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四川省邛崃市高埂中学2016届高三下学期第二次强化训练数学(文)试卷



高埂中学高 2016 级高三下期强化训练 2
数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知

函数 y ? lg x 的定义域为集合 A ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B ? ( A.

?

?



? 0, ?? ?

B. ?0,1?

C. ?0,1? )

D.

? 0,1?

2. 已知 i 为虚数单位,则复数 z ? A. ?1 B. ?i

2 的虚部为( ?1 ? i
C. 1

D. i ) D.

3. 已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? A. ?

3 4

B.

3 4

3 ,则 tan ?? ? ? ? 的值是( 5 4 C. ? 3

4 3

4.下列有关命题的说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.“m=1”是“直线 x﹣my=0 和直线 x+my=0 互相垂直”的充要条件 C.命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“? x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“已知 x,y 为一个三角形的两内角,若 x=y,则 sinx=siny”的逆命题为真命题 5.如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A.

9

B. 11

C. 13

D. 15

?x ? y ? 4 ? 0 ?1 ? ? 6.点 ? a, b ? 是区域 ? x ? 0 内的任意一点,则使函数 f ? x ? ? ax2 ? 2bx ? 3 在区间 ? , ?? ? ?2 ? ?y ? 0 ?
上是增函数的概率为( A. ) B.

1 3

2 3

C.

1 2

D.

1 4

7.已知直线 2 x ? y ? 10 ? 0 过双曲线 近线垂直,则该双曲线的方程为( A.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点且与该双曲线的一条渐 a 2 b2
) C.

x2 y 2 ? ?1 9 16 1 3 2 2 8.若直线 mx ? ny ? 2 ? 0 截得圆 (m>0,n>0 ) (x ? 3 ) ? (y ? 1 ) ? 1 的弦长为 2,则 ? m n x y ? ?1 16 9
B.

2

2

x y ? ?1 20 5

2

2

x2 y 2 ? ?1 5 20

D.

的最小值为( A. 4

) B. 12 C. 16 D. 6

9.点 A 是抛物线 C : x2 ? 2 py

? p ? 0? 上一点,O 为坐标原点,若以点 M ? 0,8? 为圆心, OA 的
) C. 6 D.

长为半径的圆交抛物线 C 于 A, B 两点,且 ?ABO 为等边三角形,则 p 的值是( A.

3 8

B. 2

10. 函 数 f ? x ? ? 2016x ? log2016

?

x2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 , 则 关 于 x 的 不 等 式


?

2 3

f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4 的解集为(
? 1 ? A. ? ? , ?? ? ? 4 ?

1? ? B. ? ??, ? ? 4? ?

C.

? 0, ?? ?

D.

? ??,0?

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相对应位置上.

11.计算: log 5 25 ? lg

1 ? ln e = 100

.

12.在样本的频率分布直方图中,共有 9 个小长方形,若第一个长方形的面积为 0.02,前五个 与后五个长方形的面积分别成等差数列,且公差互为相反数,若样本容量为 1600,则中间一 组(即第五组)的频数为__________.

13.某三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则其左视图面积为___ _____. 14. 如图,在 ?ABC 中, ?BAD ? 90 , BC ?
?

???? ???? 3BD , AD ? 1,则 AC ? AD =___ _____. 15.若存在实数 x0 和正实数 ?x ,使得函数 f ( x) 满足 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 4?x , B 则称函数 f ( x) 为“可翻倍函数” ,则下列四个函数
① f ( x) ?
2 x ; ② f ( x) ? x ? 2x, x ?[0,3] ;

D C

A

③ f ( x) ? 4sin x ;④ f ( x) ? e x ? ln x . 其中为“可翻倍函数”的有 (填出所有正确结论的番号). 三、解答题:本大题共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动.为了解本 次考试学生的某学科成绩情况,从中抽取部分学生的分数(满分为 100 分,得分取正整数, 抽取学生的分数均在 ?50,100? 之内)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照 ?50,60? ,

?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎
叶图(茎叶图中仅列出了得分在 ?50,60? , ?90,100? 的数据) .
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“省 级学科基础知识竞赛” ,求所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 ?90,100? 内的概率. 17.(本小题满分 12 分)设数列 ?a n ? 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和, 已知 S 3 ? 7 ,且 a1 ? 3,3a 2 , a 3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)令 bn ? lna 2n?1 , n ? 1,2,3,?,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Tn . 18. (本小题满分 12 分)已知锐角 ..?ABC中内角 A 、 B 、 C 所对边的边长分别为 a 、 b 、 c ,
2 2 满足 a ? b ? 6ab cosC ,且 sin C ? 2 3 sin A sin B .

2

(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)设函数 f ( x) ? sin(?x ?

?
6

) ? cos ?x (? ? 0) , 且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为

? ,求 f ( A) 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 侧棱 OB ? 底面 ABCD ,且侧棱 OB 的长是 2 ,点 E, F , G 分别是
O

AB, OD, BC 的中点.
(Ⅰ)证明: EF / / 平面 BOC ; (Ⅱ)证明: OD ? 平面 EFG ; (Ⅲ)求三棱锥 G ? EOF 的体积.
F D E B C G

A

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 ? : 于

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率等 a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ) 过点 E (0, 4) 作关于 y 轴对称的两条直线分别与椭圆 ? 相交, y 轴左 边的交点由上到下依次为 A,B , y 轴右边的交点由上到下依次为 C , D , 求证:直线 AD 过定点,并求出定点坐标.

2 ,椭圆 ? 上的点到它的中心的距离的最小值为 2 . 2

x 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? e , g ( x ) ?

n x ? m ,其中 e 为自然对数的底数, 2

m, n ? R .
(1)若 n ? 2 时方程 f ( x) ? g ( x) 在 ??1,1? 上恰有两个相异实根,求 m 的取值范围; (2)若 T ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 m ? 1 ? (3)若 m ? ?

n ,求 T ( x) 在 ?0,1? 上的最大值; 2

15 ,求使 f ( x) ? g ( x) 对 ?x ? R 都成立的最大正整数 n . 2

高埂中学高 2016 级高三下期强化训练 2
数学试题(文科)参考答案 一.DDADA
1 二. 11. 2

ABDDA
12.360 13.6 14.

3

15. ①④

三、16. 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 n ?

8 ? 50 , ……2 分 0.016 ? 10

2 ? 0.004 , ……4 分 50 ? 10 x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . ……6 分 y?
(Ⅱ)由题意可知,分数在 [80,90] 内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,分数 在 [90,100] 内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1 , b2 ,抽取 2 名学生的所有情况有 21 种,分 别为:

? a1, a2 ? , ? a1, a3 ? , ? a1, a4 ? , ? a1, a5 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a2 , a3 ? , ? a2 , a4 ? , ?a2 , a5 ? , ?a2 , b1 ? , ?a2 , b2 ? , ? a3 , a4 ? , ? a3 , a5 ? , ? a3 , b1 ? , ? a3 , b2 ? , ? a4 , a5 ? , ? a4 , b1 ? , ? a4 , b2 ? , ? a5 , b1 ? , ?a5 , b2 ? , ?b1, b2 ? .
8分 其中 2 名同学的分数恰有一人在 [90,100] 内的情况有 10 种, ∴ 所抽取的 2 名学生中恰有一人得分在 [90,100] 内的概率 P ? ……10 分 ……

10 .……12 分 21
……..2 分

17 解: (1)由已知得 ? a 1 ? 3 ? a 3 ? 4

? ? ? ?

a1 ? a 2 ? a 3 ? 7 2 ? 3a 2

解得 a 2 ? 2

设数列 ?a n ? 公比为 q ,有

a2 ? a2 ? a2q ? 7 , q

2 化简 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ?

1 (舍 ) , 2
………6 分

又 a1 ? 1 ,所以数列 ?a n ? 的通项公式 an ? 2 n?1 (2)由 bn ? lna2n?1 ? ln22n ? 2n ln2 , 又 bn ? bn?1 ? 2 ln2 ,所以 ?bn ? 是等差数列 所以 Tn ?

………10 分

?b1 ? bn ?n
2

? (n ? 1)n ln 2

……………….12 分

18.(Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC 所以 cosC ?
2

c2 4ab

............. .......2 分

又因为 sin C ? 2 3 sin A sin B ,则由正弦定理得: c ? 2 3ab ,.........4 分
2

所以 cosC ?

? c2 2 3ab 3 ,所以 C ? .............6 分 ? ? 6 4ab 4ab 2

(Ⅱ) f ( x) ? sin(?x ? 由已知

?
6

) ? cos ?x ? 3 sin(?x ?

?
3

)

2?

? ? 5? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? . 2 2 6 6 3 2 ? 4? 3 所以 ? ? 2 A ? ? ,所以 ? ? f ( A) ? 0 ......12 分 3 3 2
C?

?

?

? ? , ? ? 2 ,则 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) .............9 分

,B ?

19.(Ⅰ)证明:作 OC 的中点 H ,连接 FH , BH , ? F , H 分别是 OD, OC 的中点

? FH / /

1 CD 2

……………………………(1 分)

O

又? 在正方形 ABCD 中, E 是 AB 的中点,? EB / /

D ? 四边形 BEFH 是平行四边形…………………………(2 分) A E ? EF / / BH ,又? EF ? 平面 BOC , BH ? 平面 BOC ………………………………………………(4 分) ? EF / / 平面 BOC

1 CD 2

? EB / / FH

F

H

C B G

(Ⅱ)证明:? 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, E 是 AB 的中点,? DE ? 5 又? 侧棱 OB ? 底面 ABCD , AB ? 面 ABCD ? OB ? AB

? OE ? 5 ? DE ? OE ? 5, .……………..(5 分) ? ?ODE 是等腰三角形, ? F 是 OD 的中点, ? EF ? OD 同理 DG ? DG ? 5, ? ?ODG 是等腰三角形, ? F 是 OD 的中点, ? FG ? OD ……………………………………………………….(6 分) ? EF ? FG ? F EF , FG ? 面 EFG OD ? 平面 EFG ……………………………………………………(8 分) (Ⅲ)解:? 侧棱 OB ? 底面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? OB ? BD ? OB ? 2, DB ? 2 2 ? OD ? 2 3 由(Ⅱ)知: OD ? 平面 EFG , OF 是三棱锥 O 到平面 EFG 的距离
又? OB ? 2, EB ? 1

? F 分别是 OD 的中点, OF ? 3

……………………………(9 分)

DE ? OE ? 5, EF ? OD ,? EF ? 2
? FG ? 2 DG ? DG ? 5, FH ? OD ? 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, E , G 是 AB, BC 的中点

? EG ? 2

? 三角形 EFG 是等边三角形? S? EFG ?

3 ………………(11 分) 2

1 1 VG ? EOF ? V0? EFG ? Sh ? 3 2

…………………………………………(12 分)

? c 2 ? ? a 2 ? ? 20.解: (Ⅰ)由已知 ? b ? 2 , ……………………………………………..……(2 分) ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
? x2 y 2 ?a ? 2 2 ? ?1 得? , 椭圆 ? 的方程为 8 4 ? ? b?2
……………..…(4 分)

x2 y 2 ? ?1 (Ⅱ)证明:由已知可设 AB 方程为 y ? kx ? 4(k ? 0), 代入 8 4
得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 16kx ? 24 ? 0 ………………………………………..……(5 分) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

16k 24 , x1 x2 ? .…..……(6 分) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
y1 ? y2 ( x ? x1 ), .……(8 分) x1 ? x2

由对称性知 D(? x2 , y2 ) ,? AD 方程为 y ? y1 ?

? y1 ? kx1 ? 4, y2 ? kx2 ? 4 ,? AD 方程可化为
y? k ( x1 ? x2 ) ( x ? x1 ) ? kx1 ? 4 ……………………………………..……(9 分) x1 ? x2

?

k ( x1 ? x2 ) k ( x1 ? x2 ) x? x1 ? kx1 ? 4 x1 ? x2 x1 ? x2

24 2 k ( x1 ? x2 ) 2 x2 k ( x1 ? x2 ) ? x ? kx1 ?4? x ? 2k ? 1 ? 2 k ? 4 16k x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2
? k ( x1 ? x2 ) x ?1 x1 ? x2
…………………………………………………..……(12 分)

? AD 恒过定点,定点为 (0,1) ……………………………………………..……(13 分)

21.(1) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ? x ? m , F ( x) ? e ?1 ,故 F ( x) 在 ? ?1,0? 上单调递减;
x ' x

在 ?0,1? 上单调递增;故 f ( x) ? g ( x) 在 ??1,1? 上恰有两个相异实根.

1 ? ? F (?1) ? e ? 1 ? m ? 0 ? 1 ? 1 ? m ? ? 1 ;………………………………..……(3 分) ? F (0) ? 1 ? m ? 0 e ? F (1) ? e ? 1 ? m ? 0 ? ?
(2) m ? 1 ?

n n x n ' x n , T ( x) ? e ( x ? 1 ? )( n ? R ) ,∴ T ( x) ? e ( x ? 1) 2 2 2 2

①当 n ? 0 时, T ' ( x) ? 0 , T ( x) 在 ?0,1? 上为增函数,则此时 Tmax ( x) ? T (1) ? e ; ②当 n ? ?2 时, 0 ? ?

2 n 2 2? ? ? 1 , T ' ( x) ? e x ? ( x ? ) ,故 T ( x) 在 ?0, ? ? 上为增函数,在 n 2 n n? ?

2 2 ? 2 n ?n ? 2 ? n ? ,1 上为减函数,此时 T ( x)max ? T (? ) ? e (?1 ? m) ? ? ? e , ? n 2 ? n ? ?

③当 ?2 ? n ? 0 时, ?

2 n 2 ? 1 , T ' ( x) ? e x ? ( x ? ) ,故 T ( x) 在 ?0,1? 上为增函数,此时 n 2 n

T ( x)max ? T (1) ? e ;
综上所述: ?T ( x)?max
2 ? n ?n n ? ?2 ?? e , ………………………………..……(8 分) ?? 2 n ? ?2 ?e ?

n 15 x ? ? 0(*) 2 2 n n n ' x 因为 p ( x ) ? e ? 故 p ( x) 在 (0, ln ) 上单调递减;在 (ln , ?? ) 上单调递增; 2 2 2 n n n n 15 1 n ? (n ? n ln ? 15) ? 0 故(*) ? p ( x) min ? p(ln ) ? ? ln ? 2 2 2 2 2 2 2 x x x 设 h( x) ? x ? x ln ? 15 ? x ? x(ln x ? ln 2) ? 15 ,则 h( x) ? 1 ? ln ? 1 ? ? ln , 2 2 2
x (3)由题设: ?x ? R, p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e ?

故 h( x) 在 (0, 2) 上单调递增;在 (2, ??) 上单调递减; 而 h(2e ) ? 2e ? 2e ln e ? 15 ? 15 ? 2e ? 0 ,
2 2 2 2 2

且 h(15) ? 15 ? 15ln

15 15 15 ? 15 ? 15(2 ? ln ) ? 15(ln e2 ? ln ) ? 0 , 2 2 2

故存在 x0 ? (2e2 ,15) ,使 h( x0 ) ? 0 ,且 x ?[2, x0 ) 时 h( x) ? 0 , x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? 0 又∵ h(1) ? 16 ? ln

1 15 * ? 0, 7 ? e2 ? ,故 n ? N 时使 f ( x) ? g ( x) 的最大正整数 n ? 14 2 2

………………………………..……(14 分)



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