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2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系



2.1 空间点、直线、平面 之间的位置关系

问题提出
1.空间点与直线,点与平面分别 有哪几种位置关系?空间两直线有 哪几种位置关系? 2.就空间点、线、面位置关系而 言,还有哪几种类型有待分析?

复习:空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

A
A

a a

点在直线上

A? a A? a A ??

点在直线外
点在平面内 点在平面外

? A A ?

A ??

2.1.3直线与平面之间的位置关系
一支笔所在的直线与桌面所在的平面, 可能有哪几种位置关系?

线段A1B所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1 的六个面所在的平面有几种位置关系?
C1 B1 A1 D1

C
B A

对于一条直线和 一个平面,就其公 D 共点个数来分类有 哪几种可能?

结论:直线与平面有三种位置关系,即直线在 平面内,直线与平面相交,直线与平面平行. 文字语言(读法) 符号语言

(1)直线在平面内-----

有无数个公共点 (2)直线与平面相交----a ? ? 有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行---a // ? 没有公共点. 相交或平行的情况统称为直线 在平面外。记为:a ? α

a ??
P

图形 a

α
α α

a
P.

a

a ??

思考5:过平面外一点可作多少条直线 与这个平面平行? 若直线l平行于平面 α ,则直线l与平面α 内的直线的位 置关系如何?
P

.
?

l

思考6:若两条平行直线中有一条平行于 一个平面,那么另一条也平行于这个平 面吗?

例4 给出下列四个命题: (1)若直线l上有无数个点不在平面α 内,则 l∥α . (×) (2)若直线l与平面α 平行,则l与平面α 内的 任意一条直线都平行. (×) (3)如果两条平行直线中的一条与一个平面 平行,那么另一条也与这个平面平行.(×) (4)若直线l与平面α 平行,则l与平面α 内的 任意一条直线都没有公共点. ( ) 1 . 其中正确命题的个数共有__个

2.1.4平面与平面之间的位置关系 观察:一本书所在平面与桌面有哪些 位置关系? 观察:如图,围成长方 D1 体ABCD-A1B1C1D1的 A1 六个面,两两之间的 D 位置关系有几种?
A C1 B1 C

B

问题:两个平面有哪几种位置关系?如何分类?

复习:公理3 若两个不重合平面有一个公共点, 则它们有且只有一条过该点的公共直线。

P∈?

P∈b

} {
?

?∩b?l
?

b

P∈l

P l

结论:两个平面的位置关系只有两种, 即两个平面平行,两个平面相交
文字语言(读法) 符号语言 图形
β
α

两个平面平行, ? 没有公共点; 两个平面相交. ? 有一条公共直线.

// b
b ?l
?

b

l

小 结 1、直线与平面的位置关系
直线在平面内 有无数个公共点 a ? ? 直线在 a ? ? 相交 唯一公共点 a ? ? P 平行 没有公共点 a ? 平面外

2、平面与平面的位置关系
相交 有一条公共直线 ?

b ?l

平行 没有公共点

?

b

归纳总结
一、空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

A
A

a a

点在直线上

A? a A? a A ??

点在直线外
点在平面内 点在平面外

? A A ?

A ??

二、空间中线与线的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

b
a

两直线平行--两直 线共面且无公共点 两直线相交--两直线 共面且有一个公共点
两直线异面--两直线 不共面且无公共点

a∥ b
aIb?A
a、b异面

b A
a
b
a

三、空间中线与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面平行
直线与平面无公共点 直线与平面相交直线 与平面有一个公共点 直线在平面内直线上 所有的点都在平面内

a∥?

? ?

A

a ??A

a

a ??

四、空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法)
两个平面平行---两个平面无公共点 两个平面相交---两个平面有一公共直线

符号语言

?
b
β α

α∥β

? b ?l

三、随堂练习
1、(P.49练习)若直线a不平行 于平面α,且a ?α,则下列结 论成立的是( B ):
a α
b c

(A)α (B)α (C)α (D)α

内的所有直线与a异面; 内不存在与a平行的直线; 内存在唯一的直线与a平行; 内的直线与a都相交.

三、随堂练习 2、判断题: (1)a∥α ,b ? α , 则a∥b;( × )
α

a
b

(2)a α,则a∥α或 a和α 相交;( ) √ ? (3)a∩α=A, a α; ? ( ) √ ? a、b无公共点。( ) × (4)若a ? α,b α,则
b

α

a

判断正误。
1、直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α; ( ) × 2、若直线a在平面α外,则a ∥α;( )× 3、若 直线a ∥b,直线b α,则a∥α; ( ) ? 4、若直线a ∥b,b α,那么直线a就平行于平 × 面α内的无数条直线; ?( )



深化提高:(P.50练习)
1.如果三个平面两两相交,那么它们的交 线有多少条?画出图形表示你的结论。 答:有可能1条,也有可能3条交线。
β l a γ α

b
( 1)

( 2)

2. 三个平面把空间分成几部分?

(1)

4

6
( 2) ( 3)

6

( 4)

7

( 5)

8

小结:空间中直线与平面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面无公共点
直线与平面平行 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

a∥?

? ?

A

a ??A

a

a ??

小结:空间中直线与平面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面无公共点
直线与平面平行 直线与平面有一个公 共点直线与平面相交 直线上所有的点都在 平面内直线在平面内

a∥?

? ?

A

a ??A

a

a ??

小结:空间中平面与平面的位置关系
图形

文字语言(读法)

符号语言

?
b
β α

两个平面平行---两个平面无公共点 两个平面相交---两个平面有一公共直线

α∥β

? b ?l

归纳总结
一、空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

A
A

a a

点在直线上

A? a A? a A ??

点在直线外
点在平面内 点在平面外

? A A ?

A ??

二、空间中线与线的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

b
a

两直线平行--两直 线共面且无公共点 两直线相交--两直线 共面且有一个公共点
两直线异面--两直线 不共面且无公共点

a∥ b
aIb?A
a、b异面

b A
a
b
a

三、空间中线与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
a

a 直线与平面平行
直线与平面无公共点 直线与平面相交直线 与平面有一个公共点 直线在平面内直线上 所有的点都在平面内

a∥?

? ?

A

a ??A

a

a ??

四、空间中面与面的位置关系
图形 文字语言(读法) 符号语言

?
b
β α

两个平面平行---两个平面无公共点 两个平面相交---两个平面有一公共直线

α∥β

? b ?l



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