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山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试数学理试题



山东省实验中学 2010 级第三次诊断性测试 数学试题(理科) (2012.12)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共两卷。其中第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页,共 60 分;第Ⅱ卷为第 3 页至第 6 页,共 90 分;两卷合计 150 分。考试时间为 120 分钟。本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题


共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项。

“ ”“ 1、设 M ? {1,2} N ? {a 2} ,则 a ? 1 是 N ? M ” 的( ,
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 2、下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是( A. f ( x) ? 3.若 tan( A.2

) D.既不充分又不必要条件 ) D. f ( x) ? ? tan x

?
4

1 x

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x ) C.

? ? ) ? 3 ,则 cot ? 等于(
B. ?

1 2

1 2

D.-2

4.函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有( A.0 个 B.1 个

) C.2 个 D.3 个 )

5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 3

( 6.设命题 p :曲线 y ? e ? x 在点 ? 1,e) 处的切线方程是: y ? ?ex ;命题 q : a, b 是任意实数,

1 1 ? ,则( ) a ?1 b ?1 A.“ p 或 q ”为真 B.“ p 且 q ”为真 C. p 假 q 真 1 2 7.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ' ( x) 的大致图象是( ) 2
若 a ? b ,则

D. p , q 均为假命题

8.在等差数列 ?an ? 中, 1 ? ?2013, 其前 n 项和为 Sn , 若 a A.-2012 B.-2013 C.2012

S12 S10 ? ? 2 , S2 则 0 1 3 12 10

的值等于 (



D.2013

9.已知 P(x,y)是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA,PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条 切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( A.3 B. )

21 2

C. 2 2

D.2

10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数。若 a1 ? d ,

b1 ? d 2 , 且
A.

a12 ? a2 2 ? a32 是正整数,则 q 的值可以是( b1 ? b2 ? b3
B.-



1 7

1 7

C.

1 2

D.-

1 2

11.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数 f ' ( x), f ' (0) ? 0 ,且 f (x) 的值域为 [0,??) ,则

f (1) 的最小值为( f ' (0)
A.3 B.



5 2

C.2

D.

3 2

12.已知椭圆

x2 y 2 ( ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在点 P a 2 b2


使

a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为( ? sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1
B.(

A.(0, 2 ? 1 )

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

第Ⅱ卷(非选择题

90 分)

题号 分数



17

18

19

20

21

22

总分

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。

1 x2 y2 13.若焦点在 x 轴上的椭圆 ? ? 1 的离心率为 ,则 m = 2 2 m

.

14.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a x ? 1 | ( a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围 是 .

? x 2 ? x ? 2 ? 0, ? 15.若 不 等 式 组 ? 的 解 集 中 所 含 整 数 解 只 有 -2 , 求 k 的 取 值 范 ?2 x 2 ? (5 ? 2k ) x ? 5k ? 0 ?
围 .

?x ? 0 ? 16.当实数 x, y 满足约束条件 ? y ? x ( a 为常数)时 z ? x ? 3 y 有最大值为 12,则实数 ?2 x ? 2 y ? a ? 0 ?
. 2.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 得分 评卷人 (1) (本小题满分 12 分)记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ( x) ? 0 的

a 的值为

解集为(1,3) ,试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .

得分

评卷人

(2)

(本小题满分 12 分)在 ?ABC 内, a, b, c 分别为角 A,B,C 所对

的边,a,b,c 成等差数列,且 a=2c。 (1) 求 cos A 的值; (Ⅱ)若 S ?ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

得分

评卷人

19.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)写出函数的最小正周期及单调递减区间;

3 , ] 时,函数 f (x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f (x) 的解析式; 2 6 3 ? (Ⅲ)将满足(Ⅱ)的函数 f (x) 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍, 12 1 ? 再向下平移 ,得到函数 g (x) ,求 g (x) 图像与 x 轴的正半轴、直线 x ? 所围成图形的面积。 2 2
(Ⅱ)当 x ? [ ?

? ?

得分

评卷人

20.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 单 调 递 增 的 等 比 数 列 {an } 满 足 :

a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小值。
2

得分

评卷人

21.(本小题满分 12 分)已知长方形 ABCD, AB ? 2 2 ,BC=1。以 AB 的中点

O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy. (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得弦 MN 为直径 的圆恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

22. ( 本 小 题 满 分 得分 评卷人

14

分 ) 已 知 函 数

f (x) 的 导 数

f ' ( x) ? 3x2 ? 3ax, f (0) ? b, a, b 为实数, 1 ? a ? 2 .
(Ⅰ)若 f (x) 在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求 a、b 的 值;

) (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P(2,1 且与曲线 f (x) 相切的直线 l 的方程;
(Ⅲ)设函数 F ( x) ? [ f ' ( x) ? 6x ? 1] ? e2 x ,试判断函数 F (x) 的极值点个数。

实验中学三诊数学(理)参考答案及评分标准 (2)选择题

2012.2

题号 答案

1 A

2 C

3 D

4 B

5 A

6 A

7 B

8 B 16.-12

9 D

10 C

11 C

12 D

(3)填空题:13.

3 1 ;14. 0 ? a ? ;15. [?3,2); 2 2

(4)解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t |2 ? | t | ?6 ? 0 ????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分 18.解: (Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ????????2 分 又 a ? 2c ,可得 b ?
2 2

3 c, 2
2

??????????4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b ?c ?a 1 4 所以 cos A ? ? ? ? ,????????6 分 3 2 2bc 4 2? c 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 , A ? (0, ? ) ,所以 sin A ? , ????????8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 , S ?ABC ? bc sin A , 4 2 1 1 3 15 3 15 ,????????????10 分 bc sin A ? ? c 2 ? 2 2 2 4 4
??????????12 分

所以 S ?ABC ?

得 c2 ? 4,即c ? 2, b ? 3 . 19.解(Ⅰ) f ( x) ? ∴T ? ? .

3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? a ? , 2 2 6 2

(2 分)

3? ? 2? ? 2k? ,得 ? kx ? x ? ? k? . 2 6 2 6 3 ? 2? ? k? ]( k ? Z ) . 故函数 f (x) 的单调递减区间是 [ ? k? , (6 分) 6 3


?

? 2k? ? 2 x ?

?

?

(2) Q ? 当 x ? ??

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? .? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 . 6 2 6

1 1 1 3 ? ? ?? ( , ? 时,原函数的最大值与最小值的和 1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 2 2 2 2 ? 6 3?
(8 分) (10 分) (12 分)

? 1 ? a ? 0,? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 6 2
(3)由题意知 g ( x) ? sin x

?

?
2

0

sin xdx ? ? cos x | 2 =1
0

?

11.解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q, 依题意,有 (a3 ? 2) ? a2 ? a4 , 2 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 得 a3 ? 8,? a2 ? a4 ? 20 ??????????2 分

1 ? ?a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ? ?q ? 解之得 ? ??????????4 分 ?? 或? 2 ?a3 ? a1q 2 ? 8 ?a1 ? ?a1 ? 32 ? ?
又 ?an ? 单调递增,?q ? 2,?a1 ? 2,?an ? 2n
n n n

????????????6 分

(Ⅱ) bn ? 2 ? log 1 2 ? ? n ? 2 ,????????????7 分
2

??sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

① ②

??2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n2n?1

? ①-②得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n

n ?1

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 1? 2

10 分

?sn ? n ? 2n?1 ? 50 ,? 2
又 当n ? 4时, 2 当 n ? 5 时, 2 分
n?1

n?1

? 2 ? 50,? 2n?1 ? 52

? 25 ? 32 ? 52 , ??????????11 分
? 26 ? 64 ? 52 .故使 sn ? n ? 2n?1 ? 50 ,成立的正整数 n 的最小值为 5. ?12

n?1

21.解: (Ⅰ)由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为 (? 2,, 2,, 2, . 0) ( 0) ( 1 )

设椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0). a 2 b2

则 2a ? AC ? BC ? 分

( 2 ? (? 2 )) 2 ? (1 ? 0) 2 ? ( 2 ? 2 ) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 4 ? 2 2 ,? a ? 2 2

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 2 ? 2 .
∴椭圆的标准方程是

x2 y2 ? ? 1 . ????????4 分 4 2

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2(k ? 0) .??5 分 设 M,N 两点的坐标分别为 ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) . 联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x2 ? ?

8k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

??????7 分

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,????8 分 所以, x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 即 1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ( 所以,

4(1 ? k 2 ) 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
????????9 分

8 ? 4k 2 即 ?0, 1 ? 2k 2
得 k 2 ? 2, k ? ? 2 .

????????10 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .??????11 分 所在存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。????12 分 22.解: (Ⅰ)由已知得, f ( x ) ? x ?
3

3 2 ax ? b ,????????1 分 2

由 f ' ( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? a .

Q x ?[?1,1],1 ? a ? 2 ,当 x ?[?1,0) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 递增;

当 x ? (0,1] 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 递减.

? f (x) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0) ? b,? b ? 1 .??????3 分
3 3 3 3 a ? 1 ? 2 ? a, f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a,? f (?1) ? f (1) . 2 2 2 2 3 4 4 由题意得 f (?1) ? ?2 ,即 ? a ? ?2 ,得 a ? , 故a ? , b ? 1 为所求。 ??????5 分 2 3 3
又 f (1) ? 1 ? (Ⅱ)解:由(1)得 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 1, f ' ( x) ? 3x2 ? 4x ,点 P(2,1)在曲线 f (x) 上。 (1)当切点为 P(2,1)时,切线 l 的斜率 k ? f ' ( x) x?2 ? 4 ,

? l 的方程为 y ?1 ? 4( x ? 2),即4 x ? y ? 7 ? 0 .??????6 分
(2)当切点 P 不是切点时, 设切点为 Q( x0 , y0 )(x0 ? 2),切线 l 的余率 k ? f ' ( x)
2 x ? x0 ? 3x0

? 4 x0 ,

2 2 ? l 的方程为 y ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(x ? x0 ) 。 又点 P (2, 在 l 上, 1 ? y0 ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 1) ? 3 2 2 2 2 ?1 ? ( x0 ? 2x0 ?1) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ),? x0 (2 ? x0 ) ? (3x0 ? 4x0 )(2 ? x0 ) , 2 2 ? x0 ? 3x0 ? 4x0 ,即2x0 ( x0 ? 2) ? 0,? x0 ? 0 .? 切线 l 的方程为 y ? 1 .

故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 .??????????????8 分 (Ⅲ)解: F ( x) ? (3x2 ? 3ax ? 6x ?1) ? e2 x ? [3x2 ? 3(a ? 2) x ? 1] ? e2 x .

? F ' ( x) ? [6x ? 3(a ? 2)]? e2 x ? 2[3x2 ? 3(a ? 2) x ?1] ? e2 x . ? [6x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a] ? e2 x . ????????10 分
二次函数 y ? 6x2 ? 6(a ? 3) x ? 8 ? 3a 的判别式为

? ? 36(a ? 3)2 ? 24(8 ? 3a) ? 12(3a2 ?12a ?11) ? 12[3(a ? 2)2 ?1],令? ? 0 得:
1 3 3 3 3 (a ? 2) 2 ? ,2 ? ? a ? 2? .令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ? ,或 a ? 2 ? 。 3 3 3 3 3

?e2 x ? 0,1 ? a ? 2 ,
?当2 ?


3 ? a ? 2 时, F ' ( x) ? 0 ,函数 F (x) 为单调递增,极值点个数 0; ??????12 3

当1 ? a ? 2 ?

3 时,此时方程 F ' ( x) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义, 3

可知函数 F (x) 有两个极值点. ??????????????14 分



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