9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷(有详细答案)


立体几何动态问题及探索问题
一.选择题(共 11 小题) 1. (2011?辽宁)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥ 底面 ABCD,则下列结论中不正确的是(



SB A.AC⊥ B. AB∥ 平面 SCD C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 2. (2009?中山模拟) 如图, 设平面 α∩ β=EF, AB⊥ α, CD⊥ α, 垂足. 分别为 B, D, 若增加一个条件, 就能推出 BD⊥ EF. 现 有① AC⊥ β;② AC 与 α,β 所成的角相等;③ AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上;④ AC∥ EF.那么上述几个条件中 能成为增加条件的个数是( )

A .1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 3. (2007?东城区二模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( )

A.

B.

C.

D.

4.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,底面四边形 ABCD 是矩形,且 AD=3AB,点 E 是底面的边 BC 上 的动点,设 ,则满足 PE⊥ DE 的 λ 值有( )

A .0 个

B.1 个

C .2 个

D.3 个

5.△ ABC 所在平面外一点 P,分别连接 PA、PB、PC,则这四个三角形中直角三角形最多有( ) A .4 个 B.3 个 C .2 个 D.1 个 6.如图:已知矩形 ABCD 中,AB=2,BC=a,若 PA⊥ 面 AC,在 BC 边上取点 E,使 PE⊥ DE,则满足条件的 E 点有 两个时,a 的取值范围是( )

A.a>4

B.a≥4

C.0<a<4

D.0<a≤4

7.棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M,N 分别在线段 AB1,BC1 上,且 AM=BN,给出以下结论:其 中正确的结论的个数为( ) ① AA1⊥ MN ② 异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60° ④ A1C⊥ AB1,A1C⊥ BC1.

③ 四面体 B1﹣D1CA 的体积为

A .1 B.2 C .3 D.4 8.设 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥ 平面 ABCD,则平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 的位置关系是(



A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B. 它们两两都垂直 C. 平面 PAB 与平面 PBC 垂直、与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 9. (2014?濮阳二模)如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边界上运动,并 且总是保持 PE⊥ AC.则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形是( )

A.

B.

C.

D.

10.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,连接 AC1,交平面 A1BD 于 H,则以下命题中,错误的命题是(



A.AC1⊥ 平面 A1BD C. AH=

B. H 是△ A1BD 的垂心 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45°

11.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥ 平面 ABCD,NB⊥ 平面 ABCD,MD=BN=1,G 为 MC 的中点, 则下列结论中不正确的是( )

AN A.MC⊥ 二.填空题(共 7 小题)

B.GB∥ 平面 AMN

C.面 CMN⊥ 面 AMN

D.面 DCM∥ 面 ABN = _________ 时,

12. 如图, 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 点 E 是棱 BC 的中点, 点 F 是棱 CD 上的动点. 当 D1E⊥ 平面 AB1F.

13.P 为△ ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的射影. (1)若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 O 点是△ ABC 的 _________ 心; (2)若 P 到△ ABC 三边距离相等,且 O 在△ ABC 内部,则点 O 是△ ABC 的 _________ 心; (3)若 PA⊥ BC,PB⊥ AC,PC⊥ AB,则点 O 是△ ABC 的 _________ 心; (4)若 PA、PB、PC 与底面 ABC 成等角,则点 O 是△ ABC 的 _________ 心. 14.如图,平面 α∩ β=EF,AB⊥ α,CD⊥ α,垂足分别是 B、D,如果增加一个条件,就能推出 BD⊥ EF,现有下面 4 个条件: ① AC⊥ β; ② AC 与 α,β 所成的角相等; ③ 平面 ABC⊥ β; ④ AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上. 其中能成为增加条件的是 _________ . (把你认为正确的条件的序号都填上)

15. (2007?江西) ,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.有下列四个命题: _____ A.点 H 是△ A1BD 的垂心;B.AH 垂直平面 CB1D1;C.二面角 C﹣B1D1﹣C1 的正切值为 ; D.点 H 到平面 A1B1C1D1 的距离为 其中真命题的代号是. (写出所有真命题的代号)

16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (I)求证:AD⊥ PC; (II)求三棱锥 P﹣ADE 的体积; (III)在线段 AC 上是否存在一点 M,使得 PA∥ 平面 EDM,若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

17.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 DD1,AB 上的点.已知下列判断: ① A1C⊥ 平面 B1EF; ② △ B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ③ 在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线. 其中正确结论的序号为 _________ (写出所有正确结论的序号) .

18.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 在 AD 上运动,设∠ ABP=θ,将△ ABP 沿 BP 折起,使得平面 ABP 垂直于 平面 BPDC,AC 长最小时 θ 的值为 _________ .

三.解答题(共 12 小题) 19. (2014?德阳模拟) 如图甲, ⊙ O 的直径 AB=2, 圆上两点 C、 D 在直径 AB 的两侧, 使∠ CAB= . 沿

直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) ,F 为 BC 的中点,E 为 AO 的中点.根据图乙解答下列 各题: (1)求三棱锥 C﹣BOD 的体积; (2)求证:CB⊥ DE; (3)在 BD 弧上是否存在一点 G,使得 FG∥ 平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

20. (2014?江西一模)如图,∠ ACB=45°,BC=6 过 A 作 AD⊥ BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,沿 AD 将△ ABD 折起,组成三棱锥 A﹣BCD,过点 D 作 DE⊥ 平面 ABC,且点 E 为三角形 ABC 的垂心. (1)求证:△ BDC 为直角三角形. (2)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大?并求出其最大值.

21. (2014?江门一模) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥ 底面 ABCD, PA=3, AD=2, AB=4, ∠ ABC=60°. (1)求证:AD⊥ PC; (2)E 是侧棱 PB 上一点,记 明理由. ,是否存在实数 λ,使 PC⊥ 平面 ADE?若存在,求 λ 的值;若不存在,说

22. (2013?辽宁一模)如图,直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠ BAD=∠ ADC=90°, AB=2AD=2CD=2.

(1)求证:AC⊥ 平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

23. (2013?石景山区一模) 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD 中, AD∥ BC, ∠ ABC=90°, PD⊥ 面 ABCD. AD=1, ,BC=4. (1)求证:BD⊥ PC; (2)求直线 AB 与平面 PDC 所成角; (3)设点 E 在棱 PC、上, ,若 DE∥ 面 PAB,求 λ 的值.

24. (2013?成都模拟) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, AB∥ CD, AB⊥ AD, (Ⅰ )设平面 PAB∩ 平面 PCD=m,求证:CD∥ m; (Ⅱ )求证:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅲ )设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ,求

, PA⊥ 平面 ABCD, PA=4.

的值.

25. (2013?眉山二模) 如图所示, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD⊥ CD, AB∥ CD, CD=2AB=2AD. (Ⅰ )求证:BC⊥ BE; (Ⅱ )在 EC 上找一点 M,使得 BM∥ 平面 ADEF,请确定 M 点的位置,并给出证明.

26. (2014?四川)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形 (Ⅰ )若 AC⊥ BC,证明:直线 BC⊥ 平面 ACC1A1; (Ⅱ )设 D、E 分别是线段 BC、CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥ 平面 A1MC?请证明你的 结论.

27. (2014?江西模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=CB=a,∠ ABC=60°,平面 ACFE⊥ 平面 ABCD, 四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ )求证:BC⊥ 平面 ACFE; (Ⅱ )当 EM 为何值时,AM∥ 平面 BDF?证明你的结论.

28. (2014?淮南一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥ BC,∠ ADC=90°,BC= AD, PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ )求证:AD⊥ 平面 PBQ; (Ⅱ )若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA∥ 平面 BMQ.

29. (2014?荆门模拟) 已知在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, △ PAD 是正三角形, 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点. (1)求证:EF⊥ 平面 PAD; (2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; (3)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点,问当 AM 长度等于多少时,直线 MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等 于 ?

30. (2014?衡阳三模)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=CB=1,∠ ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形,平 面 ACFE⊥ 平面 ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥ 平面 ACFE; (2)若点 M 在线段 EF 上移动,试问是否存在点 M,使得平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45°,若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

参考答案与试题解析
一.选择题(共 11 小题) 1. (2011?辽宁)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥ 底面 ABCD,则下列结论中不正确的是(



SB A.AC⊥ B. AB∥ 平面 SCD C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;探究型. 分析: 根据 SD⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,以及三垂线定理,易证 AC⊥ SB,根据线面平行的判定定理易 证 AB∥ 平面 SCD,根据直线与平面所成角的定义,可以找出∠ ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角,∠ CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角,根据三角形全等,证得这两个角相等;异面直线所成的角,利用线线平行即可 求得结果. 解答: 解:∵ SD⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形, ∴ 连接 BD,则 BD⊥ AC,根据三垂线定理,可得 AC⊥ SB,故 A 正确; ∵ AB∥ CD,AB?平面 SCD,CD?平面 SCD, ∴ AB∥ 平面 SCD,故 B 正确; ∵ SD⊥ 底面 ABCD, ∠ ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角,∠ DSO 是 SC 与平面 SBD 所成的, 而△ SAO≌ △ CSO, ∴ ∠ ASO=∠ CSO,即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角,故 C 正确; ∵ AB∥ CD,∴ AB 与 SC 所成的角是∠ SCD,DC 与 SA 所成的角是∠ SAB, 而这两个角显然不相等,故 D 不正确; 故选 D. 点评: 此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理,以及直线与平面所成的角,异面直线 所成的角等问题,综合性强.
菁优网版权所有

2. (2009?中山模拟) 如图, 设平面 α∩ β=EF, AB⊥ α, CD⊥ α, 垂足. 分别为 B, D, 若增加一个条件, 就能推出 BD⊥ EF. 现 有① AC⊥ β;② AC 与 α,β 所成的角相等;③ AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上;④ AC∥ EF.那么上述几个条件中 能成为增加条件的个数是( )

A .1 个

B.2 个

C .3 个

D.4 个

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题. 分析: ① 因为 AC⊥ β, 且 EF?β 所以 AC⊥ EF. 又 AB⊥ α 且 EF?α 所以 EF⊥ AB. 因为 AC∩ AB=A, 所以 EF⊥ 平面 ACBD, 因为 BD?平面 ACBD 所以 BD⊥ EF. ② 此时 AC 与 EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以 EF 与平面 ACDB 不垂直,所以就 推不出 EF 与 BD 垂直. ③ 因为 CD⊥ α 且 EF?α 所以 EF⊥ CD.所以 EF 与 CD 在 β 内的射影垂直,AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条 直线上,所以 EF⊥ AC.因为 AC∩ CD=C,所以 EF⊥ 平面 ACBD,因为 BD?平面 ACBD 所以 BD⊥ EF. ④ 若 AC∥ EF,则 AC∥ 平面 α,所以 BD∥ AC,所以 BD∥ EF. 解答: 解:① 因为 AC⊥ β,且 EF?β 所以 AC⊥ EF. 又 AB⊥ α 且 EF?α 所以 EF⊥ AB. 因为 AC∩ AB=A,AC?平面 ACBD,AB?平面 ACBD,所以 EF⊥ 平面 ACBD, 因为 BD?平面 ACBD 所以 BD⊥ EF. 所以① 可以成为增加的条件. ② AC 与 α,β 所成的角相等,AC 与 EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以 EF 与平面 ACDB 不垂直,所以就推不出 EF 与 BD 垂直.所以② 不可以成为增加的条件. ③ AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上 因为 CD⊥ α 且 EF?α 所以 EF⊥ CD. 所以 EF 与 CD 在 β 内的射影垂直, AC 与 CD 在 β 内的射影在同一条直线上 所以 EF⊥ AC 因为 AC∩ CD=C,AC?平面 ACBD,CD?平面 ACBD,所以 EF⊥ 平面 ACBD, 因为 BD?平面 ACBD 所以 BD⊥ EF. 所以③ 可以成为增加的条件. ④ 若 AC∥ EF 则 AC∥ 平面 α 所以 BD∥ AC 所以 BD∥ EF. 所以④ 不可以成为增加的条件. 答案为:① ③ . 故选 B. 点评: 本题是个开放性的命题,解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理,准确把握定理中的条件,这 种题型比较注重基础知识的灵活变形,是个易错题.
菁优网版权所有

3. (2007?东城区二模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面垂直的性质;平面与平面之间的位置关系. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: 先找符合条件的特殊位置,然后根据符号条件的轨迹为线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线得到结论.
菁优网版权所有

解答: 解:根据题意可知 PD=DC,则点 D 符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC” 设 AB 的中点为 N,根据题目条件可知△ PAN≌ △ CBN ∴ PN=CN,点 N 也符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC” 故动点 M 的轨迹肯定过点 D 和点 N 而到点 P 与到点 N 的距离相等的点为线段 PC 的垂直平分面 线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线 故选 A 点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及公理二等有关知识,同时考查了空间想象能力,推理能力, 属于基础题 4.在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD,底面四边形 ABCD 是矩形,且 AD=3AB,点 E 是底面的边 BC 上的 动点,设 ,则满足 PE⊥ DE 的 λ 值有( )

A .0 个

B.1 个

C .2 个

D.3 个

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 连接 AE,根据三垂线定理可得 AE⊥ DE,所以 E 在以 AD 为直径的圆上,根据 AD=3AB,可得 E 在以 AD 为直径的圆与 BC 有两个交点,故可得结论. 解答: 解:连接 AE,则 ∵ PA⊥ 底面 ABCD,PE⊥ DE, ∴ 根据三垂线定理可得 AE⊥ DE, ∴ E 在以 AD 为直径的圆上, ∵ AD=3AB, ∴ E 在以 AD 为直径的圆与 BC 有两个交点, ∴ 满足 PE⊥ DE 的 λ 值有 2 个. 故选 C. 点评: 本题考查三垂线定理,考查直线与圆的位置关系,判定 E 在以 AD 为直径的圆上是关键.
菁优网版权所有

5.△ ABC 所在平面外一点 P,分别连接 PA、PB、PC,则这四个三角形中直角三角形最多有( A .4 个 B.3 个 C .2 个 D.1 个



考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 一个三棱锥 V﹣ABC 中,侧棱 VA⊥ 底面 ABC,并且△ ABC 中∠ B 是直角,则可知三棱锥四个面都是直角三 角形,从而可得结论. 解答: 解:如果一个三棱锥 V﹣ABC 中,侧棱 VA⊥ 底面 ABC,并且△ ABC 中∠ B 是直角. 因为 BC⊥ VA 的射影 AB,所以 VA⊥ 平面 ABC 的斜线 VB, 所以∠ VBC 是直角. 由 VA⊥ 底面 ABC,所以∠ VAB,∠ VAC 都是直角. 因此三棱锥的四个面中∠ ABC;∠ VAB;∠ VAC;∠ VBC 都是直角. 所以三棱锥最多四个面都是直角三角形. 故选 A. 点评: 本题重点考查线面垂直的判定与性质,考查学生的探究能力,属于基础题.
菁优网版权所有

6.如图:已知矩形 ABCD 中,AB=2,BC=a,若 PA⊥ 面 AC,在 BC 边上取点 E,使 PE⊥ DE,则满足条件的 E 点有 两个时,a 的取值范围是( )

A.a>4

B.a≥4

C.0<a<4

D.0<a≤4

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由线面垂直的判定得到 PA⊥ DE,又 PE⊥ DE,由线面垂直的判定得到 DE⊥ 平面 PAE,得到 DE⊥ AE,说明 E 为以 AD 为直径的圆上的点.从而得到 a 的取值范围. 解答: 解:∵ PA⊥ 平面 AC, ∴ PA⊥ DE, 又∵ PE⊥ DE,PA∩ PE=P, ∴ DE⊥ 平面 PAE, ∴ DE⊥ AE. 即 E 点为以 AD 为直径的圆与 BC 的交点. ∵ AB=2,BC=a,满足条件的 E 点有 2 个 ∴ a>2AB=4. 故选:A. 点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的性质,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于中档题.
菁优网版权所有

7.棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 M,N 分别在线段 AB1,BC1 上,且 AM=BN,给出以下结论:其 中正确的结论的个数为( ) ① AA1⊥ MN ② 异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60° ③ 四面体 B1﹣D1CA 的体积为 ④ A1C⊥ AB1,A1C⊥ BC1.

A .1

B.2

C .3

D.4

考点: 直线与平面垂直的性质;异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: 根据正方体的性质和线面平行、性质的性质,可证出 AA1⊥ MN,得到① 正确;根据异面直线所成角的定义与 正方体的性质可得异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60°,得到② 正确;根据正方体、锥体的体积公式加以计 算,可得
菁优网版权所有

四面体 B1﹣D1CA 的体积为 , 得到③ 正确; 利用线面垂直的判定与性质, 结合正方体的性质可证出 A1C⊥ AB1 且 A1C⊥ BC1,得到④ 正确.即可得到本题答案. 解答: 解:对于① ,分别作 NE⊥ BC,MF⊥ AB,垂足分别为 E、F,连结 EF 由 AM=BN 利用正方体的性质,可得四边形 MNEF 为平行四边形

∴ MN∥ EF,可得 MN∥ 平面 ABCD ∵ AA1⊥ 平面 ABCD,∴ AA1⊥ MN,因此可得① 正确; 对于② ,连结 B1D1、AD1,可得∠ B1AD1 就是异面直线 AB1,BC1 所成的角 ∵ △ B1AD1 是等边三角形,∴ ∠ B1AD1=60° 因此异面直线 AB1,BC1 所成的角为 60°,得到② 正确; 对于③ ,四面体 B1﹣D1CA 的体积为 V= ﹣4 =1﹣4× = ,得到③ 正确;

对于④ ,根据 A1B1⊥ 平面 BB1C1C,得到 A1B1⊥ BC1, 由正方形 BB1C1C 中证出 B1C⊥ BC1,所以 BC1⊥ 平面 A1B1C, 结合 A1C?平面 A1B1C,得 A1C⊥ BC1,同理可证出 A1C⊥ AB1,从而得到④ 正确 综上所述,四个命题都是真命题 故选:D

点评: 本题给出正方体中的几个结论,判断其正确与否,着重考查了正方体的性质、线面垂直与平行的判定与性 质、异面直线所成角的定义与求法和锥体体积公式等知识,属于中档题. 8. 如图, 设 P 是正方形 ABCD 外一点, 且 PA⊥ 平面 ABCD, 则平面 PAB 与平面 PBC、 平面 PAD 的位置关系是 ( )

A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B. 它们两两都垂直 C. 平面 PAB 与平面 PBC 垂直、与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: 由 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥ 平面 ABCD,知 AB⊥ BC,PA⊥ BC,故 BC⊥ 面 PAB,所以平面 PAB⊥ 平面 PBC;由 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥ 平面 ABCD,知 AD⊥ AB,PA⊥ AD,故 AD⊥ 面 PAB,所以 平面 PAB⊥ 平面 PAD. 解答: 解:∵ P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥ 平面 ABCD, ∴ AB⊥ BC,PA⊥ BC, ∴ BC⊥ 面 PAB, ∵ BC?面 PBC,
菁优网版权所有

∴ 平面 PAB⊥ 平面 PBC; ∵ P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA⊥ 平面 ABCD, ∴ AD⊥ AB,PA⊥ AD, ∴ AD⊥ 面 PAB, ∵ AD?面 PAD, ∴ 平面 PAB⊥ 平面 PAD. 故选 A. 点评: 本题考查直线与平面垂直的性质的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 9. (2014?濮阳二模)如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E 是 BC 的中点,P 点在侧面△ SCD 内及其边界上运动,并 且总是保持 PE⊥ AC.则动点 P 的轨迹与△ SCD 组成的相关图形是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面垂直的判定;平面的基本性质及推论. 计算题;空间位置关系与距离. 因为总保持 PE⊥ AC,那么 AC 垂直 PE 所在的一个平面,AC⊥ 平面 SBD,不难推出结果. 解: 取 CD 中点 F, AC⊥ EF, 又∵ SB 在面 ABCD 内的射影为 BD 且 AC⊥ BD, ∴ AC⊥ SB, 取 SC 中点 Q, ∴ EQ∥ SB, ∴ AC⊥ EQ,又 AC⊥ EF,∴ AC⊥ 面 EQF,因此点 P 在 FQ 上移动时总有 AC⊥ EP. 故选 A.
菁优网版权所有

点评: 本题考查学生应用线面垂直的知识,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题. 10. (2010?湖北模拟)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,连接 AC1,交平面 A1BD 于 H,则以下命题中,错误的命题 是( )

A.AC1⊥ 平面 A1BD C. AH=

B. H 是△ A1BD 的垂心 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45°

考点: 直线与平面垂直的判定;三角形五心;异面直线及其所成的角;点、线、面间的距离计算.

菁优网版权所有

专题: 计算题. 分析: 如上图,正方体的体对角线 AC1 有以下性质: ① AC1⊥ 平面 A1BD,AC1⊥ 平面 CB1D1;② AC1 被平面 A1BD 与平面 CB1D1 三等分;③ AC1= (注:对正方体要视为一种基本图形来看待. ) 解答: 解:正方体的体对角线 AC1 有以下性质:

AB 等.

① AC1⊥ 平面 A1BD,AC1⊥ 平面 CB1D1;② AC1 被平面 A1BD 与平面 CB1D1 三等分;③ AC1= AB 等. 故选项 A,B,C 正确, 故选 D. 点评: 本题主要考查正方体体对角线的性质,对正方体要视为一种基本图形来看待,考查空间想象能力,属基础 题. 11.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥ 平面 ABCD,NB⊥ 平面 ABCD,MD=BN=1,G 为 MC 的中点, 则下列结论中不正确的是( )

AN A.MC⊥

B.GB∥ 平面 AMN

C.面 CMN⊥ 面 AMN

D.面 DCM∥ 面 ABN

考点: 直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: 由于四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥ 平面 ABCD,NB⊥ 平面 ABCD,且 MD=BN=1,所以将题中 的几何体放在正方体 ABCD﹣A'NC'M 中,如图所示.再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理, 对 A、B、C、D 各项分别加以判断,即可得出本题答案. 解答: 解:∵ 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥ 平面 ABCD,NB⊥ 平面 ABCD,且 MD=BN=1, ∴ 将题中的几何体放在正方体 ABCD﹣A'NC'M 中,如图所示 对于 A,所以 MC 与 AN 是棱长为 1 的正方体中,位于相对面内的异面的面对角线 因此可得 MC、AN 所成角为 90°,可得 MC⊥ AN,故 A 正确; 对于 B,因为正方体 ABCD﹣A'NC'M 中,平面 AMN∥ 平面 BC'D 而 GB?平面 BC'D,所以 GB∥ 平面 AMN,故 B 正确; 对于 C,因为正方体 ABCD﹣A'NC'M 中,二面角 A﹣MN﹣C 的大小不是直角 所以面 CMN⊥ 面 AMN 不成立,故 C 不正确; 对于 D,因为面 DCM 与面 ABN 分别是正方体 ABCD﹣A'NC'M 的内外侧面所在的平面,所以面 DCM∥ 面 ABN 成立,故 D 正确 故选:C
菁优网版权所有

点评: 本题给出特殊几何体,判断几何位置关系的命题的真假.着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判

定与性质等知识,属于中档题. 二.填空题(共 7 小题) 12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 上的动点.当 平面 AB1F. = 1 时,D1E⊥

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: 要 D1E⊥ 平面 AB1F,先确定 D1E⊥ 平面 AB1F 内的两条相交直线,由三垂线定理易证 D1E⊥ AB1,同理证明 D1E⊥ AF 即可. 解答: 解:连接 A1B,则 A1B 是 D1E 在面 ABB1A 内的射影 ∵ AB1⊥ A1B,∴ D1E⊥ AB1, 于是 D1E⊥ 平面 AB1F?D1E⊥ AF. 连接 DE,则 DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影. ∴ D1E⊥ AF?DE⊥ AF. ∵ ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点. ∴ 当且仅当 F 是 CD 的中点时,DE⊥ AF, 即当点 F 是 CD 的中点时,D1E⊥ 平面 AB1F.
菁优网版权所有

∴ =1 时,D1E⊥ 平面 AB1F. 点评: 本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力和推理运算能力. 13.P 为△ ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 上的射影. (1)若 PA、PB、PC 两两互相垂直,则 O 点是△ ABC 的 垂 心; (2)若 P 到△ ABC 三边距离相等,且 O 在△ ABC 内部,则点 O 是△ ABC 的 内 心; (3)若 PA⊥ BC,PB⊥ AC,PC⊥ AB,则点 O 是△ ABC 的 垂 心; (4)若 PA、PB、PC 与底面 ABC 成等角,则点 O 是△ ABC 的 外 心. 考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 如图 P 是△ ABC 所在平面外一点,O 是 P 点在平面 a 上的射影.若 P 到△ ABC 三边的距离相等,由三角形全 等可以得到三线段 OE=OF=OD,三线段分别垂直于对应的边,可得其为内心;同理可得 P 到△ ABC 三个顶 点的距离相等,则 O 是△ ABC 的外心;PA、PB、PC 两两互相垂直,则 O 是△ ABC 的垂心. 解答: 解:如图 P 是△ ABC 所在平面外一点,O 是 P 点在平面 a 上的射影. (1)若 PA、PB、PC 两两互相垂直,由可证得 BC⊥ OA,AB⊥ OC,AC⊥ OB,即此时点 O 是三角形三边高 的交点,故此时点 O 是三角形的垂心,故应填:垂. (2)若 P 到△ ABC 三边的距离相等,E,F,D 分别是点 P 在三个边上的垂足,故可证得 OE,OF,OD 分 别垂直于三边且相等,由内切圆的加心的定义知,此时点 O 是三角形的内心,故应填:内;
菁优网版权所有

(3)若 PA⊥ BC,PB⊥ AC,因为 PO⊥ 底面 ABC,所以 AO⊥ BC,同理 BO⊥ AC,可得 O 是△ ABC 的垂心;故 应填:垂. (4)若 PA、PB、PC 与地面 ABC 成等角,由条件可证得 OA=OB=OC,由三角形外心的定义知此时点 O 是三角形的外心,故应填:外; 综上,三空答案依次应为垂、内、垂、外

点评: 本题考查棱锥的结构特征,三角形五心的定义,考查逻辑思维能力,是基础题. 14.如图,平面 α∩ β=EF,AB⊥ α,CD⊥ α,垂足分别是 B、D,如果增加一个条件,就能推出 BD⊥ EF,现有下面 4 个条件: ① AC⊥ β; ② AC 与 α,β 所成的角相等; ③ 平面 ABC⊥ β; ④ AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上. 其中能成为增加条件的是 ① ③ ④ . (把你认为正确的条件的序号都填上)

考点: 直线与平面垂直的性质. 专题: 探究型;空间位置关系与距离. 分析: 要增加一个条件,推出 BD⊥ EF,由 AB⊥ α,CD⊥ α,则平面 ABDC 与 EF 垂直,需要加一个条件能够使得线 与面垂直,把几个选项逐个分析,得到结论. 解答: 解:要增加一个条件,推出 BD⊥ EF, ∵ AB⊥ α,CD⊥ α,∴ 平面 ABDC 与 EF 垂直, ∴ 需要加一个条件能够使得线与面垂直, ① 通过线面垂直得到线线垂直,使得 EF 垂直于平面 ABDC,所以① 可以成为增加的条件;
菁优网版权所有

② AC 与 α,β 所成的角相等,AC 与 EF 不一定,可以是相交、可以是平行、也可能垂直,所以 EF 与平面 ACDB 不垂直,所以就推不出 EF 与 BD 垂直,所以② 不可以成为增加的条件; ③ 因为平面 ABC⊥ β,平面 ABDC⊥ α,α∩ β=EF,所以 EFEF⊥ 平面 ACBD,所以③ 可以成为增加的条件; ④ 因为 CD⊥ α 且 EF?α 所以 EF⊥ CD,所以 EF 与 CD 在 β 内的射影垂直, 因为 AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上,所以 EF⊥ AC 因为 AC∩ CD=C,AC?平面 ACBD,CD?平面 ACBD,所以 EF⊥ 平面 ACBD,所以④ 可以成为增加的条件. 故答案为:① ③ ④ 点评: 本题是个开放性的命题,解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理,准确把握定理中的条件. 15. (2007?江西) 如图, 正方体 AC1 的棱长为 1, 过点 A 作平面 A1BD 的垂线, 垂足为点 H. 有下列四个命题: ABC A.点 H 是△ A1BD 的垂心; B.AH 垂直平面 CB1D1; C.二面角 C﹣B1D1﹣C1 的正切值为 ; D.点 H 到平面 A1B1C1D1 的距离为 其中真命题的代号是. (写出所有真命题的代号)

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面垂直的判定;与二面角有关的立体几何综合题;点、线、面间的距离计算. 综合题;压轴题. 结合正方体图形,逐一判断选项,求得结果即可. 解:因为三棱锥 A﹣A1BD 是正三棱锥,故顶点 A 在底面的射映是底面中心,A 正确; 面 A1BD∥ 面 CB1D1,而 AH 垂直平面 A1BD,所以 AH 垂直平面 CB1D1,B 正确; 连接 A1C1∩ B1D1=O?∠ COC1 即为二面角 C﹣B1D1﹣C1 的平面角, 对于 D,连接 AC1,?AC1⊥ 面 A1BD,故点 H 是 AC1 的三等分点,故点 H 到平面 A1B1C1D1 的距离为 .从而 D 错.

菁优网版权所有

,C 正确;

则应填 ABC. 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,二面角及其度量等知识,考查空间想象能力,是基础题. 16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥ 平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (I)求证:AD⊥ PC; (II)求三棱锥 P﹣ADE 的体积; (III)在线段 AC 上是否存在一点 M,使得 PA∥ 平面 EDM,若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)根据线面垂直证明线线垂直即可; (II)利用三棱锥的换底性,求得棱锥的高与底面面积,再利用体积公式计算即可; (III)假设存在,根据线面平行的条件,判断 M 点的位置,再求 AM 的长即可. 解答: 解: (I)证明:∵ PD⊥ 平面 ABCD.∴ PD⊥ AD. 又因为 ABCD 是矩形,∴ AD⊥ CD. 又∵ PD∩ CD=D,∴ AD⊥ 平面 PCD. 又∵ PC?平面 PCD, ∴ AD⊥ PC.
菁优网版权所有

(II)∵ AD⊥ 平面 PCD,VP﹣ADE=VA﹣PDE, ∴ AD 是三棱锥 A﹣PDE 的高. ∵ E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, ∴ S△PDE= S△PDC= ∴ VP﹣ADE=VA﹣PDE= =4, = .

(III)取 AC 中点 M,连结 EM、DM, ∵ E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, ∴ EM∥ PA, 又因为 EM?平面 EDM,PA?平面 EDM, ∴ PA∥ 平面 EDM. AM= AC= 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥ 平面 EDM,AM 的长为 .

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定、棱锥的体积计算及线面平行的判定. 17.如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 DD1,AB 上的点.已知下列判断: ① A1C⊥ 平面 B1EF; ② △ B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ③ 在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线.

其中正确结论的序号为 ② ③ (写出所有正确结论的序号) .

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ① 找出 A1C 所垂直的平面的位置,进而可知 EF 为其它位置时不垂直; ② 先作出其正投影,即可判断出结论; ③ 利用线面、面面平行的判定和性质定理即可得出. 解答: 解:① 知道当点 E 与 D1 重合、点 F 与 A 重合时,A1C⊥ 平面 AB1D1(即平面 B1EF) ,而 EF 为其它位置时不 垂直,故不正确;
菁优网版权所有

② 如图所示,EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影为 BE1,则△ BB1E1 的面积=

,为定值,因此正

确; ③ 如图 2 所示, 在边 B1B 上取 B1M=D1E, 连接 EM; 在平面 ABB1A1 内作 MN∥ AB 交 B1F 于 N 点, 连接 EN, 则 EN∥ 平面 A1B1C1D1. 综上可知:只有② ③ 正确. 故答案为② ③ .

点评: 熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理及正投影是解题的关键. 18.在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,P 在 AD 上运动,设∠ ABP=θ,将△ ABP 沿 BP 折起,使得平面 ABP 垂直于 平面 BPDC,AC 长最小时 θ 的值为 45° . 考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 计算题. 分析: 折叠问题要注意变与不变,观察图形将 AC 的长度用已知的量 AB,AD,θ 的三角函数表示出来.再根据其
菁优网版权所有

形式来进行运算求值. 解答: 解:过 A 作 AH⊥ BP 于 H,连 CH,∴ AH⊥ 平面 BCDP. ∴ 在 Rt△ ABH 中,AH=3sinθ,BH=3cosθ. 在△ BHC 中,CH =(3cosθ) +4 ﹣2×4×3cosθ×cos(90°﹣θ) , ∴ 在 Rt△ ACH 中, 2 AC =25﹣12sin2θ, ∴ θ=45°时,AC 长最小. 答案:45°
2 2 2

点评: 考查折叠问题与面面垂直的性质,此类题一般要求先通过图象进行细致分析,将求 AC 最值的问题转化为 求相应函数的最值问题.本题与三角函数的结合,用三角的有界性求最佳,是其一亮点. 三.解答题(共 12 小题) 19. (2014?德阳模拟) 如图甲, ⊙ O 的直径 AB=2, 圆上两点 C、 D 在直径 AB 的两侧, 使∠ CAB= . 沿

直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) ,F 为 BC 的中点,E 为 AO 的中点.根据图乙解答下列 各题: (1)求三棱锥 C﹣BOD 的体积; (2)求证:CB⊥ DE; (3)在 BD 弧上是否存在一点 G,使得 FG∥ 平面 ACD?若存在,试确定点 G 的位置;若不存在,请说明理由.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用圆的性质可得 CO⊥ AB,利用面面垂直的性质可得 CO⊥ 平面 BOD.在计算出
菁优网版权所有



利用三棱锥的体积即可得出; (2)利用等边三角形的性质可得 DE⊥ AO,再利用面面垂直的性质定理即可得到 DE⊥ 平面 ABC,进而得出 结论. (3)存在,G 为 的中点.连接 OG,OF,FG,通过证明平面 OFG∥ 平面 ACD,即可得到结论.

解答: (1)解:∵ C 为圆周上一点,且 AB 为直径,∴ ∠ C=90°, ∵ ,∴ AC=BC,

∵ O 为 AB 中点,∴ CO⊥ AB,

∵ AB=2,∴ CO=1. ∵ 两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB, ∴ CO⊥ 平面 ABD,∴ CO⊥ 平面 BOD. ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离, 在 Rt△ ABD 中, ∴ . ,

(2)在△ AOD 中,∵ ∠ OAD=60°,OA=OD,∴ △ AOD 为正三角形, 又∵ E 为 OA 的中点,∴ DE⊥ AO, ∵ 两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB,∴ DE⊥ 平面 ABC. ∴ CB⊥ DE. (3)存在,G 为 的中点.证明如下:

连接 OG,OF,FG, ∴ OG⊥ BD, ∵ AB 为⊙ O 的直径, ∴ AD⊥ BD ∴ OG∥ AD, ∵ OG?平面 ACD,AD?平面 ACD, ∴ OG∥ 平面 ACD. 在△ ABC 中,O,F 分别为 AB,BC 的中点,∴ OF∥ AC, 又 OF?平面 ACD,∴ OF∥ 平面 ACD, ∵ OG∩ OF=O, ∴ 平面 OFG∥ 平面 ACD, 又 FG?平面 OFG,∴ FG∥ 平面 ACD. 点评: 本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力.熟练掌握圆的性 质、面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位 线定理、面面平行的判定和性质定理是解题的关键. 20. (2014?江西一模)如图,∠ ACB=45°,BC=6 过 A 作 AD⊥ BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,沿 AD 将△ ABD 折起,组成三棱锥 A﹣BCD,过点 D 作 DE⊥ 平面 ABC,且点 E 为三角形 ABC 的垂心. (1)求证:△ BDC 为直角三角形. (2)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大?并求出其最大值.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 CE 并延长,使 CE∩ AB=F,先证明出 AB⊥ CD 和 AD⊥ DC,进而推断出 CD⊥ 平面 ABD,根据线面 垂直的性质推断出 CD⊥ BD,即△ BDC 为直角三角形. (2)设 CD=x,表示出棱锥 A﹣BCD 体积的表达式,对其进行求导,令导函数等于 0,求得 x,把 x 代入
菁优网版权所有

体积表达式,求得体积的最大值. 解答: (1)证明:连接 CE 并延长,使 CE∩ AB=F, ∵ 点 E 为垂心, ∴ AB⊥ CF, ∵ DE⊥ 平面 ABC, ∴ AB⊥ DF, ∴ AB⊥ 平面 CDF, ∵ CD?平面 CDF, ∴ AB⊥ CD, ∵ AD⊥ BD,AD⊥ CD, ∴ AD⊥ 平面 BDC, ∵ DC?平面 BDC, ∴ AD⊥ DC, ∵ AD?平面 ABD,BD?平面 ABD,AD∩ BD=D, ∴ CD⊥ 平面 ABD, ∵ BD?平面 ABD, ∴ CD⊥ BD,即∠ BDC=90°, ∴ △ BDC 为直角三角形. (2)设 CD=x,所以 AD=x,即三棱锥 A﹣BCD 的体积 V= x (6﹣x) , V′ = (﹣3x +12x)=﹣ x(x﹣4) 即当 x=4 时,三棱锥 A﹣BCD 的体积最大.Vmax= .
2 2

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定和线面垂直的性质的应用,三棱锥体积的计算.考查了学生空间观察能力 和运算能力. 21. (2014?江门一模) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PA⊥ 底面 ABCD, PA=3, AD=2, AB=4, ∠ ABC=60°. (1)求证:AD⊥ PC; (2)E 是侧棱 PB 上一点,记 明理由. ,是否存在实数 λ,使 PC⊥ 平面 ADE?若存在,求 λ 的值;若不存在,说

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 AC,分别求得 AC,PC,PB,利用勾股定理证明出 PC⊥ BC,继而根据 BC∥ AD,证明出 AD⊥ PC. (2)作 DF⊥ PC 与 F,作 FE∥ BC,交 PB 于 E,连接 AE,根据线面垂直的判定定理可证明出 PC⊥ 平面 ADE, 求得 PD,利用余弦定理求得 cos∠ PDC 的值,则 sin∠ PDC 可得,利用三角形面积公式求得三角形 PDC 的面 积进而求得其高 DF,利用勾股定理求得 PF,最后于 PB 相比,即可求得 PE;PB 的值,则 λ 可得. 解答: (1)连接 AC,
菁优网版权所有

AC= ∴ PC= ∵ PB=
2 2 2

= = = = =5, ,

=2



∴ PC +BC =PB , ∴ PC⊥ BC, ∵ BC∥ AD, ∴ AD⊥ PC. (2)存在, 作 DF⊥ PC 与 F,作 FE∥ BC,交 PB 于 E,连接 AE, ∵ AD⊥ PC,DF?平面 ADE,AD?平面 ADE,AD∩ DF=D, ∴ PC⊥ 平面 ADE, PD= = ,PC= ,CD=AB=4, = , ×4× =4 , ,

∴ 在△ PDC 中,cos∠ PDC= ∴ sin∠ PDC= =

∴ S△PDC= PD?DC?sin∠ PDC=

∴ DF= ∴ PF= ∴ = ∵ EF∥ BC, ∴ = = .

= = = ,

=



=



∴ λ= .

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用.考查了学生空间观察的能力和逻辑思维能力. 22. (2013?辽宁一模)如图,直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠ BAD=∠ ADC=90°, AB=2AD=2CD=2. (1)求证:AC⊥ 平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的性质. 专题: 证明题;综合题;存在型;转化思想. 分析: (1)为证 AC⊥ 平面 BB1C1C,须证 AC 垂直面内两条相交直线:BB1 和 BC 即可.前者易证,后者利用计 算方法证明即可. (2)设 P 为 A1B1 的中点,证明 DCB1P 为平行四边形,即可证明存在点 P,满足题意. 解答: 证明: (1)直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,BB1⊥ 平面 ABCD,∴ BB1⊥ AC. (2 分) 又∵ ∠ BAD=∠ ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴ ,∠ CAB=45°,∴ ,∴ BC⊥ AC. (4 分) 又 BB1∩ BC=B,BB1,BC?平面 BB1C1C,∴ AC⊥ 平面 BB1C1C. (7 分)
菁优网版权所有

(2)存在点 P,P 为 A1B1 的中点. (8 分) 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖ AB,且 PB1= AB. (10 分) 又∵ DC‖ AB,DC= AB,∴ DC∥ PB1,且 DC=PB1, ∴ DCB1P 为平行四边形,从而 CB1∥ DP. 又 CB1?面 ACB1,DP?面 ACB1,∴ DP‖ 面 ACB1. (12 分) 同理,DP‖ 面 BCB1. (14 分) 点评: 本题考查直线与平面平行的性质,直线与平面垂直的性质,考查空间想象能力,逻辑思维能力. 23. (2013?石景山区一模) 如图, 在底面为直角梯形的四棱锥 P﹣ABCD 中, AD∥ BC, ∠ ABC=90°, PD⊥ 面 ABCD. AD=1, ,BC=4. (1)求证:BD⊥ PC;

(2)求直线 AB 与平面 PDC 所成角; (3)设点 E 在棱 PC、上, ,若 DE∥ 面 PAB,求 λ 的值.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的性质;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题. 2 2 2 分析: (1)根据余弦定理求出 DC 的长,而 BC =DB +DC ,根据勾股定理可得 BD⊥ DC,而 PD⊥ 面 ABCD,则 BD⊥ PD,PD∩ CD=D,根据线面垂直判定定理可知 BD⊥ 面 PDC,而 PC 在面 PDC 内,根据线面垂直的性质 可知 BD⊥ PC; (2)在底面 ABCD 内过 D 作直线 DF∥ AB,交 BC 于 F,分别以 DA、DF、DP 为 x、y、z 轴建立空间坐标
菁优网版权所有

系,根据(1)知 BD⊥ 面 PDC,则 夹角公式求出 θ 即可. (3)先求出向量 , , ,

就是面 PDC 的法向量,设 AB 与面 PDC 所成角大小为 θ,利用向量的



,设 =(x,y,z)为面 PAB 的法向量,根据

? =0,

? =0,

求出 ,再根据 DE∥ 面 PAB,则

? =0 求出 λ 即可.

解答: 解: (1)∵ ∠ DAB=90°,AD=1,AB= ,∴ BD=2,∠ ABD=30°, ∵ BC∥ AD∴ ∠ DBC=60°,BC=4,由余弦定理得 DC=2 , (3 分) 2 2 2 BC =DB +DC ,∴ BD⊥ DC, ∵ PD⊥ 面 ABCD,∴ BD⊥ PD,PD∩ CD=D,∴ BD⊥ 面 PDC, ∵ PC 在面 PDC 内,∴ BD⊥ PC(5 分) (2)在底面 ABCD 内过 D 作直线 DF∥ AB,交 BC 于 F, 分别以 DA、DF、DP 为 x、y、z 轴建立如图空间坐标系, (6 分) 由(1)知 BD⊥ 面 PDC,∴ 就是面 PDC 的法向量, (7 分) A(1,0,0) ,B(1, ,0) ,P(0,0,a) = =(0, , (9 分) ,0) , =(1, ,0) , (8 分)

设 AB 与面 PDC 所成角大小为 θ,cosθ=

∵ θ∈(0°,90°)∴ θ=30°(10 分) (3)在(2)中的空间坐标系中 A、 (1,0,0) ,B、 (1, 分) =(﹣3, = + ,﹣a) , =(﹣3λ, λ,﹣aλ) , λ,﹣aλ)=(﹣3λ,

,0) ,P(0,0,a)C、 (﹣3,

,0) , (11

=(0,0,a)+(﹣3λ, ,0) ,

λ,a﹣aλ) (12 分)

=(0,

=(1,0,﹣a) ,

设 =(x,y,z)为面 PAB 的法向量,



? =0, ? =0,得 x﹣az=0,取 x=a,z=1, =(a,0,1) , (14 分) ⊥ ,∴ ? =0,﹣3aλ+a﹣aλ=0,∴ λ= (15 分)

得 y=0,由

由 D、E∥ 面 PAB 得:

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的性质,以及直线与平面所成角和与二面角有关的立体几何综合题,属于 中档题. 24. (2013?成都模拟) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, AB∥ CD, AB⊥ AD, (Ⅰ )设平面 PAB∩ 平面 PCD=m,求证:CD∥ m; (Ⅱ )求证:BD⊥ 平面 PAC; (Ⅲ )设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ,求 , PA⊥ 平面 ABCD, PA=4.

的值.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论; (Ⅱ )利用已知条件先证明 BD⊥ AC,再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明; (Ⅲ )通过结论空间直角坐标系,利用法向量与斜线所成的角即可找出 Q 点的位置. 解答: 解: (Ⅰ )如图所示,过点 B 作 BM∥ PA,并且取 BM=PA,连接 PM,CM. ∴ 四边形 PABM 为平行四边形,∴ PM∥ AB, ∵ AB∥ CD,∴ PM∥ CD,即 PM 为平面 PAB∩ 平面 PCD=m,m∥ CD. (Ⅱ )在 Rt△ BAD 和 Rt△ ADC 中,由勾股定理可得
菁优网版权所有

BD= ∵ AB∥ DC,∴

=

,AC= ,



∴ ∴ OD +OC =
2 2



. =4=CD ,
2

∴ OC⊥ OD,即 BD⊥ AC; ∵ PA⊥ 底面 ABCD,∴ PA⊥ BD. ∵ PA∩ AC=A,∴ BD⊥ 平面 PAC. (Ⅲ )建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , B(4,0,0) ,D(0, ,0) ,C(2, ,0) ,P(0,0,4) . ∴ 设 , ,则 Q(4λ,0,4﹣4λ) ,∴ ,由(2)可知 ∴ = = 为平面 PAC 的法向量. , .

∵ 直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为 ∴ =

, ,

化为 12λ=7,解得 ∴ = .



点评: 熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角 是解题的关键. 25. (2013?眉山二模) 如图所示, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD⊥ CD, AB∥ CD, CD=2AB=2AD. (Ⅰ )求证:BC⊥ BE; (Ⅱ )在 EC 上找一点 M,使得 BM∥ 平面 ADEF,请确定 M 点的位置,并给出证明.

考点: 直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)由已知梯形中 AD⊥ CD,AB∥ CD,CD=2AB=2AD,易证 BD⊥ CB,要证明 BC⊥ BE,可转化为证 BC⊥ 平 面 BDE,由已知可得 DE⊥ 平面 ABCD 从而可得 DE⊥ BC,由线面垂直的判定定理可得 (II)由已知 CD=2AB=2AD.考虑取 CD 的中点 N,BN∥ AD,从而有 BN∥ 平面 ADEF,当 M 为 EC 的中点 时,有 MN∥ DE,则 MN∥ 平面 ADEF 解答: 证明: (Ⅰ )因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,DE⊥ AD 所以 DE⊥ 平面 ABCD∴ DE⊥ BC(1 分)
菁优网版权所有

因为 AB=AD,所以 取 CD 中点 N,连接 BN 则由题意知:四边形 ABND 为正方形 所以



,BD=BC

则△ BDC 为等腰直角三角形 则 BD⊥ BC(5 分) 则 BC⊥ 平面 BDE 则 BC⊥ BE(7 分) (Ⅱ )取 EC 中点 M,则有 BM∥ 平面 ADEF(8 分) 证明如下:连接 MN 由(Ⅰ )知 BN∥ AD,所以 BN∥ 平面 ADEF 又因为 M、N 分别为 CE、CD 的中点,所以 MN∥ DE 则 MN∥ 平面 ADEF(10 分) 则平面 BMN∥ 平面 ADEF,所以 BM∥ 平面 ADEF(12 分)

点评: 本题主要考查了直线平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质定理,及“线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化,还考查了线面平行的判定. 26. (2014?四川)在如图所示的多面体中,四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形

(Ⅰ )若 AC⊥ BC,证明:直线 BC⊥ 平面 ACC1A1; (Ⅱ )设 D、E 分别是线段 BC、CC1 的中点,在线段 AB 上是否存在一点 M,使直线 DE∥ 平面 A1MC?请证明你的 结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )先证明 AA1⊥ 平面 ABC,可得 AA1⊥ BC,利用 AC⊥ BC,可以证明直线 BC⊥ 平面 ACC1A1; (Ⅱ )取 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,证明四边形 MDEO 为平行四边形即可. 解答: (Ⅰ )证明:∵ 四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形, ∴ AA1⊥ AB,AA1⊥ AC, ∵ AB∩ AC=A,
菁优网版权所有

∴ AA1⊥ 平面 ABC, ∵ BC?平面 ABC, ∴ AA1⊥ BC, ∵ AC⊥ BC,AA1∩ AC=A, ∴ 直线 BC⊥ 平面 ACC1A1; (Ⅱ )解:取 AB 的中点 M,连接 A1M,MC,A1C,AC1,设 O 为 A1C,AC1 的交点,则 O 为 AC1 的中点. 连接 MD,OE,则 MD∥ AC,MD= AC,OE∥ AC,OE= AC, ∴ MD∥ OE,MD=OE, 连接 OM,则四边形 MDEO 为平行四边形, ∴ DE∥ MO, ∵ DE?平面 A1MC,MO?平面 A1MC, ∴ DE∥ 平面 A1MC, ∴ 线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点) ,使直线 DE∥ 平面 A1MC.

点评: 本题考查线面垂直的判定与性质的运用,考查存在性问题,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 27. (2014?江西模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=CB=a,∠ ABC=60°,平面 ACFE⊥ 平面 ABCD, 四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ )求证:BC⊥ 平面 ACFE; (Ⅱ )当 EM 为何值时,AM∥ 平面 BDF?证明你的结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ )由已知,若证得 AC⊥ BC,则据面面垂直的性质定理即可.转化成在平面 ABCD,能否有 AC⊥ BC,易 证成立. (Ⅱ )设 AC∩ BD=N,则面 AMF∩ 平面 BDF=FN,只需 AM∥ FN 即可.而 CN:NA=1:2.故应有 EM:FM=1: 2 解答: 解: (Ⅰ )在梯形 ABCD 中,∵ AD=DC=CB=a,∠ ABC=60° ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠ DCA=∠ DAC=30°,∠ DCB=120 ∴ ∠ ACB=90,∴ AC⊥ BC 又∵ 平面 ACF⊥ 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC⊥ 平面 ACFE.
菁优网版权所有

(Ⅱ )当 EM=

时,AM∥ 平面 BDF.

在梯形 ABCD 中,设 AC∩ BD=N,连接 FN,则 CN:NA=1:2. ∵ EM= 而 EF=AC= ,∴ EM:FM=1:2.∴ EM∥ CN,EM=CN,

∴ 四边形 ANFM 是平行四边形.∴ AM∥ NF. 又 NF?平面 BDF,AM?平面 BDF.∴ AM∥ 平面 BDF. 点评: 本题考查线面位置关系及判定,考查空间想象能力,计算能力,转化能力.

28. (2014?淮南一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥ BC,∠ ADC=90°,BC= AD, PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ )求证:AD⊥ 平面 PBQ; (Ⅱ )若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA∥ 平面 BMQ.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 数形结合. 分析: (Ⅰ ) 证明四边形 BCDQ 为平行四边形,可得 CD∥ BQ,证得 QB⊥ AD,由等腰三角形的性质可得 PQ⊥ AD, 从而 证得 AD⊥ 平面 PBQ. (Ⅱ ) 当 t=1 时,PA∥ 平面 BMQ,可证四边形 BCQA 为平行四边形,故 N 为 AC 中点,由三角形的中位 线的性质 可得 MN∥ PA,故有 PA∥ 平面 BMQ. 解答: 证明: (Ⅰ )AD∥ BC,BC= AD,Q 为 AD 的中点,
菁优网版权所有

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD∥ BQ.∵ ∠ ADC=90°, ∴ ∠ AQB=90°,即 QB⊥ AD.∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴ PQ⊥ AD.∵ PQ∩ BQ=Q,∴ AD⊥ 平面 PBQ. (Ⅱ )当 t=1 时,PA∥ 平面 BMQ. 连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵ BC∥ DQ,且 BC= DQ,∴ 四边形 BCQA 为平行四边形, 且 N 为 AC 中点,∵ 点 M 是线段 PC 的中点,∴ MN∥ PA. ∵ MN?平面 BMQ,PA 不在平面 BMQ 内,∴ PA∥ 平面 BMQ.

点评: 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法,直线与平面垂直的判定、性质的应用. 29. (2014?荆门模拟) 已知在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, △ PAD 是正三角形, 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,E、F、G 分别是 PA、PB、BC 的中点. (1)求证:EF⊥ 平面 PAD; (2)求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小; (3)若 M 为线段 AB 上靠近 A 的一个动点,问当 AM 长度等于多少时,直线 MF 与平面 EFG 所成角的正弦值等 于 ?

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 综合题. 分析: 方法一(1)由面面垂直来证线面垂直,本题中先证明 AB⊥ 平面 PAD,再由 EF∥ AB 得出 EF⊥ 平面 PAD; (2)建立空间坐标系,分别求出两平面的法向量用相关公式求出两个平面的夹角的余弦值,再求出角的大 小; (3)设 AM=x,给出相应的坐标,求出向量 MF 的坐标,利用线面角的相关公式求出线面角; 方法二 在(1)的证明中用了向量,其它基本与方法一同; 方法三 完全用几何法解决问题(1)中用的是线面平行的判定定理; (2)根据几何性质作出二面角的平面角,再证明,求之;
菁优网版权所有

(3)作出线面角,根据正弦值等于

建立关于参数的方程,求出参数值.

解答: 解: 方法 1: (1)证明:∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,AB⊥ AD, ∴ AB⊥ 平面 PAD, (2 分) ∵ E、F 为 PA、PB 的中点, ∴ EF∥ AB,∴ EF⊥ 平面 PAD; (4 分) (2)解:过 P 作 AD 的垂线,垂足为 O, ∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,则 PO⊥ 平面 ABCD. 连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, (6 分) ∵ PA=PD=AD=4, ∴ 得 故 设平面 EFG 的一个法向量为 n=(x,y,z) 则 (7 分) 平面 ABCD 的一个法向量为,n1=(0,0,1) 平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值是: 锐二面角的大小是 60°(8 分) (3)设 AM=x,M(x,﹣2,0) ,则 设 MF 与平面 EFG 所成角为 θ, , , , , , ,

则 ∵ M 靠近 A,∴ x=1(10 分) ∴ 当 AM=1 时,MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 . (12 分)

,x=1 或 x=3,

方法 2: (1)证明:过 P 作 PO⊥ AD 于 O,∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD, 则 PO⊥ 平面 ABCD,连 OG,以 OG,OD,OP 为 x、y、z 轴建立空间坐标系, (2 分) ∵ PA=PD=AD=4,∴ 得 故 ∵ ∴ EF⊥ 平面 PAD; (4 分) (2)解: 设平面 EFG 的一个法向量为 n=(x,y,z) , 则 (7 分) 平面 ABCD 的一个法向量为 n1=(0,0,1) ,以下同方法 1 方法 3: (I)证明:∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,AB⊥ AD, ∴ AB⊥ 平面 PAD, (2 分) ∵ E、F 为 PA、PB 的中点, ∴ EF∥ AB,∴ EF⊥ 平面 PAD; (4 分) (2)解:∵ EF∥ HG,AB∥ HG,∴ HG 是所二面角的棱, (6 分) ∵ HG∥ EF,∴ HG⊥ 平面 PAD,∴ DH⊥ HG,EH⊥ HG, ∴ ∠ EHA 是锐二面角的平面角,等于 60°; (8 分) (3)解:过 M 作 MK⊥ 平面 EFG 于 K,连接 KF, 则∠ KFM 即为 MF 与平面 EFG 所成角, (10 分) 因为 AB∥ EF,故 AB∥ 平面 EFG,故 AB 的点 M 到平面 EFG 的距离等于 A 到平面 EFG 的距离, ∵ HG⊥ 平面 PAD,∴ 平面 EFGH⊥ 平面 PBD 于 EH, ∴ A 到平面 EFG 的距离即三角形 EHA 的高,等于 ,即 MK= , ∴ , ,在直角梯形 EFMA 中,AE=EF=2, , , , , , ,

∴ AM=1 或 AM=3∵ M 靠近 A,∴ AM=1(11 分) ∴ 当 AM=1 时,MF 与平面 EFG 所成角正弦值等于 . (12 分)

点评: 立体几何中点线面的关系问题的解决中常用的方法有三,一是用立体几何的方法,二是用空间向量法,三 是立体几何与向量二者结合的方法. 30. (2014?衡阳三模)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC=CB=1,∠ ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形,平 面 ACFE⊥ 平面 ABCD,CF=1. (1)求证:BC⊥ 平面 ACFE; (2)若点 M 在线段 EF 上移动,试问是否存在点 M,使得平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45°,若存在, 求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

考点: 直线与平面垂直的判定;用空间向量求平面间的夹角;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由 AB∥ CD 且 AD=DC,得∠ DAC=∠ DCA=∠ CAB,得根据等腰梯形的性质结合题中的数据算出
菁优网版权所有

∠ CAB= ∠ DAB=30°,得△ ABC 中∠ ACB=90°,从而 AC⊥ BC.最后根据平面 ACEF⊥ 平面 ABCD,结合面面垂 直的性质定理即可证出 BC⊥ 平面 ACFE; (2)以 C 为坐标原点,AC、BC、CF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴轴,建立空间直角坐标系如图.结

合题中数据得到 A、B 的坐标,设 M(a,0,1)从而得出 法算出 =(1, ,



的坐标,利用垂直向量数量积为 0 的方 是平面 FCB 的一个法向

)是平面 AMB 的一个法向量,结合

量.利用空间向量的夹角公式算出向量 、 的余弦之值,由平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45°, 建立关于 a 的方程并得到此方程无实数解.由此可得不存在点 M,使得平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面 角为 45°. 解答: 解: (1)∵ 在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,AD=DC,∴ ∠ DAC=∠ DCA=∠ CAB, ∵ 梯形 ABCD 是等腰梯形,得∠ DAB=∠ ABC=60°, ∴ ∠ CAB= ∠ DAB=30°,得△ ABC 中,∠ ACB=180°﹣(∠ CAB+∠ ABC)=90°,即 AC⊥ BC, (3 分) 又∵ 平面 ACEF⊥ 平面 ABCD,平面 ACEF∩ 平面 ABCD=AC,BC?平面平面 ABCD, ∴ BC⊥ 平面 ACFE; (5 分) (2)由(1)知 AC、BC、CF 两两互相垂直,以 C 为坐标原点,AC、BC、CF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴轴, 建立空间直角坐标系如图, ∵ Rt△ ABC 中,BC=1,∠ ABC=60°,∴ AC=BCtan60°= , 可得 A、B 的坐标分别为 A( ,0,0) ,B(0,1,0) ,设 M(a,0,1) ,则 , , (7 分)

设 =(x,y,z)是平面 AMB 的一个法向量,则 (9 分)

取 x=1,得 =(1, ∵



) , (10 分)

是平面 FCB 的一个法向量,

∴ 若平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45°,得 cos< , >=
2

=

(12 分)

化简,得 2+( ) =0,显然此方程无实数解, (13 分) 因此,线段 EF 上不存在点 M 使得平面 MAB 与平面 FCB 所成的二面角为 45°. (14 分)

点评: 本题给出特殊多面体,求证线面垂直并探索二面角的大小问题.着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与 性质和利用空间向量研究平面与平面所成角等知识点,属于中档题.


赞助商链接

更多相关文章:
高三数学选择填空难题突破—立体几何动态问题
高三数学选择填空难题突破—立体几何动态问题 一.方法综述 立体几何动态问题是高考的热点,问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思 考与求解问题的...
专题4.3+立体几何动态问题-玩转压轴题突破140分之高...
专题4.3+立体几何动态问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品+Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。玩转压轴题,突破140分,高三数学选填题,高三数学...
立体几何中动态问题研究
立体几何中动态问题研究_教育学/心理学_人文社科_专业资料。立体几何中动态问题研究 题型 1 在运动变化过程中利用方程探求动点的位置 例 如图所示,已知正方形 ...
立体几何中的最值与动态问题
立体几何中的最值与动态问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。good立体几何中的最值问题 海红楼 立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关...
立体中动态问题
立体中动态问题教学目标; 1,掌握立体几何中的点、线、面元素位置的变化,如翻折、展开、射影等,强化空间 想象能力 2,学会以动态的眼光去发现问题的本质和联系 ...
立体几何中探索问题
立体几何中探索问题_数学_高中教育_教育专区。立体几何中探索问题的向量解法...这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法. 三.求动点轨迹问题 这类问题往往...
高三高考数学专题05以立体几何中动态问题为背景的专题训练
高三高考数学专题05以立体几何中动态问题为背景的专题训练_数学_高中教育_教育专区。专题 5 以立体几何中动态问题为背景的专题训练 题型一 立体几何中动态问题中的...
浅谈解决立体几何中动态问题”的几种方法
浅谈解决立体几何中动态问题”的几种方法_数学_自然科学_专业资料。龙源期刊网...将高中阶段所学函数、向量、解析几何等相关知 识有机结合起来,培养学生分析问题...
立体几何中的折叠问题、最值问题探索(理科教师版)
立体几何中的折叠问题、最值问题探索(理科教师版)_高三数学_数学_高中教育_...一般此类立体几何 问题描述的是动态的过程,结果具有不唯一性或者隐藏性,往往需要...
立体几何中探索问题
立体几何中探索问题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 立体几何中探索问题_数学_高中教育_教育专区。...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图