1),b ? (?1,2),c ? 2a ? b 则 C =( A. (6,-2) B. (5,0) C. (-5,0)

?

?

?

?

?

? ?



D. (0,5)

二、 【举一反三、能力拓展】
1 求证:设线段 AB 两端点的坐标分别为 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ) ,则其中点 M(x,y)的坐 标公式是: x ?

x1 ? x2 y ? y2 。 ,y ? 1 2 2

2 利用上题公式,若已知 A(-2,1) ,B(1,3)求线段 AB 中点的 M 的坐标.

13

§2.3.2(2)平面向量的坐标运算(预学案)
课时:第二课时 预习时间:
学习目标 . 1.掌握两向量平行时坐标表示的充要条件;
2.能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。







高考要求:B 级

课前准备 (预习教材 P73 ~ P74,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、两向量平行(共线)的条件 若 a // b(b ? 0) 则存在唯一实数 使 a // ? b ;反之,存在唯一实数 ? 。 使 a // ? b ,则 a // b 2、两向量平行(共线)的坐标表示 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,其中 b ? 0 则 a // b 等价于______________________。

? ? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

二、小试身手、轻松过关 ? ? ? ? 1、已知 a ? (?1,3),b ? (x ,?1) ,且 a // b ,则 x=(
A.3 B.-3 C.



1 3

D. ?

1 3

2、已知 a ? (?6,y ),b ? (?2,1) 且 a 与 b 共线,则 x=( A.-6 B.6 C.3 D.-3

?

?

?

?

)

? ??? ? 3、已知 A(2, ?1), B(3,1) 与 AB 平行且方向相反的向量 a 的是(
A. a ? (1, )



?

1 2

B. a ? (?6, ?3)

?

C. a ? ( ?1, 2)

?

D. a ? (?4, ?8) )

?

4、已知 A(1,?3), B(8, ) ,且 A、B、C 三点共线,则 C 点的坐标是( A. (?9,1) B. (9, ?1) C. (9,1) D.(-9,-1)

1 2

14

§2.3.2 平面向量的坐标运算(作业)
完成时间: 年 月 日
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、已知

? ??? ? ??? A(?2,?3), B(2,1), C (1,4), D(?7,?4) 判断 AB 与 CD 是否共线?

2、P75、T7

3、P75、T8

二、 【举一反三、能力拓展】
1、平面内给定三个向量 a (1)求 3a ? b ? 2c; (2)求满足 a

? (3,2), b ? (?1,2), c ? (4,1)

? mb ? nc 的实数 m, n ;

(3)若 ( a ? k c ) // ( 2b ? a ) ,求实数 k .

2 已知△ABC 三个顶点 ABC 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),

C(x3,y3),求△ABC 的重心 G 的坐标.

15

§2.4 向量的数量积(1)(预学案)
课时:第一课时 学习目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义; 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件;

预习时间:







高考要求:C 级 课前准备(预习教材 P76 ~ P77,完成以下内容并找出疑 一、 【知识梳理、双基再现】
1._____________________________ __________叫做 a与b 的夹角。

惑之处)

? ?

2.已知两个______向量 a与b , 我们把______________叫 a与b 的数量积。 (或________) 记 作 ___________ 即 a ? b = ______________________ 其 中 ? 是 a与b 的 夹 角 。 ______________________叫做向量 a在 b 方向上的___________。(见链接部分) 3.零向量与任意向量的数量积为___________。 4.平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非零向量: ① a ? b ? ___________ ②当 a与b 同向时,a ? b = 特别地, a ? a = ③ cos? = 5. a ? b 的几何意义:______________________________。 b cos? 的几何意义: 或a=

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

__

a ? b =_____ 当 a与b 反向时,


? ?

? ?

__,

?

b, c 与实数 ? 。 6.向量的数量积满足下列运算律:已知向量 a,
① a ? b =___________(______律) ② ? a ? b =___________=

???

? ?

? ?

?

?

=

③ a+b ? c =_________

?

? ? ?

?

__

二、 【小试身手、轻松过关】 ? ? ? ? ?? b= ___________。 1.已知 a =4, b =2且a与b 的夹角为 120?,则 a、 ? ? ? ? 3 ,b= 5 2.已知 a ? b =12, 且 a= , 则 a, b 夹角的余弦值为________。 (正弦值= ) ? ? 3. 已知 ?ABC 中, AB ? AC ? 4, AB ? AC ? 8 ,则这三角形的形状为______________ ? ? ? ? ? ? 4. a =3, b =5,a+? b与a-? b 垂直,则 ? =___________。

16

§2.4 向量的数量积(1)(作业)
课时:第一课时 三、 【基础训练、锋芒初显】
1. a ? 1, b ? 2, (a ? b) ? a ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为
2 2

完成时间:
? ??









2. 已知 a =6,e 是单位向量,它们之间夹角是 45 ?,则 a 在 e 方向上的投影为 _____ ___, e 在 a 方向上的投影为 3. 边 长 为 。

?

?

2 的 等 边 三 角 形 ABC 中 , 设 AB ? c, BC ? a, CA ? b 则


? ? ? ? a ? b+c ? a等于

4.有下面四个关系式①0. 0 =0;② a ? b c=a(b ? c); ③ a ? b=b ? a, ④ 0.a=0 ,其中正确 的有 个。

?

?

? ? ? ? ? ?

?

? ? ? ?

?

? ? ? ? 5. a =1, b =2 则 a与b 的夹角为 120?,则 a ? 2b ? (2a ? b) 的值为 ??? ? ? ??? ? ? ? ? 6. ?ABC 中, AB=a,BC=b,且a ? b <0,则 ?ABC 为 三角形。

?

?



四、 【举一反三、能力拓展】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.向量 a与b 夹角为 , a ? 2, b ? 1求 a ? b ? a ? b 的值。 3

b 满足 a =13, b =19, a+b =24, 求 a ? b 。 8.已知向量 a、

??

?

?

? ?

? ?

e 2 是两个垂直的单位向量,且 a= ? 2e1 +e 2 ,b=e1 ? ? e 2 . 9.设 e1、
(1)若 a // b , 求 ? 的值。 (2)若 a ? b,求? 的值。

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

§2.4 向量的数量积(2)(预学案)
17

课时:第二课时 学习目标

预习时间:







1.掌握两个向量数量积的坐标表示方法; 2.掌握两个向量垂直的坐标条件; 3.能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。

高考要求:C 级 课前准备 (预习教材 P78~ P79,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、 【知识梳理、双基再现】
1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a= ? x1 ? y1 ? ,b= ? x 2 ? y 2 ? ,a ? b= 这就是说: (文字语言)两个向量的数量积等于 如:设 a =(5,-7),b=(-6,-4),求 a ? b = 2.平面内两点间的距离公式 ①设 a=(x,y), 则 a = ________________或 a =________________。 ②如果有向线段 AB 的起点为 A( x1 , y1 ) 和终点 B( x2 , y 2 ) ,则 AB =______________ _________(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定设 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , 则 a ? b ? _____________ ____ 如:已知 A(1,2), B(2,3), C(-2,5),求证 ?ABC 是直角三角形。 4.两向量夹角的余弦(0≤ ? ≤ ? )

?

?

? ?

(坐标形式) 。 。 。

?

?

?

?2

?

?

?

cos ? =______________________(向量表示)=______________________(坐标表示) ? ? ??? ? ? ? ? ??? 如: 已知 A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且 a ? BC , b ? CA ,则 a 与 b 的夹角为___________。

二、 【小试身手、轻松过关】 ? ? ?2 ? ? 1.已知 a ? (?4,3), b ? (5, 6) 则 3 a ? 4a ? b= 。 ? ? ? ?? 2.已知 a ? 3,4 ? ,b= ? ?5,12 ? 则 a与 b 夹角的余弦为 ? ? ? ? ? ? 3. a= ? 2,3? ,b=( ? 2,4), 则 a+b ? a-b = ___ _。 ? ? ? ? 3? 且a ? b 则 ?=__________。 4.已知 a= ? 2,1? ,b= ? ?,



?

?? ?

5.已知 a ? b ? (2,?8) , a ? b ? (?8,16) ,则 a ? b ?



§2.4 向量的数量积(2)(作业)
课时:第二课时 完成时间:
18







三、 【基础训练、锋芒初显】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 3b ? a+2b = ______ _ 。 1. a=( ? 4,7);b=(5,2) 则 a ? b= _____, a =_____ ? 2. 与 a= ? 3,4 ? 垂 直 的 单 位 向 量 是 ____ _____ ,平行的单位向量

?

??

?





3. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在 b 方向上的投影为_____ 4. A(1,0) B.(3,1)

?

?

?

____。

C.(2,0)且 a=BC,b=CA 则 a与b 的夹角为_____ 三角形。

? ??? ? ? ??? ?

? ?

__ 。

5.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ?ABC 为

6.已知 a+b=2i ? 8j,a ? b= ? 8i+16j那么a ? b= _______ (其中 i, j 为两个相互垂直的单位 向量) 7.已知 a=( ? 3,4),b=(5,2),c=(1, ? 1), 则 a ?b ?c 等于 8.若 a=( ? 2,1) 与

? ?

?

?? ?

?

?

? ?

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?

?

?

? ?

? ? ?

。 。

?

? m b=( ? 1, ? ) 互相垂直,则 m 的值为 5
?

四、 【举一反三、能力拓展】
9.求①与 a=(2,1)平行,且大小2 5的向量b ②与 a ? (2,1) 垂直,且大小 2 5 的向量 c 。

?

10.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明 理由;若能,求 C 坐标。

§2.4 向量的数量积(3)(预学案)
课时:第三课时
19

预习时间:







学习目标
1.灵活进行向量数量积的两种运算方法(向量运算、坐标运算); 2.能灵活运用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直等几何问题。

高考要求:C 级 一、 【知识梳理、双基再现】
? 1. a =2 ? ?? b = 2且a,b 夹角为 450,

? ? ? 使 ? b-a与a 垂直,则 ? =______



? ? ? ?? ? ? ? 2. a=(1,2),b=(x,1)且a+2b与2a ? b平行,则x= _______
? ? ? ? ? 3. a=(1,2),b=(1,0)若a+? b与a共线则?= _______。



? ? ? ? 4. a=(2,1) b=(1,0)若a与b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围为_________。 ? ? ? ? ? 5.若 a=(0,1),b=(1,1),且(a+? b) ? a ,则实数 ? 的值为

。 )

? ? 6.若 a=(2x ? 2, ? 3)与b=(x+1,x+4) 互相垂直,则实数 X 的值为(

二、 【小试身手、轻松过关】
b=(x,1)且(a+2b) ? (2a ? b) ,则 x 的值为 7.已知 a(1,2),
8.若 e1 =(5, ? 5),e2 =(0,3),e1与e 2的夹角为?,则sin? =_________。
9.已知 a ? (1, 3 ) , b ? ( 3 ? 1, 3 ? 1) ,则 a 与 b 的夹角是 。

?

?

?

?

? ?



??

?? ?

?? ?? ?

10.如图,AD,BE,CF 是△ABC 的三条高.求证: AD,BE,CF 相交于一点.

A F H B C E

D

§2.4 向量的数量积(3)(作业)
课时:第三课时 三、 【基础训练、锋芒初显】
20

完成时间:







11.设 a, b, c 是任意的平面向量,下列命题中正确的是 ① (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ? 0 ④ a ?b ? 0 ? a ? b ②a ?a
2 2
2

。 ③ ( a ? b) 2 ? a ? b
2 2 2

⑤ (3a ? 2b)(3a ? 2b) ? 9a ? 4b

12.若平面四边形 ABCD满足 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD) ? AC ? 0 ,则四边形一 定是 。

(平行四边形、梯形、菱形、等腰梯形、正方形、长方形)

13.已知 a ? 1, b ? 3, a ? b ? ( 3,1) ,试求: ① a ?b ? ,② a ? b 与 a ? b 的夹角为 。

四、 【举一反三、能力拓展】 ? ? , 14.已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时,
? ? ? ? (1) ka ? b与a ? 3b 垂直? ? ? ? ? (2) ka ? b与a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

15.已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,与直线 l 2 : x ? 3 y ? 2 ? 0 ,求两直线的夹角的 余弦值?

§2.5 向量的应用(预学案)
课时:一课时 学习目标
1.经历用向量方法解决简单的几何问题、力学问题的过程;
21

预习时间:







2.体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力我解决实际问题的能力。

高考要求:A 级 一、 【小试身手、轻松过关】 1、 ? ABCD 的三个顶点坐分别为 A(-2,1),B(-1,3) ,C(3.4)则顶点 D 的 坐标为 。 ??? ?? ?? ? ??? ?? ? ??? 2. ? ABCD 中心为 0,P 为该平向任一点,且 po ? a ,则 PA +PB +PC+PD = ______ 。
3.某人骑自行车的确速度为 v1 ,风速为 v2 ,则逆风行驶的速度在大小为 。

4.已知一物体在共点力 F1 ? (lg 2, lg 2), F2 ? (lg 5, lg 2) 的作用下产生位移 s ? (2 lg 5,1) 则 共点力对物体做的功 W 为 。
?

5. 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm , 灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20 , 灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 B 的距离为
?



二、 【基础训练、锋芒初显】 6. ?ABC 的顶点 A (-2, 3) ,B. (4, -2) , 重心 G (2, -1) 则 G 点的坐标为__________
??? ??? 5.如右图,已知平行四边形 ABCD、E、E 在对角线 BD 上,并且 BE =FD .

求证:ABCF 是平行四边形。

A F B E C

D

7.在水流速度为 4 3km/ h 的河水中,一艘船以 12km/h 的速度垂直对岸行驶, 求这艘船实际航行速度的大小与方向。

§2.5 向量的应用(作业)
课时:一课时 完成时间: 年 一、 【举一反三、能力拓展】 1.求证:平行四边形两条对角线的平行和等于四条边平方和。 月 日

22

? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ?? ? ? ? 2.已知四边形 ABCD, AB =a ,BC ? b ,CD ? c ,DA ? d , a ? d , b ? c ,0 是
? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ??? BD ,并 证明 A、0、C 三点等线,且 AC ? BD 。 BD 的中点,试用 a ,b ,c ,d 表示AB,

四、 【举一反三、能力拓展】 3.一辆汽车从 A 地出发向西行驶了 100km 到过 B 地,然后又改变方向向北偏西 0 40 走了 200km 到达 C 地,最后又改变方向,向东行驶了 100km 到达 D 地,求这 辆汽车的位移。

4.如图,用两根绳子把质量为 10kg 的物体 W 吊在水平横杆 AB 上,∠ACW= 1500,∠BCW=1200,求物体平衡时, A 和 B 处所受力的大小。 (绳子质量忽略不计) , g=10N/kg) 。
A B

C

G(W)

23



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