陕西省汉中市汉台中学高二数学下学期期中试题 文-课件

2015-2016 年第二学期高二文科数学期中试题
一．选择题：（共 12 题，每题 5 分） 1．设 i 为虚数单位，则复数 A．1 2．“sinx= A．充要条件 B．I ”是“x= 的虚部是（ C．﹣1 ”的（ ） C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 ） ） D．﹣i

B．充分不必要条件

3．“若 x，y∈R 且 x 2 ? y 2 ? 0 ，则 x，y 全为 0”的否命题是（ A．若 x，y∈R 且 x 2 ? y 2 ? 0 ，则 x，y 全不为 0 B．若 x，y∈R 且 x 2 ? y 2 ? 0 ，则 x，y 不全为 0 C．若 x，y∈R 且 x，y 全为 0，则 x 2 ? y 2 ? 0 D．若 x，y∈R 且 xy≠0，则 x 2 ? y 2 ? 0

4．某大学共有本科生 5000 人，其中一、二、三、四年级的人数比为 4：3：2：1，要用分层 抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本， 则应抽取三年级的学生人数为 （ ） A．20
2

B．40

C．60 ）

D．80

5. 不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为（

A. {x | x ? 3或x ? ?1} B. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | ?3 ? x ? 1} D. {x | x ? ?3或x ? 1} 6．函数 f（x）=ax3﹣x 在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数 a 的取值范围是（ A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜ ）

7．已知 x、y 取值如下表： x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 ）

从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 y=0.95x+a，则 a=（

1

A．1.30

B．1.45

C．1.65

D．1.80

8．当 x＞1 时，不等式

恒成立，则实数 a 的取值范围是（

）

A．（﹣∞，2） B．[2，+∞] C．[3，+∞] D．（﹣∞，3） 9．执行程序框图，如果输入的 t∈[﹣1，3]，则输出的 s 属于（

）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5] 10． 从一批产品中取出三件产品， 设 A={三件产品全是正品}，B={三件产品全是次品}，C={三 件产品不全是次品}，则下列结论不正确的是（ A．A 与 B 互斥且为对立事件 C．A 与 C 存在着包含关系
2

）

B．B 与 C 为对立事件 D．A 与 C 不是互斥事件 时， f （x） =sinx+ D． p∧（￢q）

11． 已知命题 p： ? x∈R， 使 x ? 2x ? 5 ? 4 ； 命题 q： 当 的最小值为 4．下列命题是真命题的是（ ） A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q

12．设 f（x）、g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x＜0 时，f′（x）g（x） +f（x）g′（x）＞0．且 g（3）=0．则 不等式 f（x）g（x）＜0 的解集是（ A．（﹣3，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
2

）

二．填空题：（共 4 题，每题 5 分） 13．命题“? x∈R， x ≥0”的否定是
2

．

14．函数 y=f（x）的图象在点 M（1，f（1））处的切线方程是 y=3x﹣2， 则 f（1）+f′（1）=
3

．

15． 直线 y＝a 与函数 f(x)＝x －3x 的图象有三个相异的公共点， 则 a 的取值范围是________． 16．下列命题正确的序号是 ①命题“若 a＞b，则 2a＞2b”的否命题是真命题； ②命题“a、b 都是偶数，则 a+b 是偶数”的逆否命题是真命题； ③若 p 是 q 的充分不必要条件，则￢p 是￢q 的必要不充分条件； ④方程 ax2+x+a=0 有唯一解的充要条件是 a=± ． 三．解答题：（共 6 道题，合计 70 分） 17．（10 分）给定两个命题，P：对任意实数 x 都有 ax2+ax+1＞0 恒成立；Q：关于 x 的方程 x2﹣x+a=0 有实数根；如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a 的取值范围．

18．（12 分）已知奇函数 f（x）= （1）求 c 的值；

（c∈R）．

（2）当 x∈[2，+∞）时，求 f（x）的最小值．

19．（12 分）某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图：： （1）求图中 a 的值； （2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分； （3）现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生，将该样本看成一个总体， 从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率？

3

20．（12 分）已知函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值． （1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间； （2）若对 x∈[﹣1，2]，不等式 f（x）＜c2 恒成立，求 c 的取值范围． 21.（12 分）设 f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求 f（x）≤x+2 的解集； （2）若不等式 f（x）≥ 对任意实数 a≠0 恒成立，求实数 x 的取值范围．

22．（12 分）已知函数 f（x）=ax+lnx（a∈R）． （1）若 a=2，求曲线 y=f（x）在 x=1 处切线的斜率； （2）求 f（x）的单调区间； （3）设 g（x）=x2﹣2x+2，若对任意 x1∈（0，+∞），均存在 x2∈[0，1]， 使得 f（x1）＜g（x2），求 a 的取值范围．

高二数学期中考试文科答案
4

一． 选择题： CCBBD ABDAA DD 二． 填空题： 2 13． ? x∈R，x ＜0 ． 15． (-2,2) 三．解答题： 17．解：对任意实数 x 都有 ax2+ax+1＞0 恒成立

16．

14． ①②③

4

?0≤a＜4；

关于 x 的方程 x2﹣x+a=0 有实数根 如果 P 正确，且 Q 不正确，有 如果 Q 正确，且 P 不正确，有 所以实数 a 的取值范围为

；??????(4 分) ； ．??????(8 分) ．??????.(10 分)

18．解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴ =﹣ = ，

比较系数得：c=﹣c，∴c=0， ∴f（x）= =x+ ；???????????????..(6 分) ，

（Ⅱ）∵f（x）=x+ ，∴f′（x）=1﹣ 当 x∈[2，+∞）时，1﹣ ＞0，

∴函数 f（x）在[2，+∞）上单调递增， ∴f（x）min=f（2）= ．???????????????.(12 分) 19． 解： （1） 由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1， 所以 a=0.005． ?.(3 分) （2）由直方图分数在[50，60]的频率为 0.05，[60，70]的频率为 0.35，[70，80]的频率为 0.30，

5

[80，90]的频率为 0.20，[90，100]的频率为 0.10，所以这 100 名学生期中考试数学成绩的 平均分的估计值为： 55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5?????????（6 分） （3）由直方图，得： 第 3 组人数为 0.3×100=30。 第 4 组人数为 0.2×100=20 人， 第 5 组人数为 0.1×100=10 人． 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生， 每组分别为： 第 3 组： 第 4 组： 第 5 组： 人， 人， =1 人．

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人．? 设第 3 组的 3 位同学为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 位同学为 B1，B2，第 5 组的 1 位同学为 C1，则 从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下： （A1，A2），（A1，A3），（B1，B2），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2， B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1）， 其中恰有 1 人的分数不低于 90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1， C1），（B2，C1），共 5 种．? 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 分） 20．解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b 由 解得， ??????????（12

f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数 f（x）的单调区间如下表：
6

x

（﹣∞，﹣ ）﹣ 0

（﹣ ，1）1 ﹣ 0

（1，+∞） +

f′（x）+ f（x） ↑

极大值↓

极小值↑

所以函数 f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣ ）和（1，+∞）， 递减区间是（﹣ ，1）．?????????????????.(6 分) （2） 当 x=﹣ 时，f（x）=
2

， +c 为极大值，而 f（2）=2+c，所以 f（2）=2+c 为最大值．
2

要使 f（x）＜c 对 x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需 c ＞f（2）=2+c． 解得 c＜﹣1 或 c＞2．?????????????????????..(12 分) 21．解：（1）由 f（x）≤x+2 得： 或 即有 1≤x≤2 或 0≤x＜1 或 x∈?， 解得 0≤x≤2， 所以 f（x）≤x+2 的解集为[0，2]； ??????????????????(6 分) （2） =|1+ |﹣|2﹣ |≤|1+ +2﹣ |=3， 或 ，

当且仅当（1+ ）（2﹣ ）≤0 时，取等号． 由不等式 f（x）≥ 对任意实数 a≠0 恒成立，

可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即

或

或

，

解得 x≤﹣ 或 x≥ ， 故实数 x 的取值范围是 （﹣∞， ﹣ ]∪[ ， +∞） ． ?????????????????.(12 分)
7

22．解：（1）由已知

，则 f'（1）=2+1=3．

故曲线 y=f（x）在 x=1 处切线的斜率为 3； ???????????????..(2 分) （2） ．

①当 a≥0 时，由于 x＞0，故 ax+1＞0，f'（x）＞0 所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． ②当 a＜0 时，由 f'（x）=0，得 在区间 ． 上 f'（x）＜0， ， ；????????????(6 分)

上，f'（x）＞0，在区间

所以，函数 f（x）的单调递增区间为 单调递减区间为

（3）由已知，转化为 f（x）max＜g（x）max， 因为 g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]， 所以 g（x）max=2 由（2）知，当 a≥0 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为 R，故不符合题意． 当 a＜0 时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增，在（﹣ ，+∞）上单调递减， 故 f（x）的极大值即为最大值，f（﹣ ）=﹣1+ln（﹣ ）=﹣1﹣ln（﹣a）， 所以 2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得 a＜﹣ ．?????????????????.(12 分)

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