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河南省南阳市部分示范高中(五校)2015届高三上学期第一次联考文科数学试题



五校联考高三年级数学试题(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.如果命题“ p或q ”为假命题,则( A、 p, q 中至多有一个为假命题 C、 p, q 均为真命题 2.函数 y ? A、 ?1, 2 ? ) B、 p, q 均为假命题 D、 p, q 中恰有一个为真命题 ) C、 ?1, ?? ? D、 ? 2, ??? )

x ?x

lg ? x ? 1? 的定义域是(
B、 ? 2, ???

3.下列函数中既是偶函数,又是区间 ? ?1,0? 上的减函数的是( A、 y ? cos x B、 y ? ? x ?1 4.设 P ? C、 y ? ln

2? x 2? x

D、 y ? e ? e )

1 log2
11

?

1 log
11 3

?

1 log4
11

?

1 log5
11

,则(

A. 0 ? P ? 1 C. 2 ? P ? 3

B. 1 ? P ? 2 D. 3 ? P ? 4 )

5.在 ? ABC 中“ AB?BC ? 0 ”是“ ? ABC 为钝角三角形”的( A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件

??? ? ??? ?

D、既不充分也不必要条件

6. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,且当

x ? ?0, 2? 时, f ? x ? ? log2 ? x ?1? ,则 f ? ?2011? ? f ? 2012? ? (
A、 1 ? log 2 3 7.已知 f ( x) ? ? ( ) B. ( ? ?,3 ) C. [ ,3) B、 ?1 ? log 2 3 C、 ?1 D、1



?(3 ? a) x ? a ( x ? 1) , 是(??,??) 上是增函数,那么实数 a 的取值范围是 ?loga x ( x ? 1)
3 2

A. (1,+ ? )

D. (1,3)

8.设函数 f ( x) ? sin(?x ? 条对称轴的方程是 (

?
6

) ? 1(? ? 0) 的导函数 f ?( x) 的最大值为 3,则 f ( x) 的图象的一


A. x ?

?
9

B. x ?

?
6

C.

x?

?
3

D. x ?

?
2

9..已知数列 {an } 为等差数列,若

a11 ? ?1, 且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使得 Sn ? 0 的 a10

n 的最大值为(
A.11 B.19

) C.20 D.21

sin θ 3 3cos θ 2 ? 5π ? 10.设函数 f(x)= x+ x +tan θ ,其中 θ ∈?0, ?,则导数 f′(1)的取值 12 ? 3 2 ? 范围是 ( A. B.[ 2, 3] C.[ 3,2] D.[ 2,2] )

11.已知向量

OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA 与OC
夹角的取值范围是 A. [0, ( B. [ )

?
4

]

? 2?
3 , 3

]

C. [

? 3?
4 , 4

]

D. [

? 5?
6 , 6

]

12. 已知函数 f ( x) ? ?

?sin ? x (0 ? x ? 1) ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 ? log 2010 x ( x ? 1)
) C. (2, 2011) D. [2, 2011]

a ? b ? c 的取值范围是(
A. (1, 2010)

B. (1, 2011)

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分;直接将答案填写在答卷上,不用写计算过程.

? 1 x ?( ) , x ? 4 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f (1 ? log 2 5) 的值为 ? ? f ( x ? 1), x ? 4



14. 设函数 f ( x) 是 定 义在 R 上 的奇 函数 ,且 y ? f ( x) 的 图像 关于直 线 x ?

1 对 称, 则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? ____
15 .定义:数列 ?an ? ,满足

a n ? 2 a n ?1 ? ? d n ? N * d 为常数,我们称 ?an ? 为等差比数列, a n ?1 an a 2009 的个位数 是 a 2006

?

?

已知在等差比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 1, a3 ? 2 ,则

16.已知函数 f ( x ) ? a ln x ? 的正实数 x1 、 x2 都有

1 2 x ( a >0)若对任意两个不相等 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >2 恒成立,则 a 的取值范围是 x1 ? x2

三、解答题:共 70 分;要求在答卷上写出详细的计算与推演过程. 17. (本小题满分 10 分) 叙述并证明正弦定理

18. (本小题满分 12 分)某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线,位于岸边 A 处的救生员 发现海中 B 处有人求救,救生员没有直接从 A 处游向 B 处,而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处。若救生员在岸边的行进速度是 6 米/秒, B 在海中的行进速度是 2 米/秒。 (不考虑水流速度等因素) (1)请分析救生员的选择是否正确; (2)在 AD 上找一点 C,使救生员从 A 到 B 的时间最短,并求出最短时间. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x (Ⅰ)若 f ( x) 在区间上 [1,??) 是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 x ? ? 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 [?1, a] 上的最大值和最小值. 20. 在△ABC 中,设 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m ? (cosA, sin A), A C 300 米 D 300 米

1 3

n ? ( 2 ? sin A, cos A) ,且 m ? n ? 2
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若求 b ? 4 2 , c ? 21.(本小题满分 12 分) 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 且 bn ? 2 ? 2Sn ; 数列 ?an ? 为等差数列, 且 a5 ? 14 ,a7 ? 20 . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn 项和. 求证: Tn ?

2a ,求△ABC 的面积

? an ?bn ,n ? 1,2,3, ? ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n

7 2

22. (本小题满分 12 分)

己知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 1 在 x ? 2 处的切线斜率为 ? . (I)求实数 a 的值及函数 f ( x ) 的单调区间;

1 2

(II) 设 g ( x) ?

x 2 ? 2kx ? k , 对 ?x1 ? (0,??), ?x2 ? (??,0) 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立, x

求正实数 k 的取值范围; 五校联考高三数学试卷(文科)参考答案 一:选择题 1—5 BDDBA 6―10CCABD ,11-12 CC 1. B 考查命题的有关概念 2. D 考察对数函数、根式函数的定义域 3. D 考察函数的单调性 4. B 考查对数运算 5. A 考查向量的夹角 6. C 考查周期函数的概念及运算 7. C 考查函数的单调性及运算 8. A 考查正弦函数的对称轴 9. B 考查等差数列的性质 10.D 考查三角函数的极值 11.C 考查向量的运算 12.C 考查三角函数、对数函数的图像

二:填空题 13, 13.

1 14, 0 20

15,

6

16,

?1, ???

1 考查分段函数的运算 20
考查函数的对称性 考查等比数列的迭积的应用

14. 0 15. 6

16. ?1, ?? ? 考查函数的切线的斜率的有关概念

三:解答题

17:略 18. 解析: (1)从 A 处游向 B 处的时间 t1 ?

300 2 ? 150 2 ( s) , 2
300 300 ? ? 200 ( s ) 6 2

而沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处,然后游向 B 处的时间 t 2 ? 而 150 2 ? 200,所以救生员的选择是正确的.

??4 分

(2)设 CD=x,则 AC=300-x, BC ? 3002 ? x 2 ,使救生员从 A 经 C 到 B 的时间

300 ? x 3002 ? x 2 t? ? ,0 ? x ? 300 6 2 1 x ,令 t ? ? 0, x ? 75 2 t? ? ? ? 6 2 90000? x 2
又 0 ? x ? 75 2 , t ? ? 0;75 2 ? x ? 300 ,t? ? 0 , 知 x ? 75 2, t min ? 50 ? 100 2 (s) 答: (略) 19. (1)f (x)=3x –2ax–3≥0 ∴2a≤3x﹣
/
2

??6 分

??9 分

?????11 分 ??12 分 ∴2ax≤3x
2

﹣3 ,又∵ x ? [1,??) ,

3 3 ∴2a≤(3x﹣ )min=0 ∴a≤0?????? 5 分 x x 1 1 1 2 (2)∵ x ? ? 是 f ( x) 的极值点,∴3() -2a()-3=0 得 a=4, 3 3 3 1 1 2 / 令 3x –8x–3=0 得 x ? ? 或 x=3, 当 x ? (- ? , ? )时 ,f (x)>0 f(x)单调递 3 3 1 / / 增, x ? ( ? ,3)时 f (x)<0 f(x)单调递减,x ? (3,+ ? )时 f (x)>0, 3
f(x)单调递增,∴ f ( x) 在 [?1, 4] 上 ,x ? 上 f (x)>0 f(x)单调递增,
/

1 / / ,3)时 f (x)<0 f(x)单调递减,x ?(3,4)时 f (x)>0,f(x)单调递增, 3 1 1 14 ∴f(x)在 x ? ? 取得极大值 f ( ? ) ? f(x)在 x=3 取得极小值 3 3 27
x? ( ?

f (3) ? ?18 又 f-1)=-2 ,f(4)=-12,
∴ f ( x ) max ? f ( ? ) ?

1 3

14 , f ( x) min ? f (3) ? ?18 . 27
????????????12 分

20. 解: (Ⅰ) m ? n ? ( 2 ? cos A ? sin A, cos A ? sin A)

m ? n ? ( 2 ? cos A ? sin A)2 ? (cos A ? sin A)2
= 4 ? 4 sin( A ? ∵ m?n ?2

?
4

)
∴ sin( A ?

?
4

)?0,


又∵0< A < ? , ∴ ? (Ⅱ)∵ c ?

?
4

<A?

2a, A ?

?
4

3? ? ? ,∴ A ? =0, A ? ??6 分 4 4 4 4 c sin C ? 2 ∴ ? a sin A

?

∴ sin C ? 1 ,又∵0< C < ?

∴C ?

?

2

∴△ABC 为等腰直角三角形, S ?ABC ?

1 ? (4 2 ) 2 ? 16 ????????12 分 2
2 . 3

21. 解: (1)由 bn ? 2-2Sn ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2S1 ,又 S1 ? b1 ,所以 b1 ?

b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ) ,则 b2 ?

2 . 9

当 n ? 2 时,由 bn ? 2-2Sn ,可得 bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1 ) ? ?2bn . 即 所以 ?bn ? 是以 b1 ?

bn 1 = . bn-1 3

1 2 1 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn ? 2 ? n . ??6 分 3 3 3

(2)数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 从而 c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? ∴ Tn ? 2[2 ?

1 ( a7-a5 ) ? 3 ,可得 an ? 3n ? 1. 2

1 . 3n
,连接

1 1 1 1 ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3

1 1 1 1 1 Tn ? 2[ 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ] 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] . 3 3 3 3 3 3 3
从而 Tn ?

7 7 1 n 7 ? ? n ? n ?1 ? 2 2 3 2 3

????????????12 分

22. 解: (Ⅰ)由已知: f ?( x) ? 于是 f ?( x) ?

1 1 1 ? a ,∴由题知 f ?(2) ? ? a ? ? ,解得 a=1. x 2 2

1 1? x , ?1 ? x x

当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ,f (x)为增函数, 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 , f (x)为减函数, 即 f (x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).?????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) ? x1∈(0,+∞),f (x1) ≤f (1)=0,即 f (x1)的最大值为 0, 由题知:对 ? x1∈(0,+∞), ? x2∈(-∞,0)使得 f 只须 f (x)max≤g(x)max. ∵ g ( x) ? (x1)≤g(x2)成立,

k ? x 2 ? 2kx ? k k ? ? 2k ≤ ?2 k ? 2k , ? x ? ? 2k ? ? ? ? x ? x ?x ? x ? ?

∴ 只须 ? 2 k ? 2k ≥0,解得 k≥1.????????????12 分



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