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江苏省灌云县第一中学2014-2015学年高一数学暑期作业(套卷)(6)



数学暑假作业(六)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填在题) 1.角 α ,β 的终边关于 x 轴对称,若 α =30°,则 β =________. 2x ,x<0, ? ? 2.已知函数 f(x)=? π -tan x,0≤x< , ? 2 ?
3

则 f(f(

/>π ))=________. 4

2 π 3.函数 y=3cos( x- )的最小正周期是________. 5 6 π 3π 4.已知角 θ 的终边经过点 P(-4cosα ,3cosα )( <α < ),则 sin θ +cos θ 2 2 =_____. 1 3 5.如果 sin(π +A)=- ,则 cos( π -A)=________. 2 2 6.已知 tan θ =2,则 sin θ =________. 3 sin θ -cos θ
3 2

7.已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是________. 8.函数 y= 25-x +log3sin(π -x)的定义域为________. π π 2π 9.函数 y=2cos(x- )( ≤x≤ )的最大值和最小值之积为________. 3 6 3 π π 10.将函数 y=sin(3x+ )的图象向右平移 个单位,再将图象上各点的横坐标扩 4 8 大到原来的 3 倍(纵坐标不变),则所得的函数解析式是________. π 4π 11.设 ω >0,函数 y=sin(ω x+ )+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合, 3 3 则 ω 的最小值是________. π 12.如图 1 为函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(ω >0,A>0,|φ |< )图象的一部分, 2 则 f(x) 的解析式为________. π 13.函数 y=2sin(2x+ )在[0,π ]上的单调增区间为________. 3 π 14.关于函数 f(x)=4sin(2x+ )(x∈R),有下列命题: 3 ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π ②y=f(x)的表达式可改为 y=4cos(2x- ); 6 ③y=f(x)的图象关于点(- π π ,0)对称; ④y=f(x)的图象关于直线 x=- 对称.其中 6 6
2

正确的命题是________.(把你认为正确的命题序号都填上) 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.) 15.求值 sin 120°+cos 180°+tan 45°-cos (-330°)+sin(-210°).
2 2

π 3π sin?α - ?cos? +α ?tan?π -α ? 2 2 16.已知 α 是第三象限角,且 f(α )= . tan?-α -π ?·sin?-π -α ?

17.已知函数 y=asin(2x+

π π )+b 在 x∈[0, ]上的值域为[-5,1],求 a,b 的值. 6 2

π 18.已知函数 f(x)=2sin(2x+ )+a+1(其中 a 为常数). 6 π (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 x∈[0, ]时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值; 2 (3)求 f(x)取最大值时 x 的取值集合.

1 19.将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍,再将曲线上各点的横坐标缩短 3 1 π 到原来的 倍,然后把整个曲线向左平移 ,得到函数 y=sin x 的图象,求函数 f(x)的解析 2 3 式,并画出函数 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图.

π 20.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0,ω >0,|φ |< )的一系列对应值如下表: 2

x y



π 6

π 3 1

5π 6 3

4π 3 1

11π 6 -1

7π 3 1

17π 6 3

-1

(1)根据表格提供的数据求出函数 f(x)的一个解析式; (2)根据(1)的结果,若函数 y=f(kx)(k>0)的周期为 =m 恰有两个不同的解,求实数 m 的取值范围. 2π π ,当 x∈[0, ]时,方程 f(kx) 3 3

数学暑假作业(六)参考答案
1.【解析】画出图形可知β 的终边与-α 的终边相同,故β =-30°+k·360°,k∈Z.【答 案】 -30°+k·360°,k∈Z 2.【解析】∵ π π π π π 3 ∈[0, ), ∴f( )=-tan =-1, ∴f(f( ))=f(-1)=2×(-1) 4 2 4 4 4

=-2.【答案】 -2 2π 3.【解析】 T= =5π . 2 5 【答案】 5π

4.解析】 ∵r= ?-4cos α ? +?3cos α ? =5|cos α |=-5cos α ,

2

2

3cos α 3 -4cos α 4 3 4 1 ∴sin θ = =- , cos α = = . ∴sin θ +cos θ =- + = .【答 -5cos α 5 -5cos α 5 5 5 5 案】 1 5

1 1 3 π 5.【解析】sin(π +A)=-sin A=- ,∴sin A= ,cos( π -A)=cos[π +( -A)]=- 2 2 2 2 π 1 1 cos( -A)=-sin A=- .【答案】 - 2 2 2 6. 【 解 析 】 【答案】 10 7 sin θ sin θ ?sin θ +cos θ ? tan θ +tan θ 2 +2 10 = = = 3 = . 3 3 3 3 sin θ -cos θ sin θ -cos θ tan θ -1 2 -1 7
3 2 2 3 3

l+2r=6, ? ? 7.【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为 α ,半径为 r,弧长为 l,则?1 lr=2, ? ?2
? ?r=1, ? ?l=4, ?

解得

或?

? ?r=2, ?l=2, ?

∴α =4 或 α =1.
2

【答案】 1 或 4
2

8.【解析】 ∵y= 25-x +log3sin(π -x)= 25-x +log3sin x,
? ?25-x ≥0, ∴要使函数有意义,则? ?sin x>0, ?
2

? ?-5≤x≤5, ∴? ?2kπ <x<2kπ +π ?k∈Z?, ?

∴-5≤x<-π 或 0<x<π .

【答案】 [-5,-π )∪(0,π )

π 2 π π π 1 π π 9. 【解析】 ∵ ≤x≤ π , ∴- ≤x- ≤ , ∴ ≤cos(x- )≤1, ∴1≤2cos(x- )≤2, 6 3 6 3 3 2 3 3 故所求最大值和最小值之积 1×2=2. 【答案】 2

π π π π 10.【解析】y=sin(3x+ )向右平移 个单位得 y=sin[3(x- )+ ],再将图象上各点的 4 8 8 4 π π 横坐标扩大到原来的 3 倍(纵坐标不变),得到 y=sin(x- ). 【答案】 y=sin(x- ) 8 8 4 4 11.【解析】由函数的图象向右平移 π 个单位后与原图象重合,得 π 是此函数周期的整数 3 3 2π 4 3 3 3 倍.又 ω >0,∴ ·k= π (k∈Z),∴ω = k(k∈Z),∴ω min= .【答案】 ω 3 2 2 2 3-?-1? 3+?-1? π 12.【解析】 A= =2,B= =1,由图可知 2sin φ =1,|φ |< ,所 2 2 2 π π π π 2 以φ = , 所以 2sin(-π ω + )+1=-1, 可得-π ω + =- , 所以 ω = , 所以 f(x) 6 6 6 2 3 2 π =2sin( x+ )+1. 3 6 2 π 【答案】 2sin( x+ )+1 3 6

13.【解析】由-

π π π 5 π +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z),解得- π +kπ ≤x≤ +kπ (k∈ 2 3 2 12 12

π 7 π 7 Z),令 k=0,1 得所求单调递增区间为[0, ],[ π ,π ]. 【答案】 [0, ],[ π ,π ] 12 12 12 12 π 14.【解析】 函数 f(x)=4sin(2x+ )的最小正周期 T=π ,由相邻两个零点的横坐标间的 3

T π π π π 距离是 = 知①错.利用诱导公式得 f(x)=4cos[ -(2x+ )]=4cos( -2x)=4cos(2x 2 2 2 3 6
π π - ), 知②正确. 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心, 将 x=- 代入得 f(x) 6 6 π π π =4sin[2×(- )+ ]=4sin 0=0,因此点(- ,0)是 f(x)图象的一个对称中心,故命题 6 3 6 π ③正确.曲线 f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=- 时 y 6 π π =0,点(- ,0)不是最高点也不是最低点,故直线 x=- 不是图象的对称轴,因此命题④ 6 6 不正确. 【答案】 ②③ -1+1-cos 30°+sin 30°=(
2

15.【解】 原式=( 3 2 3 2 1 1 ) -1+1-( ) + = . 2 2 2 2

3 2 ) 2

-cos α ·sin α ·?-tan α ? 16.【解】 (1)f(α )= =-cos α . -tan α ·sin α 3π π 1 (2)∵cos(α - )=cos(-3· +α )=-sin α = , 2 2 5 1 ∴sin α =- ,cos α =- 5 1 2 2 6 2 6 1-?- ? =- ,∴f(α )= . 5 5 5

π π π 7π π 1 17.解:由题意知 a≠0.∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴sin(2x+ )∈[- ,1]. 2 6 6 6 6 2

a+b=1, ? ? 当 a > 0 时, ? a - +b=-5, ? ? 2
?a=-4, ? ? ?b=-1. ?

?a=4, ? 解得 ? ?b=-3. ?

1 ? ?- a+b=1, 2 当 a < 0 时, ? ? ?a+b=-5,

解得

∴a,b 的取值分别是 4,-3 或-4,-1.

π π π π π 18.解:(1)由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z,解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 2 6 2 3 6 π π π π 3π ∴函数 f(x)的单调增区间为[- +kπ , +kπ ](k∈Z),由 +2kπ ≤2x+ ≤ + 3 6 2 6 2 π 2π 2kπ ,k∈Z,解得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 6 3

π 2π ∴函数 f(x)的单调减区间为[ +kπ , +kπ ](k∈Z). 6 3 π π π 7π (2)∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , 2 6 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 ∴f(x)的最大值为 2+a+1=4,∴a=1, π π π π (3)当 f(x)取最大值时,2x+ = +2kπ ,∴2x= +2kπ ,∴x= +kπ ,k∈Z.∴ 6 2 3 6 π 当 f(x)取最大值时,x 的取值集合是{x|x= +kπ ,k∈Z}. 6 π π 19.【解】 将正弦曲线 y=sin x 向右平移 个单位长度,得函数 y=sin(x- )的图象,再 3 3

x π 将曲线上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得函数 y=sin( - )的图象,然后将曲线上各点 2 3 x π x π 的纵坐标伸长到原来的 3 倍,得函数 y=3sin( - )的图象.∴f(x)=3sin( - ).令 z= 2 3 2 3 x π
2π - ,则 x=2z+ .列表: 2 3 3

z x y

0 2π 3 0

π 2 5π 3 3

π 8π 3 0

3π 2 11π 3 -3

2π 14π 3 0

描点画图(如图) :

11π π 2π 20.【解】(1)设 f(x)的最小正周期为 T,得 T= -(- )=2π .由 T= 得 ω =1.,又 6 6 ω
? ?B+A=3, ? ?B-A=-1, ?

解得?

? ?A=2, ?B=1, ?

5π π 5π π π π 令 ω · +φ = +2kπ ,即 +φ = +2kπ ,k∈Z,又|φ |< ,解得 φ =- . 6 2 6 2 2 3 π ∴f(x)=2sin(x- )+1. 3

π 2π (2)∵函数 y=f(kx)=2sin(kx- )+1 的周期为 ,又 k>0,∴k=3. 3 3

π π π 2π 令 t=3x- ,∵x∈[0, ],∴t∈[- , ]. 3 3 3 3 π 2π 3 如图,sin t=s 在[- , ]上有两个不同的解的条件是 s∈[ ,1),∴方程 f(kx)=m 在 x∈ 3 3 2 π [0, ]时恰有两个不同的解的条件是 m∈[ 3+1,3),即实数 m 的取值范围是[ 3+1,3). 3



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