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高考数学第一轮复习教案 专题6三角函数、三角恒等变换与解三角形



专题六

三角函数、三角恒等变换与解三角形

一、考试内容: 角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的图 像和性

质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 二、考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三 角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8) “同角三角函数基本关系式:sin2α +cos2α =1,sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1” . 三、命题热点 高考对给部分考查的主要内容为:任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、 诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍 角公式、正弦定理、余弦定理,并能步运用它们解斜三角形,并结合平面向量的概念和线性 运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。高考对该部分的考查重基础,虽然该部分内容 在试卷中试题数量多、占有的分值较多,但是试题以考查基础为主,试题的难度一般是中等 偏下。 在高考中重点考查: 三角函数的图像和性质、 正弦定理、 余弦定理、 平面向量的数量积、 平面向量的几何意义等。 四、知识回顾 1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角 ? 的 终 边 重 合 ) :

?? | ? ? k ? 360 ? ? , k ? Z ?
?



y
2 sinx 1 cosx cosx 4

②终边在 x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? , k ? Z

?

? ? ? ? ?

3 sinx 4 cosx cosx 1 sinx 2

③终边在 y 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90? , k ? Z

?

x

?

sinx 3

⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

⑥终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z

?

1

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°= ? ≈0.01745 (rad)
180

3、弧长公式: l

?| ? | ?r .

扇形面积公式: s扇形 ?

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos? ? x; r

1 1 lr ? |? | ? r 2 2 2
y a的 终边
P(x,y) r

y sin ? ? ; r

tan? ?

y; x

cot? ?

x; y

sec? ?

r r ;. csc? ? . x y

o

x

5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦)

6、三角函数线 正弦线:MP;
y P T

余弦线:OM;

正切线: AT.

16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

O

M

Ax

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

7. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx f (x) ? tanx f (x) ? cotx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?

定义域

2

f (x) ? secx f (x) ? cscx

1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ? ?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
cos?
co? s ? c o? t s in ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
tan? ? cot? ? 1 csc? ? sin ? ? 1
2 2
2 2

s e c ?c o s ?1 ? ?

sin ? ? cos ? ? 1 sec ? ? tan ? ? 1 csc2 ? ? cot2 ? ? 1

9、诱导公式:
把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式: (一)基本关系
公式组一 sinx·cscx=1 cosx·secx=1 tanx·cotx=1 tanx= x=
sin x cos x cos x sin x

sin2x+cos2x=1 1+tan2 x =sec2x 1+cot2x=csc2x

公式组二 sin(2k? ? x) ? sin x cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x cot(2k? ? x) ? cot x 公式组六 s i n (? x) ? s i n ? x c o s (? x) ? ? c o x ? s t a n (? x) ? ? t a n ? x c o ? (? x) ? ? c o x t t

公式组三 s i n?(x) ? ? s i n x c o s (x) ? c o s ? x t a n () ? ?t a n ?x x c o t () ? ?c o x ?x t

公式组四 sin(? ? x) ? ? sin x cos(? ? x) ? ? cos x tan( ? x) ? tan x ? cot( ? x) ? cot x ?

公式组五 s i n2? ? x) ? ? s i n ( x c o s ? ? x) ? c o s 2( x t a n ? ? x) ? ? t a n 2( x c o t ? ? x) ? ? c o x 2( t

(二)角与角之间的互换

公式组一 cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

公式组二 s i n? ? 2s i n c o ? 2 ? s
2 2 c o 2? ? c o 2 ? ? s i n ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? s s s

t a n? ? 2

2t a ? n 1? t a 2 ? n
1? c o ? s 2
1 ? cos? 2

sin ?? 2
cos

?

tan( ? ? ) ? ?

?
2

??

tan( ? ? ) ? ?

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

公式组三

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? sin ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 1 cos? cos ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 1 sin ? sin ? ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 sin ? cos ? ?

公式组四

公式组五

3

sin ? ?

2 tan 1 ? tan

?
2

2

?
2

? ?? cos 2 2 ??? ??? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin ? 2 2 2 tan ??? ? ?? 2 cos? ? cos ? ? 2 cos cos tan ? ? 2 2 2 ? 1 ? tan ??? ? ?? cos? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 2 6 ? 2 , tan15 ? ? cot 75 ? ? 2 ? 3 , tan 75 ? ? cot15 ? ? 2 ? 3 . 6? 2, ? ? ? ? sin 75 ? cos15 ? sin15 ? cos 75 ?
1 ? tan2 2

cos? ?

1 ? tan2

? ?
2

sin ? ? sin ? ? 2 sin

???

1 cos( ? ? ? ) ? sin ? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2 1 tan( ? ? ? ) ? cot? 2 1 cos( ? ? ? ) ? ? sin ? 2 1 tan( ? ? ? ) ? ? cot? 2 1 sin( ? ? ? ) ? cos? 2

4

4

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin ??x ? ? ?

(A、 ? >0) R

定义域 值域 周期性 奇偶性

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R
?

R
?

?? A, A?
2?

2?

2?

奇函数
?
2

偶函数
[?2k ? 1?? , 2k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

奇函数

? 当 ? ? 0, 非奇非偶 当 ? ? 0, 奇函数
? ? 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? ( A), ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 (? A)? ? ? ? 2 ??

[?

? 2k? ,

; ??

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函
数( k ? Z )

?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 ( k ?Z )

上 为 增 函 数 ( k ?Z )

?

2 3? ? 2 k? ] 2

? 2 k? ,

上为增函数; ? ? ? 2k? ? ? ?

上为减函 数 k ?Z ) (

? ? 2 ( A), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2k? ? 2 ? ? ? ? (? A)? ? ? ? ?

上 为 减 函 数 ( k ?Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f (x) 在 [a, b] 上递增(减) ,则 y ? ? f (x) 在 [a, b] 上递减(增).


② y ? sin x 与 y ? cos x 的周期是 ? . ③ y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?
2?

y

?

.
O

x

4

y ? tan

x 的周期为 2 ? ( ? T? ? T ? 2? ,如图,翻折无效). 2 ?

④ y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

(k ?Z ) ,对称中心( k? ,0 ) y ?(s ; o c

?x ? ? ) 的

对称轴方程是 x ? k?( k ? Z ) 对称中心 k? ? 1 ? ,0 ) y ? a , ( ; n t (
2

( ?x ? ? ) 的对称中心

k? . ,0 ) 2

y ? cos 2 x ??? ? y ? ? cos(?2 x) ? ? cos 2 x ?
原点对称

⑤当 tan? · ? ? 1, ? ? ? ? k? ? tan

?
2

tan (k ? Z ) ; tan? · ? ? ?1, ? ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥ y ? cos x 与 y ? sin? x ? ? ? 2k? ? 是同一函数,而 y ? (?x ? ? ) 是偶函数,则 ? ? 2 ? ?
1 y ? (?x ? ? ) ? sin(?x ? k? ? ? ) ? ? cos( x) . ? 2

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, )

y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是 f (x) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要) ,二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f ( ? x ) ? ? f ( x) )
1 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan(x ? ? ) 是非奇非偶.(定 3 义域不关于原点对称)

奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性 质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? ) ; ; ; y ? cos x 是周期函数(如图) y ? cos x 为周期函数( T ? ? )

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 ,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图) 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

⑩ y ? a cos? ? b sin ? ? a 2 ?b 2 sin(? ? ? ) ? cos? ? 11、三角函数图象的作法: 1) 、几何法:

b 有 a 2 ?b 2 ? y . a

2) 、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线) ,三点二线作图法(正、余切曲 线). 3) 、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

5

函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T ? 2? ,频率 f ? 1 ? | ? | ,相位 ? x ? ? ; 初相 ?
|? |

T

2?

(即当 x=0 时的相位)(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号) . , 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换. (用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 | 1 | 倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x
?

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移. (用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ) (A>0,ω >0) (x∈R)的 图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。 4、反三角函数: 函数 y=sinx, ? x ? ?? ? , ? ? 的反函数叫做反正弦函数,记作 y=arcsinx,它的定义域是[-1, ? ? ?
? ? ? 2 2 ?? ? ??

1] ,值域是 ?-? , ? . ?
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx, (x∈[0,π ] )的反应函数叫做反余弦函数,记作 y=arccosx,它的定 义域是[-1,1] ,值域是[0,π ] . 函数 y=tanx, x ? ? ? ? , ? ? 的反函数叫做反正切函数, 记作 y=arctanx, 它的定义域是 (- ? ? ? ?
? ? ? ? ? 2 2 ?? ?

∞,+∞) ,值域是 ? ? ? , ? . ?
? ? ? 2 2?

函数 y=ctgx, [x∈(0,π ) ]的反函数叫做反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义域 是(-∞,+∞) ,值域是(0,π ) . 注: (一)反三角函数. 1. 反三角函数: ?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数, arcsin(? x) ? ? arcsin x , ? ?? 1,1(一 故 ? x 定要注明定义域,若 x ? ?? ?,??? ,没有 x 与 y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数) 注: sin(arcsin x) ? x , x ? ?? 1,1? , arcsin x ? ?? ? , ? ? . ? 2 2? ? ? ?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos(? x) ? arccos(x) ? ? ? 2k? , x ? ?? 1,1? . 注:① cos(arccosx) ? x , x ? ?? 1,1? , arccos x ? ?0, ? ? . ② y ? cos x 是偶函数, y ? arccosx 非奇非偶,而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数.

6

?反正切函数: y ? arctan x ,定义域 (??,??) ,值域( ?
arctan(? x) ? ? arctan x , x ? (??,??) .

? ?

, n c t a r , ) y ?a 2 2

x 是奇函数,

注: tan(arctanx) ? x , x ? (??,??) . ?反余切函数: y ? arc cot x ,定义域 (??,??) ,值域( ?

? ?

arc cot(? x) ? arc cot(x) ? ? ? 2k? , x ? (??,??) . 注:① cot(arc cot x) ? x , x ? (??,??) . ② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( ? x) 互为奇函数,y ? arctanx 同理为奇而 y ? arccosx 与 y ? arc cot x 1 非奇非偶但满足 arccos(? x) ? arccosx ? ? ? 2k? , x ?[?1,1]arc cot x ? arc cot(? x) ? ? ? 2k? , x ?[?1,1] .

, c o r t , ) y ? a c x 是非奇非偶. 2 2

? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: 解集 a 的取值范围 ① sin x ? a 的解集

a 的取值范围

解集

② c o s ? a 的解集 x
?

a >1

a >1

?

a =1
a <1

?x | x ? 2k? ? a r c s a,n ? Z ? i k

a =1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ?

?x | x ? k? ? ??1?

k

arcsin a, k ? Z

?

a

<1

?x | x ? k? ? arccosa, k ? Z ?

③ tan x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arctana, k ? Z ? ③ cot x ? a 的解集: ?x | x ? k? ? arc cot a, k ? Z ?

二、三角恒等式. 组一

sin 2 ? cos? cos 2? cos 4? ...cos 2 n ? ? n ?1 2 sin ? 组二

n ?1

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?

sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos2 ? ? cos2 ?

? cos 2
k ?1

n

?
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?
2
n

?

sin ? 2 n sin

?
2n

? cos(x ? kd ) ? cos x ? cos(x ? d ) ? ? ? cos(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) cos(x ? nd ) sin d

? sin(x ? kd ) ? sin x ? sin(x ? d ) ? ? ? sin(x ? nd) ?
k ?0

n

sin((n ? 1)d ) sin(x ? nd ) sin d

tan( ? ? ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? ? tan? ? tan? tan ? tan? 1 ? tan? tan ? ? tan ? tan? ? tan? tan?

组三 三角函数不等式
sin x < x < tan x, x ? (0, ) 2

?

f ( x) ?

sin x 在 (0, ? ) 上是减函数 x

7

若 A ? B ? C ? ? ,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C 三、正、余弦定理: ?正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

( 2R 是 ?ABC 外接圆直径 )

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c 。 ? ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 ?余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个; cos A ? 等三个。 2bc

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 2 2 2 1 1 1 a、b、c 边上的高);② S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B .③ 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 S?OAB ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) 2
11.几个公式:?三角形面积公式:① S ? ?内切圆半径 r= 2S ?ABC ; 外接圆直径 2R=
a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

五、典型例题 一.选择题
1. 如果角?的终边过点(2sin 30?, ?2cos30?), 则sin ?的值等于 (C



A.

1 2

B.-

1 2

C.-

3 2

D.-

3 3

2.函数 y ? A.周期为

2 sin(2 x ? ? ) cos[2( x ? ? )] 是(C )

? ? 的奇函数 B. 周期为 的偶函数 4 4 ? ? C.周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 2 2 ? 3 3.已知 sin( ? x) ? , 则 sin 2x 的值为 (D ) 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25
4.设 a ?

1 3 2 tan13? 1 ? cos 50? cos 6? ? sin 6? , b ? ,c ? , 则有( C ) 2 2 1 ? tan 2 13? 2
B. a ? b ? c
2 2

A. a ? b ? c

C. a ? c ? b

D. b ? c ? a

5.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义城是(D )

8

A. ? x 2k? ?

? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? x ? k? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?
4

? x ? 2 k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?

C. ? x k? ?

? ?

?
4

?

? ,k ?Z? 4 ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?

6.如果函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,
那么(A )

A. T ? 2,? ?

?
2

B. T ? 1,? ? ?
2

C. T ? 2,? ? ?

D. T ? 1,? ?

?
2

7.若函数 y=(sin x-a) + 在sinx=1时取最大值,在sinx=a时取得最小值, 1 则实数a满足( B ) A.0≤a≤1 B.-1≤a≤0

C.a≤-1

D.a≥1

8.已知 tanα 、tanβ 是方程 x2+3 3 x+4=0 的两个根,且α 、β ∈(+β 的值是 ? A. 3 A.sin2
2? 3 2? ? 或3 3 2? ? 或 3 3

? ?

, ),则α 2 2 ( B )

B.-

C.

D.-

9. 2 ? sin 2 2 ? cos 4 的值等于 B.-cos2 C. 3 cos2

( D.- 3 cos2

D



10.将函数 y ? f ( x)sin x 的图象向右平移

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到 4

y ? 1 ? 2sin 2 x 的图象,则 f ( x) 可以是( B )
A. cos x B. 2cos x

11.设 f ( x) ? x sin x, 若 x1 , x2 ? [? A. x1 ? x2 B. x1 ? x2 ? 0

? ?

C. sin x

D.

2sin x

, ], 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 则下列结论中必成立的是( D) 2 2
C. x1 ? x2
2

D. x1 ? x2
2

2

12. θ 是三角形中一个最小内角,且 a ? cos

?
2

? sin 2

?
2

? cos2

?
2

? a ? sin 2

?
2

? a ? 1,

则 a 的取值范围为( C ) A. ?3 ? a ? ?1 B. a ? ?3
二.填空题 13.已知 sin

C. a ? ?3

D. a ? ?3

?
2

? cos

?
2

?

2 3 1 , 那么 sin ? 的值为 3 3

, cos 2? 的值为

7 ; 9

14. 已知 sin?cos?=1,则 cos

?+?
2

??

2 . 2

9

15..圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是 2 3 16.已知在 ?ABC 中, 3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, 则角 C 的大小为 三.解答题

? 6

( 3 tan12? ? 3)
17.(1)求值: 解:(1)原式

1 sin12? 2 4 cos 12? ? 2

(
=

3 sin12? 1 1 3 ? 3) ? 2 3 ( sin12? ? cos12?) cos12? sin 12? ? 3 sin 12? ? 3 cos12? ? 2 2 sin 24? ? cos 24? 2(2 cos2 12? ? 1) sin 24? ? (2 cos2 12? ? 1)

?

2 3 sin(12 ? ? 60 ?) ? ?4 3 1 sin 48 ? 2
2 2

(2)已知 6 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos ? ? 0,? ? [

?

, ? ], 求 sin(2? ? ) 的值. 2 3

?

解:(2)由已知得: (3 sin? ? 2 cos? )(2 sin? ? cos? ) ? 0

? 3 s i n ? 2 c o ? ? 0或2 s i n ? c o ? ? 0 ? s ? s
由已知条件可知 cos? ? 0, 所以? ?

?

? 2 ,即? ? ( , ? ). 于是 tan? ? 0,? tan? ? ? . 2 2 3

3 ? ? ? (cos2 ? ? sin 2 ? ) sin(2? ? ) ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? sin ? cos? ? 2 3 3 3

sin ? cos? 3 cos2 ? ? sin 2 ? tan ? 3 1 ? tan 2 ? ? ? ? ? ? ? . 2 cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 2 1 ? tan 2 ? cos2 ? ? sin 2 ?

2 将 tan? ? ? 代入上式得 3 2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 ? 3 3 3 ? ? 6 ? 5 3.即为所求. sin(2? ? ) ? ? ? ? 2 2 3 2 13 26 1 ? (? ) 2 1 ? (? ) 2 3 3

(3)已知sinα 是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求
3 ? ? ?3 ? sin ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? tan 2 (2? ? ? ) 2 ? ? ?2 ? 的值. ?? ? ?? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cot(? ? ? ) ?2 ? ?2 ?
10

解:(3),已知 sinα 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,? sin a ?
2

3 , 或2 (舍去) 5

3 4 ? cos a ? ? 1 ? sin 2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? 5 5 2 cos a ? (? cos a) ? tan a 1 3 又? 原式 ? ?? ?? sin a ? (? sin a) ? (? tan a) tan a 4 ? 3? ? ? 3 3? 5 18.已知 ? ? ? , 0 ? ? ? , cos( ? ?) ? ? , sin( ? ?) ? ,求sin(? + 4 4 4 4 5 4 13 ?)的值. ? 3? ? ? ? 3 ? 4 解:∵ ? ? ? ∴ ? ? ? ? ? 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? 4 5 4 4 2 4 4 5 ? 3? 3? 3? 5 3? 12 ∵0 ? ? ? ∴ ∴ cos( ? ?) ? ? ? ? ? ? ? 又 sin( ? ?) ? 4 4 4 4 13 4 13 ? 3? ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[( ? ?) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 4 12 3 5 63 ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 4 4 4 4 5 13 5 13 65

19.关于 x 的方程 sin x ? 3 cos x ? a ? 0 在区间 [0, 2? ] 上有且只有两个不同的实根,
(1)求实数 a 的范围. 解:(1)原方程可化为 sin( x ? (2)求这两个实根的和.

?
3

)??

a ,方程在 ? 0, 2? ? 上有两个相异的实根,则必须满 2

a ? ??1 ? ? 2 ? 1 ? 足? ,解得 ?2 ? a ? ? 3, 或 ? 3 ? a ? 2 . ? ?a ? 3 ? 2 ? 2
(2) 当 ?2 ? a ? ? 3时, 即

3 a ? ? ? ? 1 , 方 程 的 一 根 为 x1 ? ? b , 则 另 一 根 为 2 2 6

x2 ?

?
6

? b,? x1 ? x2 ?

?
3

;

当 ? 3 ? x ? 2 时 , 即 ?1 ? ?

a 3 7 ?? , 方 程 的 一 根 为 x1 ? ? ? b , 另 一 根 为 2 2 6

7 7 x2 ? ? ? b,? x 1? x 2 ? . ? 6 3
20.已知函数 f ( x) ? a(cos x ? sin x cos x) ? b
2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 0 且 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a, b 的值.
11

解: (1) f ( x) ? 由 2k? ?

a 2a ? a (1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ? b ? sin(2 x ? ) ? ? b, 2 2 4 2

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

( k ? Z ) 得 k? ?

?当 a ? 0 时, f ( x) 的递增区间为 [k? ?
(2)由 0 ? x ?

3? ? , k? ? ](k ? Z ). 8 8

3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ), 8 8

?
2



?
4

? 2x ?

?
4

?

5? 2 ? ,?? ? sin(2 x ? ) ? 1. 4 2 4

又a ? 0?

2 ?1 2a ? a a?b ? sin(2 x ? ) ? ? b ? b, 2 2 4 2

? 2 ?1 a ? b ? 3 ?a ? 2 ? 2 2 ? ? ?? . 由题意知 ? 2 ? b?4 ? ? b?4 ?
21、一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀 速直线运动,到达点 B 时,发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己 的速度向点 A 作匀速直线滚动.如图所示,已知

A B? 4 2 d m A D , ?

1 7 d mB A C . 4 5 ? , ? 若忽略机器人原地旋转 ?

所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?

解 设该机器人最快可在点 C 处截住足球,点 C 在线段 AD 上,设 BC ? xdm ,由题意, CD ? 2xdm . AC ? AD ? CD ? (17 ? 2 x)(dm) . 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得
2 2 B C ? A B?

A 2C ? 2

? A Bc o s AC
4
2

A
? x





x2 ? (

? . 解 得2x1 ? 5(dm), x2 2?

37 ) (dm) . ∴ 3

x

?

23 . (dm) (不合题意,舍去) 3 答 该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7dm 的点 C 处截住足球.
A C? 1 7 ? 2 x ? 7 ( d,或 AC ? ? m)
六、近年高考试题分析 (2011 湖南文科)17. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 4 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C.
因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ?

?

?
4
12

(II)由(I)知 B ?

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3

?

?

2sin( A ? ) 取最大值 2. 6
综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

(2010 湖南文科)7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=1 20°, c= 2 a,则 A.a>b C. a=b B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

(2010 湖南文科)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x
2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

13

七、总结 1.?角度制与弧度制的互化: ? 弧度 ? 180 , 1 ?
?

?

?

R ?弧长公式: l ? ?·

180 1 1 扇形面积公式: S扇 ? · ? ?· l R R2 2 2

弧度, 1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 '

R 1 弧度 O R

2. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义

s i n ? MP, c o s ? OM, t a n ? AT ? ? ?

14

y B P α O M A x S T

如:若 ?

? ? ? ? 0,则 sin ?, cos ?, tan ?的大小顺序是 8

?? ? 又 如 : 求 函 y ? 1 ? 2 c o ? ? x? 的 定 义 域 和 值 域 。 数 s ?2 ?

?? ? (∵1 ? 2 cos? ? x? ) ? 1 ? 2 sin x ? 0 ?2 ? ∴ sin x ? 2 ,如图: 2

∴2 k? ?

5? ? ? x ? 2 k? ? ?k ? Z?,0 ? y ? 1 ? 2 4 4

3.能迅速画出正弦、 余弦、 正切函数的图象吗?并由图象写出单调区间、 对称点、 对称轴吗?

s i n ? 1, cos x ? 1 x
15

y

y? tgx

?

?
2

O ?

?

x

2

? ? ? 对称点为? k , 0? ,k ? Z ? 2 ?
? ?? ? y ? s i n 的增区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? ? ? k ? Z? x 2 2? ? ? 3? ? ? 减区间为 ?2 k? ? , 2 k? ? ? ? k ? Z? 2 2? ?

图象的对称点为? k?, 0?,对称轴为 x ? k? ?
y ? c o s 的增区间为?2 k?, 2 k? ? ?? ? k ? Z? x

? ?k ? Z? 2

减区间为?2 k? ? ?, 2 k? ? 2 ?? ? k ? Z?

? ? ? 图象的对称点为 ? k? ? , 0? ,对称轴为 x ? k? ? k ? Z? ? ? 2

? ? y ? t a n 的增区间为? k? ? ,k? ? x ? 2

?? ? k ?Z 2?

?或 4. 正弦型函数y = A s i?n x + ? ?的图象和性质要熟记。 y ? A c o ??x ? ? ?? ? s
(1)振幅| A| ,周期T ? 2? | ?|

若f ?x 0 ? ? ?A,则x ? x 0 为对称轴。

若f ?x 0 ? ? 0,则? x 0 ,0?为对称点,反之也对。

(2 )五点作图:令 ?x ? ? 依次为 0,
(x,y)作图象。

? 3? ,?, ,2? ,求出x与y,依点 2 2

16

(3)根据图象求解析式。(求A、?、?值)

?? ( x 1 ) ? ? ? 0 ? 如图列出 ? ? ?? ( x 2 ) ? ? ? 2 ?

解条件组求?、?值

?正切型函数 y ? A tan??x ? ??,T ?

? | ?|

5. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值,再判定角的 范围。

? 如: cos? x ? ?

?? 2 3? ? ? ,x ? ??, ? ,求x值。 ??? 6? 2 2? ?

(∵? ? x ?

3? 7? ? 5? ? 5? 13 ,∴ ? x? ? ,∴x ? ? ,∴x ? ?) 2 6 6 3 6 4 12

6. 在解含有正、余弦函数的问题时,你注意(到)运用函数的有界性了吗?

如:函数y ? sin x ? sin| x| 的值域是 (x ? 0时,y ? 2 sin x ?? ?2 ,2?,x ? 0时,y ? 0,∴y ?? ?2 ,2?)
7 熟练掌握三角函数图象变换了吗? ? y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴:令 ? x ? ? ? k? ?

?
2

,得 x ? ?;

对称中心:

(

k? ? ? ,0)(k ? Z ) ; ?
? y ? A cos( x ? ? ) 对称轴:令 ?x ? ? ? k? ,得 x ? ?
k? ?

k? ? ?

?

;对称中心:

?
2

??

(

?

,0)( k ? Z ) ;

?周期公式:①函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及 y ? A cos(? x ? ? ) 的周期 T ? 为常数,

2?

?

(A、ω 、?

17

且 A≠0).②函数 y ? A tan??x ? ? ? 的周期 T ? (4)三角函数的单调区间及对称性: ? y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ?

? (A、ω 、 ? 为常数,且 A≠0). ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?

k ? Z ,单调递减区间为

? 3? ? ? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? k ? Z , 对 称 轴 为 x ? k? ? 2 (k ? Z ) , 对 称 中 心 为 ? ? ? k? , 0 ? ( k ? Z ) .
? y ? cos x 的 单 调 递 增 区 间 为 ? 2k? ? ? , 2k? ? k ? Z , 单 调 递 减 区 间 为

? 2 k? , 2 k? ? ? ? k ? Z ,
对称轴为 x ? k? (k ? Z ) ,对称中心为 ? k? ? ? y ? tan x 的单调递增区间为 ? k? ? (5)平移变换、伸缩变换 平移公式:

? ?

?

? , 0 ? (k ? Z ) . 2 ? ? k? ? ,0 ? ?k ? Z ? . ? k ? Z ,对称中心为 ? 2? ? 2 ?

? ?

?
2

, k? ?

??

? ? x' ? x ? h a ?( h,k ) (1)点P(x,y) ? ????? P' (x' ,y' ),则 ? ? 平移至 ? y' ? y ? k
( 2 ) 曲 线( x,y) ? 0沿 向 量 ? ( h,k ) 平 移 后 的 方 程f为 ? h,y ? k ) ? 0 f a (x
?

?? ? 如:函数 y ? 2 sin? 2 x ? ? ? 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的 ? 4?
图象?

? (y ? 2 sin? 2 x ? ?

?? ? ? 1 ? ?? 横坐标伸长到原来的 2 倍 ? ? 1 ? ?????????? y ? 2 sin ?2? x? ? ? ? 1 ? 4 ? ?2 ? 4?

? 左平移 个单位 ?? ? 4 ? 2 sin? x ? ? ? 1 ? ????? ? y ? 2 sin x ? 1 ?上平移1个单位? y ? 2 sin x ? ????? ? ? ? 4
1 2 ? ?????????? y ? sin x)
纵坐标缩短到原来的 倍

8. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗?

如:1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sec 2 ? ? tan 2 ? ? tan ?· cot ? ? cos ?· sec ? ? tan ? sin ? ? cos 0 ? ??称为1的代换。 2

? 4

18

“ k·

? ? ?”化为 ? 的三角函数——“奇变,偶不变,符号看象限”, 2
9? ? 7? ? ? tan? ? ? ? sin?21?? ? ? 6? 4

“奇”“偶”指 k 取奇、偶数。 、

如: cos

又如:函数y ?
A. 正值或负值

sin ? ? tan ? ,则y的值为 cos ? ? cot ?
B. 负值 C. 非负值 D. 正值

sin ? 2 cos ? ? sin ??cos ? ? 1? ? 0,∵? ? 0) (y ? cos ? cos2 ??sin ? ? 1? cos ? ? sin ? sin ? ?
9. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式: ① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?
2 2 2 2
2 2

② sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ; cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? . ③ a sin ? ? b cos? = a ? b sin(? ? ? ) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 (a, b ) 所在的象 限 决定, tan ? ? (2)二倍角公式: ① sin 2? ? 2 sin ? cos? . (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2?
2

b ). a

② cos 2? ? cos

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? 2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? (升幂公式). 1 ? cos 2?
2

2

(降幂公式).

(3)理解公式之间的联系:

令??? s i n? ? ?? ? s i n c o s ? c o s s i n ??? ? s i n ? ? 2 s i n c o s ? ? ? ? ? 2 ? ? ?
令 ? ?? c o ?? ? ?? ? c o s c o s ? sin ? sin ? ? ?? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? s ? ? ?
t a n? ? ?? ? ? tan ?tan ? ? 1? t a n · t a n ? ?
2 ? 2c o 2 ? ?1 ? 1? 2s i n ? ? s

tan? ? 2

2t a n ? 2 1? t a n ?

1? c o s? 2 2 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 c o2? ? s

a s i n ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin?? ? ??, tan ? ? ?

b a
19

?? ? s i n ? cos ? ? 2 sin? ? ? ? ? ? 4? ?? ? s i n ? 3 cos ? ? 2 sin? ? ? ? ? ? 3?
应用以上公式对三角函数式化简。 (化简要求:项数最少、函数种类最少,分母中不含 三角函数,能求值,尽可能求值。 ) 具体方法:

(1)角的变换:如? ? ?? ? ?? ? ?,

? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?2 ? 2 2

(2)名的变换:化弦或化切 (3)次数的变换:升、降幂公式 (4)形的变换:统一函数形式,注意运用代数运算。

sin ? cos ? 2 ? 1, tan?? ? ?? ? ? ,求 tan?? ? 2??的值。 1 ? cos 2? 3 sin ? cos ? cos ? 1 (由已知得: ? ? 1,∴ tan ? ? 2 2 sin ? 2 2 sin ? 2 又 t a n? ? ?? ? ? 3 2 1 ? t a n? ? ?? ? t a n ? ? 3 2 ? 1) ∴ t a n? ? 2?? ? t a n?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1 ? t a n? ? ??· t a n ? 1? 2 · 1 8 ? 3 2 如:已知
10、 (1)正、余弦定理: ?正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

( 2R 是 ?ABC 外接圆直径 )

注:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;② a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; ③

a b c a?b?c 。 ? ? ? sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
2 2 2

?余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A 等三个; cos A ? 11.几个公式:?三角形面积公式:① S ?

b2 ? c2 ? a2 等三个。 2bc

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 2 2 2 1 1 1 a、b、c 边上的高);② S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B .③ 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 S?OAB ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB) 2
?内切圆半径 r= 2S ?ABC ; 外接圆直径 2R=
a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

20

(2)熟悉正、余弦定理的各种表达形式,实现边、角转化,从而解斜三角形

余弦定理:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc cos A ? cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 2 bc

(应用:已知两边一夹角求第三边;已知三边求角。 )

?a ? 2 R sin A a b c ? 正弦定理: ? ? ? 2 R ? ?b ? 2 R sin B sin A sin B sin C ?c ? 2 R sin C ?

S? ?

1 a·b s i n C 2

∵A ? B ? C ? ?,∴A ? B ? ? ? C

A?B C ∴ s i nA ? B? ? s i n , s i n C ? cos ? 2 2 A?B 如?ABC中,2 sin 2 ? cos 2C ? 1 2
(1)求角C;

c2 ( 2 )若a ? b ? ,求 cos 2A ? cos 2 B的值。 2
2 2

((1)由已知式得:1 ? cos?A ? B? ? 2 cos2 C ? 1 ? 1

又A ? B ? ? ? C,∴2 cos2 C ? cos C ? 1 ? 0

1 或 cos C ? ?1(舍) 2 ? 又0 ? C ? ?,∴C ? 3 1 (2 )由正弦定理及a 2 ? b 2 ? c 2 得: 2 3 2 2 2 2 ? 2s i n A ? 2s i n B ? s i n C ? s i n ? 3 4 3 1 ? cos 2A ? 1 ? cos 2 B ? 4 3 ∴ cos 2A ? cos 2 B ? ? ) 4 ∴ cos C ?
11. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

?? ? ? 反正弦: arcsin x ? ?? , ? ,x ?? ?1,1? 2? ? 2
反余弦: arccos x ??0,??,x ?? ?1,1?

21

? ? ?? ?x 反正切: arctan x ? ? ? , ?, ? R ? ? 2 2?
八、命题预测 预测 1.将函数 y= sin 2x 的图像向左平移 解析式是 A.y= cos2x C.y=1+ sin ? 2 x ? B.y= 2cos x
2

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的函数 4

? ?

??
? 4?

D.y= 2sin x

2

解析::将函数 y ? sin 2 的图象向左平移 x

y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2
y ? 1 ? cos 2 x ? 2cos 2 x ,故选 B. ?? ? 预测 2.已知向量 m ? (2cos ? x,1), n ? ( 3 sin ? x ? cos ? x, a) ,其中 ( x ? R, ? ? 0) ,函数 ?? ? f ( x) ? m ? n 的最小正周期为 ? ,最大值为 3。 (1)求 ? 和常数 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间。
解析: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3 sin ? x cos ? x ? 2 cos ? x ? a ,
2

?

? ? 个 单 位 , 得 到 函 数 y ? s i n 2x ? 即 ( ) 4 4

?? ?

? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1 ? a ? 2sin(2? x ? ) ? a ? 1 , 6 2? 由T ? ? ? ,得 ? ? 1 。 2?
又当 sin(2? x ?

?

?

6

) ? 1 时 ymax ? 2 ? a ? 1 ? 3 ,得 a ? 2 .

(2)由(1) f ( x) ? 2sin(2 x ? 即 k? ?

?
6

) ? 1当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

?
6

? x ? k? ?

?
3

,故 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

, k? ? ] , ( k ? Z ) 。 6 3

?

动向解读:本题主要结合三角函数与平面向量考查了三角函数的图像与性质。三角函 数解答题的命题方向: (1)考查三角函数的图像与性质为主,一般需要求出函数的解析式, 通过三角恒等变换的方法变换函数的解析式。 (2)考查三角形中的三角恒等变换,其核心 为根据正余弦定理实现边角之间的互化。 (3)考查利用正余弦定理解三角形(包括实际应 用题) ,这在近几年课标区高考试题中经常考到。 九、巩固练习 A组 (1)若角 ? 的终边过点 P(a,3a)(a ? 0) ,则 sin ? 的值为(C )

22

3 10 (A) 10

10 (B) 10

?
(C)

3 10 10

?
(D)

10 10

(2) (A)0

y ? 1 ? cos x ( x ? ?0, 2? ? )
(B)1 (C)2

的图象与直线 (D)3

y?

3 2 的交点的个数为( )

C

提示:作出

y ? 1 ? cos x ( x ? ?0, 2? ? )

的图象,直线

y?

3 2 ,数形结合

a A ? 60?, b ? 1, S ? ABC ? 3 ,则 sin A 的值为( ) (3)在△ ABC 中,
8 3 (A) 81 26 3 (B) 3 2 39 (C) 3

(D) 2 7

(3)C

1 1 S ? ABC ? bc sin A ? 1? c ? sin 60? ? 3 2 提示:∵ ,∴ 2 ,∴ c ? 4 -

2 2 2 2 2 又 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 4 ? cos60? ? 13 ,∴ a ? 13 ,

a 13 13 2 39 ? ? ? sin A sin 60? 3 3 2 ∴

(4)化简 1 ? sin 20? 的结果是( ) B 提示:
1 ? sin 20? ? sin 2 10? ? cos 2 10? ? 2sin10? cos10? ? (sin10? ? cos10?) 2 ? sin10? ? cos10?



∵ sin10? ? sin80? ? cos10? ,∴ 1 ? sin 20? ? cos10? ? sin10? 。 (A) cos10? (B) cos10? ? sin10? (C) sin10? ? cos10? (D) ?(cos10? ? sin10?)

(5)在△ ABC 中,若 a ? 18, b ? 24, A ? 44? ,则此三角形解的情况为( ) (A)无解 (B)两解 (C)一解 (D)解的个数不能确定

B

提示:∵

b sin A ? b sin 44? ? b sin 45? ? 24 ?

2 ? 12 2 ? 18 ? 24 2 ,

∴ b sin A ? a ? b ,∴此三角形有两解 (6)若 sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ?)sin ? ? m ,且 ? 为第三象限角,则 cos ? 的值为( )
23

2 (A) 1 ? m

2 (B) ? 1 ? m

(C)

m2 ? 1

2 (D) ? m ? 1

B

提示: sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? ? sin ? ? m ,

cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? m 2 ∴ sin ? ? ?m ,∵ ? 为第三象限角,∴ cos ? ? 0 ,∴
(7)有以下四种变换方式: A

? 1 向左平行移动 4 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 2 ; ? 1 向右平行移动 8 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 2 ;
1 ? 每个点的横坐标缩短为原来的 2 ,再向右平行移动 8 个单位长度; 1 ? 每个点的横坐标缩短为原来的 2 ,再向左平行移动 8 个单位长度.

?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 4 ? 的图象的是( ) ? 其中能将函数 y ? sin x 的图象变为函数
(A)①和④ (B)①和③ (C)②和④ (D)②和③ (8)在△ ABC 中,若 (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? 3bc ,则 A =( ) (A) 150? (8)C (B) 120? (C) 60? (D) 30?

2 2 2 2 2 提示:∵ (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? (b ? c) ? a ? b ? c ? 2bc ? a ? 3bc ,

2 2 2 ∴ b ? c ? a ? bc ,∴

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2 ,又 0? ? A ? 180? ,∴ A ? 60?

(9)已知

tan ? ? ?

1 7sin ? ? 3cos? 3 ,则 4sin ? ? 5cos ? 的值为

提示:

7sin ? ? 3cos ? 7sin ? ? 3cos ? 7 tan ? ? 3 16 cos ? ? ? ?? 4sin ? ? 5cos ? 4sin ? ? 5cos ? 4 tan ? ? 5 11 cos ?



(10)函数 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ?? ? ? ? 0,? ? 0) 在一个周期的区间上的图象如图, 则 A= ,? = ,? = .

24

A ? 5, ? ?

?
8

3 ,? ? ? ? 4

(11)已知 tan ? ? 2 , (1)求 tan(? ? ? ) ; (2)求 ? ? ? 的值.

tan ? ? ?

1 ? ? 0 ?? ? , ? ? ?? 3 ,其中 2 2 .

1 2? tan ? ? tan ? 1 3 ?7. ? 解 (1)∵ tan ? ? 2 , tan ? ? ? ,∴ tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 2 3 3 1 2? tan ? ? tan ? 3 ? 1 ,又∵ 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , ? ∵ tan(? ? ? ) ? 2 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 2 2 3


?
2

?? ? ? ?

3? ? 3? 5? 5? ,在 与 之间,只有 的正切值等于 1,∴ ? ? ? ? 2 2 2 4 4

7? ?? ? 3 17? sin 2 x ? 2sin 2 x cos ? ? x ? ? , ?x? 4 ,求 ?4 ? 5 12 1 ? tan x (12)已知 的值. ?? ? 3 ? ? 3 cos ? ? x ? ? cos cos x ? sin sin x ? 4 5 ,∴ ? ? 4 4 5, 解 法一 ∵



cos x ? sin x ?

3 2 5 ??① 2sin x cos x ? 7 25 ??③,

又有 sin x ? cos x ? 1 ??②,∴②-①2 得
2 2

17? 7? ?x? 4 ,∴ sin x ? 0,cos x ? 0 , 又∵ 12
sin x ? ? 7 2 2 ,cos x ? ? 10 10 ,∴ tan x ? 7
2

∴联立①③

? 7 2? ? 7 2? 2 2??? ? 2? ? ?? ? ? 10 sin 2 x ? 2sin 2 x 2sin x cos x ? 2sin 2 x ? 10 ? ? 10 ? ? ? 28 ? ? sin x 1 ? tan x 1? 7 75 1? cos x ∴

25

? ? 7 ? 7 cos 2( ? x) ? 2cos2 ( ? x) ? 1 ? ? cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 4 4 25 ,∴ 2 25 , 法二 ∵
sin 2 x ?
7 24 7 17? 7? 17? 7? cos2 x ? ? 1 ?( ) 2 ? ? ?x? ? 2x ? 25 25 ,∴ 25 ,又∵ 12 4 ,∴ 6 6 ,∴



7 49 ? 49 2sin 2 x sin 2 x ? 2sin 2 x 28 tan x ? ?7 2sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? ? ? 25 25 ? ? sin 2 x 25 ,又 1 ? tan x 1? 7 75 ,∴
(13)一个单摆如图所示,小球偏离铅垂方向的角为 ? (rad),? 作为时间 t

的函数,满足关系

? (t ) ? sin ? 2t ?

1 2

? ?

??

? 2?.

求: (1)最初时 (t ? 0)? 的值是多少? (2)单摆摆动的频率是多少? (3)经过多长时间单摆完成 5 次完整摆动?

1 ? ?? 1 ? 1 1 ? 2 1 ? (0) ? sin ? 2 ? 0 ? ? ? sin ? f ? ? ? ? 2 ? 2? 2 2 2; T 2? 2? ? ; 提示: (1) (2)
(3) t ? 5T ? 5? .

(14)已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (1)求 f ( x) 的最小正周期;

? ? ?? ?? , ? (2)画出函数 y ? f ( x) 在区间 ? 2 2 ? 上的图象.
解 (1)

f ( x) ? 2sin 2 x ? 2sin x cos x ? 2 ?

1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 2 4



T?

2? ?? 2

26

y
1+ 2

? - 8 ? - 2

1

O
1- 2

? 8

3? 8

? 2

x

(2)五点法作图(略)

?? ?? ? ? f ( x) ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? cos x ? a 6? 6? ? ? (15)已知函数 的最大值为 1.
(1)求常数 a 的值; (2)求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合. 解 (1) f ( x) ? (sin x cos

?

? cos x sin ) ? (sin x cos ? cos x sin ) ? cos x ? a 6 6 6 6

?

?

?

? 3 sin x ? cos x ? a

? 2sin( x ? ) ? a 6
∴ f ( x)max ? 2 ? a ? 1,∴ a ? ?1

?

? ? ? 1 (2)∵ f ( x) ? 2sin( x ? ) ?1 ,∴ 2sin( x ? ) ? 1 ? 0 ,∴ sin( x ? ) ? , 6 6 6 2 ? ? 5? 2? ∴ 2k? ? ? x ? ? 2k? ? , k ?Z , , k ? Z ,解得 2k? ? x ? 2k? ? 3 6 6 6
? ? 2? , k ? Z? ∴使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合为 ? x 2k? ? x ? 2k? ? 3 ? ?
B组

13? ? ? 15? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ? = 8? ? 22? ? ? ? 20? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? tan ? ? ? ? ??m 7 ? 7 ? ? 7 ? ? ? (16)设 ,则

















sin 2 30? ? cos 2 60? ? sin 30? cos 60? ?

3 4



sin 2 20? ? cos2 50? ? sin 20? cos50? ?


3 3 sin 2 15? ? cos 2 45? ? sin15? cos 45? ? 4, 4 ,?,归纳得

27

8? ? 提示: tan ? ? ? 7 ?

?? ? ? ? ? m ? tan ? ? ? ? ? m , 7? ? ?

13? ? ?? ? 15? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 m ? 3 7 7 ? 7? ? ? 原式= ? = ? ? 22? ? ?? m ?1 ? 20? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? tan ? ? ? ? ? 1 ? 7 ? 7? ? 7 ? ? ?

sin 2 (? ? 15?) ? cos2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) ? 3 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? ,其中 ? ? ? ? 30? ,等等。 4 略证:
sin 2 (? ? 15?) ? cos 2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?)

3 或 4

1 ? cos 2(? ? 15?) 1 ? cos 2(? ? 15?) 1 ? ? {sin[(? ? 15?) ? (? ? 15?)] ? sin[(? ? 15?) ? (? ? 15?)]} 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? cos(2? ? 30?) ? ? cos(2? ? 30?) ? [sin 2? ? sin( ?30?)] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1 ? (cos 2? cos 30? ? sin 2? sin 30?) ? (cos 2? cos 30? ? sin 2? sin 30?) ? sin 2? ? sin 30? 2 2 2 2 3 1 3 1 1 1 ?1? sin 2? ? cos 2? ? cos 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 4 4 4 4 2 4 3 ? 4 ?
. (18)已知 ? 为第二象限的角,化简:

cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

解:∵ ? 为第二象限的角,∴ sin ? ? 0,cos? ? 0 , ∵

(1 ? sin ? ) 2 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? ) 2 ? ? ? ? , 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) cos ? ? cos ? cos 2 ?

(1 ? cos ? ) 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? (1 ? cos ? ) 2 ? ? ? ? , 1 ? cos ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) sin ? sin ? sin 2 ?
∴ cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? cos ? sin ?

1 1 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? 2 3; (19)已知
(1)求证: sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? ; (2)求证: tan ? ? 5tan ? .

28

证明 (1)∵

sin(? ? ? ) ?

1 1 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2, 2 ??① ,∴



sin(? ? ? ) ?

1 1 sin ? cos ? ? cos? sin ? ? 3 ,∴ 3 ??② 5 1 ,cos ? sin ? ? 12 12 ,∴ sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? ,得证

联立①②解得

sin ? cos ? ?

sin ? sin ? ?5 cos ? ,∴ tan ? ? 5tan ? ,得证 (2)由 sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? 得 cos ?
(20)如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m,圆 上最低点与地面距离为 0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面 垂直.以 OA 为始边,逆时针转动 ? 角到 OB .设 B 点与地面距 离为 h . (1)求 h 与 ? 的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动, 经过 t 秒到达 OB ,求 h 与 t 的函数解析式; (3)填写下列表格:

?
h(m) t (s) h(m)

0?

30?

60?

90?

120?

150?

180?

0

5

10

15

20

25

30

(20)解 (1) ∵ h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OB sin ? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) , ∴ h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0)

(2)∵

??

2? ? ? 60 30 , ? ? ?t , h ? 5.6 ? 4.8cos



??

?

30 ,∴

t

?
30

t (t ? 0)

(3)

?
h(m) t (s) h(m)

0? 0.8
0

30? 1.44
5

60? 3.2
10

90? 5.6
15

120? 8
20

150? 9.77
25

180? 10.4
30

0.8

1.44

3.2

5.6

8

9.77

10.4

29

解斜三角形
1、 已知△ ABC 的 三个内角 A、 C 满足 A+C=2B. B、 的值. 解法一:由题设条件知 B=60° ,A+C=120° . 设 α=

1 1 2 A?C , cos 求 ? ?? cos A cos C cos B 2

A?C ,则 A-C=2α,可得 A=60° +α,C=60° -α, 2 1 1 1 1 所以 ? ? ? cos A cos C cos(60? ? ?) cos(60? ? ?) 1 1 cos ? cos ? ? ? ? ? , 1 3 2 3 2 2 1 3 1 3 cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 4 4 4 2 2 2 2
cos ?

依题设条件有

? 2 ? , 3 cos B 2 cos ? ? 4 1 cos ? ? cos B ? ,? ? ?2 2. 2 cos 2 ? ? 3 4

整理得 4 2 cos2α+2cosα-3 2 =0(M) (2c osα- 2 )(2 2 cosα+3)=0,∵2 2 cosα+3≠0, ∴2cosα- 2 =0.从而得 cos

A?C 2 . ? 2 2

解法二:由题设条件知 B=60° ,A+C=120°

?

? 2 1 1 ? ?2 2 ,? ? ? ?2 2 cos 60? cos A cos C

①,

把①式化为 cosA+cosC=-2 2 cosAcosC ②, 利用和差化积及积化和差公式,②式可化为

2 cos
③,

A?C A?C cos ? ? 2[cos( A ? C ) ? cos( A ? C )] 2 2 A?C 1 1 =cos60° ,cos(A+C)=- 代入③式得: = 2 2 2

将 cos

A?C 2 ④ ? ? 2 cos( A ? C ) 2 2 A?C A?C A?C 将 cos(A-C)=2cos2( )-1 代入 ④: 2 cos2( 4 )+2cos -3 2 =0, (*), 2 2 2 cos
30

(2 cos

A?C A?C ? 2 2 )(2 2 cos ? 3) ? 0, 2 2 A?C A?C A?C 2 ? 3 ? 0,? 2 cos ? 2 ? 0, 从而得 : cos ? . 2 2 2 2

? 2 2 cos

2 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山, 山顶设有一个观察站 P, 上午 11 时,测得一轮船在岛北 30° 东,俯角为 60° B 处, 的 到 11 时 10 分又测得该船在岛北 60° 西、俯角为 30° C 处。 的 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远? 解:(1)在 Rt△ PAB 中,∠APB=60°PA=1,∴AB= 3 (千米) 在 Rt△ PAC 中,∠APC=30° ,∴AC= 在△ ACB 中,∠CAB=30° +60° =90°

3 (千米) 3

? BC ?

AC 2 ? AB 2 ? (

3 2 30 ) ? ( 3)2 ? 3 3

30 1 ? ? 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90° -60° =30° sinDCA=sin(180° -∠ACB)=sinACB=

AB ? BC

3 30 3

?

3 10 10

sinCDA=sin(∠ACB-30° )=sinACB· cos30° -cosACB· sin30° ?

3 10 . 10

3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 ? 2 2 10 20
在△ ACD 中,据正弦定理得

AD AC , ? sin DCA sin CDA

3 3 10 ? AC ? sin DCA 9? 3 10 ∴ AD ? ? 3 ? sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20
答:此时船距岛 A 为

9? 3 千米. 13
A?C 1 1 , f(x)=cosB( ). ? 2 cos A cosC

3 已知△ ABC 的三内角 A、 C 满足 A+C=2B, x=cos B、 设

31

(1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域. 解:(1)∵A+C=2B,∴B=60° ,A+C=120°

A?C A?C cos 1 cos A ? cos C 2 2 f ( x) ? ? ? 2 cos A ? cos C cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) x 2x ? ? 2 , 1 4x ? 3 2 ? ? 2x ?1 2 2 cos
∵0°≤|

A?C A?C 1 |<60° ,∴x=cos ∈( ,1 ] 2 2 2
3 3 3 1 ,∴定义域为( , )∪( ,1]. 2 2 2 2
2 x2 4 x2 ? 3
2

又 4x2-3≠0,∴x≠

(2)设 x1<x2,∴f(x2)-f(x1)=

?

2 x1 4 x1 ? 3
2

=

2( x1 ? x 2 )( 4 x1 x 2 ? 3) ( 4 x1 ? 3)( 4 x 2
2 2

1 3 ,若 x1,x2∈( , ),则 4x12-3<0,4x22-3<0,4x1x2+3>0, 2 2 ? 3)

x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0 即 f(x2)<f(x1),若 x1,x2∈(
3 ,1] ,则 4x12-3>0. 2

4x22-3>0,4x1x2+3>0,x1-x2<0,∴f(x2)-f(x1)<0.

3 1 3 , )和( ,1 ] 上都是减函数. 2 2 2 1 1 (3)由(2)知,f(x)<f( )=- 或 f(x)≥f(1)=2. 2 2
即 f(x2)<f(x1),∴f(x)在( 故 f(x)的值域为(-∞,-
1 )∪[2,+∞ ) . 2

4 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .若 b ? c ? 2a cos?60? ? C ? ,求 角 A. 解:由正弦定理,将已知等式中的边转化为角.可得
sin B ? sin C ? 2 sin A ? cos?60? ? C ? .

因为 A ? B ? C ? π ,故有 sin ? A ? C ? ? sin C ? sin A cosC ? 3 sin A sin C , ∴
cos A sin C ? sin C ? ? 3 sin A sin C .
32

又∵ ∴
? ?

sin C ? 0 ,
cos A ? 3 sin A ? 1 ,

即 sin? A ? ? ?

π? 6?

1 , 2

由 0 ? A ? ? ,可解得 A ?

2 π. 3

5 在△ABC 中,已知 y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C . (1)若任意交换 A, B, C 的位置, y 的值是否会发生变化?试证明你的结论; (2)求 y 的最大值. 解: (1)∵ y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C
? 2 ? cos? A ? B ?cos? A ? B ? ? cos2 C

? 2? ? 2?

1 ?cos2 A ? cos2B? ? cos2 C 2 1 2 cos2 A ? 1 ? 2 cos2 B ? 1 ? cos2 C 2

?

?

? 3 ? cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,

∴ 任意交换 A, B, C 的位置, y 的值不会发生变化. (2) 解法 1:将 y 看作是关于 cosC 的二次函数.
y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C
1 1 ? ? ? ?? cosC ? cos? A ? B ?? ? cos2 ? A ? B ? ? 2 . 2 4 ? ?
2

所以,当 cosC ? 取得最大值
9 . 4

1 π cos? A ? B ? ,且 cos 2 ? A ? B ? 取到最大值 1 时,也即 A ? B ? C ? 时, y 2 3

解法 2:用调整的方法, 也即对于每个固定的 C 的值,去调整 A, B ,求出 y 取得最大值 时 A, B 所满足的条件.

33

对于 y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C ,如果固定 C ,则可将 y 看作是关于 cos? A ? B? 的一 次或常数函数.为了讨论其最大值,显然应该考虑 cosC 的符号,并由此展开讨论. 若 cosC ? 0 ,则 A ? B ?
π ,所以, cos? A ? B? ? 0 ,所以, 2

y ? A, B, C ? ? 2 ? cos C cos? A ? B ? ? cos2 C ? 2 ? cos2 C ? 2 ? cos2 ?π ? C ? ? 2 ? cos?π ? C ? ? cos2 ?π ? C ? ?C C ? ? 2 ? cos?π ? C ? cos? ? ? ? cos2 ?π ? C ? ?2 2? ?C C ? ? y? , , π ? C ? 2 2 ? ?

所以,只需考虑 cosC ? 0 的情形.此时 y 是关于 cos? A ? B ? 的常数函数或单调递增的 一次函数,因此,最大值必可在 cos? A ? B ? ? 1 (即 A ? B ?
π ?C )时取得.所以, 2
2

1? 9 9 ? y ? 2 ? cosC cos? A ? B ? ? cos2 C ? 2 ? cosC ? cos2 C ? ?? cosC ? ? ? ? , 2? 4 4 ?

等号当且仅当 A ? B ? C ?

π 时取得. 3

34



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