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高中解析几何知识点



曲线与方程

(2)求曲线方程的基本方法

直线
一、直线的倾斜角与斜率 1、倾斜角的概念: (1)倾斜角:当直线 ? 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 ? 向上方向之间所成的 角 叫做直线 ? 的倾斜角。 (2)倾斜角的范围:当 ? 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角 为 0° 因此 0°≤ <180°

。 2、直线的斜率 (1)斜率公式:K=tan ( ≠90°)

y 2 ? y1 x ? x1 (x1≠x2) (2)斜率坐标公式:K= 2
(3)斜率与倾斜角的关系:一条直线必有一个确定的倾斜角,但不一定有斜率。当 =0° 时,k=0;当 0° < <90° 时,k>0,且 越大,k 越大;当 =90° 时,k 不存在;当 90° < <180° 时,k<0,且 越大,k 越大。 二、两直线平行与垂直的判定 1、两直线平行的判定: (1)两条不重合的直线的倾斜角都是 90° ,即斜率不存在,则这两直线平行; (2)两条不重合的直线,若都有斜率,则 k1=k2

? 1 ∥? 2

2、两直线垂直的判定: (1)一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,则这两直线垂直; (2)如果两条直线 ? 1 、 ? 2 的斜率都存在,且都不为 0,则 ? 1 ⊥? 2 k1· k2=-1

已知直线 l 经过点 P( x0 , y0 ) ,且斜率为 k ,则方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 为直线的点斜式方程.

直线 l 与 y 轴交点 (0, b) 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距.直线 y ? kx ? b 叫做直线的斜截式方程.
y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 1 ( x1 , x2 ), P 2 ( x2 , y2 ) 且 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 已知直线上两点 P 则通过这两点的直线方程为 y2 ? y1 x2 ? x1 ,

由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式

? ?1 y 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) ,与 轴的交点为 B(0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 ,则直线 l 的方程 a b 叫做直线
的截距式方程. 注意:直线与 x 轴交点( a ,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距;直线与 y 轴交点(0, b )的纵坐标 b 叫做直线 在 y 轴上的截距.

x

y

关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.

直 线 名 称 点 斜 式 斜 截 式 两 点 式 截 距 式

已知条件

直线方程

使用范围

P 1 ( x1 , y1 ), k

y ? y1 ? k ( x ? x1 )

k 存在

k, b

y ? kx ? b

k 存在

( x1 , y1 )
( x2 , y 2 )

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x1 ? x2
y1 ? y2

a, b

x y ? ?1 a b

a?0 b?0

1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则 已知平面上两点 P

2 2 PP 1 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

.

特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为

OP ? x2 ? y2

.
d? Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

已知点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离为:

.

已知两条平行线直线 l1 Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l2 的距离为

d?

C1 ? C2 A2 ? B 2
新疆

王新敞
学案

直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。 斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ;
? ?

?

?

? 当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存在。

?

?

?

?

k?
②过两点的直线的斜率公式:

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所 以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ?

x y ? ?1 ④截矩式: a b
其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 ⑤一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)
○ 2 特殊的方程如: 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

注意:○ 1 各式的适用范围

平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ;

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线

A0 x ? B0 y ? C0 ? 0 ( A0 , B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0 x ? B0 y ? C ? 0 (C 为常数)

(二)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

l ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ?? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) ,其中直线 2 不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? A x ? B2 y ? C2 ? 0 交点坐标即方程组 ? 2 的一组解。
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ?

l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,


| AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2

(9)点到直线距离公式:一点

P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;
? D E? 1 ,? ? r? D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ? ,半径为 2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

? 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ?

?

当D

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2 2 (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

,则有

d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交
2 (2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后, 2 2

令其中的判别式为 ? ,则有

? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相切 ; ? ? 0 ? l与C相交
注:如果圆心的位置在原点,可使用公式 r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为

xx0 ? yy0 ? r 2 去解直线与圆相切的问题,其中 ?x0 , y0 ? 表示切点坐标,

xx0 ? yy0 ? r 2 (课本命题).

②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ? ? R
2 2

2

2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当d 当d

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条;
? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 当

d ? R?r d ? R?r

时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 时,两圆内含; 当d

? 0 时,为同心圆。

椭圆 把平面内与两个定点

F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆.其中这两个定点叫做椭圆的

焦 点 , 两 定 点 间 的 距 离 叫 做 椭 圆 的 焦 距 . 即 当 动 点 设 为 M 时 , 椭 圆 即 为 点 集

P?

?M | MF

1

? MF2 ? 2a?



椭圆的简单几何性质

y2 x2 ? 1 ? ?0 2 a2 ①范围:由椭圆的标准方程可得, b ,进一步得: ? a ? x ? a ,同理可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位
于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 从而得到椭圆是以 x 轴和

? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,

y 轴为对称轴,原点为对称中心;

③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭 圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;

e?
④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比

?当e ? 1时,c ? a,,b ? 0 c ? a 叫做椭圆的离心率( 0 ? e ? 1 ) , ?椭圆图形越扁 ;

?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ? ?椭圆越接近于圆
椭圆的第二定义

当点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

e?

c (0 ? e ? 1) a 时,这个点的轨迹是椭圆.定点是

椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数 e 是椭圆的离心率.

x2 y2 a2 ? ? 1 x? 2 b2 c .根据对称性,相应于焦点 F ?(?c,0) 的准线方程 对于椭圆 a ,相应于焦点 F (c,0) 的准线方程是
x??


y2 x2 a2 a2 ? ? 1 y ? ? c .对于椭圆 a 2 b 2 c . 的准线方程是
| MF | a2 ?e | MF右 |? ed ? e | x ? |? a ? ex d c 可得:右焦半径公式为 ;左焦半径公式为

可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比,这就是离心率的几何意义.

?
由椭圆的第二定义

| MF左 |? ed ? e | x ? (?

a2 ) |? a ? ex c

椭圆 定义 图形
N1 K1 P

1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.(0<e<1)
y

y
B2
K2
N2 F2

N2 P

A2
F2

A1

F1

O

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1

A1
K1

F1



标 准 方 程 参 数 方 程

x2 y2 ? ?1 a2 b2
( a ? b >0)

x2 y2 ? ?1 a2 b2
( a ? b >0)



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a x a,─b y b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (其中 c= a ? b )
2 2

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a x a,─b y b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) X 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) 2c (其中 c= a ? b )
2 2

范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (0 ? e ? 1) a

?
x= 焦半径 通径

a2 c

?
x=

a2 c

r ? a ? ex

r ? a ? ex

2b 2 a

2b 2 a

椭圆的其他几何性质
1.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 4.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程 a b x0 x y0 y 是 2 ? 2 ? 1. a b x2 y 2 b2 5.AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 . a b a 2 2 2 2 x0 x y0 y x0 y x y ? 2 ? 2 ? 02 . 6.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 a b a b a b 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y ? 2 . 7.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a b a2 b 2 2 x y 1 1 1 1 8.若 PQ 是椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上对中心张直角的弦,则 2 ? 2 ? 2 ? 2 (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . a b r1 r2 a b
3.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则直 a 2 b2 b2 x0 线 BC 有定向且 kBC ? 2 (常数). a y0
9.过椭圆

x2 y 2 10.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则椭圆的焦 a b
点角形的面积为
2 a 2 2 ? 2 ? b , P( c ? b tan , tan ) . 2 c 2 c 2 2 2 x y 11.若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , a b a?c ? ? ? tan co t . 则 a?c 2 2

S?F1PF2 ? b 2 tan

?

12.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂 直. 13.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? k ( k ? 0, k ? 1) ? ? 1 相交于 P, Q ,则 AP ? BQ . 上两点,其直线 AB 与椭圆 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 15.设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2 a b sin ? c ? ? e. 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有 sin ? ? sin ? a 2 2 2 2 2 2 16.经过椭圆 b x ? a y ? a b (a>b>0)的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与椭圆上任一点的切线相交于
14. 设 A,B 为椭圆
2 P1 和 P2,则 | PA 1 | ? | PA 2 |? b .

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的任一点,过 M 引一条直 a 2 b2 a2 b2 l x ? y ? 线与椭圆相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线 : (或 ) m m
17.设椭圆 上.

18.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于 焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 19.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 ? ? 1 上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 ? , ? ,直线 AB 与 CD 相交 a 2 b2 | PA | ? | PB | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? 于 P,且 P 不在椭圆上,则 . ? | PC | ? | PD | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? x2 y 2 21.过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x a b | PF | e ? . 轴于 P,则 | MN | 2
20.设 A、B、C、D 为椭圆 22.设 A(x1 ,y1)是椭圆

x2 y 2 b 2 x1 ? ? 1 ( a > b > 0 )上任一点,过 A 作一条斜率为 的直线 L,又设 d 是 ? a 2 b2 a 2 y1

原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则 r1r2 d ? ab . 23.已知椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? ? (0 ? ? ?1 ) ( a > b > 0 )和 ,一直线顺次与它们相交于 A、B、C、 a 2 b2 a 2 b2

D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 , ?PAB ? ? , a 2 b2 2ab2 | cos ? | 2 ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率, 则有(1) | PA |? 2 .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) a ? c 2co s2 ? 2a 2 b 2 S?PAB ? 2 cot ? . b ? a2
24 . 设 A 、 B 是 椭 圆 25.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、 a 2 b2 B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
26. 已知椭圆 27.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 28.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 29.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 30.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 31.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在 直线平行. 32.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的 长. 33.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆 长轴为直径的圆的切点. 34.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e. 35.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 36.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

双曲线
把平面内与两个定点

F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola) .其

中这两个定点叫做双曲线的焦点,两定点间的距离叫做双曲线的焦距.即当动点设为 M 时,双曲线即为点集

P?

?M

MF1 ? MF2 ? 2a

?.

双曲线的简单几何性质

y 2 x2 ? 2 ?1 ? 0 2 a ①范围: 由双曲线的标准方程得,b , 进一步得:x ? ? a , 或x ? a. 这说明双曲线在不等式 x ? ? a ,
或 x ? a 所表示的区域; ②对称性:由以 ?x 代 x ,以 从而得到双曲线是以 x 轴和

? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有,

y 轴为对称轴,原点为对称中心;

③顶点:圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有 两个顶点,由于双曲线的对称轴有实虚之分,焦点所在的对称轴叫做实轴,焦点不在的对称轴叫做虚轴;

y??
④渐近线:直线

b x2 y 2 x ? ?1 a 叫做双曲线 a 2 b 2 的渐近线; e? c a 叫做双曲线的离心率( e ? 1 ) .

⑤离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比

l:x?
双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线

c a2 e ? ?1 a c 的距离之比是常数 时,这

l:x?
个动点 M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线的一个焦点,定直线 e 是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。

a2 c 叫双曲线的一条准线,常数

双曲线其他性质
1.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. 3.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 a2 b a b 2 2 x y 4.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点 a b xx y y 弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y b2 5. AB 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 的不平行于对称轴且过原点的弦, M 为 AB 的中点, 则 kOM ? k AB ? 2 . a b a

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 6. 若P (a>0,b>0) 内, 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . x0 ,y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 0( a b a b a b 2 2 2 2 x0 x y0 y x y x y ? 2 . 7.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 2 ? 2 ? a b a b a2 b 2 2 x y 1 1 1 1 8.若 PQ 是双曲线 2 ? 2 ? 1(b>a >0)上对中心张直角的弦,则 2 ? 2 ? 2 ? 2 (r1 ?| OP |, r2 ?| OQ |) . a b r1 r2 a b x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点, a 2 b2 b2 x0 则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 (常数). a y0
9.过双曲线

x2 y 2 10.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则双 a b ? a 2 2 ? b2 ? 2 曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t , P( c ? b tan 2 , cot ) . 2 c 2 c 2 2 2 x y 11.若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). ?PF2 F1 ? ? ,则 c?a 2 2 c?a 2 2
12.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直. 13.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

x2 y 2 x2 y 2 14.设 A,B 为双曲线 2 ? 2 ? k (a>0,b>0, k ? 0, k ? 1 )上两点,其直线 AB 与双曲线 2 ? 2 ? 1 相交 a b a b 于 P, Q ,则 AP ? BQ . x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△ a 2 b2 sin ? c ? ?e. PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有 ?(sin ? ? sin ? ) a
15.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与双曲线上任一点的切线相交于 a 2 b2 2 P1 和 P2,则 | PA 1 | ? | PA 2 |? b .
16.经过双曲线

x2 y 2 17.设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任一点,过 M 引一条直 a b a2 线与双曲线相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为两顶点)的交点 N 在直线 l : x ? 上. m
18.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交 相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 19.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 20.设 A、B、C、D 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为 ? , ? ,直 a b | PA | ? | PB | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ? 线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在双曲线上,则 . ? | PC | ? | PD | b2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分 a 2 b2 | PF | e 线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
21.过双曲线 22.设 A(x1 ,y1)是双曲线

x2 y 2 b 2 x1 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )上任一点,过 A 作一条斜率为 的直线 L,又设 d a 2 b2 a 2 y1

是原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到双曲线两焦点的距离,则 r1r2 d ? ab .

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 23.已知双曲线 2 (a>0,b>0)和 2 ? 2 ? ? ( 0 ? ? ? 1 ) ,一条直线顺次与它们相交于 A、B、 a b2 a b
C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? ,则 a 2 b2 ? 2b2 2 (1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 25 .设 A 、 B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > 0 )的长轴两端点, P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | ?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | PA |? 2 2 .(2) | a ? c co s2 ? | 2a 2 b 2 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2
24.设 P 点是双曲线 26.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线 a 2 b2 相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.
27.已知双曲线 28.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 29.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 30.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 31.双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 33.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径 所在直线平行. 34.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴 的长. 35.双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双 曲线实轴为直径的圆的切点. 36.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e. 37.双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦 点.

抛物线
y 2 ? 2 px ( p ? 0)
抛 物 线 l y

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
y l O x

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
y F O x l

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y l O F x

O

F

x

F

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线 定义 的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 { 范围 对称性
M MF

=点 M 到直线 l 的距离}

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R
关于 x 轴对称

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0
关于 y 轴对称

焦点

p ( 2 ,0)
焦点在对称轴上

?
(

p 2 ,0)

p (0, 2 )

?
(0,

p 2 )

顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线 的距离 焦点到准线 的距离

O(0, 0)

e =1
x?? p 2
x? p 2

y??

p 2

y?

p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2

p

焦半径

A( x1 , y1 )

AF ? x1 ?

p 2

AF ? ? x1 ?

p 2

AF ? y1 ?

p 2

AF ? ? y1 ?

p 2

焦 点弦 长

AB

( x1 ? x2 ) ? p

?( x1 ? x2 ) ? p

( y1 ? y2 ) ? p

?( y1 ? y2 ) ? p

y o

A ? x1 , y1 ?
x B ? x2 , y2 ? F

焦点弦

AB
以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切

的几条性质

A( x1 , y1 )
B( x2 , y2 )
若 AB 的倾斜角为 ? ,则

AB ?

2p sin 2 ?

若 AB 的倾斜角为 ? ,则

AB ?

2p cos 2 ?

p2 x1 x2 ? 4

y1 y2 ? ? p 2

1 1 AF ? BF AB 2 ? ? ? ? AF BF AF ? BF AF ? BF p
切线 方程
y0 y ? p( x ? x0 )
y0 y ? ? p( x ? x0 )

x0 x ? p( y ? y0 )

x0 x ? ? p( y ? y0 )

直线与抛物线的位置关系 直线 ,抛物线 ,

,消 y 得: (1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当 k≠0 时, Δ >0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点; Δ =0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点; Δ <0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。

关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l :

y ? kx ? b

抛物线

, ( p ? 0)

联立方程法:

? y ? kx ? b ? 2 2 2 2 ? y ? 2 px ? k x ? 2(kb ? p) x ? b ? 0
设 交 点 坐 标 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 有 ? ? 0 , 以 及 x1 ? x2 , x1 x2 , 还 可 进 一 步 求 出

y1 ? y2 ? kx1 ? b ? kx2 ? b ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b , y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b2
在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 相交弦 AB 的弦长

AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2
2

? 1? k 2

? a

AB ? 1 ?


? 2 1 1 2 ? 1 ? k y ? y ? 1 ? ( y ? y ) ? 4 y y 1 2 1 2 1 2 a k2 k2
x0 ? x1 ? x2 y ? y2 y0 ? 1 2 , 2

M ( x0 , y0 ) , b. 中点
点差法:

设交点坐标为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,代入抛物线方程,得

y1 ? 2 px1
将两式相减,可得

2

y2 ? 2 px2

2

( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 )

y1 ? y2 2p ? x1 ? x2 y1 ? y2

k AB ?
在涉及斜率问题时,

2p y1 ? y2

y1 ? y2 2p 2p p ? ? ? M ( x0 , y0 ) , x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0 y0 , 在涉及中点轨迹问题时,设线段 AB 的中点为
k AB ?


p y0 ,
2

M ( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,则有 同理,对于抛物线 x ? 2 py( p ? 0) ,若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,点
k AB ? x1 ? x2 2 x0 x0 ? ? 2p 2p p

抛物线其他性质
如图,AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,AD、BC 是准线的垂线,垂足分别为 D、C,M 是 CD 的 中点,N 是 AB 的中点.设点 A(x1,y1)、点 B(x2,y2),直线 AB 交 y 轴于点 K(0,y3),则: p2 1 1 1 ⑴ ① y1y2=-p2;② x1x2= ;③ + = ; 4 y1 y2 y3 2p ④ | AB |=x1+x2+p= 2 (?为 AB 的倾斜角) ; sin ? p 2p ⑤ S△OAB= ,S 梯形 ABCD= 3 .. 2sin? sin ? 1 1 2 ⑵ + = ; | AF | | BF | p ⑶ ∠AMB=∠DFC=Rt∠;
R O H
2 2

y D G

A(x1,y1)

M

Q

N

?
p F( ,0) 2 B(x2,y2) x

⑷ AM、BM 是抛物线的切线; ⑸ AM、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线; ⑹ AM、DF、y 轴三线共点,BM、CF、y 轴三线共点; ⑺ A、O、C 三点共线,B、O、D 三点共线; ⑻ 若| AF |:| BF |=m:n,点 A 在第一象限,
p x=- 2 C

K(0,y3)

?为直线 AB 的倾斜角. 则 cos ?=

m-n ; m+n

⑼ 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切,以 BF 为直径的圆与 y 轴相切; 以 AB 为直径的圆与准线相切. ⑽ MN 交抛物线于点 Q,则,Q 是 MN 的中点.



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