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椭圆内接三角形面积问题的转化探究



62

数学通报

2014年

第53卷

第8期

椭圆内接三角形面积问题的转化探究
史佳宁
(中央民族大学附中2012级高二一班100081) 指导教师 达延俊

在学习了“圆与椭圆”关系一课后,想起求椭 圆内接三角形的面积问题,常规的

解题方法太过 繁琐,是否可以简化?能否将椭圆内接三角形转 移到圆内接三角形问题上求解呢?经过探究,发 现通过压缩变换可以将有关椭圆的一些问题转化 为圆的问题,通过相互转换简化求解.经过这次探 究,体会到数学知识的相关性及其美妙之处. 以下呈现我的探究过程,愿与读者分享. 探究过程 设A(z1,Y1),B(z2,y2),C(x3,

直线AB为三1一上卫,
工2 z1 Yz Yl



(y2一y1)z—z1(y2一y1) 一(z2一z1)y一(z2一z1)y1,

即z一鱼2二旦丑,二垒[!也笠生d鉴1止,
Yz。——Yl

将y一0代入,得


'.一兰!!型!二!!!二!兰!二兰!!型!
Yz—Yl



y3),A 7(z1,nyl),B7(z2,ny2),C7(z3,ny3)(其中

直线A7B

7为:三二旦一型二旦L,

行一-“E-,口,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长),

即n(y2一Y1)z—n(yz—Y1)z1

之\:巧/D‘O

.席 ㈥j
B’\\一

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肌一堕1尘篙毒尝产亟业,
九L

=(z2一z1)y—n(x2一z1)y1,

V,一V1



将y一0代入,得


,一二!!三!二兰!!!!±翌!丝二羔!!兰!
n(y2一Y1)

峙-1 劣,!
—/
图l yZ

一二!兰!二竺!!羔!±!丝二羔!!兰!
Y2--yl



所以直线AB与A 7B 7交于z轴上一点D.

即z。一二堕二旦独±立[业.
S△ABc—S△AD£+S四边形舾cB,

同理可证明直线AC与A 7C 7交于z轴上一点E, 即直线AB与A 7B 7,AC与A 7C 7的横截距相同. 如图1所示,有

有x2

净y2一生学净IyI一鱼a“阿,
z2+y2一口2净y2一口2一z2 j


1=::嚎_z2=1—7X2一--a丁2--x2

过B,C做z轴的垂线,分别交z轴于G,H两 点,则



l一√芦了

s△ADe一寺IDEl ly-I,
S四边形D即B=S梯形GBcH—S△BGD—S△cH£

万方数据

2014年

第53卷

第8期

数学通报

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一了1(J o
一百1

BG J+I

CHI)I CH I一万1 GDI


以下通过1个实例,让我们来体会上述结论
y2

在解决椭圆相关问题中的所起的化繁为简的转化 作用. 例 已知动点P(.2C,y),定点A(一2,0),

gel

y。I

CH =i1(I y。I+1了。I)I I~虿1

GDI y:I

B(2,0),直线PA与直线PB的斜率之积为一÷.
(工)求动点P的轨迹w的方程; (Ⅱ)设直线AP的斜率为忌,点C(1,一1), 当△PAC的面积最大时,求是的值.

~乏1

gel y。I,

S厶A'B-C+一S气《De+S四边形OEC?8t,

SAa'oz一虿1

IDEI I行y。1=-”ff[DEI ly,l,

解 则是m

(工)点P的坐标为(z,y),
z卞‘ 互一L

S四边形DEc,B,=S例c,c,B,一S△B,GD—S△一HE

一号(I

2毫,志阳一当,
。7与一一专,
丁——厶


B 7G

I+I c7H I)I CH HEI I行y。I
on

I一百1

GD

I?

由题意得xj+L2./7
I行y:l一百1

化简得.JC2+3y2—4(z≠±2). 1~虿1
GD

一虿1(I卵y:I+1 ny。I)I 一百1 一虿n(I
gel I行y3

I行y。I

故动点P的轨迹C的方程为,+3扩一4(z≠±2). (1I)如图3所示,易知在圆z2+了2=4中,以 弦AC。为一边的圆内接三角形面积最大时,点

sz

I+l y。f)I GH I.

I一号t

GD

yz

f一

号I

HEI

大,且P(1,1),所以是一篙一号.

P。(1,,/g).此时,对应于椭圆内,△PAC的面积最

ys

所以。S△∥B,(,,一nS△ABf. 对于图2的情形,上述结论仍然成立.不仅如 此,对于其它的平面图形,这种比例关系仍然
丘|}:寺.

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圈2

图3

放当P为(1,1)时,△PAC的面积最大,此时


走2百’ 还有很多相关案例不再一一例举.上述结论

对上述分析加以提炼,有如下结论:
定理1

在处理椭圆内接三角形、四边形及相关平面图形 的面积问题时,可转化为圆内接三角形、四边形及 相关平面图形的面积问题来处理,通常能起到减 少运算、降低难度的作用.这样一个美好的心智 旅程,使自己受益良多,品尝到了独立探究的乐 趣,激发了探究精神与创新意识,充满了源源不竭 的学习动力,增强了学习的信心.

设A(工j,y1),B(z2,y2),C(z3,y3),
7C 7的横截距相同(其中72一

A 7(z1,nyl),B7(z2,ny2),C7(z3,ny3),贝0直线

AB与A 7B 7,AC与A

詈,口,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长).
推论1 S△肌F—nS△ABc. 推论2志^,B,=行走AB.

万方数据



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