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【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:1.4.1《全称量词》1.4.2《存在量词》



1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 1.4.2 全称量词 存在量词

通过哥德巴赫猜想的知识链接和运动会排练的情景引入新课, 激发学生学习新知的欲望,本课系统地学习了全称量词与存在量

词、全称命题与特称命题 . 以学生自主探究为主,学习全称量词
与存在量词、全称命题与特称命题 . 探究怎样判断全称命题与特 称命题

的真假 .例1探讨全称命题的真假判断问题 .通过例2 探讨使 用不同的表达方法写出特称命题,例3是辨别全称命题与特称命 题。

对于一些像“至少有一个”“至多有2个”之类的存在量词,
在讲解的过程中老师因注意其意义的理解。还有些命题把这些量 词省略了,讲解过程中也应注意。

德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题:“任意取一个奇数, 可以把它写成三个质数之和,比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯 定了哥德巴赫猜想的正确,并且认为:每一个偶数都是两个质数之和,

虽然通过大量检验这个命题是正确的,但是不需要证明.这就是被誉
为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想.200多年后我国著名数学 家陈景润才证明了“1+2 ”即:凡是比某一个正整数大的任何偶数, 都能表示成一个质数加上两个质数相乘,或者表示成一个质数加上一 个质数.从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥,但它是一个

迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题.要想正面证明
就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立,要想推翻 它只需“存在一个”反例.

我们学校为了迎接10月28号的秋季田径运动会,正在排练由1000名学生 参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件:
(1)所有学生都来自高二年级;

(2)至少有30名学生来自高二.一班;
(3)每一个学生都有固定表演路线. 结合图片及上述文字,引出“所有”,“至少有”,“每一个”等短 语,在逻辑上称为量词.

预习教材,回答下列问题:

问题1:新课导入的影片中出现了“所有”、“每一个”等
词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样

的词叫做

全称量词,用符号“

?”表示,含有

全称 量

词的命题,叫做 全称 命题.

问题2:影片中用到了“至少有30名”这样的词语,
这些词语都是表示整体的一部分的词叫做 用符号“ 存在 量词。并

? ”表示.含有

存在 量词的命题叫做 特称 命

题(或存在命题).

1
目 标 4

全称量词与全称命题

2

存在量词与特称命题

3

怎样判断全称命题的真假

怎样判断特称命题的真假

全称量词与全称命题

定义:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 问题:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4) 全称量词,用符号“?”表示.含有全称量词的命题叫 之间有什么关系? 做全称命题.

(1) x ? 3 ;

不是命题 是命题

(2)2 x ? 1是整数;
不是命题 (3)对所有的 x ?R,x ? 3 ;

(4)对任意一个x ?Z, 2 x ? 1是整数. 是命题

例如,命题:对任意的n∈Z ,2n+1是奇数; 所有的正方形都是矩形。 都是全称命题.

全称命题的一般形式:
对M中任意一个 x, 有p( x)成立

用符号可以简记为:?x ? M , p( x)

全称命题的真假

问题 1

试判断以下命题的真假:

(1)?x∈R, x2+2>0; (2)?x∈ N,x4≥ 1.
解 (1)由于?x∈R,都有 x ≥0,因而有 x +2≥2>0, 即 x2+2>0,所以命题“?x∈R,x2+2>0”是真命题.
2 2

(2)由于 0∈N,当 x=0 时,x ≥1 不成立,所以命题 4 “?x∈N,x ≥1”是假命题.

4

问题2 怎样判定一个全称命题的真假? 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定 集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定 全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一

个x0,使得p(x0)不成立即可.

典例展示
判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数 ;

假命题

反例:2是素数,但2不是奇数.
2 ? x ? R, x ?1?1 (2) ;

真命题 假命题

(3) 对每一个无理数x,x2 也是无理数 .

) ? 2是有理数. 反例:2 是无理数,但( 2
2

判断下列全称命题的真假:

(1)每个指数函数都是单调函数; 真命题
(2)任何实数都有算术平方根; 假命题 反例:-2是实数,但-2没有算术平方根.

(3) ?x ?{x | x是无理数} ,. x2 是无理数 假命题 反例: 2是无理数,但 ( 2 )2 ? 2 是有理数.

存在量词与特称命题

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? 不是 (1)2x+1=3 存在量词 (3)(4) 不是 (2)x能被2和3整除; 特称命题 是 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; 是 (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 关系: (3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值
进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;
(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行 限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.

一.特称命题
1.存在量词及表示:
定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有一个”、“对某个”、“有的”在逻辑中通常叫做 存在量词。 表示:用符号“?”表示

2.特称命题及表示: 定义:含有存在量词的命题,叫做特称命题.
表示:特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符 号简记为?x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

典例展示
例如:命题(1)有的平行四边形是菱形;
(2)有一个素数不是奇数.

都是特称命题.

例2.设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出特称命题 “?x∈R,q(x)”
解: 存在实数x,使x2=x成立. 至少有一个x∈R,使x2=x成立.

对有些实数x,使x2=x成立. 有一个x∈R,使x2=x成立.
对某个x∈R,使x2=x成立.

例3 下列语句是不是全称或特称命题: (1) 有一个实数a,a不能取对数 (2) 所有不等式的解集A,都是A?R 特称命题 全称命题 不是命题 特称命题

(3) 三角函数都是周期函数吗? (4) 有的向量方向不定

二. 如何判断特称命题的真假

方法: 要判断特称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,
只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可. 如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么

这个特称命题是假命题.

例4 判断下列命题的真假: (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y),都对应一点P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数表示; (4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立.

(1) 真
(3) 假

(2) 真
(4) 假

判断下列命题的真假 (1)?α ,β ∈R,使sin(α +β )=sinα +sinβ 如:α=β=0时,成立 (2)?x,y∈Z,使3x-2y=10 如:x=y=10时,成立






(3)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数

如:函数y=0,x∈[-1,1]既是偶函数又是奇函数
(4)存在一个实数,使等式x2+x+8=0成立



1.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”, 符号简记为: ? x∈M,p(x), 读作:对任意x属于M,有p(x)成立, 含有全称量词的命题,叫做全称命题. 2.特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立”, 符号简记为: ? x0∈M,p(x0), 读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)成立” 含有存在量词的命题,叫做特称命题。

3.同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不同, 可能有不同的表述方法:

命 题

全称命题 ①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成立 ④任选一个x∈M,p(x)成立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立

特称命题 ? x 0 ? M , p ( x 0 ) ①存在x0∈M,使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使p(x0) 成立 ③对有些x0∈M,使p(x0)成立 ④对某个x0∈M,使p(x0)成立 ⑤有一个x0∈M,使p(x0)成立

表 述 方 法

课后练习

课后习题



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