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必修五高中数学独家秘诀



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《必修五》

(解三角形·数列·不等式)

------教材深度反思 (高二上学期●上) 数学四大金牌思想
1. 函数方程思想 2. 数形结合思想 3. 分类讨论思想 4.等价转化思想

n ?1 ? S1 an ? ? n?2 ?S n ? S n ?1

a sin ? sin ? h? sin(? ? ? )

a?b ab ? 2
专题讲解,步骤教学 重点解读,难点突破 规律方法,技巧思想 一册在手,考试无忧

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前言
高中学生一度以来认为数学难学,究其原因, 一是上了十几年学 从来没思考过数学学什么,二来从不研究怎样做数学题, 三是从来不总 结数学有哪些思想、方法、技巧、规律,久而久之,数学知识链断接, 学习兴趣荡然无存。古人云: “学而不思则罔,思而不学则殆, ”又云: “温故而知新” ,不失为经典名言。本人结合高中数学学习的心得体 会,加上多年的教学经验,从以下三个方面谈谈数学学习。 1. 数学学什么? ① 代数包括:数与式、函数、方程、不等式。 ② 几何包括:立体几何(空间点、线、面、几何体);平面解析几 何(直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线) 。 2. 怎样做数学题? 数学做题就是把文字语言转化成符号语言,并且借助图形语言, 再把符号语言由复杂化为简单的过程。 因此, 学数学就要学三种语言: “自然语言、图形语言、符号语言” 。四种思想:“函数方程思想、数 形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想” 。 3. 学好数学六字秘诀: “多动手,勤思考” 。 动手做题:提高计算能力;动脑思考:提高思维能力,两者相得益 彰,互为补充。记住两句话: “细节决定成败,态度决定一切;学习 数学并不难,善于总结是关键” 。

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第一章 ● 知识网络图表
正弦定理 余弦定理

解三角形

解三角形

判断三角形的 形状

应用举例 1.距离问题 2.高度问题 3.角度问题 4.面积问题

● 本章知识七言八句小诗
正余定理解三角 模型选择最重要 边角互化正弦好 三边求角余弦高 实际应用三类型 共高公式显神功 边角范围常思量 结合使用兄第情

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【专题一】 :正弦定理深度解读
正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆半径) sin A sin B sin C

一.正弦定理的推广与推论
【推论 1】 :边角互化 ①边化角: a ? 2R sin A ; ②角化边: sin A ? 【推论 2】 :连比性质 ① a : b : c ? sin A : sin B : sin C 【推论 3】等比性质
a b c a ?b?c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C a ; 2R

b ? 2R sin B ;
sin B ? b ; 2R

c ? 2R sin C
sin C ? c 2R



sin A : sin B : sin C ? a : b : c

【推论 4】边与角的大小关系
a ? b ? c ? A ? B ? C ? sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C

二.正弦定理应用

【题型 1】解三角形:适合模型 AAS(一解) 、ASA(一解) 、
SSA(无解、一解、两解,求角时优先使用正弦定理)

【题型 2】判断三角形的形状(特征:角的正弦或边的一次) 三.重点提示 1.正弦定理涉及两边两角四个元素,想解三角形最少应知道三个元素,然 后才能求出另外三个元素。 2.SSA 型问题解不确定,怎样不解三角形判断解的情况是本章的难点。 3.正弦定理第一大功能是边角互化,切记。

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【专题二】对,凌晨从零点开始 —SSA 型不解三角形判断三角形解的情况问题探究
(一) 【探究】SSA 型解三角形问题由于解不确定,学生在做题的过程 中,感到无从下手,一筹莫展。即使用正弦定理完完全全做出,也难免对 解的情况判断不清,导致出错。假如不解三角形就能知道解的情况该有多 好呀!好方法还是有的,就看你肯不肯动脑筋想办法。众所周知,SSA 解 的情况有以下几种: 已知:三角形中,A(锐角),a(对边),b(邻边) ,其解有以下几种情 况: (1).a<bsinA 时无解。 (2).a=bsinA 或 a≥b 时一解。 (3).bsinA<a<b 时两解。 由于涉及条件多,判断无头绪,且不好记忆,若采取

“对,凌晨

从零点开始”这一口诀记忆,结合数轴解题,事半功倍,具体做法
如右图: (二) 【特别注意】本口诀仅适合角 A 为锐角的情况,对于 A 为钝角或 直角的情况,可用

“大角对大边”来进行判断,解有一解或无解两

种情况,一定要小心。

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【专题三】余弦定理深度解读
余弦定理:(SAS 模型) (SSS 模型)
(SSA 模型)
一.余弦定理的推广与推论
【推论 1】 :已知三边求角(SSS
? ? COSA= b c a 2bc
2 2 2 2 2
2

a ? b ? c -2bcCOSA
2 2 2

b ? a ? c -2acCOSB
2 2 2

c ? a ? b -2abCOSC
2 2

模型)
2

? ? ;COSB= c a b 2ac

? ? ;COSC= a b c 2ab

2

2

2

【推论 2】 :判断三角形的形状(已知三边 a,b,c,且 a 最大边)



a ﹤ b ? c => 三角形为锐角三角形
2
2 2

② ③

a ? b ? c => 三角形为直角三角形
2 2 2

a

2



b ? c => 三角形为钝角三角形
2 2

【推论 3】第二余弦定理(涉及三边二角)

a=bcosC+ccosB ;b=ccosA+acosC ;c=acosB+bcosA
二.余弦定理应用

【题型 1】解三角形:适合模型 SAS(一解)、SSS(一解或无解)、

SSA(无解、一解、两解,求边时优先使用余弦定理)
【题型 2】解三角形(特征:角的余弦或边的二次常用余弦定理) 三.重点提示 1. 正弦定理涉及三边一角四个元素, 根据已知角来判断使用哪一个定理是

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关键。 2.余弦定理的使用要注意类比法求角,切记!

【专题四】判断三角形的形状
判断三角形的形状是正余弦定理的重要应用,在出题的过程中往 往出一个复杂的等式,选择正弦或余弦定理,通过边角互化等变换, 通过化简,得到一些较简单可以直接判断三角形形状的结论。
(一)常见结论如下: (1)sinA=sinB 且 A=B≠ ? ? 等腰三角形

(2)sin2A=sin2B ? A=B 或

? A+B= 2 ? 等腰或直角三角形

(3)cosA=cosB ? A=B ? 等腰三角形 (4)cos2A=cos2B ? A=B ? 等腰三角形 (5)sin(A-B)=0 ? A=B ? 等腰三角形 (6) A= 60 o 且 b=c ? 等边三角形 (7)C= 45 0 且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 等腰直角三角形(A 为直角) (8) a 2 ﹤ b 2 ? c 2 =>三角形为锐角三角形(A 为锐角) (9) a 2 ? b 2 ? c 2 =>三角形为直角三角形(A 为直角) (10 a 2 > b 2 ? c 2 =>三角形为钝角三角形(A 为钝角) 二.重点提示:1.解题的思路是:利用正(余)弦定理进行代换、转 化、运算,显现出边与边的关系;或角与角的关系,或求出角的大小, 从而作出准确判断。 2.在对条件的变形中,一般两边不要约去公因式,而应移项提取
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公因式,以免漏解,特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三 角形”的区别。

【专题五】此曲只应天上有
人间能有几度闻
sin ? sin ? —谈双斜拉索模型中的共高公式: h ? asin( ? ? ?)

1.距离问题:当 AB 的距离不可直接测量时,求 AB 的距离分为以下三类:
两点间不可通又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达

SAS(余弦定理)

ASA(正弦定理)

两次正弦一次余弦

2.高度问题:当 AB 的高度不可直接测量时,求 AB 的高度分为以下三类:
底部可达 底部不可达

RT△边角关系

双斜拉索模型(共高公式)

一次正弦定理一次解 RT△

3.角度问题: (三种角)
(1 ) 仰角和俯角: 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平线上方时叫仰角;目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图 1-2-1.
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(2) 方位角:一般指从指北方向线顺时转到目标方向线所成的水平角,如图 1-2-2 中的? 1,? 2 . (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角,它是
O

方位角的另一种表示形式。如北偏东 30 图 1-2-4 所示。

o

,如图

1-2-3 所示;如南偏西 60 ,如

o

方向角 1-2-3\1-2-4 仰角与俯角 1-2-1. 方位角 1-2-2 北偏东 30
o

南偏西 60

o

铅 垂 线

【重点提示】
1.共高公式很重要,灵活使用可以走捷径,快速准确解题。 2.实际应用问题要作辅助线,抽象出数学模型,构造出三角形,利用正弦或 余弦定理解题,距离、高度、角度在一题中可能同时出现。

3.出现 RT△,一般不用正(余)弦定理解题, 而运用勾股定理和锐角三角函数
知识解题更简单点。

4.既求距离,又求角度,原则是构造三角形后,先求距离再求角,顺序 不能乱,特别注意每个测试点都要画出十字标架,便于解题。 5.有时条件不直接给距离,而给出速度、时间,要恰当运用“路程=速度

×时间”解题,注意单位统一。
【针对训练】 (本小题满 12 分)

航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔
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10000m,速度为 180km(千米)/h(小时) ,飞机先看到山顶的俯角为 15°,经 过 420s(秒)后又看到山顶的俯角为 45°,求山顶的海拔高度(取 ) . ,

期末大题猜题押宝
期末考试二卷大题必有三角大题,高考中占 17 题的位置,通常 有两种题型,1.实际应用问题即距离、高度、角度问题,2.叫做三角 形中的几何计算。两种题型方法一样,都要归结为利用正余弦定理解 三角形问题。
1.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ⑴求

cos A ? 2cos C 2c ? a 。 ? cos B b

sin C 的值。 sin A

⑵若 cos B ?

1 , ?ABC 的周长为 5 ,求 b 的长。 4

2.在 ?ABC 中, 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (1)求 A 的大小; (2) (理)求 sin B ? sin C 的最大值; (文)若 sin B ? sin C ? 1 ,判断三角形形状; 3.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 且 cos A ? (1)求 sin
2

B?C ? cos 2 A 的值 2

4 5

(2)若 b ? 2, ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 a

2 4.(14 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, 且 2coc( A ? B) ? 1 。

求:(1)角 C 的度数;

(2)AB 的长度。

5. 一商船行至索马里海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军“黄 山”舰在 A 处获悉后,即测出该商船在方位角为45° 距离10海里的 C 处,并沿方位角为105° 的方向,以9海 里/时的速度航行.“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及 所经过的路程.

6. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 bcosC-ccos(A+C)=3acosB. (I)求 cosB 的值; (II)若 BA ? BC ? 2 ,且 a ? 6 ,求 b 的值.
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7.已知 ?ABC 中, a ? 8, b ? 7, B ? 60? ,求 c 边及 ?ABC 的面积。

第二章 ● 知识网络图表

数列篇

数列
(定义、性质、运算)

1.一般数列(定义、分类) 2.表示方法(列举法,通项公式 法,递推公式法) 3.图像与性质 (定义域、 单调性、 周期性,图像特征)

1.等差数列(定义、性质) 2. 通项公式法 3.等差中项 4.前 n 项和(首位相加法)

1.等比数列(定义、性质) 2. 通项公式法 3.等比中项 4.前 n 项和(错位相减法)

● 数列知识七言八句小诗
等差等比要分清 通项求和意不同 基本量法是根本 性质定义走捷径 分类讨论不能忘 函数思想牢记心 行路百里九十半
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及时检验防陷阱

【专题六】求数列的通项公式
【方法 1】列举法:把数列列举出来,通过归纳猜想找规律,常用来 解决填空题和选择题,往往靠的是经验,在归纳中要注意项和序号的

变与不变关系。
【方法 2】公式法:适合等差和等比等有固定公式的数列,找到相关 量,直接套公式即可。 【方法 3】累加法:适合给出递推公式为 a n?1 ? a n ?
f ( n)

的情况,先累后

加,注意项数及列项相加抵消。

a 【方法 4】累乘法:适合给出递推公式为 a

n ?1 n

? f ( n)

的情况,先累后乘,

注意项数及倒数相乘抵消。 【方法 5】构造法:是最高层次的求通项公式的方法,常见基本有两 种类型(1)倒数形例:a n?1 ? a n

a

?1 n

,先两边取倒数,得到关于倒数的等

差数列,再利用等差数列通项公式式进一步求出通项公式。 (2)一次 型: a n?1 ? pa n ? q ,两边同时加 ? ?
q ,即可构造出等比数列,再利用等 p ?1

比数列通项公式式进一步求出通项公式, (1) (2)也可两者结合使用。 【方法 6】已知前数列前 n 项和 S n 求 a n 公式如下:
n ?1 ? S1 an ? ? n?2 ?S n ? S n ?1 (注意:不能忘记讨论 n ? 1,能否二合一,这是最易

忘也是最重要的一个公式,是联系求和和通项的纽带, 该公式适合任何
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数列) 。 【针对练习】
1.满足等差、等比数列定义用公式法: (1)

a ? a ? (n ? 1)d
n 1

(2)

a ?a q
n 1

n ?1

3 练 1.已知等比数列 {a n }满足a3 ? 12, a8 ? , 记其前 n 项和为 S n . 8

(1)求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (2)若 S n ? 93, 求n. 2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 ? sn ? ,且 s4 ? ?62, s6 ? ?75 , (1)求通项 an 及前 n 项和 sn ;(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a14 的值.
2.利用递推关系变形处理、转化求解的类型: (1)累加法:形如 an ? an ?1 ? f (n) 的递推 例 1:在数列{ a n }中, a1 =6, a n ? a n ?1 ? 2n ? 1, (2)累乘法:形如 求此数列的通项。

an ? f (n) 的递推 an ?1
(n+1)· a n ?1 =n· a n ,求 a n 的表达式。

例 2:在数列{ a n }中, a1 =1,

练习 (1) 已知数列满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

1 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 n(n ? 1)

(2) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , nan ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式。
3.构造法:其中常见①一阶线性数列:. an ?1 ? Aan ? B (A、B 为常数)型递推式 例 3:已知数 {an } 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 1 求通项 an 。 提示性构造:例 4.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; 4. 已知数列 {a n } 前 n 项和 S n ,则 a n ? ? (II)求数列 ? an ? 的通项公式;

n ?1 ? S1 (注意:不能忘记讨论 n ? 1) n?2 ?S n ? S n ?1

例 2: (1)已知下列两数列 {an } 的前 n 项和 sn 的公式,求 {an } 的通项公式。 1) S n ? n 2 ? n 。 2) sn ? n ? 1
2

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(2)设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1, Sn ?1 ? 4an ? 2(n ? N * ) ,
1).设 bn ?

an ,求证:数列 {bn } 是等差数列;2).求数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和。 2n

【专题七】等差数列公式性质大全
(一)等差数列的公式及性质
1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) ( n ? 2) ; (仅用来证明或求公差)
2.等差数列通项公式: (1)定义公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N )
*

;首项: a1 ,公差:d,末项: an

(2) 推广: ① a n ? a m ? (n ? m)d (一般公式) , ② d ? 3.等差中项:

an ? am (斜率=公差) n?m
a?b 或 2A ? a ? b 2

(1).如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

(2).等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 ⅱ)二合一: 4.等差数列的判定方法:
? (1) 定义法:若 a n ? a n?1 ? d 或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ?

(3). 推广:ⅰ)一变二:① 2an ? an ?k ? an ? k (n ? k ? 0) ② 2at ? an ? a2t ?n (t ? n ? 0)

a ?a n ?2a
m

m? n 2

(3)通项公式法: 数列 ?a n ?是等差数列 ? 5.等差数列的证明方法 (仅此一法别法不行)

(2) 等差中项:数列 ?a n ?是等差数列 ? 2a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2) ? 2a n ?1 ? a n ? a n ? 2 . (4) 求和公式法 :数列 ?a n ?是等差数列 ? Sn ? An ? Bn ,(其中A、B是常数)。
2

?a n ?是等差数列.

a

n

? pn ? q (其中 k , b 是常数)。

? (1)定义法:若 a n ? a n?1 ? d ( n ? 2 )或 a n ?1 ? a n ? d (常数 n ? N ) ?

?a n ?是等差数列.

6.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ? 1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d ) 7.等差数列的性质: (1)函数归类:当公差 d ? 0 时, ⅰ)等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ,可 设为:

a

n

ⅱ ) 前 n 项和 Sn ? na1 ? 为:

(2)单调性与公差关系:若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列, 若公差 d ? 0 ,则为常数列。简记作: d ? 0 增, d ? 0 平, d ? 0 减。
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s

n

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 可设 2 2 2 2 ? An ? Bn (首项 a 1 ? A ? B ,公差 d=2A)

? pn ? q (首项 a 1 ? p ? q, 公差 d=p)

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(3)重要性质:当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n ? a p ? a q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p .(注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ??? , ) (4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?? an ? b?, ??1an ? ?2bn ? 都为等差数列。 (5) 数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am? k , am? 2 k , am?3k , ??? )仍为等差数列。
*

(二).等差数列的前 n 项和公式:
【1】 Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn (二次缺常型) 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) ●特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n ?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

【2】若{ a n }是等差数列,则 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数列 1.当项数为偶数 2n 时,

【3】设数列 ?a n ?是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n ?1 ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ?
S奇 S偶 nan a ? n nan ?1 an ?1

n ? a1 ? a2 n ?1 ?

2 n ? a2 ? a2 n ? 2

? nan

? nan ?1

S偶 ? S奇 ? nan ?1 ? nan ? n ? an ?1 ? an ? =nd

?

2、当项数为奇数 2n ? 1 时,则

? S n ?1 ?S2 n?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ? ?S奇 ? (n ? 1)an+1 ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? S偶 ? nan+1 ? ? ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) . A 【4】 ?a n ?、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 n ? f ( n) , Bn a (2n ? 1)an A2 n ?1 则 n ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 【5】等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n ,前 m 项和 Sn ? m ,则前 m+n 项和 Sm? n ? ? ? m ? n ?
【6】求 S n 的最值

【法一】 :求和公式法:因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最
值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。
*

【法二】 :通项公式法:
(1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和。

15

16

即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?a n ? 0 可得 S n 达到最大值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?a n ? 0 可得 S n 达到最小值时的 n 值.或求 ?a n ?中正负分界项。 ?an ?1 ? 0

【法三】 :直接利用二次函数的对称性 :由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函
数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,S n 取最大值(或最小值) 。若S p = S q则其对称轴为 n ? ●注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: (注意结合使用) ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

p?q 。 2

【针对练习】
1、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) )

2、在等差数列 ? an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 ? (

A. 58 B. 88 C. 143 D. 176 3.若一个等差数列 {a n } 的前三项和为 34, 最后三项的和为 146, 其所有项的和为 390, 则这个数列有共有 ( ) A.10 项 B.12 项 C.20 项 D.25 项

4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? A.

?

1 ? ? 的前 100 项和为( ? an an ?1 ?
D.



100 101

B.

99 101

C.

99 100

101 100

5.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0, a2003 .a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的 最大自然数 n 是( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 )

6.设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项之和,且 S6 ? S7 , S7 ? S8 ? S9 ,则下列结论中错误的是( A、 d ? 0 7. 设 数 列 B、 a8 ? 0 C、 S10 ? S6 D、 S7 , S8 均为 S n 的最大项
2

?an ?

是 等 差 数 列 , 若 a3 和 a15 是 方 程 x ? 6 x ? 1 ? 0 的 根 , 则

a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? __________。
8.已知在等差数列 ? an ? 中, a3 ? a9 ,公差 d ? 0 ,则使其前 n 项和 S n 取得最大值的自然数 n = 9.设数列 ? an ? 等差数列,若 S15 ? 90 ,则 a8 ? __________。

16

17

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? n2 ? 2n ? 3 ,则 an ?

_________

11.若两个等差数列 ? an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn、Tn ,

Sn a 7n ,则 5 ? ? Tn n ? 3 b5

________



12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,若 S4 ? 8, S8 ? 12 ,那么 a13 ? a14 ? a15 ? a16 ? ________________。

【专题八】等比数列公式性质大全
(一)等比数列的公式
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式: ①定义公式: an ? a1q
n ?1

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比(仅用来证明或求公比) an ?1

? a1 ? q ? 0 ? ,

首项: a1 ;公比: q

②一般公式: an ? am q n ? m , ③ 函数归类公式 3. 等比中项 (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A2 ? ab 或 A ? ? ab ●注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 ?a n ?是等比数列 ? an 2 ? an ?1 ? an ?1

a

n

? pq (指数型)

n

(3) 推广:ⅰ)一变二:①

? an?k an?k (n ? k ? 0) ② at ? an a2t ?n (t ? n ? 0) 2 m? n ⅱ)二合一:③ a m a n ? a 2

an

2

2

4. 等比数列的前 n 项和 S n 公式: (1) 当 q ? 1 时, S n ? na1 (2) 当 q ? 1 时, S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

?
5. 等比数列的判定方法

n a1 a ? 1 q n ? A(1 ? q ) (A 为常数) 1? q 1? q

(1)用定义:对任意的 n,都有 an ?1 ? qan或

an ?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

17

18

(2) 等比中项: an 2 ? an ?1an ?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3) 通项公式:

a

? pq ? {an } 为等比数列 n

n

(4) 前 n 项和公式:

s

n

? A(1 ? q ) ? {an } 为等比数列

n

6. 等比数列的证明方法(仅此一法别法不行) ●依据定义:若

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an ?1

7. 注意 (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 S n ,其中 a1 、 q 称 作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; an ? a1q n ?1 如奇数个数成等差,可设为?,

a a ; , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ,中间项用 a 表示) 2 q q

(二). 等比数列的性质 (1) 若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 an ? am ? a p ? aq . 若 m ? n ? 2 p , 则 an ? am ? a p 2 注: a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3an ?2 ???

a k (2) 若数列 {an } , {bn } 均为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) bn an

均为等比数列. (3) 数列 {an } 为等比数列,每隔 k(k ? N * )项取出一项( am , am? k , am? 2 k , am?3k , ??? )仍为等比数列 (4) 若 {an } 为等比数列,则数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S2 n , ??? ,成等比数列 (5) 若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , ●注意:以下的性质了解一下就行了。 (6) 如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7) (1)函数归类:当 q ? 1 时
①等比数列通项公式 an ? a1q 数为公比 q )
n ?1

an?1 ? an?2 ????? a2 n ,

a2 n?1 ? a2 n ? 2 ??????a3n 成等比数列

?

n a1 n q ? p q ? p ? q ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函数, (底 q

18

19

②前 n 项和 S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

n a1 ? a1q n a1 a ? ? 1 q n ? A(1 ? q ) , 1? q 1? q 1? q

(系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比 q ) 。

(8) 单调性与公差关系:



a1 ? 0,则{ an }为递增数列 { ①当 q ? 1 时 a1 ? 0,则{ an }为递减数列 ,
a1 ? 0,则{ an }为递减数列 { ②当 0<q ? 1 时 a1 ? 0,则{ an }为递增数列

③当 q=1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当 q<0 时,该数列为摆动数列. 【针对训练】
1.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}的前 7 项和为( A.63 B.64 C.127 D.128 2.已知等比数列 ? an ? 的公比 q ? ? A. ? ) )

1 3

B. ?3

a ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 1 ,则 1 等于 a2 ? a4 ? a6 ? ? a2 n 3 1 C. D. 3 3



3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=7a1,则数列{an}的公比 q 的值为 ( ) A.2 B .3 C.2 或-3 D.2 或 3 1 4.在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=4,则公比 q=________;a1+a2+?+an=________. 2 5.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ? ? log3 a10 的值为 6.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是 7. 已知数列为等差数列, a2 ? 6, a5 ? 15 (1)求数列{an}的前 n 项和 S n (2)若 a3 , a9 分别为等比数列 ?bn ? 的第 1 项和第 3 项,求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 Tn 8.已知数列{an}满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ? n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和

19

20

3 , 记其前 n 项和为 S n . 8 (1)求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (2)若 S n ? 93, 求n. 1 1 1 ? an 10. 已知等比数列 ?a n ? 中, a1 ? , 公比 q ? , (1) ?a n ? 的前 n 项和 S n ,证明 Sn ? 3 3 2
9.已知等比数列 {a n }满足a3 ? 12, a8 ?

(2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? log3 a3 ? ??? ? log3 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式;

【专题九】数列求和方法总结
数列求和问题中要侧重对数列通项公式的分析、变形、处理、最后转化 为我们所熟悉的求和类型,所以关键是对通项公式的把握。 【方法 1】公式法(利用常用求和公式求和) (1)等差数列求和公式: Sn ?
n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n (2)等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q

【方法 2】错位相减法求和:用于数列{ an ?bn }前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别 是等差、等比数列,注意 an 除 bn 型要化成 an 乘 bn 的倒数型。 ●错位相减六注意:①展开(商化积)﹖②乘 q﹖③错位﹖④变号﹖⑤项数﹖ ⑥检验 a1 ? s1 ? 【例题讲解】 (1)求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1
{bn } 是各项都为正数的等比数列, a3 ? b5 ? 21 , (2) 设 {an } 是等差数列, 且 a1 ? b1 ? 1 ,

a5 ? b3 ? 13

(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n . 【方法 3】裂项法求和:适合于通项公式为分子为常数,分母为两公差相同的 等差数列乘积的分式
20

?a ? ? bn ?

21

(1) 1 ? (2)

1 1 1 = ? ? ....... ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n

1 1 1 ? ? ....... ? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)( 2n ? 1) 1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

(3)求数列

【方法 4】分组法求和:
1 1 ,……,3n+ n 的各项的和。 2 3 3 1 1 1 (2)求数列的前 n 项和:1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

(1)求数列 3+ ,32+

1 3

【练习】
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

注意: (1)弄准求和项数 n 的值; (2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。

例 1.求和 1 ? x ? x 2 ? ? ? x n?2 ( n ? 2, x ? 0 ) 练习 1、求数列 1, 4, 7, ?, 3n ? 1 的所有项的和
二、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

例 2、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 练习: (1)求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ??
n个1

(2)求数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 ? 3 ,?, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的所有项的和。
三、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. bn}的前

例 3、已知 an ? n ? 2n ?1 ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 练习: (1)求和 1 ? 2 x ? 3x 2 ? ? ? nxn?1 ( x ? 0 )
2 4 6 2n (2)求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和 2 2 2 2
四、倒序相加法求和
21

22

这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .

例 4、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值 练习:若 f ( x) ?
x2 ,则f (1) ? f (2) ? 1 ? x2 ?1? f ? ? ? f (3) ? ?2? ?1? f ? ? ? f (4) ? ? 3? ?1? f ? ? 的值. ?4?

【专题十】孪生两姐妹 —用基本量法和性质定义法解题
基本量法指等差数列求出首项和公差,等比数列求出首项和公比然后就可 以解决所有问题的一种方法,求基本量时等差数列用加减消元法法,等比数列 用乘除消元法。有时计算量大不好求出结果,若结合性质定义采用一定的技巧, 往往能走捷径,两种方法就像一对孪生姐妹,亲密合作,效果大增。
【针对训练】
3 1.已知等比数列 {a n }满足a3 ? 12, a8 ? , 记其前 n 项和为 S n . 8

(1)求数列 {a n } 的通项公式 a n ; (2)若 S n ? 93, 求n. 2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 ? sn ? ,且 s4 ? ?62, s6 ? ?75 , (1)求通项 an 及前 n 项和 sn ;(2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a14 的值.
3.数列

?a n ?是首项为 23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.

(1)求数列的公差; (2)求前 n 项和 sn 的最大值; (3)当 sn >0 时,求 n 的最大值. 4.已知数列{an}满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn ? n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 5.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2n ? n, n ? N ,数列 ?bn ? 的满足 an ? 4 log 2 bn ? 3, n ? N ,
2 ?
?

22

23

⑴求数列 ?an ?、 ?bn ? 的通项公式
2

bn ? 的前 n 项和 Tn ⑵求数列 ?an ?

6.设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n ,数列 ?bn ? 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 ⑴求数列 ? an ? 和 ?bn ? 的通项公式 ⑵设 cn ?

an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn 。 bn

第二章 ●知识网络图表 不等式

不等式

1. 不等式与不等关系 2. 不等式九大性质 3. 一元二次不等式及 其解法

1. 二元一次不等式组 2. 简单的线性规划问 题

基本不等式

ab ?

a?b 2

● 不等式知识七言八句小诗
不等关系很普遍 九大性质是关键 三个二次要对应 分类讨论去求参
23

24

数形结合等价换 分离参数变主元 多种方法综合用 恒等问题最难缠

【专题十一】不等式九大性质 —解决不等式问题的基本依据
【性质一】对称性:a>b ? b<a 【性质二】传递性:a>b,b>c ? a>c 【性质三】同加性:a>b ? a+c>b+c 【性质四】叠加性:a>b,c>d ? a+c>b+d 【性质五】同乘性:a>b,c>0 ? ac>bc a>b,c<0 ? ac<bc 【性质六】叠乘性:a>b>0,c>d>0 ? ac>bd 【性质七】可乘方性:a>b>0 ? a n ? b n ,(n∈N, 【性质八】可开方性:a>b>0 ? n a ? n b ,(n∈N, 【性质九】倒数法则:a>b,ab>0 ?
1 1 ? a b

n≥2) n≥2)

﹣重点提示﹣
1.不同性质有不同的使用条件,要高度重视。
1 1 ? 2.两个倒数的大小关系有三种①a>b>0 ? a b 1 1 1 1 ②a<b<0 ? ? ③a>0,b<0 ? ? . a b a b

24

25

3.作差法在比较大小中的老大地位。 ①a-b>0 ? a>b, ②a-b<0 ? a<b, ③a-b=0 ? a=b。

4.糖水不等式: a ? m ? a (b ? a ? 0, m ? 0) 。
b?m b

5. 【性质五】较重要:不等式的两边同乘一个正数,不等号的 方向不变,不等号的两边同乘一个负数,不等号的方向改变。

【专题十二】一元二次不等式及其解法
【探究一】三个二次的对应关系:
1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax ? bx ? c
2

? a ? 0 ? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

x1,2 ?

? a ? 0 ? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

【探究二】解一元二次不等式步骤: (图像观察法) ( 步 骤 一 ) 变 形 : 把 二 元 一 次 不 等 式 变 为 标 准 形 式 。 即 ax2 ? bx ? c ? 0
25

26

(a>0),或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a>0). (步骤二)求△: ? ? b2 ? 4ac (步骤三)画图:由 a 和△决定。 (步骤四)求根:常用十字相乘法或公式法。 (步骤五)观察:得解口诀: “小于零取中间,大于零取两边” 。

【专题十三】含参一元二次不等式解法
--分类讨论法 【探究一】讨论什么﹖答:讨论参数。 【探究二】 :为什么要讨论﹖
答:因为参数取值不同,导致图像不同,解集不同。

【探究三】 :1.怎样对参数进行分类(划分区间端点)﹖2.分类后怎样 讨论﹖ 1.
划分区间端点的方法是:

(1)讨论二次项系数(令二次项系数为零,得到第一区间端点) (2) 讨论判别式(令 ? ? 0 ,得到第二区间端点) 2. 对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是: (1)分别求出区间端点后,把每一个端点按从小到大的顺序标在数轴上。 (2)然后按照从左到右的顺序,对每一个区间和端点进行讨论。 (3)应从开口、 ? 和两根的大小三个方面进行讨论。 (4)讨论时注意参数的取值范围,和端点值,做到不重不漏。

【探究四】含参一元二次不等式解题步骤: (分类讨论法)
(步骤一)弄清参数,确定范围(参数无要求默认 R) (步骤二)画出数轴,标明端点(注意端点由谁取得) (步骤三)划分区间,分类讨论(每个区间都要画出对应图形)
26

27

(步骤四)画出图形,得出解集(结果也要分类写出,不能取并集) (步骤五)检验参数,不重不漏。

【重点提示: 】
1.求根时注意使用十字相乘法。 2.讨论时每个区间都要弄清开口、 ? 和两根的大小,并画出图形。 3. 开口、 ? 和两根大小不好确定时可代入特殊点进行测试。

【专题十四】根轴法(穿针引线法) —解分式不等式法宝
简单分式不等式是一种常见题型,学生往往无法下手,若采取根轴法,分步进行,过程 一目了然,简洁便于操作,具体步骤如下: 【步骤一】移项整理(所有项移左边,右边为零) 【步骤二】通分(不能约分,或两边同乘一个公因式) 【步骤三】对分子分母因式分解(保证未知数的系数为正) 【步骤四】求变号零点,划分区间(令各因式为零,求根,并按从小到大顺序标在数轴上, 特别注意点的虚实) 。 【步骤五】标出正负号,得到解集(确定因式个数,按同号得正,异号得负原则) 。 【步骤六】检验(各区间取并集,注意区间端点的开闭) 。 【针对训练】:
1? ? 1.已知 0 ? t ? 1 ,则不等式 ? x ? t ? ? x ? ? ? 0 的解集为____________ t? ?

2.不等式

( x ? 3)(10 ? x) 2x ?1 ? 0 的解集为______。 ? 1 的解集为_______, x?3 x 2 ( x ? 1)


x2 ? 2 x ? 3 ( x ? 2)2 ( x ? 3) ?0 ?0 ② 3.解关于 x 的不等式:① 2 x ?1 ?x ? x ? 6

x?a ? 0(a ? R) x ? a2

27

28

?1 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 4.函数 f ( x) ? ? 则不等式 xf ( x) ? x ? 2 的解集为______________ ?1 ( x ? 0) ? ?x
5.于 m 的不等式 mx ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.
2

6.不等式① x ? (a ? 1) x ? a ? 0
2

② ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
④ x ? ax ? 2a ? 0(a ? R)
2 2

③ x ? (a ? 3) x ? 1 ? 0
2

7.于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 的解集为____________。 x?2

【专题十五】含参不等式恒成立问题
--参数取值范围求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合 起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题 者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化 归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题 能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈 这类问题的一般求解策略。 (一)、判别式法:
●若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。 【类型 1】:一般地,对于二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0, x ? R) ,有
2

(1) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?
2

?a ? 0 ; ?? ? 0

(2) f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ?

?a ? 0 . ?? ? 0

【类型 2】 :设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)

28

29

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? 或? 或? 2a (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ?[? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a , 2a ? ? ? ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? 或? 或? 2 a f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
例 1.已知函数 y ? lg[(a ? 1) x ? (a ? 1) x ? 1] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。
2

例 2.一元二次不等式 x ? bx ? 2 ? 0 在 ?1, 2 ? 上恒成立,求实数 b 的取值范围。答案 b ? ?3
2

(二)、最值法:
●将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: (1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min
2

( 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max
3 2

例 3.已知 f ( x) ? 7 x ? 28 x ? a, g ( x) ? 2 x ? 4 x ? 40 x ,当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 实数 a 的取值范围。答案 [45,??) 例 4.函数 f ( x) ? 围。答案: a ? ?3

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范 x

(三)、分离变量法:
●若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的 最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有: (1) f ( x) ? g (a)( a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max (2) f ( x) ? g (a)( a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 实际上,上题就可利用此法解决。 略解: x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立,只要 a ? ? x ? 2 x 在 x ? [1,??) 时恒成立。而易求
2 2

得二次函数 h( x) ? ? x ? 2 x 在 [1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以 a ? ?3 。
2

29

30

例 5.已知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 (??,0)
2

注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。

(四) 、变换主元法:
●处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往 往会使问题降次、简化。 例 6、若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。
2

解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为: m( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 , ;
2

令 f (m) ? m( x ? 1) ? (2 x ? 1) ,则 ? 2 ? m ? 2 时,
2
2 ? ? f ( ?2) ? 0 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 即 ? ,所以 x 的范围是 f (m) ? 0 恒 成 立 , 所 以 只 需 ? 2 ? ? f ( 2) ? 0 ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0

x?(

?1? 7 1? 3 , )。 2 2
2

练习:对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转化为一次不等式

( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。
解:令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x ? 4 x ? 4 ,则原问题转化为 f (a) ? 0 恒成立( a ? [?1,1] ) 。
2

当 x ? 2 时,可得 f (a) ? 0 ,不合题意。 当 x ? 2 时,应有 ?

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f ( ?1) ? 0

故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??) 。 反思:对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ?[m, n],(k ? 0) 有:

? f ( m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , ? f ( n) ? 0

? f ( m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f ( n) ? 0

(五) 、数形结合法:
●数学家华罗庚曾说过: “数缺形时少直观,形缺数时难入微” ,这充分说明了数形结合思想的妙处, 在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系: 1) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象上方;
30

31

2) f ( x) ? g ( x) ? 函数 f ( x) 图象恒在函数 g ( x) 图象下上方。 例 7.设 f ( x) ?

? x 2 ? 4 x , g ( x) ?

4 x ? 1 ? a ,若恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围. 3

巩固练习
1、求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ?

?

(a ? 2 ) ? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2
2

?

2、设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数,如果不等式 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成 立,求实数 a 的取值范围。 ( a ? 1) 3、当 x ? (1,2)时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 恒成立,求 a 的取值范围。 (1<a ? 2)
2

【专题十六】线性规划六步走
(分析问题可以使用李晓鹏的系统学习法)

● 线性规划七言八句小诗:
线性规划六步行 目标函数要分清 线性目标平行移 斜形目标绕点行 距形目标求距离 最值整点须小心 可行区域必会画 数形结合走天下

●线性规划解题六步骤:
(步骤一)弄清研究对象(设为 x,y 带单位,注意整点问题)
31

32

(步骤二)列出不等式组(也叫约束条件) (步骤三)画出平面区域(也叫可行域) (步骤四)构造目标函数 Z=ax+by (步骤五)寻找最优解 ( x 0, y 0) , (平移直线 y= ? a x,联立方程求出最优解)
b

(步骤六)代入求出最值(最优解 ( x 0, y 0) 代入 Z ? a x 0 ? b y 0 ) 。 —重点提示— ●弄清研究对象和注意整点问题是问题的关键所在。

线性规划针对训练
一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题

?2 x ? y ? 2 ? 1、设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?
二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题



x-4y+3≤0, ? ? 2、变量 x、y 满足?3x+5y-25≤0, ? ?x≥1.
(1)设 z= ,求 z 的最小值;

y x

(2)设 z=x +y ,求 z 的取值范围.

2

2

三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 ?x ? y ? 2 ? 0 3、在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积是 ?y ? 0 ? 0≤x≤2, ? ? 4 、 已 知 关 于 x , y 的 不 等 式 组 ?x+y-2≥0, ? ?kx-y+2≥0 为 . 所表示的平面区域的面积为 4,则 k 的值

四、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。

?x ? y ? 5 ? 5、已知 x、y 满足以下约束条件 ? x ? y ? 5 ? 0 , 使 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值 ?x ? 3 ?
32

33

为 五、研究线性规划中的整点最优解问题

?5 x ? 11 y ? ?22 , ? 6、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 z ? 10 x ? 10 y 的最大 ?2 x ? 11 . ?
值是 六、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 7、在约束条件
?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ?y ? x ? s ? ? y ? 2x ? 4

下 , 当 3 ? s ? 5 时 , 目 标 函 数 z ? 3x ? 2 y 的 最 大 值 的 变 化 范 围 是 (



A. [6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

【专题十七】基本不等式
一.【使用条件及口诀】 “一正、二定、三相等” ①正用公式: ab ?
a?b (和定积求最大) 2

ab ?

a?b (a>0,b>0) 2

———解决最值问题的有力工具

②逆用公式: a ? b ? 2 ab (积定和求最小) 二.【七言小诗】 基本不等三验证,一正二定三相等 积求最大和为定,和求最小积为定 若是定值不出现,拆合拼凑去变形 二次运用不等式,等号一致不矛盾 三. 【常见题型】 (题型一)求代数式的最值 (题型二)求函数的最值 (题型三)比较大小或证明不等式 (题型四)求参数的取值范围(一个人和一群人比大小) (题型五)实际应用问题(构造目标函数利用不等式解题)
33

34

四. 【注意事项】 1.“ 一正、二定、三相等”三个条件同时满足才能使用。 2.“一正”是前提, “二定”要配凑, “等号”必须成立。 3.等号不成立,求不出最值,可考虑利用双勾函数的单调性解题。 五. 【针对练习】

提示:认真审题很重要,活用基本不等式解题 【题型针对训练】
1. (2011 上海)若 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则下列不等式中,恒成立的是( A. a ? b ? 2ab
2 2

解题关键步 骤在这儿写



B. a ? b ? 2 ab

C.

1 1 2 ? ? a b ab

D.

b a ? ?2 a b

2.① x ? 1 时,不等式 x ?
②对任意的 x ? 0 ,

1 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ?1



x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2

3.下列结论中,正确的序号有

1 1 ? 2 ;②当 x ? 2 时 , x ? 的最小值为 2; lg x x 1 3 1 ③当 x ? 0 时, x ? ④当 0 ? x ? 2 时, x ? 的最大值为 ?2 ; 2 x x
①当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? 4.函数 y ? a 的最小值为
1? x

(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 (mn ? 0) 上则

1 1 ? m n

1 ? x ( x ? 3) 的最小值 x ?3 1 1 6.设 0 ? x ? 1,则函数 y ? ? 的最小值___________ x 1? x 9 7. 求 f ( x) ? 4 x ? 值域. x 1 8.求 y ? x(1 ? 4 x)(0 ? x ? ) 的最大值 4 2 2 9.设 x, y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1 ,则 2 x ? y 的最大值为
5. 求 y ?

? x ? y ?1 ? 0 ? ? ? 10. 若 A ? ?( x, y ) x ? y ? 4 ? 0? , B ? ?( x, y ) ( y ? x)( y ? x) ? 0? , M ? A ? B , 则 M 的 面 积 ? x ? 0, y ? 0 ? ? ? ________ 1 11.若 x ? 4 ,则函数 y ? ? x ? ( ) 4? x
34

35

A. 有最大值-6 C. 有最大值-2

B. 有最小值6 D. 有最小值2

12.已知向量 a ? (1,
A. 1
B.

?

? ? ? 1? x ) , b ? ( x ? 1,1) ,则 a ? b 的最小值是( x



2

C.

3

D.

2

13.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 xy ? ( x ? y) ? 1 ,则 x ? y 的最小值为 _____________ 14.已知 x ? 0 ,x, a, b, y 成等差数列,x, c, d , y 成等比数列,则

?a ? b?
cd

2

的最小值___________。

作者寄语:
用激情创造未来,用热血拼搏现在,把一切献给现在,创造美好未来。 点燃激情,放飞梦想,踏书山坎坷,劈波斩浪,集胸中豪情,倾热血满腔, 书生自有凌云志,书生自有壮志酬。选择了大海就要乘风破浪,选择了蓝 天就要展翅飞翔,请相信没有比人更高的山峰,没有比脚更长的路。 艰苦奋斗一千天,挑战人生关,破釜沉舟三十月,直上重点线,卧薪 尝胆战三年,实现大学缘,不负父母所望,为报老师之恩,劈荆斩棘,通 往直前。为心中殿堂,决战三年! 平静的湖面练不出精干的水手,安逸的环境造不出时代的伟人。我要 超越平凡的自我,与生活的巨浪勇敢的拼搏, 我相信,只要付出,就会 收获。 团结奋进,勤学好问,比赶帮超,持之以恒;自律自信,立德立志, 班荣我荣,班耻我耻; 我不惧怕暴雨,也不逃避阴云。 逆境是一所最好 的学校;我为成功而生,不为失败而活; 我为胜利而来,不向失败低头。
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隆重巨献,独家秘诀,内部交流 持有人签名:

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