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2013高考数学一轮同步训练(文科) 6.4基本不等式



2013 高考数学一轮强化训练 6.4 基本不等式 文 新人教 A 版
1.设点 P ( t ? 2 ?1)(t ? 0)? 则| OP |(O 为坐标原点)的最小值是(

??? ?

2

t

)

A.3 答案:D

B.5

/>C. 3 D. 5

解析:由已知得| OP | ? ( t ? 2 ) 2 ? 1 ?

??? ?

2

t

(2 t ? 2 ) 2 ? 1 ? 5 ? 当 t ? 2 即 t=2 时取得等 2 t 2 t
)

号. 2.若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 1 ? 且 ? ? a ? 1 ? ? ? ? b ? 1 ? 则 ? ? ? 的最小值为(

2

a

b

A.2 B.3 C.4 D.5 答案:D 解析:因为 a+b=1, 所以 ? ? ? ? a ? 1 ? b ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1+ b ? 1 ? a ? 5?

a

b

a

b

a

b

故选 D. 3.已知 0 ? x ? 3 ? 则函数 y=5x(3-4x)的最大值为

4

.

答案: 45

16

解析:因为 0 ? x ? 3 ? 所以 3 ? x ? 0?

4

4

所以 y=5x(3 ?4 x) ? 20 x( 3 ? x)

4 3?x x? 4 ? 20( ) 2 ? 45 ? 2 16 当且仅当 x ? 3 ? x? 即 x ? 3 时等号成立. 4 8
4.如下图,某药店有一架不准确的天平(其两臂长不相等)和一个 10 克的砝码,一个患者想 要买 20 克的中药,售货员先将砝码放在左盘上,放置药品于右盘上,待平衡后交给患者; 然后又将砝码放在右盘上,放置药品于左盘上,待平衡后再交给患者.设患者此次实际购 买的药量为 m(克),则 m 20 克.(请选择填”>““<“或”=”)

答案:> 解析:设两次售货员分别在盘中放置 m1 、 m2 克药品,

? 10a ? m1b? ? 则 ? 10b ? m2 a? ?m ? m ? m ? 1 2 ?
前两个式子相乘,得 100ab ? m1m2 ? ab? 得 m1m2 ? 100? 因为 m1 ? m2 ? 所以 m ? m1 ? m2 ? 2 m1m2 ? 20? 所以填”>“.

题组一 利用基本不等式证明不等式
2 1.设 a>b>0,则 a ? 1 ?

ab

1 的最小值是 ( a ( a ? b)
C.3 D.4

)

A.1 答案:D

B.2

2 解析: a ? b ? 0? a ? 1 ?

ab

1 a ( a ? b)

? a2 ?

a2 a2 ? a2 ? 2 ab(a 2 ? ab) ( ab ? a ? ab )2 2 2 4 ?4. ?a ? a2

2.已知 a、b、 c ? (0? ??) 且 a+b+c=1,求证: ( 1 ? 1)( 1 ? 1)( 1 ? 1) ? 8 . 证明:∵a、b、 c ? (0? ??) 且 a+b+c=1, ∴ ( 1 ? 1)( 1 ? 1)( 1 ? 1)

a

b

c

a b c (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? abc (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? abc ? 2 bc ? 2 ac ? 2 ab ? 8 . abc 当且仅当 a ? b ? c ? 1 时取等号. 3
题组二 利用基本不等式求最值 3.设 x、y 均为正实数,且 A.4 答案:D 解析:由 B. 4 3

3 ? 3 ? 1? 则 xy 的最小值为( 2? x 2? y
D.16

)

C.9

3 ? 3 ? 1 可得 xy=8+x+y. 2? x 2? y

∵x,y 均为正实数, ∴ xy ? 8 ? x ? y ? 8 ? 2 xy ( 当且仅当 x=y=4 时等号成立), 即 xy ? 2 xy ? 8 ? 0? 可解得 xy ? 4? 即 xy ? 16? 故 xy 的最小值为 16. 4.已知 x? y ? R ? ? 且满足 x ?

3

y ? 1? 则 xy 的最大值为 4
y y ?2 x? ? 4 3 4

.

答案:3 解析:因为 x>0,y>0,所以 x ?

3

xy xy ?即 ? 1? 解得 xy ? 3? 所以其最大值为 3 3
.

3.

2 5.已知 t>0,则函数 y ? t ? 4t ? 1 的最小值为 t
答案:-2

2 解析: y ? t ? 4t ? 1 ? t ? 1 ? 4 ? ?2( ∵t>0),当且仅当 t=1 时 ? ymin ? ?2 . t t
6.若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数 f ( x) ? a x ?1 ? 1(a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过同一个定点, 则当 1 ? 1 取最小值时,函数?f(x)?的解析式是 .

a b 答案: f ( x) ? (2 2 ? 2) x ?1 ? 1 解析:函数 f ( x) ? a x ?1 ? 1 的图象恒过(-1,2),故

1 a ? b ? 1? 1 ? 1 ? ( 1 a ? b)( 1 ? 1 ) ? 3 ? b ? a ? 3 ? 2 .当且仅当 b ? 2 a 时取等 2 a b 2 a b 2 a 2b 2 2 号,将 b ? 2 a 代入 1 a ? b ? 1 得 a ? 2 2 ? 2? 故 f ( x) ? (2 2 ? 2) x ?1 ? 1 . 2 2
题组三 基本不等式的实际应用 7.某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当住第 n 层楼 时,上下楼造成的不满意度为 n,但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼 层升高,环境不满意度降低,设住第 n 层楼时不满意度为 8 ? 则此人应选(

n

)

A.1 楼 答案:C

B.2 楼

C.3 楼

D.4 楼

解析:应是不满意度之和最小,即 n ? 8 最小.当 n ? 8 最小时,有 n ? 8 ? n ? 2 2 ? 2 .828,

n

n

n

而 n 为整数,故取 n=3.选 C. 8.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的 运费 y2 与到车站的距离成正比,如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 米处. 答案:5 解析:设仓库建在离车站 d 千米处, 由已知 y1 ? 2 ? 1 ? 得 k1 ? 20? ∴ y1 ? 20 ? 千

k

y2 ? 8 ? k2 ?10? 得 k2 ? ? ∴ y2 ? d ?
4 5 4 5

10

d

∴ y1 ? y2 ? 20 ? 4d ? 2 20 ? 4d ? 8?

d

5

d

5

当且仅当 20 ? 4d ? 即 d=5 时,费用之和最小.

d

5

9.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一 定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 2 ? 水池所有墙的厚度忽略不计.

试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 解:设污水处理池的宽为 x 米,则长为 162 米. 则总造价 f ( x) ? 400 ? (2 x ? 2 ? 162 ) ? 248 ? 2 x ? 80 ?162 ? 1 296 x ? 1296 ?100 ? 12 960

x

x

x

=1 296( x ? 100 ) ? 12 960 x

? 1 296 ? 2 x ? 100 ? 12 960=38 880(元), x 当且仅当 x ? 100 ( x ? 0)? x
即 x=10 时取等号. ∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元. 题组四 基本不等式的综合应用 10.若 a 是 2 ? b 与 2 ? b 的等比中项,则 A. 2 答案:B 解析:∵a 是 2 ? b 与 2 ? b 的等比中项, ∴ a 2 ? 2 ? b2 ? 即 a 2 ? b2 ? 2 . 根据基本不等式知 B.1 C. 2

2ab 的最大值为( ?a???b?

)

4

D. 2

2

2ab ? 2 ? a ? ? ? b ? ? a 2 ? b 2 ? 1 . ?a???b? ?a???b? 2

当且仅当 a=b=1 或 a=b=-1 时等号成立. 即

2ab 的最大值为 1. ?a???b?

11.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x( x ? 10) 层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少 层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用 ?

购地总费用) 建筑总面积

解:设将楼房建为 x 层,则每平方米的平均购地费用为 2160 ?10 ? 10800 .

4

2000x

x

∴每平方米的平均综合费用

y ? 560 ? 48 x ? 10800 ? 560 ? 48( x ? 225 ) . x x
∵x>0, ∴ x ? 225 ? 2 x ? 225 ? 30?

x 225 ? 即 x=15 时,等号成立. 当且仅当 x ? x
所以当 x=15 时,y 有最小值为 2 000 元. 因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最小.?

x

?

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