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2016年新课标i卷高考考前15天终极冲刺数学试题(文)(有答案)



2016 新课标Ⅰ高考终极冲刺指南 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码 的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后

,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷 必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A ? x x ? 2 x ? 0 , B ? y y ? x ? 2 x, x ? A ,则 A ? B ? (
2 2

?

?

?

?



A. ? 0, 2?

B. ? ?1, 2?

C. (??, 2]

D. [0, ??) ) (D) 2

2.如果复数 z ? (A) 3 2

3 ? bi (b ? R ) 的实部和虚部相等,则 | z | 等于( 2?i
(B) 2 2 ). (C) 3

3.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为“若 xy=0,则 x≠0” B. 命题“若 cos x=cos y,则 x=y”的逆否命题为真命题 C.命题“?x∈R,使得 2x2-1<0”的否定是“?x∈R,均有 2x2-1<0” D.“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为真命题 4.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列, S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则 ( ) A、 ?2 B、 ?3 C、2 D、3 5.以正方形的一条边的两个端点为焦点, 且过另外两个顶点的椭圆与双曲线 的离心率之积为 A.

S3 ? S 2 的值为 S5 ? S3

开始 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0

2 2

B. 1

C.

2

D. 2

k ? 3, S ? a3
k ?0
是 否 输出S 结束

6.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为 A. a1 ? x0 (a3 ? x0 (a0 ? a2 x0 )) 的值
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B. a3 ? x0 (a2 ? x0 (a1 ? a0 x0 )) 的值 C. a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) 的值 D. a2 ? x0 (a0 ? x0 (a3 ? a1 x0 )) 的值 7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准

k ? k ?1

S ? ak ? S ? x0

量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若 π 取 3,其体积为 12.6(立方寸),则图中的 x 为 A.1.2 B.1.6 C.1.8 D.2.4

8.设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的焦点,P 是双曲线上的一点,且 3| PF1 |=4| PF2 |, 24
C.24 D.48

△ PF1 F2 的面积等于
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A. 4 2

B. 8 3

π 9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象的相邻两对称中心的距离为 π,且 f 2

π π (x+ )=f(-x),则函数 y=f( -x)是( 2 4
A.奇函数且在 x=0 处取得最小值 C.奇函数且在 x=0 处取得最大值 10 已知函数 f ? x ? ? 2016 x ? log 2016 集为( )

).

B.偶函数且在 x=0 处取得最小值 D. 偶函数且在 x=0 处取得最大值

?

x 2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 ,则关于 x 的不等式 f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4 的解
1? 4?
C、 ? 0, ?? ? D、 ? ??,0 ?

?

A、 ? ? , ?? ?

? 1 ? 4

? ?

B、 ? ??, ? ?

? ?

2x-y+6≥0, ? ? 11. 已知实数 x,y 满足?x+y≥0, 若目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2,则实 ? ?x≤2, 数 m 的取值范围是( A.[-1,2] ) B.[-2,1] C.[2,3] D.[-1,3]

12.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? e x ? 范围是( A. (??, )

1 ( x ? 0) 与 g ? x ? ? x 2 ? ln( x ? a ) 图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值 2

1 ) e

B. (??, e )

C. (?

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

第Ⅱ卷
注意事项: 须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
13.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B=“取到的 2 个数 均为偶数” ,则 P ( B | A) ?

14.设函数 f(x)的导函数 f '(x)=x3﹣3x+2,则 f(x)的极值点是 15. F1,F2 分别为椭圆



??? ? 1 ??? ? ???? x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,A 为椭圆上一点,且 OB ? (OA ? OF1 ) , 36 27 2

???? 1 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? OC ? (OA ? OF2 ) 则 | OB | ?| OC | = 2
16.设数列{a n },(n ? 1, n ?

N )满足,,且 (an ? 2 ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? 2 ,

若[x]表示不超过 x 的最大整数,则= 三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 ?ABC ?

?
3

,b ?

7, c ? 2 ,

D 为 BC 的中点.(I)求 cos ?BAC 的值;(II)求 AD 的值.
(18). (本小题满分 12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对此班 50 人进行了问卷调查得 到了如下的列联表: 喜爱打篮球不喜爱打篮球 合 计 5 男生 女生10 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒乓 球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 1 名进行其 他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: 2 p(K ≥k)0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式: ,其中 n=a+b+c+d)

(19) . (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面为直角梯形,AD // BC , ?BAD ? 90 ,
?

PA 垂直于底面 ABCD , PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ; (2)求四棱锥的体积 V 和截面 ADMN 的面 积

(20) . (本小题满分 12 分)

已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) , 过其焦点作斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于 M、 N 两点, 且 | MN |? 16 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上, 且过定点 D(0, 4), 若动圆 P 与 x 轴交于 A、 B 两点, 且 | DA |?| DB | ,



| DA | 的最小值. | DB |

(21). (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? e .
x

(I)若函数 φ (x) = f (x)-

x +1 ,求函数 φ (x)的单调区间; x- 1

(II)设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线,在区间(1,+∞)上是否存在 线 y=g(x)相切若存在,求出

x0 使得直线 l 与曲

x0 的个数;若不存在,请说明理由。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于 D. (1)求证:AT =BT?AD; (2) E、F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠A.
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? a cos ? 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 ,? 为参数) ,在以 O 为极点, x 轴 ? y ? b sin ? 的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线 C1 上的点 M (1, 对应的参数 ? ?

?

3 3 (I)求曲线 C1 , C 2 的方程;

,射线 ? ?

?

与曲线 C 2 交于点 D (1,

?
3

3 ) 2

).

(II)若点 A( ?1 , ? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 设不等式 2 x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ? 求 h 的范围.

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ?, b?

考点分析及解析
1 函数的性质包括奇偶性,对称性,单调性,这部分往往与函数图像及交点问题相结合,特别 要注意的是对称轴,对称中心,y=x 对称反函数的求法,图像的上下左右平移也要熟练掌握。
2 三角函数的周期性单调区间有界性, 正余弦函 数的转化, 解三角形时把尽可能多的元素集中到同一个三角 形中,三角变换的原则是多角化单角。 3 数列:等差数列的性质,等比数列的性质,常考的求和方法。注意奇偶项分组求和,并项求和,求通项时, 累加,累乘等方式

4. 线性规划,作出平面域,最大值最小值一般在临界点处取得。 5.圆锥曲线的两个小题一般焦点,准线,离心率,利用定义结合平面几何性质解题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 C 7 C 8 C 9 D 10 A 11 A 12 B

1.解得集合 A 为 ? 0, 2? 2.令

集合 B 为 y 的值域[-1,0] A ? B ? ? ?1, 2? ,选 B

3 ? bi ? a ? ai ,展开 3 ? bi ? a ? 3ai 解得 a=3,b=-3a=-9,故 | z |? 3 2 ,选 A 2?i

3.解析 命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为“若 xy≠0,则 x≠0”,所以 A 错;命题“若 cos x=cos y,则 x=y” 为假命题,故其逆否命题也假,故 B 错;命题“?x∈R,使得 2x2-1<0”的否定是“?x∈R,均有 2x2-1≥0”, 所以 C 错; “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”显然正确.所 以应选 D. 4. =,,,,故选 C 5.以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆的离心率为 e1 ? 线的离心率为 e2 ? 6.C 略
7:C 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得:

t 1 ,双曲 ? 2t ? t 2 ?1

t 1 ,故他们的积为 1,选 B. ? 2t ? t 2 ?1

1 (5.4-x)× 3× 1+π·( 2 )2x=12.6,x=1.6 8. 解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10,∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x, 则|,由双曲线的性质知,解得 x=6.∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠ F1PF2=90° ,∴△ PF1F2 的面积=*8*6=24

9.(命题立意)考查 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,会由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数解 析式,掌握三角函数的周期性、奇偶性、对称性等. 因为 f(x)的图象的相邻两对称中心的距离为 π,所以

T 2 π =π,T=2π= ,所以 ω=1. 2 ?

π π π 所以 f(x)=Asin(x+φ).由 f(x+ )=f(-x),得 Asin(x+ +φ)=Asin(-x+φ),∴x+ 2 2 2 π +φ=-x+φ+2kπ 或 x+ +φ=π-(-x+φ)+2kπ. 2

π π π 又|φ|< ,令 k=0,得 φ= .∴f(x)=Asin(x+ ). 2 4 4
π π π 则 y=f( -x)=Asin( x+ )=Acosx,A>0,所以选 D. 4 4 4 π (思维拓展)由 f(x+ )=f(-x)求得 φ 是解答本题的关键. 2

10.A 令,

f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4

g(3x+1))> -g(x), 等价于 g(3x+1)+g(x) > 0,且 g(x)= -g(-x),所以 g(x)为奇函数, 易知 g(x)在定义域内单调递增, 即 g(3x+1))> g(-x),由奇函数性质 3x+1>-x,x >- 11.A[解析] 作出不等式组所对应的平面区域,如图中阴影部分所示.

由目标函数 z=-mx+y 得 y=mx+z,当直线 y=mx+z 在 y 轴上的截距最大时, z 最大,直线 y=mx+z 在 y 轴上的截距最小时,z 最小. ∵目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2, ∴当直线 y=mx+z 经过点 A(2,10)时,z 取得最大值,经过点 C(2,-2)时,z 取得最小值, ∴直线 y=mx+z 的斜率 m 不小于直线 x+y=0 的斜率,不大于直线 2x-y+6=0 的斜率,即-1≤m≤2 .

x 12.法一由题意存在 x0 ? (??, 0) 满足 f ( x0 ) ? g ( ? x0 ) 得 e 0 ? ln(? x0 ? a ) ?

1 ?0 2

令 h( x) ? e 0 ? ln( ? x0 ? a ) ?
x

1 x 因为 y ? e , y ? ? ln(? x ? a ) 在定义域内都是单调递增的 2

所以 h( x) ? e x ? ln(? x ? a ) ?

1 在定义域内都是单调递增的, 2

又因为 x 趋近于 ?? 时函数 h(x)<0 且 h( x) ? 0 在 x ? (??, 0) 上有解 当 a ? 0 时,当 x 趋近于 a 时, h ? x ? ? e x ? ln ? ? x ? a ? ? 当 a ? 0 时, h ? 0 ? ? e0 ? ln ? 0 ? a ? ? 综上 a ?

1 趋近于 ?? ,所以符合题意 . 2

1 ? 0 ? ln a ? ln e ? a ? e , 2

e ,故选 B.【考点定位】指对数函数 方程 单调性
1 ?0 2

x 法二由题意存在 x0 ? (??, 0) 满足 f ( x0 ) ? g ( ? x0 ) 得 e 0 ? ln(? x0 ? a ) ?

即e 0 ?
x

1 1 ? ln(? x0 ? a ) ,分别作出 y ? e x ? , y ? ln(? x ? a ) 的图像,利于图像数形结合 2 2
14 ﹣2 15 6 16 2015

13

13 解析: P ( A) ?

P( AB) 1 2 1 , P ( AB ) ? , P ( B | A) ? ? . P( A) 4 5 10

14. 解答: 解:函数 f(x)的导函数 f '(x)=x3﹣3x+2,令 x3﹣3x+2=0, 即(x+2) (x2﹣2x+1)=0,解得 x=﹣2 或 x=1, x<﹣2 时,f '(x)<0,1>x>﹣2 时,f '(x)>0,x=﹣2 是函数的极值点. 当 x>1 时,f '(x)=x3﹣3x+2>0,x=1 不是函数的极值点 15 .取 A 为特殊点,A 取四个顶点任意一个皆可。 16 解析:由已知得,的通项公式为 2n+2,①, , ……,,n 式累加得,

所以, =[2016(] ,,[2016(]

=[2016(1-]=2015
17 解: (I)法 1:由正弦定理得 sin C ?

又? 在?ABC中, b ? c,? C ? B,? 0 ? C ?

c 2 3 3 sin B ? ? ? b 7 2 7 ?
2

? cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ?
? ?(cos B cos C ? sin B sin C )

3 2 ? 7 7

? cos ?BAC ? cos ?? ? B ? C ? ? ? cos ? B ? C ?

?

3 3 1 2 7 ? ? ? ? 2 7 2 7 14

法 2:在 ?ABC 中,由余弦定理得

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos ?ABC 1 ? 7 ? 4 ? a 2 ? 2 ? 2 ? a ? ? ? a ? 3?? a ? 1? ? 0 2

解得 a ? 3 (a ? ?1 已舍去)

? cos ?BAC ?
(II)法 1:? AD ?

2 1 1 AB ? AC ? AD ? AB ? AC 2 4

?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 4?7?9 7 ? ? 2 AB ? AC 2 ? 2 ? 7 14

?

?

?

2

?

2 2 1? ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? ? ? 4?

1? 7 ? 13 13 ?? ? ? 4 ? 7 ? 2 ? 2 ? 7 ? ? AD ? ? ? 4? 14 ? 4 2
法 2:在 ?ABC 中,由余弦定理得 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos ?BAC

? 4 ? 7 ? 2? 2? 7 ?

在 ?ABD 中,由余弦定理得 AD 2 ? AB 2 ? BD 2 ? 2 AB ? BD ? cos ?ABD …

7 ? 9 ? BC ? 3 ? BD ? 3 14 2 ? AD ? 13 2

? 4?

9 3 1 13 ? 2? 2? ? ? 4 2 2 4

法 3:设 E 为 AC 的中点,连结 DE ,则 DE ?

1 AB ? 1 , 2

1 1 AC ? 7 2 2 在 ?ADE 中,由余弦定理得 AD 2 ? AE 2 ? DE 2 ? 2 AE ? DE ? cos ?AED AE ?

?

7 7 7 13 13 ?1? 2? ? 1? ? ? AD ? 4 2 14 4 2

解: (1)∵在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . ∴在 50 人中,喜爱打篮球的有 列联表补充如下: 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 5 25 男生20 10 15 25 女生 20 50 合计30 (2)∵ ∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件有 5× 3× 2=30 种,如下: (A1,B1,C1) , (A1,B1,C2) , (A1,B2,C1) , (A1,B2,C2) , (A1,B3,C1) , (A1,B3,C2) , (A2,B1,C1) , (A2,B1,C2) , (A2,B2,C1) , (A2, B2,C2) , (A2,B3,C1) , (A2,B3,C2) , (A3,B1,C1) , (A3,B1,C2) , (A3,B2,C1) , (A3,B3,C2) , (A3,B2,C2) , (A3,B3,C1) , (A4,B1,C1) , (A4,B1,C2) , (A4,B2,C1) , (A4,B2,C2) , (A4, B3,C1) , (A4,B3,C2) , (A5,B1,C1) , (A5,B1,C2) , (A5,B2,C1) , (A5,B2,C2) , (A5,B3,C1) , (A5,B3,C2) , 基本事件的总数为 30,用 M 表示“B1,C1 不全被选中”这一事 件, 则其对立事件 表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 由(A1,B1,C1) , (A2,B1,C1) , (A3,B1,C1) , (A4,B1,C1) , (A5,B1,C1)5 个基本事件组 成,∴ , . =30,∴男生喜爱打篮球的有 30﹣10=20,

∴由对立事件的概率公式得

19(1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 。

由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD ,

又 ?BAD ? 90 ,即 BA ? AD ,

?

? AD ? 平面 PAB ,所以 AD ? PB , ? PB ? 平面 ADMN , ? PB ? DM 。 (2)解:由 AD ? AB ? 2 BC ? 2 ,得底面直角梯形 ABCD 的面积 BC ? AD 1? 2 S? ? AB ? ?2 ? 3, 2 2 由 PA ? 底面 ABCD ,得四棱锥 P ? ABCD 的高 h ? PA ? 2 , 1 1 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ? Sh ? ? 3 ? 2 ? 2 。 的体积= 3 3

1 1 BC ? , 2 2 又 AD // BC ,故 MN // AD ,由(1)得 AD ? 平面 PAB ,又 AN ? 平面 PAB , 故 AD ? AN ,? 四边形 ADMN 是直角梯形, 1 在 Rt ?PAB 中, PB ? PA2 ? AB 2 ? 2 2 , AN ? PB ? 2 , 2
由 M , N 分别为 PC , PB 的中点,得 MN // BC ,且 MN ?

? 截面 ADMN 的面积 S ?

1 1 1 5 2 。 ( MN ? AD) ? AN ? ( ? 2) ? 2 ? 2 2 2 4

20. 解:(1) 设抛物线的焦点为 F (0,

p p ) ,则直线 l : y ? x ? , 2 2

p ? ?y ? x ? 由? ? x1 ? x2 ? 2 p ,? y1 ? y2 ? 3 p , 2 ,得 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 0 ? x 2 ? 2 py ? ?| MN |? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16 ,? p ? 4 ? 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 8 y 2 (2) 设动圆圆心 P ( x0 , y0 ), A( x1 ,0), B ( x2 ,0) ,则 x0 ? 8 y0 ,
2 2 且圆 P : ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? x0 ? ( y0 ? 4) 2 ,令 y ? 0 ,整理得: x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 16 ? 0 , 解





x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4



( x0 ? 4) 2 ? 16 | DA | ? ? | DB | ( x0 ? 4) 2 ? 16
当 x0 ? 0 时, 当 x0 ? 0 时,

2 x0 ? 8 x0 ? 32 16 x0 , ? 1? 2 2 x0 ? 8 x0 ? 32 x0 ? 8 x0 ? 32

| DA | ? 1, | DB |

| DA | 16 32 ? 1? ,? x0 ? 0 ,? x0 ? ?8 2 , 32 | DB | x0 x0 ? 8 ? x0

| DA | 16 ? 1? ? 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 ,? 2 ? 1 ? 1 | DB | 8?8 2 | DA | 所以 的最小值为 2 ? 1 . | DB | 1 2 x2 ? 1 x ?1 x ?1 21 解: (Ⅰ) ? ( x) ? f ? x ? ? , ? ?? x ? ? ? . ? ? ln x ? x ?1 x ? x ? 1?2 x ? ? x ? 1?2 x ?1 ∵ x ? 0 且 x ? 1 ,∴ ? ? ? x ? ? 0 ∴函数 ? ( x) 的单调递增区间为 ?0,1?和?1, ? ?? .
(Ⅱ)∵ f ?( x) ?
1 1 ,∴ f ?( x0 ) ? , x x0

∴ 切线 l 的方程为 y ? ln x0 ?

1 1 ( x ? x0 ) , 即 y ? x ? ln x0 ? 1 , x0 x0
x



设直线 l 与曲线 y ? g ( x) 相切于点 ( x1 , e 1 ) ,

1 1 ? ln x ,∴ x1 ? ? ln x0 ,∴ g ( x1 ) ? e 0 ? . x0 x0 ln x0 1 1 1 1 ∴直线 l 也为 y ? ? ? x ? ln x0 ? , 即 y ? x ? ? , ② x0 x0 x0 x0 x0 ln x0 1 x ?1 由①②得 ln x0 ? 1 ? ? ,∴ ln x0 ? 0 . x0 ? 1 x0 x0
∵ g ?( x) ? e x ,∴ e 1 ?
x

下证:在区间(1,+ ? )上 x0 存在且唯一 . 由(Ⅰ)可知, ? ( x) ? ln x ? 又 ? (e) ? ln e ?

x ?1 在区间 上递增. ( 1, +?) x ?1

e ? 1 ?2 e2 ? 1 e2 ? 3 ? ? 0 , ? (e 2 ) ? ln e 2 ? 2 ? ?0, e ?1 e ?1 e ? 1 e2 ? 1

结合零点存在性定理,说明方程 ? ( x) ? 0 必在区间 (e, e 2 ) 上有唯一的根,这个根就是所求的唯一 x0 ,所以有 且仅有一个 x0 . 22.解答: (1)证明:因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB, 所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT.又 AT 2=AB?AD,所以 AT 2=BT?AD. (2)解:取 BC 中点 M,连接 DM,TM. 由(1)知 TC=TB,所以 TM⊥BC.因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径.所以∠ABT=∠DBT=90° . 所以∠A=∠ATB=45° .…(10 分)

? ? 1 ? a cos ? 3 ? ? x ? a cos ? ? 3 , 23.(I)将 M (1, ,得 ? ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 ? y ? b sin ? 2 3 ? ? ? b sin ? 2 3 ?
即?

?a ? 2 ? x ? 2 cos ? x2 ,所以曲线 C1 的方程为 ? ( ? 为参数) ,或 ? y2 ? 1. b ? 1 y ? sin ? 4 ? ?
设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2 R cos ? ,(或 ( x ? R ) ? y ? R ).
2 2 2

将点 D (1,

?
3

) 代入 ? ? 2 R cos ? ,得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1 .

(或由 D (1,

?

1 3 ) ,得 D( , ) ,代 入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 2 2 3
2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos ? ,或 ( x ? 1) ? y ? 1 . (II)因为点 A( ?1 , ? ) , B ( ? 2 , ? ?

?

2

) 在在曲线 C1 上,

所以

?12 cos 2 ?
4
1
2 ?2

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

2 ?2 sin 2 ?

4

2 ? ?2 cos 2 ? ? 1 ,

所以

1

?12

?

?(

cos 2 ? sin 2 ? 5 ? sin 2 ? ) ? ( ? cos 2 ? ) ? . 4 4 4

24(Ⅰ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ? , a, b ? M , ? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1

ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ? ab ? 1 ? a ? b 2 a?b 2 (Ⅱ) h ? ,h ? ,h ? a ab b

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab ? ? ?8 ab ab ab h ? ?2,?? ? h3 ?



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