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陕西省汉中市汉台中学高二数学下学期期中试题 文-课件



2015-2016 年第二学期高二文科数学期中试题
一.选择题:(共 12 题,每题 5 分) 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.1 2.“sinx= A.充要条件 B.I ”是“x= 的虚部是( C.﹣1 ”的( ) C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) ) D.﹣i

B.充分不必要条件

3.“若 x,y∈R

且 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 全为 0”的否命题是( A.若 x,y∈R 且 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 全不为 0 B.若 x,y∈R 且 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 不全为 0 C.若 x,y∈R 且 x,y 全为 0,则 x 2 ? y 2 ? 0 D.若 x,y∈R 且 xy≠0,则 x 2 ? y 2 ? 0

4.某大学共有本科生 5000 人,其中一、二、三、四年级的人数比为 4:3:2:1,要用分层 抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样本, 则应抽取三年级的学生人数为 ( ) A.20
2

B.40

C.60 )

D.80

5. 不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为(

A. {x | x ? 3或x ? ?1} B. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | ?3 ? x ? 1} D. {x | x ? ?3或x ? 1} 6.函数 f(x)=ax3﹣x 在(﹣∞,+∞)内是减函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a< )

7.已知 x、y 取值如下表: x y 0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 )

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且线性回归方程为 y=0.95x+a,则 a=(

1

A.1.30

B.1.45

C.1.65

D.1.80

8.当 x>1 时,不等式

恒成立,则实数 a 的取值范围是(



A.(﹣∞,2) B.[2,+∞] C.[3,+∞] D.(﹣∞,3) 9.执行程序框图,如果输入的 t∈[﹣1,3],则输出的 s 属于(



A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 10. 从一批产品中取出三件产品, 设 A={三件产品全是正品},B={三件产品全是次品},C={三 件产品不全是次品},则下列结论不正确的是( A.A 与 B 互斥且为对立事件 C.A 与 C 存在着包含关系
2



B.B 与 C 为对立事件 D.A 与 C 不是互斥事件 时, f (x) =sinx+ D. p∧(¬q)

11. 已知命题 p: ? x∈R, 使 x ? 2x ? 5 ? 4 ; 命题 q: 当 的最小值为 4.下列命题是真命题的是( ) A.p∧q B.(¬p)∧(¬q) C.(¬p)∧q

12.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)>0.且 g(3)=0.则 不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(﹣3,0)∪(3,+∞) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)
2



二.填空题:(共 4 题,每题 5 分) 13.命题“? x∈R, x ≥0”的否定是
2



14.函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y=3x﹣2, 则 f(1)+f′(1)=
3



15. 直线 y=a 与函数 f(x)=x -3x 的图象有三个相异的公共点, 则 a 的取值范围是________. 16.下列命题正确的序号是 ①命题“若 a>b,则 2a>2b”的否命题是真命题; ②命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是真命题; ③若 p 是 q 的充分不必要条件,则¬p 是¬q 的必要不充分条件; ④方程 ax2+x+a=0 有唯一解的充要条件是 a=± . 三.解答题:(共 6 道题,合计 70 分) 17.(10 分)给定两个命题,P:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立;Q:关于 x 的方程 x2﹣x+a=0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(12 分)已知奇函数 f(x)= (1)求 c 的值;

(c∈R).

(2)当 x∈[2,+∞)时,求 f(x)的最小值.

19.(12 分)某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图:: (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (3)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体, 从中随机抽取 2 名,求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

3

20.(12 分)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=﹣ 与 x=1 时都取得极值. (1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间; (2)若对 x∈[﹣1,2],不等式 f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围. 21.(12 分)设 f(x)=|x﹣1|+|x+1|. (1)求 f(x)≤x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≥ 对任意实数 a≠0 恒成立,求实数 x 的取值范围.

22.(12 分)已知函数 f(x)=ax+lnx(a∈R). (1)若 a=2,求曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的斜率; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=x2﹣2x+2,若对任意 x1∈(0,+∞),均存在 x2∈[0,1], 使得 f(x1)<g(x2),求 a 的取值范围.

高二数学期中考试文科答案
4

一. 选择题: CCBBD ABDAA DD 二. 填空题: 2 13. ? x∈R,x <0 . 15. (-2,2) 三.解答题: 17.解:对任意实数 x 都有 ax2+ax+1>0 恒成立

16.

14. ①②③

4

?0≤a<4;

关于 x 的方程 x2﹣x+a=0 有实数根 如果 P 正确,且 Q 不正确,有 如果 Q 正确,且 P 不正确,有 所以实数 a 的取值范围为

;??????(4 分) ; .??????(8 分) .??????.(10 分)

18.解:(Ⅰ)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x), ∴ =﹣ = ,

比较系数得:c=﹣c,∴c=0, ∴f(x)= =x+ ;???????????????..(6 分) ,

(Ⅱ)∵f(x)=x+ ,∴f′(x)=1﹣ 当 x∈[2,+∞)时,1﹣ >0,

∴函数 f(x)在[2,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(2)= .???????????????.(12 分) 19. 解: (1) 由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1, 所以 a=0.005. ?.(3 分) (2)由直方图分数在[50,60]的频率为 0.05,[60,70]的频率为 0.35,[70,80]的频率为 0.30,

5

[80,90]的频率为 0.20,[90,100]的频率为 0.10,所以这 100 名学生期中考试数学成绩的 平均分的估计值为: 55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5?????????(6 分) (3)由直方图,得: 第 3 组人数为 0.3×100=30。 第 4 组人数为 0.2×100=20 人, 第 5 组人数为 0.1×100=10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, =1 人.

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.? 设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学为 C1,则 从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: (A1,A2),(A1,A3),(B1,B2),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2, B2),(A3,B1),(A3,B2),(A1,C1),(A2,C1),(A3,C1),(B1,C1),(B2,C1), 其中恰有 1 人的分数不低于 90(分)的情形有:(A1,C1),(A2,C1),(A3,C1),(B1, C1),(B2,C1),共 5 种.? 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 分) 20.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b 由 解得, ??????????(12

f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函数 f(x)的单调区间如下表:
6

x

(﹣∞,﹣ )﹣ 0

(﹣ ,1)1 ﹣ 0

(1,+∞) +

f′(x)+ f(x) ↑

极大值↓

极小值↑

所以函数 f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣ )和(1,+∞), 递减区间是(﹣ ,1).?????????????????.(6 分) (2) 当 x=﹣ 时,f(x)=
2

, +c 为极大值,而 f(2)=2+c,所以 f(2)=2+c 为最大值.
2

要使 f(x)<c 对 x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需 c >f(2)=2+c. 解得 c<﹣1 或 c>2.?????????????????????..(12 分) 21.解:(1)由 f(x)≤x+2 得: 或 即有 1≤x≤2 或 0≤x<1 或 x∈?, 解得 0≤x≤2, 所以 f(x)≤x+2 的解集为[0,2]; ??????????????????(6 分) (2) =|1+ |﹣|2﹣ |≤|1+ +2﹣ |=3, 或 ,

当且仅当(1+ )(2﹣ )≤0 时,取等号. 由不等式 f(x)≥ 对任意实数 a≠0 恒成立,

可得|x﹣1|+|x+1|≥3,即







解得 x≤﹣ 或 x≥ , 故实数 x 的取值范围是 (﹣∞, ﹣ ]∪[ , +∞) . ?????????????????.(12 分)
7

22.解:(1)由已知

,则 f'(1)=2+1=3.

故曲线 y=f(x)在 x=1 处切线的斜率为 3; ???????????????..(2 分) (2) .

①当 a≥0 时,由于 x>0,故 ax+1>0,f'(x)>0 所以,f(x)的单调递增区间为(0,+∞). ②当 a<0 时,由 f'(x)=0,得 在区间 . 上 f'(x)<0, , ;????????????(6 分)

上,f'(x)>0,在区间

所以,函数 f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为

(3)由已知,转化为 f(x)max<g(x)max, 因为 g(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,x∈[0,1], 所以 g(x)max=2 由(2)知,当 a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,值域为 R,故不符合题意. 当 a<0 时,f(x)在(0,﹣ )上单调递增,在(﹣ ,+∞)上单调递减, 故 f(x)的极大值即为最大值,f(﹣ )=﹣1+ln(﹣ )=﹣1﹣ln(﹣a), 所以 2>﹣1﹣ln(﹣a),解得 a<﹣ .?????????????????.(12 分)

8



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