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片段之十:从一道模拟试题到一道联赛试题



从一道模拟试题到一道联赛试题
1 问题提出
最近我校高三模拟考试有这样一道试题: 已知点 F 是抛物线 C : y 2 ? x 的焦点, S 是抛物线 C 在第一象限上的点,且 SF ?

5 . 4

(1)求点 S 的坐标; (2) 以点 S 为圆心的动圆 S 与 x 轴分别相交于 A 、B , 延长 SA 、SB

分别交抛物线 C 于 P 、

Q.
(i)判断直线 PQ 的斜率是否定值,并说明理由; (ii) (略).

, 1) (过程略). 原解答如下: (1)由抛物线的定义可得点 S 的坐标为 (1
(2)直线 PQ 的斜率是定值且为 ?

1 ,理由如下: 2

设 SP 的直线方程为 x ? m( y ? 1) ? 1 代入 y 2 ? x 得到 y 2 ? my ? m ? 1 ? 0 ,利用韦达 定理可得 y1 ? 1 ? m ? 1 ,即 y1 ? m ? 1 .由圆的定义可得 SA ? SB ,则直线 SA 、 SB 的斜 率互为相反数,将上述 m 换成 ? m 可得 y 2 ? ?m ? 1 ,故

k PQ ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 1 1 ? ?? . ? 2 2 y1 ? y 2 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2

翻阅全国各地的模拟及高考试卷,这种题型随处可见,因此有必要对此类题型加以研 究.笔者探索出下面的解法,不妨称作“组装构造斜率”法.

2 解法探究
2.1 一种新的构造解法 罗增儒教授指出: “数学解题无禁区” .针对本题的特征,笔者采用以下解法: 无论是以点 S 为圆心的动圆,还是 SA ? SB ,还是 ?SAB 是等腰 ? ,或者直线 SA ( SP )与 SB ( SQ )的倾斜角互补,或者 k1 ? ?k 2 ,或者 k1 ? k 2 ? 0 都是等价的. 设 直线 PQ 方程为 y ? tx ? b 【恒等变形为 1 ?
2 2

( y ? 1) ? t ( x ? 1) 】 (若 t ? b ? 0 与题意矛盾) , t ?b

代入 y ? x 【恒等变形 ( y ? 1) ? 2( y ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 】

? ( y ? 1) 2 ? ?2( y ? 1) ? ( x ? 1)??1 ? 0 ? ( y ? 1) 2 ? ?2( y ? 1) ? ( x ? 1)??
( y ? 1) ? t ( x ? 1) ?0 t ?b

1

? (t ? b ? 2)( y ? 1) 2 ? (2t ? 1)( y ? 1)(x ? 1) ? t ( x ? 1) 2 ? 0
? y ?1? ? y ?1? ? (t ? b ? 2)? ? ? (2t ? 1)? ??t ? 0 ? x ?1 ? ? x ?1 ?
2

? k1 ? k 2 ?

2t ? 1 1 ? 0 ?t ? ? . t ?b?2 2

2.2 组装构造斜率法操作程序 设 P( x0,y0 ) 、 A( x1,y1 ) 、 Q( x2,y 2 ) , PA 、 PB 所在直线的倾斜角互补(已知或 结论中隐含条件) ,即 k1 ? k 2 ? 0 .对于这一类问题,首先将直线与圆锥曲线方程进行代数 恒等的变形,即有意识地、主动地配、凑为含有斜率“零部件” (即组装构造斜率) ,即含有

x ? x0 与 y ? y0 ,然后联立、整理得到关于“零部件”的齐次方程,即

A( y ? y0 ) 2 ? B( x ? x0 )( y ? y0 ) ? C( x ? x0 ) 2 ? 0 .
再将上述齐次方程转化为关于斜率“整体” (即组装斜率)的一元二次方程,即

? y ? y0 A? ? x?x 0 ?

? ? y ? y0 ? ? ? B ? ? x?x 0 ? ?

2

? ? ? ? C ? 0 (巧妙构造斜率). ?

最后直接运用韦达定理:两根之和为 0,即 B ? 0 来解决问题. 顺便指出:对于“ k1k 2 ? ?1 ”类问题,即两根之积为 ? 1 ,则 A ? C ? 0 .

3 探究与推广
3.1 寻找理论依据 上面已经推导出直线 PQ 的斜率是定值,且为 ?

1 .我们由导数容易得到点 S 处切线的 2

1 p 1 1 1 ? 2 ? ,显然 与 ? 互为相反数,这是偶然还是必然呢? 斜率为 2 2 y0 1 2
事实上,这个偶然之中孕育着思维的必然.我们仔细考察图形可得函数 y ? ? x ,即 x 轴下方图象所表示的函数在区间 ?x1,x2 ? 上连续, 在区间 ( x1,x1 ) 内可导, 那么在 ( x1,x2 ) 内至少存在一点 ? ( x1 ? ? ? x2 ) ,使得 f (? ) ? ?
'

1 , ? 1) ,其实就 ,此时 ? ? 1 ,即点 T (1 2

, 1) 关于 x 轴的对称点,这就是著名的拉格朗日(Lagrange)中值定理: 是点 S (1
如果函数 f ( x) 在区间 ?a,b? 上连续,在区间 (a,b) 内可导,那么在 (a,b) 内至少存

2

在一点 ? (a ? ? ? b) ,使等式

f (b) ? f (a ) ? f ' (? ) . b?a

3.2 推广及证明 从上述分析过程看出上述模拟试题可以推广到一般情况: 推广 1:以抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上一点 P( x0,y0 ) 为圆心的动圆 P 与 x 轴分别相交 于 A 、 B ,延长 PA 、 PB 分别交双曲线于 M 、 N ,则直线 MN 的斜率为定值,且

k MN ? ?

p . y0

我们知道圆锥曲线的综合问题往往具有“家族现象” ,笔者经过探究发现椭圆与双曲线 也是如此,即 推广 2:以椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点 P( x0,y0 ) 为圆心的动圆 P 与 x 轴分别 a2 b2

相交于 A 、 B ,延长 PA 、 PB 分别交椭圆于 M 、 N ,则直线 MN 的斜率为定值,且

k MN

b 2 x0 ? 2 . a y0

x2 y2 推广 3:以双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )上一点 P( x0,y0 ) 为圆心的动圆 P 与 x 轴 a b
分别相交于 A 、 B ,延长 PA 、 PB 分别交双曲线于 M 、 N ,则直线 MN 的斜率为定值, 且 k MN

b 2 x0 ?? 2 . a y0

上述三个结论的证明过程与方法类似,以推广 3 为例: 证明:设直线 MN 的方程为 y ? tx ? m ,将直线与双曲线主动构造斜率“零部件”为

y ? tx ? m ? 1 ?

( y ? y 0 ) ? t ( x ? x0 ) ; tx0 ? y 0 ? m

x2 y2 ? 2 ? 1 ? b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ? 0 2 a b

? b 2 ?( x ? x0 ) ? x0 ? ? a 2 ?( y ? y0 ) ? y0 ? ? a 2b 2 ? 0
2 2

? b 2 ( x ? x0 ) 2 ? a 2 ( y ? y0 ) 2 ? 2b 2 x0 ( x ? x0 ) ? 2a 2 y0 ( y ? y0 ) ?1 ? 0 ? b 2 ( x ? x0 ) 2 ? a 2 ( y ? y0 ) 2
? 2b 2 x0 ( x ? x0 ) ? 2a 2 y0 ( y ? y0 ) ?

?

?

?

?

( y ? y 0 ) ? t ( x ? x0 ) ?0 tx0 ? y0 ? m

3

? A( y ? y0 ) 2 ? B( x ? x0 )( y ? y0 ) ? C( x ? x0 ) 2 ? 0 (化简整理)
? y ? y0 ? A? ? x?x 0 ? ? ? y ? y0 ? ? ? B? ? x?x 0 ? ?
2

? ? ? ? C ? 0. ?

由题意可得:等腰 ? ? k1 ? k 2 ? 0 ? B ? 0 ? 展开式中 ( x ? x0 )( y ? y0 ) 项的系数 为 0,即

2b 2 x0 ? 2a 2 y0 t b2 x ?0 ?t ?? 2 0 . tx0 ? y0 ? m a y0

我们可以看出上述推理论证过程是可逆的,故上述三个结论的逆命题亦成立,即 推广 4:点 P( x0,y0 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )上一点,弦 MN 所在直线的斜率为定 值?

p ,线段 PM 、 PN 且分别与 x 轴相交于 A 、 B ,则必存在以点 P( x0,y0 ) 为圆心的 y0

动圆经过 A 、 B (即 ?PAB 为等腰三角形). 推广 5:点 P( x0,y0 ) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点,弦 MN 所在直线的斜率 a2 b2

为定值

b 2 x0 ,线段 PM 、 PN 且分别与 x 轴相交于 A 、 B ,则必存在以点 P( x0,y0 ) 为 a 2 y0

圆心的动圆经过 A 、 B (即 ?PAB 为等腰三角形). 推广 6:点 P( x0,y0 ) 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )上一点,弦 MN 所在直线 a2 b2

的斜率为定值 ?

b 2 x0 ,线段 PM 、 PN 且分别与 x 轴相交于 A 、 B ,则必存在以点 a 2 y0

P( x0,y0 ) 为圆心的动圆经过 A 、 B (即 ?PAB 为等腰三角形).

4 应用
作斜率为

1 x2 y2 ? ? 1 相交于 A 、B ,且 P(3 2,2 ) 在直线 l 的 的直线 l 与椭圆 C : 3 36 4

左上方. (1)证明 ?PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2) (略). 分析:本题就是 2011 年全国高中数学联赛第 11 题,注意到

b 2 x0 4 ? 3 2 1 ? ? ,由 a 2 y0 36 ? 2 3

推广 5 可得 ?PMN 为等腰三角形 ( M 、N 分别是直线 PA 、PB 与 x 轴的交点) , 则 ?APB 的角平分线与 x 轴垂直,故 ?PAB 的内切圆的圆心在定直线 x ? 3 2 上(椭圆内的部分).
4

事实上,象这类问题很多,再如: (2009 年辽宁省高考试题)已知椭圆 C 经过点 A?1 0) 、 (?1, 0) . , ? ,两个焦点为 (1, (1)求椭圆 C 的方程; (2) E 、 F 是椭圆 C 两个动点,若直线 AE 、 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜 率为定值,并求出这个定值. 答案: (1)椭圆 C 的方程为

? 3? ? 2?

b2 x x2 y2 1 ? ? 1 .(2)由推广 2 得 k ? 2 0 ? . 4 3 a y0 2

5 一点感悟
纵观这些年的高考、 自主招生乃至竞赛试题中, 圆锥曲线综合问题一直是一个重点内容、 难点内容,更是热点问题,尤其是定值(定点)问题是命题专家最青睐的聚焦区,已经成为 高考、自主招生、竞赛试题中一道独特的风景线.深入研究会发现几乎每一道圆锥曲线综合 问题背后都蕴涵着普遍的规律, 正是因为这样, 命题专家总是从一个看似特殊的数字入手来 构建试题, 看似偶然的特殊的数字其实背后蕴含着本质与规律, 这已经成为命题专家命题风 格和惯用的手法. 孔子千古名言: “学而不思则罔” ,精辟地阐述只学习而不动脑筋思考,就会茫然不解. 新课改背景下的教师不仅仅是施教角色,更是学习和研究的角色.对于教师而言, “教而不 思则罔”.光解题给学生看而不加以认真总结、分析、研究,那仅仅教会一个题目,学生就 会迷失方向,就会被被纷繁复杂的题目牵着鼻子走,陷入题海战术.不仅加重学生的负担, 而且被题目的表象迷惑而不得其解. 这就向我们一线教师提出一个课题: 高考及竞赛中出现 的试题(尤其是有关圆锥曲线的定值、定点问题)是命题专家长期潜心研究的结果及智慧的 结晶,具有旺盛的生命力、明显的导向作用、典型的示范效应、极高的推广价值、强大的辐 射功能.对这些试题的研究,有利于挖掘其内涵、揭示其本质、总结其规律、提升其价值、 拓展其功能.

5



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