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2015高中数学 1.6微积分基本定理 课件(人教A版选修2-2)(2)



第一章

导数及其应用

1.6 微积分基本定理

第一章

导数及其应用

学习导航 1.了解微积分基本定理的内容与含义. 学习 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分. 目标 (重点、难点) 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,直观 学法 了解微积分基本定理的含义.微

积分基本定理不仅揭示 指导 了导数和定积分之间的内在联系,而且还提供了计算定 积分的一种有效方法.

第一章

导数及其应用

1.微积分基本定理 内容 符号 如果 f(x)是区间[a, b]上的 _______________ 函数,并且 连续 b F(b)-F(a) F′ (x)= _______________ ,那么 f ( x )d x = ______________ _f(x) ? ?
a b F(b)-F(a) f ( x )d x = F ( x )| ? a = _______________ ? a b

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第一章

导数及其应用

2. 定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上,在 x 轴下方的面积 为 S 下,则 b (1)当曲边梯形在 x 轴上方时,如图①,则 ? ? f(x)dx =
a

_______________ S 上.

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导数及其应用
b a

(2)当曲边梯形在 x 轴下方时,如图②,则 ? ? f(x)dx =

- S下 _______________.

(3)当曲边梯形在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时,如图③, b S上-S下 则? f ( x )d x = _______________ . ?
a

若 S 上= S 下,则? 0 ? f(x)dx= _______________.
a

b

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导数及其应用

1.判断: (正确的打“√”,错误的打“×” ) (1)若 F′ (x)=f(x),则 F(x)唯一. ( × ) b (2)定积分? ? f(x)dx 的几何意义是由 x 轴、函数 y= f(x)的
a

图象以及直线 x= a, x= b 围成的各部分面积 的代数和. ( × ) 2.下列各式中,正确的是( C ) b A. ? F′ (x)dx= F′(b)- F′ (a)

?a
b a

B. ? ? F′ (x)dx= F′ (a)- F′(b) C.? ? F′ (x)dx= F(b)- F(a) D.? ? F′ (x)dx= F(a)- F(b)
a a b
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b

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导数及其应用

3.下列积分值等于 1 的是( C ) A. ? 1xdx

?0

B.?1 (x+ 1)dx

?0

C.? 1dx

?0

1

D.? dx ?0 2

11

4 2 2 2 3 4. ? (x - x)dx= ________. ?0 3

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第一章

导数及其应用

求简单函数的定积分 计算下列定积分: 1 21 2π 3 (1)? ?1 xdx; (2)? ?0 sin xdx; (3)? ?1(2x-x2)dx; (4)?0 (cos x-e x )dx.

?- π

(链接教材 P53 例 1、例 2) 1 [解] (1)因为 (ln x)′= , x
所以? ?1 xdx= ln x|1 = ln 2-ln 1= ln 2.
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21

2

第一章

导数及其应用

(2)因为 (- cos x)′= sin x, 所以? ? sin xdx=(- cos x)|0 = (- cos 2π)-(- cos 0)= 0. 1 1 2 (3)因为 (x )′= 2x,( )′=- 2 , x x 1 3 31 所以? (2x- 2 )dx=? 2xdx- ? 2 dx ?1 ?1 ?1 x x 13 1 22 23 = x |1+ | 1= (9- 1)+ ( - 1)= . x 3 3 x x (4)因为 (sin x)′= cos x,(e )′=e .
3 0 2 2π

所以? (cos x-e )dx=? cos xdx-? e dx

?- π
0

0

x

?- π

0

?- π

0

x

1 = sin x|- π-e |- π= π- 1. e
x0
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第一章

导数及其应用

方法归纳 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤: ①求f(x)的一个原函数F(x); ②计算F(b)-F(a). (2)注意事项:

①有时需先化简被积函数,再求积分;
②f(x) 的原函数有无穷多个,如 F(x) + c ,计算时,一般只写 一个最简单的,不再加任意常数C.

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第一章

导数及其应用

1.计算下列定积分: 1 2 2 9 (1)? ( x + )d x ; (2) (1+ x)dx. ? 4 ?1 ? x 4 1 1 3 1 -3 2 8 1 1 1 2 2 解: (1)? ( x + )d x = ( x - x )| = ( - ) - ( - ) 1 4 ?1 x 3 3 3 3× 8 3 3 21 = . 8 2 3 9 2 3 2 3 9 (2)? (1 + x )d x = ( x + x )| = 9 + × 9 - (4 + × 4 )= 4 ?4 3 2 3 2 3 2 16 53 27- (4+ )= . 3 3

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导数及其应用

计算分段函数的定积分
计算下列定积分:
π ? ? x≤ 0? ?x (1)若 f(x)=? ,求? f(x)dx; ? 2 ? ?cos x- 1 ? x> 0? ?
-1

2

(2)?2 |3- 2x|dx.

?1

[解]

? (cos x- 1)dx, (1) ? f ( x )d x = x d x + ? ?2 ?2 ?- 1 ?- 1
0 2

π

π

?0

1 又∵ ( x3 )′= x2, (sin x- x)′= cos x- 1, 3 1 3? ?2 ∴原式= x ? + (sin x- x)? 3 ?- 1 ?
0 0

?

π

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导数及其应用

1 π π = (0+ )+(sin - )- (sin 0- 0) 3 2 2 4 π = - . 3 2 2 (2)? ? |3- 2x|dx

? =? ?2 (3- 2x)dx+?3 (2x- 3)dx
2

1 3

?1

?2

?2 ? 1 ? ? = (3x- x2 )? + (x2- 3x)?3 = . 2 ?1 ?2

3

2

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导数及其应用

方法归纳

(1)求分段函数的定积分时,可利用积分性质将其表示为几段
积分和的形式; (2)带绝对值的解析式,先根据绝对值的意义找到分界点,去

掉绝对值号,化为分段函数;
(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论.

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第一章

导数及其应用

? ? 2.已知函数 f(x)=? π 1? ≤ x≤ 2?, 2 ? ?x- 1? 2< x≤ 4?,
先画出函数图象,再求这个函数在区间 [0,4]上的定积分.
解:函数 f(x)的图象如图所示.

π sin x?0≤ x< ?, 2

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导数及其应用

4 π ? 1dx+ ?4 (x- 1)dx f(x)dx=? sin x d x + ? ? ? ?0 ? 2 π ?2 ?
2

0

2

?π ?2 1 2 4 ? ? ? = (- cos x) 2 + x π +( x - x) ? ? ?2 2 ?0 ?2
π π = 1+ (2- )+(4- 0)= 7- . 2 2

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导数及其应用

定积分的简单应用 已知f(x)=(12t+4a)dt,F(a)=[f(x)+3a2]dx,求函数 F(a)的最小值.
[解] ∵f(x)=?x (12t+ 4a)dt

?- a

= (6t2+ 4at)|x -a = 6x2+ 4ax- (6a2- 4a2 ) = 6x2+ 4ax- 2a2, 1 2 1 2 2 ∴ F(a)=? [ f ( x ) + 3 a ]d x = (6 x + 4 ax + a )dx ? ? ?
0 0 2 = (2x3+ 2ax2+ a2 x)|1 = a + 2a+ 2 0 = (a+ 1)2+ 1≥ 1, ∴当 a=-1 时, F(a)最 小值= 1.
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第一章

导数及其应用

方法归纳 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系, 可以通过积 分构造新的函数,进而对这一函数进行性质、最值等方面 的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用.

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导数及其应用

6 ? ? π π π ? 解: ωsin(ωx- )dx=- cos(ωx- )? 3 3 π ?6 π ??6

π π π 3. 设函数 y= ωsin( ωx- )(ω> 0)的周期为 T, 若 < T< , 3 3 2 ? π π 3 ? 且 ωsin( ωx- )dx=- ,求 ω 的值. 6 π 3 2 ?-

?

π

6

6

ωπ 1 ωπ ωπ 1 ωπ 3 3 =- cos - sin + cos - sin 2 6 2 6 2 6 2 6 ωπ =- 3sin , 6
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导数及其应用

ωπ 1 ωπ π 5π ∴ sin = ,∴ = + 2kπ 或 + 2kπ(k∈ Z). 6 2 6 6 6 π π 又∵ < T< , 3 2 ∴ ω= 5.

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导数及其应用

数学思想

分类讨论思想求解含参数的积分 ? ?2x+ 1, x∈ [- 2, 2], 3 已知 f(x)=? 若 3f(x)dx= ? 2 ? ?1+ x , x∈? 2, 4], ? k

40,求实数 k 的值.
40 [解] 由? 3f(x)dx= 40,得? f(x)dx= . ?k ?k 3 根据分段函数的解析式,分- 2≤ k<2 和 2≤ k< 3 两种情 况讨论: (1)当- 2≤ k<2 时,
3 3

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导数及其应用

? ? f(x)dx=? ? (2x+ 1)dx+? ? (1+ x )dx
k

3

2

3 2

2

= (x

2

x 2 + x)k + (x+
2

k

3

8 = (4+ 2)-(k + k)+(3+ 9)- (2+ ) 3 40 40 2 = - (k + k)= , 3 3 2 所以 k + k= 0, 解得 k=0 或 k=- 1.

3

)2

3

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导数及其应用

[感悟提高]

1.本题利用了分类讨论思想和方程思想,因积分

下限 k∈[ - 2,3) ,故要对参数分两种情形- 2≤k < 2,2≤k < 3

进行分类求解,尽而转化为关于 k的方程,解方程便可求得 k
的值. 2.分类讨论方法是解决含有参数问题的主要途径.分类讨论

是按照一定的标准将一个复杂的数学问题分解为等价的若干
个相对简单的子问题.分类时坚持条件优先的原则,如按照 参数的符号分类,按方程或函数的次数分类等,本例分类的

标准是积分下限的意义以及分段函数的概念两方面的信息.

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导数及其应用

名师解题
1. 选择适当的积分变量

定积分求解的三种常用策略

在有些定积分求解问题中,选 x 为积分变量,有时需将图 形分割,运算比较繁琐,这时可选用 y 作为积分变量,为 此需求出两线交点的纵坐标,确定出被积函数和积分的 上、下限.

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导数及其应用

求由抛物线 y2= 8x(y> 0)与直线 x+ y- 6= 0 及 y= 0 所围成图形的面积.
[解]

? ?y = 8x? y> 0? 法一:由? ,解得交点坐标为(2,4),如图, ?x+ y- 6= 0 ?

2

2 3 6 8xdx+ ? (6- x)dx= 2 2× x ?0 ?2 3 2 1 2 6 4 2 3 40 2 |0 + (6x- x )|2 = × 2 + (36- 18)- (12- 2)= . 2 3 2 3 所以所求面积为 A=?
2

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2 ? y ? = 8x? y> 0? 法二:由? , ?x+ y- 6= 0 ?

导数及其应用

解得交点坐标为 (2,4),如图, 所以所求面积为 1 2 1 2 1 3 4 A=? (6- y- y )dy= (6y- y - y )|0 ?0 8 2 24 1 40 3 = 24- 8- × 4 = . 24 3
4

2.巧用定积分的“区间可加性” 求解定积分运算时,若被积函数含有绝对值,应先去掉绝对 值符号,再求解.

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导数及其应用

计算:? |x- 2|dx. ?1 ? ?x- 2, x≥ 2, [解] ∵f(x)= |x- 2|=? ?2- x, x< 2, ?
∴? ? |x- 2|dx=? ? (2- x)dx+? ? (x- 2)dx
1 1 2 3 2 3

3

1 1 2 3 = (2x- x2 )|2 + ( x - 2 x )| 1 2 2 2 1 9 = (4- 2)-(2- )+ ( - 6)- (2- 4) 2 2 = 1. 3.合理拆项

被积函数如果是分式,并且分子中变量的最高项的次数与分 母中最高项的次数相同,可以考虑将分式拆项,这样不但可

以使问题的思路容易寻找,而且可以减少计算量.
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导数及其应用

2 x2 0 x + 2x- 2x [解] ? 2 dx= ? dx 2 ?- 1x + 2x ? - 1 x + 2x
0

x2 求定积分? ?- 1 x2+ 2xdx 的值.
0

2 0 2 0 =? (1- )dx=? dx- ? dx ? ?- 1 ?- 1x+ 2 x+ 2 - 11
0

1 = 1- 2? dx= 1- 2ln(x+ 2)|0 - 1= 1- 2ln 2. ?- 1x+ 2
0

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