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阶段滚动检测(二)



圆学子梦想 铸金字品牌

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阶段滚动检测(二)
第一至第四章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是

符合题目要求的) 1.(2015·大连模拟)复数 A. B. i (i 为虚数单位)的虚部是 ( C.- i D.的定义域为 M,g(x)=ln(1+x)的定义域为 )

2.(滚动交汇考查)已知函数 f(x)= N,则 M∩N= ( A.{x|x>-1} C.{x|x<1} )

B.{x|-1<x<1} D. ?

3.( 滚 动 单 独 考 查 )(2015 · 贵 阳 模 拟 ) 已 知 f(x)=3sinx- π x, 命 题 p: ? x ∈ ,f(x)<0,则 ( A.p 是真命题, p: ? x∈ B.p 是真命题, p: ? x∈ C.p 是假命题, p: ? x∈ D.p 是假命题, p: ? x∈ ) ,f(x)>0 ,f(x0)≥0 ,f(x)≥0 ,f(x0)≥0

4.(滚动单独考查)如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f'(x)的图象可能 是 ( )
-1-

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5.(2015·南宁模拟)在直角三角形 ABC 中,∠C= ,AC=3,取点 D,E,使 =3 A.3 ,那么 · + · = ( ) D.-6

=2

,

B.6

C.-3

6.(2015·丽水模拟)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,∠B= 45°,S△ABC=2,则 b= ( A.5 B.25 ) C. D.5

7.设向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),其中 0<α <β <π ,若|2a+b|= |a-2b|,则β -α = ( A. B.) C. D.的图象如图

8.(2015· 沈阳模拟)函数 f(x)=2sin(ω x+φ) 所示,则 · = ( )

A.8

B.-8

C.

-8
-2-

D.-

+8

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9.(滚动单独考查)已知 f(x)=alnx+ x2,若对任意两个不等的正实数 x1,x2 都有 >0 成立,则实数 a 的取值范围是 ( A.[0,+∞) C.(0,1) B.(0,+∞) D.(0,1] ),b=(-sinx, )

10.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算 a?b=x1y2-x2y1,若 a=(3,

cosx),f(x)=a?b,将 f(x)的图象左移 m(m>0)个单位后,所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值为 ( A. B. ) C. |=| D. |=2,点 C 在线段 AB 上,且| ) D. ,若(a+b)·c=5,则 a 与 c 的夹角为 ( A.30° B.45° C.60° D.120° ) |的最小值为

11.(2015·深圳模拟)已知| 1,则| A. -t

|(t∈R)的最小值为 ( B. C.2

12.已知向量 a=(1,3),b=(-2,-6),|c|=

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线 上) 13.(2015·临沂模拟)设复数 z 的共轭复数为 ,若(2+i)·z=3-i,则 z· 的值 为 .

14.(2015· 沈阳模拟)已知 e1,e2 是夹角为 π 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2, 若 a·b=0,则 k 的值为 .

15.(2015 · 长 春 模 拟 ) 在 △ ABC 中 , 设 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 若 cosC= , · = ,a+b=9,则 c= .
-3-

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16.(滚动交汇考查)下列命题中,为真命题的是 ①在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB;

(填写序号).

②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象与直线 y=x 有三个交点; ③已知 p:? x∈R,cosx=1,q:? x∈R,x2-x+1>0,则“p∧ q”为假命题; ④已知函数 f(x)=sin 图象关于 x= 对称. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)(2015·兰州模拟)已知向量 a=(sinθ ,cosθ ),b=(1,-2),满足 a⊥b, 其中θ ∈ . -2(ω >0)的导函数的最大值为 3,则函数 f(x)的

(1)求 tanθ 的值. (2)求 的值.

18.(12 分)(2015·福州模拟)设函数 f(x)=(sinω x+cosω x)2+2cos2ω x(ω >0)的 最小正周期为 . (1)求ω 的值. (2) 若函数 y=g(x) 的图象是由 y=f(x) 的图象向右平移 个单位长度得到 , 求 y=g(x)的单调增区间. 19.(12 分)(滚动交汇考查)已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围. (2)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间. 20.(12 分)(2015·潍坊模拟)已知 a=(
-4-

sin(π +ω x),cosω x),

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b=

,ω >0.

设 f(x)=a·b 的最小正周期为π . (1)求 f(x)的单调增区间. (2)当 x∈ 时,求 f(x)的值域.

(3)求满足 f(α )=0 且 0<α <π 的α 的值. 21.(12 分)(滚动交汇考查)(2014·大同模拟)设函数 f(x)=sinx(1)求:函数 f(x)在 x=0 处的切线方程. (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,f'(B)=3 且 a+c=2,求边长 b 的 最小值. 22.(12 分)(滚动单独考查)已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f′ (1)求 a 的值. (2)求函数 f(x)的单调区间. (3)设函数 g(x)=(f(x)-x3)·ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围. . cosx+x+1.

-5-

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答案解析
1.A = = =

=- + i,故虚部是 . 2.B 由已知条件可得 M={x|1-x>0}={x|x<1},N={x|1+x>0}={x|x>-1},所以 M∩ N={x|x<1}∩{x|x>-1}={x|-1<x<1}. 3.B 当 x∈ 时,f′(x)=3cosx-π<0,

故 f(x)是减函数,所以 f(x)max<f(0)=3sin0-0=0,故 p 是真命题. 而﹁p 就是 ? x∈ ,f(x0)≥0,故选 B.

4.【解题提示】利用原函数图象的单调性确定导函数的正负后可判定. A 由原函数图象可知,导函数应该是从左到右为正→负→正→负,只有 A 满足. 5.【解题提示】由∠C= 可建系利用坐标运算求解. A 如图建系得 C(0,0),A(3,0),B(0,y),则由已知得 D 为 AB 的一个三等分点,故 D ,又 =3 ,

故E 所以 所以 = 〃

. , + 〃 = =6-3=3. , 来解. , =(3,0),

【一题多解】本题也可以利用基底 选 A.由 故 = + =2 = 得 + = ,

-6-

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= = 又 = = 故 =( = =

+ ( + = + ( 〃 +

. + , + )〃

)

= )

+



〃 + 〃 . 〃 =0,又 AC=3,

因为 C= ,所以 所以

= 〃9=3. =2 ,

【加固训练】(2014·开封模拟)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 = A.+λ , 则λ = ( B.) C. D.

D 如图所示,其中 D,E 分别是 AB 和 AC 的三等分点,以 EC 和 ED 为邻边作平行四 边形,得 = + = + ,所以 = .故λ= ,所以选 D.

6.A 由 S△ABC= acsin45°=2,得 c=4 4 〓 =25.所以 b=5.

.所以 b2=a2+c2-2ac〃cosB=1+32-2〓1〓

7.【解题提示】将等式两边平方得 a 与 b 的关系后可求解.
-7-

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A 由|2a+b|=|a-2b|得 4a2+4a〃b+b2=a2-4a〃b+4b2, 故 3a2-3b2+8a〃b=0. 因为|a|=|b|=1,所以 a〃b=0. 所以 cosαcosβ+sinαsinβ=0 即 cos(α-β)=0. 因为 0<α<β<π,所以-π<α-β<0, 所以α-β=- ,即β-α= . 8.C 由图象知,T=4 =π,

所以 xA= - =- ,xD= + = π. 故 〃 = 〃 = -8.

9.A 因为 f(x)=alnx+ x2, 所以 f'(x)= +x. 又对? x1,x2∈(0,+≦),x1≠x2, 即 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号, 得 f(x)在(0,+≦)上为增函数, 所以 f'(x)= +x≥0 在(0,+≦)上恒成立,即 a≥-x2 在(0,+≦)上恒成立, 所以 a≥0. 10. 【解题提示】充分利用已知条件将 f(x)转化,再利用三角函数的图象变换求 解. A 由已知可得 f(x)=3cosx+ =2 =2 cos .
-8-

>0 恒成立,

sinx

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故图象左移 m 个单位后解析式变为 y=2 若图象关于 y 轴对称则 m- =kπ,k∈Z. 即 m=kπ+ ,k∈Z. 又因为 m>0,故当 k=0 时,mmin= . 【方法技巧】创新运用的求解策略

cos

.

(1)对于新概念问题的求解策略是仔细观察理解新定义、新概念的含义 ,准确利 用新定义转化为常见题型求解. (2)对创新型的题目要求是无论如何创新,应当有万变不离我们对待常规问题的 心态,去正确理解,准确把握其实质与内含,适当转化后求解即可. 11.【解题提示】利用数形结合求解. B 依题意,可将点 A,B 置于圆 x2+y2=4 上;由点 C 在线段 AB 上,且| 为 1,得原点 O 到线段 AB 的距离为 1,∠AOB=180°-2〓30°=120°, ( | -t -t )2=4+4t2-2t〓 22cos120 ° =4t2+4t+4=4 |的最小值是 . ,1),B 点是以原点 O ) +3 的最小值是 3,因此 |的最小值

【加固训练】(2014·宁波模拟)在平面直角坐标系中,A( 为圆心的单位圆上的动点,则| A.4 B B.3 由题意可知向量 + C.2 + |的最大值是 ( D.1 与

的模是不变的,所以当 |max=| |+1=

同向时,|

+

|最大,结

合图形可知,|

+1=3.

【一题多解】本题还有如下解法: B 由题意,得| 设向量 , |= =2,| |=1,

的夹角为θ,
-9-

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所以| = = =

+

|=

. 与 同向时,| + |max= =3.

所以当θ=0,即

12.D 设 c=(x,y),因为 a+b=(-1,-3), 所以(a+b)〃c=-x-3y=5,|c|= = ,即

解得



不妨取

即 c=

,

设 a 与 c 的夹角为θ, 则 cosθ=
a? c | a || c |

= =- . 因为 0°≤θ≤180°,所以θ=120°,故选 D. 【一题多解】D 由题意,得 b=-2a, 所以(a+b)〃c=(a-2a)〃c
- 10 -

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=-a〃c=5, 即 a〃c=-5. 设 a 与 c 的夹角为θ, 则 cosθ= =- . 因为 0°≤θ≤180°, 所以θ=120°.故选 D. 【加固训练】(2014·广州模拟)如图,已知圆 M:(x-3)2+(y-3)2=4,四边形 ABCD 为 圆 M 的内接正方形,E,F 分别为边 AB,AD 的中点,当正方形 ABCD 绕圆心 M 转动 时, · 的取值范围是 ( )
a? c = | a || c |

A.[-6 C.[-3

,6 ,3

] ]

B.[-6,6] D.[-4,4]

A 设 A(3+2cosα,3+2sinα), D(3+2cosβ,3+2sinβ), 则 F(3+cosα+cosβ,3+sinα+sinβ), 由图知, = =(cosα-cosβ,sinα-sinβ),

=(3+cosα+cosβ,3+sinα+sinβ), 所以 〃 =(3+cosα+cosβ,3+sinα+sinβ)〃(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
- 11 -

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=3(cosα+sinα)-3(cosβ+sinβ) =3 sin -3 sin = ∈[-6 =1-i, ,6 ],故选 A.

13.【解析】由已知得 z=

故 =1+i,所以 z〃 =(1+i)(1-i)=2. 答案: 2 14.【解析】因为 e1,e2 是夹角为 π的两个单位向量,所以 e1〃e2=- .由 a〃b=0, 得 a〃b=(e1-2e2)〃(ke1+e2)=k|e1|2-2ke1〃e2+e1〃e2-2|e2|2=2k- =0,所以 k 的值为 . 答案: 15.【解析】由 ab=20,又 a+b=9. 所以 c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-2ab-2ab〃 =36. 所以 c=6. 答案:6 16.【解析】由正弦定理,知①正确;作图象知②错误;对于③,p 正确,q 正确,则 “p∧﹁q”为假命题,③对;对于④, f'(x)=ωcos 所以 f(x)=sin 答案: ①③ 17.【解析】(1)因为 a⊥b,所以 sinθ-2cosθ=0,即 tanθ=2. (ω>0),所以ω=3. -2 不关于 x= 对称,④不正确. 〃 = ,即 a〃b〃cosC= 得

- 12 -

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(2) = = =-4. 18.【解析】(1)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+cos2ωx =sin2ωx+cos2ωx+2 = sin +2. = ,则ω= . = =

依题意得

(2)依题意,得 g(x) = = sin sin +2. +2

由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z), 解得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 故 y=g(x)的单调增区间为 (k∈Z). ,2cos ω x), 函数

【加固训练】已知向量 a=(cos2 ω x-sin2 ω x,sin ω x),b=(

f(x)=a·b(x∈R)的图象关于直线 x= 对称,其中ω 为常数,且ω ∈(0,1). (1)求函数 f(x)的表达式. (2)若将 y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的 ,再将所得图象向右平移 个单 位,纵坐标不变,得到 y=h(x)的图象,求 y=h(x)在 【解析】(1)f(x)=a〃b=(cos2ωx-sin2ωx,sinωx)〃(
- 13 -

上的取值范围. ,2cosωx)

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= =

(cos2ωx-sin2ωx)+2sinωxcosωx cos2ωx+sin2ωx ,

=2sin

由直线 x= 是 y=f(x)图象的一条对称轴, 可得 2sin =〒2,

所以πω+ =kπ+ (k∈Z),即ω=k+ (k∈Z). 又ω∈(0,1),k∈Z,所以 k=0,ω= . 所以 f(x)=2sin .

(2)将 y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的 ,再将所得图象向右平移 个单位, 纵坐标不变, 得到 y=2sin 所以 h(x)=2sin 的图象. .

由- ≤x≤ ,有- ≤2x- ≤ , 所以-1≤sin 得-2≤2sin 故函数 h(x)在 ≤ , ≤1, 上的取值范围为[-2,1].

19.【解析】(1)对 f(x)求导,得 f'(x)=3x2-2ax-3. 由 f'(x)≥0,得 a≤ 记 t(x)= t(x)是增函数, 所以 t(x)min= (1-1)=0. 所以 a≤0.
- 14 -

.

,当 x≥1 时,

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(2)由题意,得 f'(3)=0,即 27-6a-3=0, 所以 a=4.所以 f(x)=x3-4x2-3x,f'(x)=3x2-8x-3. 令 f'(x)=0,得 x1=- ,x2=3. 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表: x f'(x) f(x) + ↗ 0 极大值 ↘ ,[3,+≦), 3 0 极小值 (3,+≦) + ↗

所以 f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 20.【解析】(1)f(x)= = .

sin(π+ωx)sin

-cos2ωx

sinωxcosωx-cos2ωx

= sin2ωx- cos2ωx=sin - . =π ?ω=1,

因为 y=f(x)的最小正周期为 T=π,ω>0,即: 所以 f(x)=sin - ,

由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 所以 f(x)的单调递增区间为 (2)因为- <x< ,所以- <2x- < , 所以-1≤sin 所以- ≤sin 所以 f(x)∈ (3)因为 f(α)=0,
- 15 -

,k∈Z.

< , - <0, .

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所以 sin 所以 sin 因为 0<α<π, 所以- <2α- <

- =0, = ,

,

所以 2α- = 或 π, 所以α= 或 . 21.【解题提示】(1)求得切线斜率利用点斜式再化成一般式即可. (2)求得角 B 后利用余弦定理转化后利用基本不等式求解. 【解析】(1)当 x=0 时,f(0)=1因为 f′(x)=cosx+ =2sin +1, sinx+1 ,则切点为(0,1).

所以 k=f′(0)=2sin +1=2. 所以切线方程 l:y-(1)=2(x-0),即 2x-y+(1+1=3. )=0.

(2)由(1)知,f′(B)=2sin 所以 sin

=1,因为 B∈(0,π),所以 B= .

由余弦定理,得 b2=a2+c2-2ac〃cosB =a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=4-3ac≥4-3 当且仅当 a=c=1 时,上式取等号. 所以 b2≥1,从而 bmin=1(b>0). 22.【解析】(1)由 f(x)=x3+ax2-x+c, 得 f′(x)=3x2+2ax-1.
- 16 -

=1,

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当 x= 时,得 a=f′ 解得 a=-1.

=3〓

+2a〓

-1,

(2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c. 则 f′(x)=3x2-2x-1 =3 (x-1),

列表如下: (1, x f′(x) f(x) + ↗ 0 极大值 ↘ 和[1,+≦). . 1 +≦) 0 极小值 + ↗

所以 f(x)的单调递增区间是 f(x)的单调递减区间是 (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)〃ex =(-x2-x+c)〃ex, 有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex =(-x2-3x+c-1)ex,

因为函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+≦). 【方法技巧】利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导数 f′(x).
- 17 -

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(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数 f(x)的定义域内解(或证明)不 等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0; ②若已知 f(x)的单调性,则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在单调区间上 恒成立问题求解.

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