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几何概型习题课



知识回顾
1.几何概型的定义:如果每个事件发生的概率只与构成 该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例,则称这样的概率模

型为几何概率模型,简称几何概型.
2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 . (2)每个基本事件出现的可能性相等 . 3.几何概型概率公式 在几何概型中,事件A的概率的计算公式为:


构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

说明

1.从几何概型的定义可知,在几何概型中,“等可
能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域

内的可能性大小,仅与该区域的度量成正比,而与区
域的位置、形状无关. 2.用几何概型的概率公式来计算事件发生的概 率时,适用于有无限多个试验结果的情况,每种结 果的出现也要求必须是等可能的.而且事件发生在 一个有明确范围的区域中,其概率与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例.

与体积有关的几何概型
例1 (2012· 中山高一检测)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆
柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P, 求点P到点O的距离大于1的概率. [思路点拨]
[精解详析]

利用体积比求概率.
圆柱的体积 V 圆柱=π×12×2=2π 是试验

的全部结果构成的区域体积. 以 O 为球心,1 为半径且圆柱内部的半球的体积 V 半 1 4π 2π 3 球= × 2 3 ×1 = 3 , 则构成事件 A“P 到点 O 的距离大于 1”的区域体积 4π 3 2 2π 4π 为 2π- 3 = 3 ,由几何概型的概率公式得 P(A)=2π=3.

与长度有关的几何概型

【例2】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段 不小于3米的概率有多大?
思维启迪 从每一个位置剪断都是一个基本事件,基

本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,

故是几何概型.
解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的 两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在 中间的4米长的木棍处剪都能满足条件, 所以 10 ? 3 ? 3 4

P ( A) ?

10

?

10

? 0.4.

C

例4:如图所示,在单位圆O的某一直径上随机的取一点 Q,求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率.
解 弦长不超过1,即|OQ|≥

直径AB

3 而Q点在 , 2 上是随机的,事件A={弦长超过1}.

3 ?2 3 由几何概型的概率公式得 P( A) ? 2 ? . 2 2 3 ∴弦长不超过1的概率为 1 ? P( A) ? 1 ? . 2 答 所求弦长不超过1的概率为 3 1? . 2

题组一:与长度有关的几何概型

1、当你到一个红绿灯路口时,红灯的时间 为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为 45秒,你看到黄灯的概率是多少_______. 1

16
2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取 一点Q,过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超 过1的概率是__________. 3

2

题组二:与角度有关的几何概型 1.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射 线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率. 3
4
几何概型的关键是选择“测度”,如本题以角度为“测度”.因 为射线L落在∠ACB内的任意位置是等可能的.若以长度为“测 度”,就是错误的,因为M在AB上的落点不是等可能的.

变1:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2 变2:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取 一点M,求AM小于AC的概率. 2
2

题组三:与体积有关的几何概型

1、已知棱长为2的正方体,内切球O,若在 正方体内任取一点,则这一点不在球内的概 率为_______. ?

1?

6

2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球, 假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾,试求 这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.

26 27

题组四:与面积有关的几何概型(重点)

1、在半径为1的半圆内,放置一个边长为 1/2的正方形ABCD,向半圆内任投一点, 落在正方形内的概率为______. 1

2?
2、(2008~江苏)在平面直角坐标系xOy中, 设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的 点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的 点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E 中的概率为_______. ? 16

题组四:与面积有关的几何概型(重点)

3、已知A={( x,y)|x+y≤6,x≥0, y≥0}, B={(x,y)|x ≤4,y ≥0,x-2y ≥0} 若向区域A中随机投一点P,则点P落入区 域B的概率是( )

1 A. 3

2 B. 3

1 C. 9

2 D. 9

题组四:与面积有关的几何概型(重点)

4、(约会问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地约会,先到者等一个小时后即 离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等 可能的,且二人互不影响。求二人能约会成 功的概率。

9 25



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