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高考大一轮总复习11.7离散型随机变量及其分布列


§ 11.7 离散型随机变量及其分布列 考纲展示? 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的 重要性,会求某些取有限个离散型随机变量的分布列. 2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 考点 1 离散型随机变量的分布列的性质

3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 X P 0 ________ 1 p

若随机变量 X 的分布列具有上表的形式,就称 X 服从两点分布,并称 p = P(X = 1) 为 ________. (2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则 P(X=k)=________,k =0,1,2,?,m,其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. X P 0 ______ 1 ______ ? ? m ______

1.随机变量的有关概念 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量;按一定次序 ________,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 答案:一一列出 2.离散型随机变量的分布列 (1)概念 若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,?, xi ,?, xn , X 取每一个值 xi(i = 1,2,3,?,n)的概率 P(X=xi)=pi,如下表: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量 X 服从超几何分布. 答案:(1)1-p 成功概率
n k Ck MCN-M (2) n CN


n 0 n 1 n m C0 C1 Cm MCN-M MCN-M MCN-M n n n CN CN CN
- - -

(1)[教材习题改编]已知离散型随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 则 k 的值为________. 答案:1 k k k 解析:由 + +?+ =1,得 k=1. n n n (2)[ 教材习题改编 ] 设随机变量 X 等可能取 1,2,3 ,?, n ,如果 P(X<4) = 0.3,那么 n = ________. 答案:10 1 解析:由题意知 ×3=0.3,∴n=10. n 1 k n 2 k n 3 k n ? ? n k n

此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,有时也用等式 P(X=xi)= pi,i=1,2,?,n 表示 X 的分布列. (2)性质 ①pi________,i=1,2,3,?,n; ② ?pi=1.
i=1 n

答案:(2)①≥0
1

[典题 1] 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P 求:(1)2X+1 的分布列; (2)|X-1|的分布列. [解] 由分布列的性质知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 首先列表为 X 2X+1 |X-1| 从而由上表得两个分布列为 (1)2X+1 的分布列为 2X+1 P (2)|X-1|的分布列为 |X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m

离散型随机变量的分布列易错点:随机变量的取值不全;分布列的概率之和不为 1. 下列四个表格中,可以作为离散型随机变量分布列的是________.

[点石成金] 1.利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验,以保证各个 概率值均为非负数. 2.若 X 是随机变量,则 η=|X-1|等仍然是随机变量,求它的分布列可先求出相应随机变 量的值,再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率,进而写出分布列. 考点 2 离散型随机变量分布列的求法

2

P(ξ=10)=2×0.1×0.2+2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36, ∴ξ 的分布列为 ξ P 7 0.01 8 0.24 9 0.39 10 0.36

[典题 2] 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品 3 件, 当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频 率视为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 答案:③ 解析:利用离散型随机变量的分布列的性质可排除①,②,④. 1 [解] (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)= + 20 5 3 = . 20 10 (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 离散型随机变量的分布列:随机变量的取值;求概率;列表检验. 某射手射击一次所得环数 X 的分布列如下: X P 7 0.1 8 0.4 9 0.3 10 0.2 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; 20 4 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为 3 1 9 5 3 件)= + + = . 20 20 20 4 所以 X 的分布列为 X ξ P 7 0.01 8 0.24 9 0.39 10 0.36 P 2 1 4 3 3 4

现该射手进行两次射击,以两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ,则 ξ 的分布列为 ________. 答案:

[点石成金] 求离散型随机变量分布列的步骤

解析:ξ 的可能取值为 7,8,9,10.P(ξ=7)=0.12=0.01,P(ξ=8)=2×0.1×0.4+0.42=0.24, P(ξ=9)=2×0.1×0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39,
3

(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出; (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取 值的概率实质上是古典概型.

[2017· 山东济南调研]PM2.5 是指悬浮在空气中的直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为 考点 3 超几何分布 可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095-2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上空 气质量为超标. 从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本, [典题 3] 为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有 来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子选手 3 名.从 这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手,且这 2 名种子选手来自同一个协会”, 求事件 A 发生的概率; (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列. [解] (1)由已知得,
2 2 2 C2 6 2C3+C3C3 P(A)= = . C4 35 8

监测值频数如下表所示: PM2.5 日均值 (微克/立方米) 频数 [25, 35] 3 (35, 45] 1 (45, 55] 1 (55, 65] 1 (65, 75] 1 (75, 85] 3

(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,求恰有一天空气质量达到一级的 概率; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据,记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的分 布列. 解:(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,恰有一天空气质量达到一 级”为事件 A,则
2 C1 3C7 21 P(A)= 3 = . C10 40

6 所以事件 A 发生的概率为 . 35 (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
4 k Ck 5C3 P(X=k)= 4 (k=1,2,3,4). C8


(2)依据条件,随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,
3 k Ck 3C7 P(ξ=k)= 3 (k=0,1,2,3). C10


所以随机变量 X 的分布列为 X P 1 1 14 2 3 7 3 3 7 4 1 14

3 C0 7 3C7 ∴P(ξ=0)= 3 = , C10 24 2 C1 3C7 21 P(ξ=1)= 3 = , C10 40

[点石成金] 超几何分布的两个特点

4

1 C2 7 3C7 P(ξ=2)= 3 = , C10 40 0 C3 1 3C7 P(ξ=3)= 3 = . C10 120

因此 ξ 的分布列为 ξ P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120

[方法技巧] 1.随机变量的线性关系 若 X 是随机变量,Y=aX+b,a,b 是常数,则 Y 也是随机变量. 2.分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值. (2)随机变量 ξ 所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求相关事件的概 率. 3.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 ξ 的取值情况,然后利用排列、 组合与概率知识求出 ξ 取各个值的概率. [易错防范] 掌握离散型随机变量的分布列的注意事项 (1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量 X 所有可能取得的值;第二行是对应于随机变 量 X 的值的事件发生的概率.看每一列,实际上是上为“事件”,下为“事件发生的概率”, 只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件发 生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. 真题演练集训 1.[2016· 新课标全国卷Ⅰ]某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器 有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期 间,如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
5

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P(X≤n)≥0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 与 n=20 之中选其一,应选用 哪个? 解: (1) 由柱状图并以频率代替概率可得, 1 台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2,0.4,0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以 X 的分布列为

X P

16 0.04

17 0.16

18 0.24

19 0.24

20 0.2

21 0.08

22 0.04

2 所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 . 3 (2)由题意,随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 1 1 1 1 1 P(X=0)= × × × = , 4 3 4 3 144 3 1 1 1 1 2 1 1 10 5 P(X=1)=2× × × × + × × × = = , 4 3 4 3 4 3 4 3 144 72 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 25 P(X=2)= × × × + × × × + × × × + × × × = , 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 144 3 2 1 1 1 1 3 2 12 1 P(X=3)= × × × + × × × = = , 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12 3 2 3 1 3 2 1 2 60 5 P(X=4)=2× × × × + × × × = = , 4 3 4 3 4 3 4 3 144 12 3 2 3 2 36 1 P(X=6)= × × × = = . 4 3 4 3 144 4 可得随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 144 1 5 72 2 25 144 3 1 12 4 5 12 6 1 4

(2)由(1)知,P(X≤18)=0.44,P(X≤19) =0.68,故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当 n=19 时, E(Y) = 19×200×0.68 + (19×200 + 500)×0.2 + (19×200 + 2×500)×0.08 + (19×200 + 3×500)×0.04=4 040. 当 n=20 时, E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04 =4 080. 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于当 n=20 时所需费用的期望值,故应选 n=19. 2.[2016· 山东卷]甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个 成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对,则“星队” 得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分. 3 2 已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影 4 3 响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X). 解:(1)记事件 A:“甲第一轮猜对”,记事件 B:“乙第一轮猜对”, 记事件 C:“甲第二轮猜对”,记事件 D:“乙第二轮猜对”, 记事件 E:“‘星队’至少猜对 3 个成语”. 由题意,E=ABCD+ A BCD+A B CD+AB C D+ABC D . 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P( A BCD)+P(A B CD) +P(AB C D) +P(ABC D ) = P(A)P(B)P(C)P(D) + P( A )P(B)P(C)P(D) + P(A)P( B )P(C)P(D) + P(A)P(B)P( C )P(D) + P(A)P(B)P(C)P( D ) 3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 3 2 2 = × × × +2× × × × + × × × = . 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3

1 5 25 1 5 1 23 所以数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +6× = . 144 72 144 12 12 4 6 课外拓展阅读 离散型随机变量的分布列答题模板

[典例] 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一 件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正 品时所需要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列. 2 3 3 [解] (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 P1= × = . 5 4 10 (2)由题意,X 的可能取值为 200,300,400.
6

2×1 1 则 P(X=200)= = ; 5×4 10 3×2 2×3×2 3 P(X=300)= + = ; 5×4×3 5×4×3 10 3 P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)= . 5

X P

4 0.02

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28 )

9 0.29

10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A.0.28 C.0.79 答案:C B.0.88 D.0.51

∴X 的分布列如下: X P 200 1 10 300 3 10 400 3 5

解析:P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 3.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于( A.0 1 C. 3 答案:C 解析:由已知,得 X 的所有可能取值为 0,1,且 P(X=1)=2P(X=0),由 P(X=1)+P(X=0) 1 =1,得 P(X=0)= . 3 4.若随机变量 X 的分布列为 X P -2 0.1 -1 0.2 0 0.2 1 0.3 ) 2 0.1 3 0.1 1 B. 2 2 D. 3 )

[答题模板] 求离散型随机变量分布列及期望的一般步骤: 第一步:找出随机变量 X 的所有可能取值; 第二步:求出 X 取每一个值时的概率; 第三步:列出分布列. (1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值,正确应用概率公式. (2)此类问题还极易发生如下错误:虽然弄清随机变量的所有取值,但对某个取值考虑不全 面. (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为 1. 课时跟踪检测(六十六) [高考基础题型得分练] 1.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 ξ 表示所选 3 人中女生的 人数,则 P(ξ≤1)等于( 1 A. 5 3 C. 5 答案:D
2 C1 4C2 4 解析:P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1- 3 = . C6 5

则当 P(X<a)=0.8 时,实数 a 的取值范围是( A.(-∞,2] C.(1,2] 答案:C B.[1,2] D.(1,2)

)

2 B. 5 4 D. 5

解析:由随机变量 X 的分布列知,P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2) =0.8,则当 P(X<a)=0.8 时,实数 a 的取值范围是(1,2]. 5.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取到黑球则另换 1 个红球放 回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ξ,则表示“放回 5 个红球”事件的是( A.ξ=4 C.ξ=6
7

)

2.某射手射击所得环数 X 的分布列为

B.ξ=5 D.ξ≤5

答案:C 解析:“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球,第 6 次摸到红球,故 ξ=6. 6.[2017· 山东泰安模拟]若 P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中 x1<x2,则 P(x1≤ξ≤x2) =( ) A.(1-α)(1-β) C.1-α(1-β) 答案:B 解析:显然 P(ξ>x2)=β,P(ξ<x1)=α.由概率分布列的性质可知,P(x1≤ξ≤x2)=1-P(ξ>x2)- P(ξ<x1)=1-α-β. 7.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村
6 C4 7C8 庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是( C15

P 9.随机变量 X 的分布列如下: X P B.1-(α+β) D.1-β(1-α)

0.1

0.3

0.6

-1 a

0 b

1 c

其中,a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=________. 2 答案: 3
? ?2b=a+c, 解析:由题意知,? ?a+b+c=1, ?

1 2 则 b= ,a+c= , 3 3 所以 P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1) 2 =a+c= . 3 10.[2017· 山东济南模拟]如图所示,A,B 两点由 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过 的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为

)

A.P(X=2) C.P(X=4) 答案:C

B.P(X≤2) D.P(X≤4)

10 k Ck 7C8 解析:X 服从超几何分布 P(X=k)= 10 ,故 k=4. C15


X,则 P(X≥8)=________.

8.口袋中有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,从中任意取 3 只球,以 X 表示取出的球的最大号 码,则 X 的分布列为________. 答案: X P 解析:X 的取值为 3,4,5. 1 又 P(X=3)= 3=0.1, C5 C2 3 P(X=4)= 3=0.3, C5 C2 4 P(X=5)= 3=0.6. C5 ∴随机变量 X 的分布列为 X 3 4 5
8

3 0.1

4 0.3

5 0.6 4 答案: 5 解析:解法一(直接法):由已知,得 X 的取值为 7,8,9,10,
1 C2 1 2C2 ∵P(X=7)= 3 = , C5 5 1 1 2 C2 3 2C1+C2C2 P(X=8)= = , 3 C5 10

1 1 C1 2 2C2C1 P(X=9)= = , 3 C5 5 1 C2 1 2C1 P(X=10)= 3 = , C5 10

2?k 1.[2017· 福建厦门质检]设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=m? ?3? (k=1,2,3),则 m 的值为 ( ) 17 A. 38 17 C. 19 答案:B 解析:由分布列的性质,得 P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 2?2 2 ?2?3 =m× +m×? ?3? +m×?3? =1, 3 27 ∴m= . 38 2.[2017· 福建福州模拟]一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个 球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X= 4)的值为( 1 A. 220 27 C. 220 答案:C
1 C2 27 3C9 解析:由题意,取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球,故 P(X=4)= 3 = .故选 C. C12 220

∴P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) = 3 2 1 4 + + = . 10 5 10 5

27 B. 38 27 D. 19

解法二(间接法):由已知得,X 的取值为 7,8,9,10,
1 C2 4 2C2 P(X≥8)与 P(X=7)是对立事件,所以 P(X≥8)=1-P(X=7)=1- 3 = . C5 5

11.[2017· 河北石家庄调研]为检测某产品的质量,现抽取 5 件产品,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克),测量数据如下: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

如果产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175 且 y≥75 时,该产品为优等品. 现从上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,则抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的分布列为 ________. 答案: ξ P C2 3 P(ξ=0)= 2=0.3, C5 C1 C1 3· 2 P(ξ=1)= 2 =0.6, C5 C2 2 P(ξ=2)= 2=0.1. C5 ∴优等品数 ξ 的分布列为 ξ P 0 0.3 1 0.6 2 0.1 0 0.3 1 0.6 2 0.1

) 27 B. 55 21 D. 25

解析:5 件抽测品中有 2 件优等品,则 ξ 的可能取值为 0,1,2.

3.设随机变量 ξ 等可能取 1,2,3,?,n,若 P(ξ<4)=0.3,则 n=________. 答案:10 1 解析:因为 1,2,3,?,n 每个值被取到的概率为 , n 1 1 1 故 P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)= + + =0.3,所以 n=10. n n n 4.抛掷 2 颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)=________. 1 答案: 6 解析:相应的基本事件空间有 36 个基本事件,
9

[冲刺名校能力提升练]

其中 X=2 对应(1,1); X=3 对应(1,2),(2,1); X=4 对应(1,3),(2,2),(3,1). 所以 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 1 2 3 1 = + + = . 36 36 36 6 5.[2017· 陕西西安调研]在一个盒子中放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子 中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x,y,记 X=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 X 的最大值,并求事件“X 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 X 的分布列. 解:(1)由题意知,x,y 可能的取值为 1,2,3, 则|x-2|≤1,|y-x|≤2, 所以 X≤3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,X=3. 因此,随机变量 X 的最大值为 3. 而有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9(种), 2 所以 P(X=3)= . 9 2 故随机变量 X 的最大值为 3,事件“X 取得最大值”的概率为 . 9 (2)X 的所有取值为 0,1,2,3. 当 X=0 时,只有 x=2,y=2 这一种情况; 当 X=1 时,有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况; 当 X=2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况; 当 X=3 时,有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况, 1 4 所以 P(X=0)= ,P(X=1)= , 9 9 2 2 P(X=2)= ,P(X=3)= . 9 9 则随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3

P

1 9

4 9

2 9

2 9

6.[2015· 陕西卷]设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T 只与道路畅通状况有关, 对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下: T(分钟) 频数(次) (1)求 T 的分布列与数学期望 E(T); (2) 刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校 区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 解:(1)由统计结果可得 T 的频率分布为 T(分钟) 频率 以频率估计概率得 T 的分布列为 T P 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 25 20 30 30 35 40 40 10

从而 E(T)=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1 =32(分钟). (2)设 T1,T2 分别表示往、返所需时间,T1,T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同. 设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”. 解法 一: P(A) = P(T1 + T2≤70) = P(T1 = 25 , T2≤45) + P(T1 = 30 , T2≤40) + P(T1 = 35 , T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91. 解法二:P( A )=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2 =40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故 P(A)=1-P( A )=0.91.

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