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第六节递推数列1



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高考递推数列题型分类归纳解析
类型 1

an ?1 ? an ? f (n) 利用累加法
1 , an?1 ? an ? 2n ,求 an 。 2

例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

练习:已知数列 {an } 满足 an?1 ?

an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

类型 2

an?1 ? f (n)an

利用累乘法

例 2:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

练习:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

类型 3

。解法(待定系数法) : an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

练习:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式;

类型 4

) 。 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数,

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2

1

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类型 5 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 例 5:各项全不为零的数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 Sn=

1 a n a n ?1 ( n ?N*),其中 a1=1.Z 求数列 an 2

相关高考:设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2

n ?1

an ?

n * , a ? N .求数列 ?an ? 的通项。 3

类型 6 a n?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

相关高考:数列 ?an ? 满足: a1 ? 2a , an ?1 ? 2a ?

a2 an

? a ? 0? ,求数列 ?an ? 的通项公式。

2

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解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
解:当 k ? 1 ,由 a1 ? S1 ?

1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2 1 1 当 k ? 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ? ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2
因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 .从而 a2m?1 ? 1 ? (m ?1) 2 ? 2m ?1 .

a2m ? 2 ? (m ?1) 2 ? 2m , m ? N* .故 ak ? k (k ? N* )
解: a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? ...3
2 n ?1

an ?

3n ?1 an ?

n n ?1 1 ? ? (n ? 2). 3 3 3

n , 3

a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? an ? 1 (n ? 2 ) . 3n

n ?1 (n ? 2), 3

验证 n ? 1 时也满足上式, an ?

1 (n ? N * ). 3n



3



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