宁夏银川一中2016届高三第四次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

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2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理

科

数

学

(银川一中第四次模拟考试)

第I卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的． 1．已知集合 A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则 A．A∩B=? 2．已知复数 z ? A．第一象限 B．B? A C．A∩B={0，1} D．A? B

2 ? 3i （ i 为虚数单位） ，则 z 在复平面内对应的点位于 1? i
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某城市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的 2548 名有车人中有 1560 名持反对意见， 2452 名无车人中有 1200 名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号 限行”是否有关系时，用什么方法最有说服力 A．平均数与方差 C．独立性检验 B．回归直线方程 D．概率
1 ? cos 2? ? cos2 ?

开始 输入 a，b，c

4．已知 tan（π﹣α）=﹣2，则 A．﹣3 C．3 B．
2 5

x?a
a?c
c?b b? x
输出 a，b，c 结束

5 2 5．阅读右边的程序框图，若输入的 a、b、c 分别是 1、2、3，

D． ?

则输出的 a、b、c 分别是（ A．3、1、2 B．1、2、3 C．2、1、3 D．3、2、1

）

4 6．在△ABC 中，sinA= ， AB ? AC ? 6 ，则△ABC 的面积为 5

A．3

B．

12 5

C．6

D．4

7．一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是（0，0，1） ， （1，0，0） ， （2，2， 0） ， （2，0，0） ，画该三棱锥三视图的俯视图时，从 x 轴的正方向向负方向看为正视方向，从 z 轴 的正方向向负方向看为俯视方向，以 xOy 平面为投影面，则得到俯视图可以为

8．已知点 P（x，y）是抛物线 y2=4x 上任意一点，Q 是圆 C：（x+2）2+（y﹣4）2=1 上任意一点， 则|PQ|+x 的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2

9．已知实数 x，y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ，若目标函数 z=2x+y 的最大值与最小值的差为 2，则实数 m 的
?y ? m ?

?x ? 1? y ? 0 ?

值为 A．4 B．3 C．2 D． ?
1 2

10．已知函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ? ) 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是 A． f ( x ) ? B． f ( x ) ? C． f ( x ) ? D． f ( x ) ? 11．已知双曲线
3 3 ? sin( x ? ) 4 2 6 4 4 1 sin( x ? ) 5 5 5 4 5 ? sin( x ? ) 5 6 6 4 2 1 sin( x ? ) 5 3 5

x2 y2 ，F2（c，0） ，若双曲线上存 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别 F1（﹣c，0） a 2 b2

在点 P，使得 c·sin∠PF1F2=a·sin∠PF2F1≠0，则该曲线的离心率 e 的取值范围是 A． （1， 2 ） B． （1， 2 ] C． （1， 2 ? 1 ] D． （1， 2 ? 1 ）

12． 若函数 f （x） 为定义在 R 上的奇函数， 其导函数为 f（ ′ x） ， 对任意实数 x 满足 x 2 f ' ( x ) ? 2 xf (? x ) ， 则不等式 x 2 ? f ( x) ? (3 x ? 1) 2 ? f (1 ? 3 x ) 的解集是

（ ， ? ?） A．

1 4

（0， ） B．

1 4

（ - ?， ） C．

1 4

（ - ?， ） ? （ ， ? ?） D．

1 4

1 4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．函数 f ( x ) ? ?
? x 2 (0 ? x ? 1) ? 2 ? x(1 ? x ? 2)

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为

．

14．有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为 3 ? ，已知球的半径 R＝2，则此圆 锥的体积为＿＿＿＿. 15．已知三角形 ABC 中，三边长分别是 a，b，c，面积 S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则 S 的最大值 理科数学试卷 第 3 页(共 6 页) 是 ． 16．已知 f ( x) ? (2 x ? 1)10 ? a10 x10 ? a9 x9 ? a8 x8 ???? ? a1x ? a0 ，
2 2 2 2 则 C2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 {
1 1 } 是等差数列，且 a 3 ? , a 2 ? 4a 7 an 8

（1）求{an}的通项公式 （2）若 bn ? a n a n?1 (n ? N ? ) ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 18.（本小题满分 12 分） 2016 年，百年名校银川一中即将迎来 110 周年校庆。为了了解在校同学们对一中的看法，学校 进行了调查，从三个年级任选三个班，同学们对一中的看法情况如下： 对一中的 看 法 A 班人数 比 例 B 班人数 比 例 C 班人数 比 例 非常好，一中奠定了 我一生成长的起点 1 2 2 3 很好，我的中学很快乐很充实

3 4

1 2 1 3 1 4

（1）从这三个班中各选一个同学，求恰好有 2 人认为一中“非常好”的概率（用比例作为相应 概率） ； （2）若在 B 班按所持态度分层抽样，抽取 9 人，在这 9 人中任意选取 3 人，认为一中“非常 好”的人数记为 ? ，求 ? 的分布列和数学期望.

19.（本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面 ADNM⊥平面 ABCD， ∠DAB=60? ，AD=2，AM=1，E 是 AB 的中点. （1）求证：AN∥/平面 MEC； （2）在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角 P-EC-D 的大小为 M N

? ？若存在，求出 AP 的长 h；若不存在， 6
D A E B C

请说明理由.

20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C：
x2 y2 6 3 ? ? 1 （a＞b＞0）经过（1，1）与（ ）两点． , a 2 b2 2 2

（1）求椭圆 C 的方程； （2）过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|．求证： 为定值． 21． （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=lnx． （1）求函数 g（x）=f（x+1）﹣x 的最大值；
2 （2）若对任意 x＞0，不等式 f（x）≤ax≤x +1 恒成立，求实数 a 的取值范围；

1 1 2 ? ? | OA | 2 | OB | 2 | OM | 2

（3）若 x1＞x2＞0，求证：

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2x ? 2 2 2 ． x1 ? x 2 x1 ? x 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，点 P 是圆 O 直径 AB 延长线上的一点， PC 切圆 O 于点 C，直线 PQ 平分∠APC，分别交 AC、 BC 于点 M、N。 求证： （1）△CMN 为等腰三角形； CM=PC· BN. （2）PB·

23.（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点 O (0, 0), A(2,

?

), B(2 2, ) . 2 4

?

（1）求经过 O, A, B 的圆 C1 的极坐标方程；

（ 2 ）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2 的参数方程为

? x ? ?1 ? a cos ? （ ? 为参数） ，若圆 C1 与圆 C2 外切，求实数 a 的值. ? ? y ? ?1 ? a sin ?
24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ，不等式 f ( x) ＜4 的解集为 M。 （1）求 M； （2）若不等式 f ( x) ? a ? 0 有解，求 a 的取值范围。

银川一中 2016 届高三第四次模拟考试数学(理科)参考答案
1.C 【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则 A∩B={0，1}，故选：C 2.B 考查复数的相关知识。 z ?

? 2 ? 3i ??1 ? i ? ? 2 ? 2i ? 3i ? 3 ? ? 1 ? 5 i ，实部、虚部均小于 0，所以 1 ?1 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ?

z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第二象限。
3.C 解答： 解：在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见，2452 名女性中有 1200 名持反对 意见， 可得：K =
2

=83.88＞10.828，

故有理由认为性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系，故利用独立性检验的方法 最有说服力．故选：C． 4.D 解答： 解：∵tan（π ﹣α ）=﹣tanα =﹣2，∴tanα =2， ∴ 5.A 6.D 【解答】解：由题意可得 又 sinA= ，故可得 cosA= | ? ，故| |? =| |? |?sinA= |? |?cosA=6， |=10， ×10× =4．故选 D． = = = =﹣ ，故选：D．

故△ABC 的面积 S= 7.D 8.C

【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点 F（1，0），准线 l：x=﹣1 圆 C：（x+2）2+（y﹣4）2=1 的圆心 C（﹣2，4），半径 r=1， 由抛物线定义知：点 P 到直线 l：x=﹣1 距离 d=|PF|，点 P 到 y 轴的距离为 x=d﹣1， ∴当 C、P、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，∴（|PQ|+x）min=|FC|﹣r﹣1=5﹣1﹣1=3 故选：C．

9.C

【解答】解：作出不等式组

对应的平面区域如图：

由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z，平移直线 y=﹣2x+z，由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时，直线的截距 最大， 此时 z 最大，由 ，解得 即 A（4﹣m，m），

此时 z=2×（4﹣m）+m=8﹣m，当直线 y=﹣2x+z 经过点 B 时，直线的截距最小， 此时 z 最小，由 ，解得 ，

即 B（m﹣1，m），此时 z=2×（m﹣1）+m=3m﹣2，∵目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值的差为 2， ∴8﹣m﹣3m+2=2，即 m=2．故选：C．

10.B 解：由函数 f（x）=Asin（ω x+φ ）的图象可得 0＜A＜1，T= 求得 0＜ω ＜1．再根据 f（2π ）＜0，结合所给的选项，故选：B． 11.D 解：不妨设 P（x，y）在右支曲线上，此时 x≥a，由正弦定理得 ，所以 = ， ＞2π ，

∵双曲线第二定义得：|PF1|=a+ex，|PF2|=ex﹣a，∴

= ? x= +1，

≥a，

分子分母同时除以 a，得：

≥a，∴

≥1 解得 1≤e≤

故答案为：D（1，

+1） ．

12.C 【解答】解：由题意可得函数 g（x）=x f（x）为 R 上的奇函数， ∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0， ∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数 g（x）=x2f（x）在 R 上单调递增， ∴不等式 g（x）＜g（1﹣3x）可化为 x＜1﹣3x，解得 x＜ 故选：C 13. 【解答】解：由题意可得所求封闭图形的面积 S= = +2﹣ = 14. + 故答案为： = x3 + （2x﹣ x2） = （13﹣03） + （2×2﹣ ×22） ﹣ （2×1﹣ ×12）
2

15. 解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即 a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC= ∴分别代入已知等式得： bcsinA，

bcsinA=2bc﹣2bccosA，即 sinA=4﹣4cosA， ，∴sinA= b（8﹣b）≤ ，∵b+c=8，∴c=8﹣b， ?（ ．故答案为： ）2= ． ，当且仅当 b=8﹣

代入 sin2A+cos2A=1 得：cosA= ∴S△ABC= bcsinA= bc=

b，即 b=4 时取等号，则△ABC 面积 S 的最大值为 16. 180

解： ．对等式 (2 x ? 1) ? a10 x ? a9 x ? a8 x ???? ? a1x ? a0 两边求导得
10

10

9

8

20(2 x ? 1)9 ? 10a10 x9 ? 9a9 x8 ? 8a8 x7 ???? ? 2a2 x ? a1 ．继续对此等式两边求导，得 360(2 x ? 1)8 ? 10 ? 9a10 x9 ? 9 ? 8a9 x8 ? 8 ? 7a8 x7 ???? ? 2 ?1a2 ．令 x ? 1 得
2 2 2 2 360 ? 10 ? 9a10 ? 9 ? 8a9 ? 8 ? 7a8 ???? ? 2 ?1a2 ? 2(C2 a10 ） a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10

2 2 2 2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ? 180 ． ? C2

17. 【解答】解：（1）由于 ∴ 于是 ， =2+3（n﹣1），整理得 an= 为等差数列，若设其公差为 d，则 ，解得 ． = ， ， ，

（2）由（1）得 bn=anan+1= ∴

．
18.【解析】 （1）记这 3 位同学恰好有 2 人认为一中“非常好”的事件为 A，则
P( A) ? 1 2 3 1 2 3 1 2 3 11 ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? ? ? .（5 分） 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

（2）在 B 班按照相应比例选取 9 人，则认为一中“非常好”的应该选取 6 人，认为一中“很好”的应选取 3 人， 则 ? ? 0,1,2,3 ， 且 P(? ? 0) ?
P(? ? 2) ?
3 C3 C1C 2 18 3 1 ； P(? ? 1) ? 6 3 3 ? ? ； ? 3 C9 84 C9 84 14

2 1 C6 C3 45 15 C 3 20 5 ； P(? ? 3) ? 63 ? ? . ? ? 3 C9 84 28 C9 84 21

则 ? 的分布列为：
?
P

0
1 84

1
3 14

2
15 28

3
5 21

则的期望值为： E? ? 0 ?

1 3 15 5 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 （人）.（12 分） 84 14 28 21

19.（I）CM 与 BN 交于 F，连接 EF．由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形，所以 F 是 BN 的中点．因 为 E 是 AB 的中点，所以 AN∥EF． 又 EF?平面 MEC，AN?平面 MEC， 所以 AN∥平面 MEC．

（II）由于四边形 ABCD 是菱形，E 是 AB 的中点，可得 DE⊥AB．又四边形 ADNM 是矩形，面 ADNM⊥

面 ABCD，∴DN⊥面 ABCD，如图建立空间直角坐标系 D-xyz，则 D（0，0，0） ，E（ 3 ，0，0） ， C（0，2，0） ，P（ 3 ，-1，h） ， CE =（ 3 ，-2，0） ， EP =（0，-1，h） ，

??? ?

??? ?

??? ? ?? ? ? ?CE ? n1 ? 0 ? 3x ? 2 y ? 0 ? ?? ?? ? ??? ? EP ? n1 ? 0 n ? y ? hz ? 0 ， ? ? 1 设平面 PEC 的法向量为 =（x，y，z） ．则 ，∴ ? ?? ?? ? n n 3 3 3 1 令 y= h，∴ =（2h， h， ） ，又平面 ADE 的法向量 2 =（0，0，1） ，

3 3 7 ?? ?? ? 2 n n ∴cos＜ 1 ， 2 ＞= 7h ? 3 = 2 ，解得 h= 7 ，

? 7 ∴在线段 AM 上是否存在点 P，当 h= 7 时使二面角 P-EC-D 的大小为 6 ．
20. 【分析】（I）把（1，1）与（ ， ）两点代入椭圆方程解出即可．

（II）由|MA|=|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称． ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点 A、B 是椭圆的长轴顶 点，则点 M 在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可． ②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 y=kx（k≠0），则直线 OM 的方程为 设 A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到 = ，同理 ，代入要求的式子即可． ，

【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（

，

）两点代入椭圆 C 的方程，

得

解得

．

∴椭圆 PM2 的方程为

．

（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知 M 在线段 AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称． ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点，则点 M 是椭圆的一个长轴顶点，此时 = ．

同理，若点 A、B 是椭圆的长轴顶点，则点 M 在椭圆的一个短轴顶点，此时

=

．

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点，设直线 l 的方程为 y=kx（k≠0）， 则直线 OM 的方程为 ，设 A（x1，y1），B（x2，y2），

由

解得

，

，

∴

=

，同理

，

所以

=2×

+

=2，

故 21.

=2 为定值．

【分析】（1）先求出 g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即 可求．

（2）本小题转化为

在 x＞0 上恒成立，进一步转化为

，然后构造函数 h（x）= 值，再利用基础不等式可知 ，从而可知 a 的取值范围．

，利用导数研究出 h（x）的最大

（3）本小题等价于

．令 t=

，设 u（t）=lnt﹣

，t＞1，由导数性

质求出 u（t）＞u（1）=0，由此能够证明 【解答】解：（1）∵f（x）=lnx， ∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1， ∴ ．

＞

．

当 x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增； 当 x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则 g（x）在（0，+∞）上单调递减，

∴g（x）在 x=0 处取得最大值 g（0）=0． （2）∵对任意 x＞0，不等式 f（x）≤ax≤x +1 恒成立，
2

∴

在 x＞0 上恒成立，进一步转化为

，

设 h（x）=

，则

，当 x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当 x∈（e，+∞）

时，h′（x）＜0，∴h（x） x+ ，

．要使 f（x）≤ax 恒成立，必须 a

．另一方面，当 x＞0 时，

要使 ax≤x2+1 恒成立，必须 a≤2，∴满足条件的 a 的取值范围是[

，2]．

（3）当 x1＞x2＞0 时，

＞

等价于

．

令 t=

，设 u（t）=lnt﹣

，t＞1 则

＞0，

∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴

＞

．

【点评】本题考查函数最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明， 解题时要认真审题，注意构造法、换元法、等价转化思想的合理运用．