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广东省佛山市三水区实验中学2015届高考数学八模试卷(理科)



广东省佛山市三水区实验中学 2015 届高考数学八模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若复数 z 与 2+3i 互为共轭复数,则复数 z 的模|z|=() A. B. 5 C. 7 D.13 2. (5 分)设集合 A={x|y=lg(x﹣1)},B={y

|y=2 ,x∈R},则 A∪B=() A.? B. R C.(1,+∞) D.(0,+∞)
x

3. (5 分)已知等边三角形△ ABC 的边长为 a,则 A. B. C.

=() D.

4. (5 分)某一考场有 64 个试室,试室编号为 001﹣064,现根据试室号,采用系统抽样法, 抽取 8 个试室进行监控抽查,已抽看了 005,021 试室号,则下列可能被抽到的试室号是() A.029,051 B.036,052 C.037,053 D.045,054 5. (5 分)已知 a>b>0,则下列不等关系式中正确的是() A.sina>sinb B.log2a<log2b C. a <b D.( ) <( )
a b

6. (5 分)已知某一几何体的正视图与侧视图如图,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视 图的图形有()

A.①②③⑤

B.②③④⑤

C.①②④⑤

D.①②③④

7. (5 分)动圆 M 经过双曲线 x ﹣ 是() 2 A.y =8x

2

=1 的左焦点且与直线 x=2 相切,则圆心 M 的轨迹方程

B.y =﹣8x

2

C.y =4x

2

D.y =﹣4x

2

8. (5 分)对于非空集合 A,B,定义运算:A⊕B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B},已知 M={x|a<x <b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M⊕N=() A.(a,d)∪(b,c) B. (c,a]∪[b,d) C. (c,a)∪(d,b) D.(a,c]∪[d,b)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9-13 题) 9. (5 分)不等式 的解集为.

10. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=6,S4=12,则 S7=. 11. (5 分) |x﹣1|dx=.

12. (5 分)二项展开式

中,含 x 项的系数为. (用数字作答)

13. (5 分) 某所学校计划招聘男教师 x 名, 女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件



该校招聘的教师最多是名.

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)已知直线 l1: 实数 k=. (t 为参数) ,l2: (s 为参数) ,若 l1⊥l2,则

【几何证明选讲选做题】 15.如图,在半圆 O 中,C 是圆 O 上一点,直径 AB⊥CD,垂足为 D,DE⊥BC,垂足为 E, 若 AB=6,AD=1,则 CE?BC=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16. (12 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的单调增区间 (2)若 ,且 ,求 sinα 的值.

17. (12 分)某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与 视觉记忆能力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听 觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 听觉 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等偏高超常 听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉 记忆能力为中等或中等以上的概率为 . (1)试确定 a、b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数 为 ξ,求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ. 18. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2, BC= AD=1, CD= (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值. .

19. (14 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣ (1)求数列{bn}的通项公式; (2)证明: + +…+ <7.

,数列{bn}满足 bn=

(n∈N ) .

*

20. (14 分)已知动圆 C 过定点(1,0)且与直线 x=﹣1 相切 (1)求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2)设过定点 M (﹣4,0)的直线 ? 与圆心 C 的轨迹有两个交点 A,B,坐标原点为 O,设 ∠xOA=α,∠xOB=β,试探究 α+β 是否为定值,若是定值,求定值,若不是定值,说明理由. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣ ax (a>0) ,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,求 a 的 取值范围.
2 3

广东省佛山市三水区实验中学 2015 届高考数学八模试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)若复数 z 与 2+3i 互为共轭复数,则复数 z 的模|z|=() A. B. 5 C. 7 D.13 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用共轭复数的定义、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z 与 2+3i 互为共轭复数, ∴z=2﹣3i, ∴|z|= = .

故选:A. 点评: 本题考查了共轭复数的定义、模的计算公式,属于基础题. 2. (5 分)设集合 A={x|y=lg(x﹣1)},B={y|y=2 ,x∈R},则 A∪B=() A.? B. R C.(1,+∞) D.(0,+∞)
x

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A,B,根据并集运算进行求解. x 解答: 解:A={x|y=lg(x﹣1)}={x|x>1},B={y|y=2 ,x∈R}={y|y>0}, 则 A∪B={x|x>0}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

3. (5 分)已知等边三角形△ ABC 的边长为 a,则 A. B. C.

=() D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意得到向量 解答: 解:由题意可得< ∴ = < 的夹角,代入数量积公式得答案. >= >=a× ,又 = , ,

故选:A. 点评: 本题考查平面向量的数量积运算,关键是注意向量的方向,是基础题. 4. (5 分)某一考场有 64 个试室,试室编号为 001﹣064,现根据试室号,采用系统抽样法, 抽取 8 个试室进行监控抽查,已抽看了 005,021 试室号,则下列可能被抽到的试室号是() A.029,051 B.036,052 C.037,053 D.045,054 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义确定样本间隔进行求解即可. 解答: 解:样本间隔为 64÷8=8, ∵21=5+2×8, ∴样本第一个编号为 005, 则抽取的样本为:05,13,21,29,37,45,53,61, ∴可能被抽到的试室号是 037,053, 故选:C 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,确定样本间隔是解决本题的关键. 5. (5 分)已知 a>b>0,则下列不等关系式中正确的是() A.sina>sinb B.log2a<log2b C. a <b D.( ) <( )
a b

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由函数的单调性,逐个选项验证可得. 解答: 解:选项 A 错误,比如取 a=π,b= ,显然满足 a>b>0,但不满足 sina>sinb;

选项 B 错误,由函数 y=log2x 在(0,+∞)上单调递增可得 log2a>log2b; 选项 C 错误,由函数 y= 选项 D 正确,由函数 y= = 在[0,+∞)上单调递增可得
a




b

在 R 上单调递间可得( ) <( ) ;

故选:D. 点评: 本题考查不等关系与不等式,涉及常用函数的单调性,属基础题. 6. (5 分)已知某一几何体的正视图与侧视图如图,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视 图的图形有()

A.①②③⑤

B.②③④⑤

C.①②④⑤

D.①②③④

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 综合题. 分析: 由三视图的正视图和侧视图分析,几何体上部、中部、下部的形状,判断,可得出 选项. 解答: 解:由三视图的正视图和侧视图分析,几何体上部、中部、下部的形状, 只能是圆柱、和四棱柱,或三棱柱, 因而⑤不正确. 故选 D. 点评: 本题考查简单空间图形的三视图,考查空间想象能力,是基础题.

7. (5 分)动圆 M 经过双曲线 x ﹣ 是() 2 A.y =8x

2

=1 的左焦点且与直线 x=2 相切,则圆心 M 的轨迹方程

B.y =﹣8x

2

C.y =4x

2

D.y =﹣4x

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的左焦点(﹣2,0) ,设 M(x,y) ,动圆的半径为 r,运用直线和圆相切 的条件 d=r,以及圆的半径的定义,列出方程,化简即可得到 M 的轨迹方程.

解答: 解:双曲线 x ﹣

2

=1 的左焦点为(﹣2,0) ,

设 M(x,y) ,动圆的半径为 r, 由动圆 M 与直线 x=2 相切,可得|x﹣2|=r, 又动圆 M 经过双曲线的左焦点, 则 即有 =r, =|x﹣2|,
2

两边平方,化简可得 y =﹣8x. 故选 B. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查轨迹方程的求法:直接法,运用直线和圆 相切的条件和圆的定义是解题的关键,考查化简的运算能力,属于基础题. 8. (5 分)对于非空集合 A,B,定义运算:A⊕B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B},已知 M={x|a<x <b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M⊕N=() A.(a,d)∪(b,c) B. (c,a]∪[b,d) C. (c,a)∪(d,b) D.(a,c]∪[d,b) 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 本题可先由知 M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab <cd<0,得到 a,b,0,c,d 的大小关系,再由新定义 M⊕N 的意义即可求出. 解答: 解:由已知 M={x|a<x<b},∴a<b,又 ab<0,∴a<0<b, 同理可得 c<0<d, 由 ab<cd<0,c<0,b>0,∴ 又∵a+b=c+d,∴a﹣c=d﹣b,∴ ,∴ , ,

又∵c<0,b>0,∴d﹣b<0,因此,a﹣c<0, ∴a<c<0<d<b, ∴M∩N=N,∴M⊕N={x|a<x≤c,或 d≤x<b}=(a,c]∪[d,b) . 故选 D. 点评: 本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换,充分理解 以上概念及运算法则是解决问题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9-13 题) 9. (5 分)不等式 的解集为(0,1) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 直接利用分式不等式的解法求解即可. 解答: 解:不等式 ,化为: ,

解得 x∈(0,1) . 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查不等式的解法,基本知识的考查. 10. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=6,S4=12,则 S7=42. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a4 的值,由求和公式和性质可得 S7=7a4,代值计算可得. 解答: 解:∵S3=6,S4=12, ∴a4=S4﹣S3=12﹣6=6, ∴S7= = =7a4=42

故答案为:42 点评: 本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,属基础题. 11. (5 分) |x﹣1|dx=1.

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 将:∫0 |x﹣1|dx 转化成∫0 (1﹣x)dx+∫1 (x﹣1)dx,然后根据定积分的定义先求出 被积函数的原函数,然后求解即可. 解答: 解:∫0 |x﹣1|dx=∫0 (1﹣x)dx+∫1 (x﹣1)dx=(x﹣ x )|0 +(
2 1 2 2 1 2 1 2

x ﹣x)|1 =1

2

2

故答案为:1 点评: 本题主要考查了定积分,定积分运算是求导的逆运算,同时考查了转化与划归的思 想,属于基础题.

12. (5 分)二项展开式

中,含 x 项的系数为 80. (用数字作答)

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 1,求出 r 的值,即可求得含 x 项的 系数. 解答: 解:二项展开式 (﹣1) ?2
r 5﹣r

中,通项公式为 Tr+1=

?

?(﹣x ) =

2

r

?

?x

3r﹣5

, ×8=80,

令 3r﹣5=1,求得 r=2,可得含 x 项的系数为

故答案为:80. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属 于基础题.

13. (5 分) 某所学校计划招聘男教师 x 名, 女教师 y 名, x 和 y 须满足约束条件



该校招聘的教师最多是 10 名. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 由题意由于某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名,且 x 和 y 须满足约束条件

,又不等式组画出可行域,又要求该校招聘的教师人数最多令 z=x+y,则题意求

解在可行域内使得 z 取得最大. 解答: 解:由于某所学校计划招聘男教师 x 名,女教师 y 名,且 x 和 y 须满足约束条件

,画出可行域为:

对于需要求该校招聘的教师人数最多, 令 z=x+y?y=﹣x+z 则题意转化为, 在可行域内任意去 x,y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1,截距最大时的直线为过 (5,5)时使得目标函数取得最大值为:z=10. 故答案为:10. 点评: 此题考查了线性规划的应用,还考查了学生的数形结合的求解问题的思想. ?

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程选做题】 14. (5 分)已知直线 l1: 实数 k=﹣1. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: 将直线 l1 与直线 l2 化为一般直线方程,然后再根据垂直关系求解即可. 解答: 解:∵直线 l1: (t 为参数) (t 为参数) ,l2: (s 为参数) ,若 l1⊥l2,则

∴y﹣2=﹣ (x﹣1) ,

直线 l2: ∴2x+y=1, ∵两直线垂直,

(s 为参数)

∴﹣ ×(﹣2)=﹣1, 得 k=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选 择不同的方程进行求解. 【几何证明选讲选做题】 15.如图,在半圆 O 中,C 是圆 O 上一点,直径 AB⊥CD,垂足为 D,DE⊥BC,垂足为 E, 若 AB=6,AD=1,则 CE?BC=5.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆;推理和证明. 2 分析: 由已知条件利用垂直径定理和相交弦定理得 CD =AD?BD,从而得 CD= = , 由 DE⊥BC, 利用等积法能求出 DE=

, ,

, 由勾股定理得 CE=

由此能求出 CE?BC. 解答: 解:∵C 是圆 O 上一点,直径 AB⊥CD,垂足为 D,AB=6,AD=1, 2 ∴CD =AD?BD=1×(6﹣1)=5,解得 CD= , ∴ = = ,

∵DE⊥BC,垂足为 E, ∴ ∴CE= ∴CE?BC= 故答案为:5. × ,解得 DE= = =5. = , = = ,

点评: 本题考查两线段乘积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意垂径定理和相交 弦定理的合理运用. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的单调增区间 (2)若 ,且 ,求 sinα 的值.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的单调性即可求 f(x)的单调增区间 (2)根据两角和差的正弦公式进行求解即可得到结论. 解答: 解: (1)由 2kπ﹣ 得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,

,k∈Z, ,kπ+ )= ],k∈Z. , ,π) ,

即 f(x)的单调增区间为[kπ﹣ (2)若 若 即 cos(α+ )=﹣ ﹣

,则 sin(α+ ,则 α+ , )=sin(α+ = . ∈(

则 sinα=sin(α+ = × ﹣(﹣

)cos

﹣cos(α+

)sin

)×

点评: 本题主要考查三角函数单调区间的求解以及三角函数值的计算,利用两角和差的正 弦公式是解决本题的关键.

17. (12 分)某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与 视觉记忆能力.某班学生共有 40 人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听 觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 听觉 视觉 视觉记忆能力 偏低 中等偏高超常 听觉 记忆 能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉 记忆能力为中等或中等以上的概率为 . (1)试确定 a、b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数 为 ξ,求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: (1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上 的学生共有(10+a)人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事 件 A,事件 A 的概率即为 ,由此建立方程即可求出 a,b. (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的 学生的概率,方法一:可分为三类求其概率,分别为有一,二、三位能力超常的人;求出三 类中所胡可能的情况;方法二:转化为求其对立事件的概率,易求. (3) 从 40 人中任意抽取 3 人, 设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ξ,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出其概率列出分布列,利用公式求出期望即可. 解答: 解: (1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等 以上的学生共有(10+a)人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上” 为事件 A, 则 ,解得 a=6.

所以 b=40﹣(32+a)=40﹣38=2. 答:a 的值为 6,b 的值为 2. (2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法 1:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B, 则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 ,

所以



答:从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学 生的概率为 .

方法 2:记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B, 所以 .

答:从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学 生的概率为 .
3

(3)由于从 40 位学生中任意抽取 3 位的结果数为 C40 ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆 能力偏高或超常的学生共 24 人,从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆 能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 C24 C16 , 所以从 40 位学生中任意抽取 3 位,其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超 常的概率为 , (k=0,1,2,3) (8 分)ξ 的可能取值为 0,1,2,3,
k 3﹣k

因为







, 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 P 所以 Eξ=0× +1× +2× +3× = .

2

3

答:随机变量 ξ 的数学期望为 点评: 本题考查离散型随机变量的期望与方差,求解问题的关键是正确理解题意以及熟练 掌握求概率的方法,本题二中提供了两种方法求概率,对比发现求对立事件的概率较易.求概 率时灵活选择求概率的角度可以简化运算,本题运算量较大,易马虎导致错误,以至于解题失 败,做题时要严谨、认真,算好每一步.避免一步错步步错. 18. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA=PD=2, BC= AD=1, CD= (1)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)若二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°,设 PM=tMC,试确定 t 的值. .

考点: 用空间向量求平面间的夹角;平面与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综 合题. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)法一:由 AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,知四边形 BCDQ 为平行四 边形,故 CD∥BQ.由∠ADC=90°,知 QB⊥AD.由平面 PAD⊥平面 ABCD,知 BQ⊥平面 PAD.由此能够证明平面 PQB⊥平面 PAD. 法二: 由 AD∥BC, BC= AD, Q 为 AD 的中点, 知四边形 BCDQ 为平行四边形, 故 CD∥BQ. 由 ∠ADC=90°, 知∠AQB=90°. 由 PA=PD, 知 PQ⊥AD, 故 AD⊥平面 PBQ. 由此证明平面 PQB⊥ 平面 PAD. (Ⅱ)由 PA=PD,Q 为 AD 的中点,知 PQ⊥AD.由平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,知 PQ⊥平面 ABCD.以 Q 为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能够求 出 t=3. 解答: 解: (Ⅰ)证法一:∵AD∥BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ?平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. …(9 分) 证法二:AD∥BC, BC= AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°. ∵PA=PD,∴PQ⊥AD. ∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD?平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD.…(9 分) (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 ;

Q(0,0,0) , 设 M(x,y,z) ,则 ∵ ,

, ,



. ,



,∴

…(12 分)

在平面 MBQ 中, ∴平面 MBQ 法向量为 ∵二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°, ∴ ∴t=3.…(15 分)

, .…(13 分)





点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,求实数的取值.综合性强,难度大,是 2015 届高 考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,合理地运用向量法进行 解题. 19. (14 分)已知数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣ (1)求数列{bn}的通项公式; (2)证明: + +…+ <7. ,数列{bn}满足 bn= (n∈N ) .
*

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1) 由已知得 an+1+1=2﹣ 等差数列,由此能求出 bn= .

=

, 从而得到数列{bn}是首项为 , 公差为 的

(2) 当 n=1 和 n=2 时, 验证不等式成立, 当 n≥3 时,

=

=4 (

) ,

由此裂项求和法能证明

+

+ …+

<7.

解答: (1)解:∵数列{an}中,a1=1,an+1=1﹣



∴an+1+1=2﹣ 又由 bn= ,

=

,…(2 分)

则 = 又 =

=

=

,…(6 分)

,所以数列{bn}是首项为 ,公差为 的等差数列,

∴bn= .…(8 分) (2)当 n=1 时,左边= ,不等式成立;…(9 分)

当 n=2 时,左边=

=4+1=5<7,不等式成立; …(10 分)

当 n≥3 时,

=

=4(

) ,

左边=

+

+…+

<4+1+4(



=5+4(

)=7﹣ <7 不等式成立,



+

+…+

<7.…(14 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用. 20. (14 分)已知动圆 C 过定点(1,0)且与直线 x=﹣1 相切 (1)求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2)设过定点 M (﹣4,0)的直线 ? 与圆心 C 的轨迹有两个交点 A,B,坐标原点为 O,设 ∠xOA=α,∠xOB=β,试探究 α+β 是否为定值,若是定值,求定值,若不是定值,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设圆的圆心为(x,y) ,运用两点的距离和直线和圆相切的条件:d=r,化简整 理,即可得到轨迹方程; (2) 设过定点 M (﹣4, 0) 的直线 l 的方程为 x=my﹣4, 代入抛物线方程可得, y ﹣4my+16=0, 设 A( ,y1) ,B( ,y2) ,运用韦达定理和直线的斜率公式,计算即可得到定值.
2

解答: 解: (1)设圆的圆心为(x,y) , 由动圆 C 过定点(1,0)且与直线 x=﹣1 相切, 可得
2

=|x+1|,

化简可得 y =4x; (2)设过定点 M(﹣4,0)的直线 l 的方程为 x=my﹣4, 代入抛物线方程可得,y ﹣4my+16=0, 设 A( ,y1) ,B( ,y2) ,
2

则 y1+y2=4m,y1y2=16, 由题意当 m>0,可得 OA 的斜率为 k1=tanα= ,

OA 的斜率为 k2=tanβ=



即有 tanαtanβ=1, 则 α+β=90°; 当 m<0 时,同样有 tanαtanβ=1, 则 α+β=90°. 故 α+β 为定值,且为 90°. 点评: 本题考查轨迹方程的求法,同时考查直线和圆相切的条件,以及抛物线的方程的运 用,联立直线方程,运用韦达定理,考查运算求解能力,属于中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣ ax (a>0) ,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值;
2 3

(Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,求 a 的 取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究 函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,利用导数的正负,可得 f(x)的单调区间,从而求出函数的极值; (Ⅱ)由 f(0)=f( )=0 及(Ⅰ)知,当 x∈(0, )时,f(x)>0;当 x∈( ,+∞)

时,f(x)<0.设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B={

|x∈(1,+∞) ,f(x)≠0},

则对于任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,等价于 A?B, 分类讨论,即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax =2x(1﹣ax) ,令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (﹣∞,0) 0 ﹣ 递减 0 0 (0, ) + 递增 0 ( ,+∞) ﹣ 递减 ,单调递增区间为 ; ,
2

所以,f(x)的单调递减区间为: (﹣∞,0)和

当 x=0 时,有极小值 f(0)=0,当 x= 时,有极大值 f( )=

(Ⅱ)由 f(0)=f( 时,f(x)<0.

)=0 及(Ⅰ)知,当 x∈(0,

)时,f(x)>0;当 x∈(

,+∞)

设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B={

|x∈(1,+∞) ,f(x)≠0},则对于任意

的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,等价于 A?B,显然 A≠? 下面分三种情况讨论: ①当 ②当 1≤ >2,即 0<a< 时,由 f( ≤2,即 )=0 可知,0∈A,而 0?B,∴A 不是 B 的子集;

时,f(2)≤0,且 f(x)在(2,+∞)上单调递减,故 A=(﹣∞,

f(2) ) ,∴A?(﹣∞,0) ;由 f(1)≥0,有 f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣∞,0) , 即(﹣∞,0)?B,∴A?B; ③当 <1,即 a> 时,有 f(1)<0,且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,故 B=( ,

0) ,A=(﹣∞,f(2) ) ,∴A 不是 B 的子集. 综上,a 的取值范围是[ ].

点评: 利用导数可以求出函数的单调区间和极值;解决取值范围问题,很多时候要进行等 价转化,分类讨论.



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