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2017届浙江省高三“超级全能生”3月联考数学试卷(带解析)



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2017 届浙江省高三“超级全能生”3 月联考数学试卷(带解 析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷

人 得分 一、选择题 1.在复平面内,复数 z ? 1 ? i 对应的向量为 OP ,复数 z 对应的向量为 OQ ,那
2

??? ?

????

??? ? 么向量 PQ 对应的复数为(
A. 1 ? i B. 1 ? i
6


D. ?1 ? i

C. ?1 ? i

1? ? 2.在二项式 ? 2 x ? ? 的展开式中,常数项是( x? ?
A. -240 B. 240 C. -160
cos 7? 3



D. 160

3.若 a ? log? e , b ? 2 A. b ? a ? c

, c ? log 3sin

17? ,则( 6



B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. c ? a ? b

4. 设抛物线的顶点在原点, 其焦点在 x 轴上, 又抛物线上的点 A ? ?1, a ? 与焦点 F

的距离为 2,则 a ? ( ) A. 4 B. 4 或-4 C. -2 D. -2 或 2
5.“函数 f ? x ? ? a ? lnx ? x ? e? 存在零点”是“ a ? ?1 ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件


D. 既不充分不用

必要条件

x ? 2y ? 2 ? 0 6.若实数 x, y 满足不等式组 {x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 x ? 1 ? y 的最大值是( 2x ? y ?1 ? 0
A.



14 3

B.

19 3

C. 4

D. 1

7. 已知函数 f ? x ? ? MP ? xMN ? x ? R ? , 其中 MN 是半径为 4 的圆 O 的一条弦,
试卷第 1 页,总 4 页

????

???? ?

P 为单位圆 O 上的点,设函数 f ? x ? 的最小值为 t ,当点 P 在单位圆上运动时,

t 的最大值为 3,则线段 MN 的长度为(
A. 4 3 B. 2 3 C.



3

D.

3 2

8.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点 P ,作与 y 轴平行的直线,交两 a 2 b2


??? ? ??? ? a2 PB ? ? ,则该双曲线的离心率为( 渐近线于 A, B 两点,若 PA· 4
A.

10 3

B.

3

C.

6 2

D.

5 2

9.矩形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 ,将 ?ABC 与 ?ADC 沿 AC 所在的直线

进行随意翻折,在翻折过程中直线 AD 与直线 BC 成的角范围(包含初始状态) 为( )

A. ? 0, ? ? 6?

? ??

B. ? 0, ? ? 3?

? ??

C. ? 0, ? ? 2?

? ??

D. ?0, ? ? 3 ?
2

? 2? ?

10. 已知在 ? ??,1 上递减的函数 f ? x ? ? x ? 2tx ?1 , 且对任意的 x1, x2 ? 0, t ?1 ,

?

?

?

总有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 ,则实数 t 的取值范围为(
A. ? ? 2, 2 ?



?

?

B. ?1, 2 ?

?

?

C.

?2,3?

D. 1, 2

? ?

试卷第 2 页,总 4 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 11.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , a1 , S2 ,5 成等差数列,则数列

?an ? 的公比 q ? __________.
12 . 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 __________ ;体积为 __________.

13. 在平面直角坐标系中, A? a,0? , D ? 0, b? , a ? 0 , C ? 0, ?2? , ?CAB ? 90? ,

D 是 AB 的中点,当 A 在 x 轴上移动时, a 与 b 满足的关系式为__________;点 B 的轨迹 E 的方程为_________.
14 . 已 知 集 合 P ? ?a, b, c, d ? a, b, c, d ? ?1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? , 则 满 足 条 件

?

?

a ? b ? c ? d ? 8 的事件的概率为__________;集合 P 的元素中含奇数个数的期望 为_________.
15.已知 sin ? 3? ? ? ? ?
2 2

5 ?? ?? ? ? sin ? ? ? ? ?? ? R ? ,则 cos ? ? ? ? ? __________. 3? 2 ? ?2 ?

16.已知 1 ? x ? 4 y ? 2xy( x ? 0, y ? 0) ,则 x ? 2 y 的取值范围为__________. 17. 若两个函数 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 在给定相同的定义域上恒有 f ? x ? g ? x ? ? 0 ,

?x? 则称这两个函数是“和谐函数”, 已知 f ? x ? ? ax ? 20 , g ? x ? ? lg ? ? ? a ? R ? 在 ?a?
x ? N * 上是“和谐函数”,则 a 的取值范围是__________.
评卷人 得分 三、解答题

18 .已知 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?

?

?? ? )满足 f ? x ? ? ? ? f ? x? ,若其图像 2 2? ?

向左平移

? 个单位后得到的函数为奇函数. 6
试卷第 3 页,总 4 页

(1)求 f ? x ? 的解析式; ( 2 ) 在 锐 角 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 满 足

? 2c ? a? cosB ? bcosA ,求 f ? A? 的取值范围.
19.如图,在梯形 ABCD 中, AB / / CD , AD ? CD ? CB ? a , ?ABC ? 60? ,

平面 ACFE ? 平面 ABCD , 四边形 ACFE 是矩形, AE ? a , 点 M 在线段 EF 上, 且 MF ? 2 EM .

(1)求证: AM / / 平面 BDF ; (2)求直线 AM 与平面 BEF 所成角的余弦值. 1 3 1 2 20.设函数 f ? x ? ? x ? ax ? ? a ? 3? x ? 3 ,其中 a ? R ,函数 f ? x ? 有两个极 3 2 值点 x1 , x2 ,且 0 ? x1 ? 1. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设函数 ? ? x ? ? f ? ? x ? ? a ? x ? x1 ? ,当 x1 ? x ? x2 时,求证: ? ? x ? ? 9 .
21.如图,过椭圆 M :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F 作直线交椭圆于 A, C 两点. 2

(1)当 A, C 变化时,在 x 轴上求点 Q ,使得 ?AQF ? ?CQF ; (2)当直线 QA 交椭圆 M 的另一交点为 B ,连接 BF 并延长交椭圆于点 D ,当 四边形 ABCD 的面积取得最大值时,求直线 AC 的方程.
22.已知每一项都是正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

an ? 1 n? N* . 12an

?

?

(1)用数学归纳法证明: a2n?1 ? a2n?1 ; (2)证明:

1 ? an ? 1 ; 6

(3)记 Sn 为数列 ? an ?1 ? an ? 的前 n 项和,证明: S n ? 6 n ? N * .
试卷第 4 页,总 4 页

?

?

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参考答案 1.D
2 【解析】 PQ ? z ? z ? ?1 ? i ? ? ?1 ? i ? ? ?1 ? i ,选 D. 2

??? ?

2.C 【解析】Tr ?1 ? C
3 数项是 C6 ? 2? 6 ?3

r 6

? 2x ?
3

6? r

6? r r 6? 2 r ? 1? r ,由 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 ,所以常 ? ? ? ? C6 ? 2? ? ?1? x ? x?

r

? ?1?

? ?160. 选 C.
1

3.A 【解析】 a ? ? 0,1? , b ? 2 2 ? 2, c ? 0 ,所以 b ? a ? c ,选 A. 4.D 【解析】 由题意可设抛物线方程为 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,由抛物线定义得 2 ? 1 ? 所以 a 2 ? 4, a ? ?2. 选 D. 5.B 【 解 析 】 f ?? x? ?

p ,p?2 , 2

1 ? 0 , 所 以 若 函 数 f ? x ? ? a ? lnx ? x ? e? 存 在 零 点 , 则 x

f ? e? ? 0, a ? ?1 , 因此“函数 f ? x ? ? a ? lnx ? x ? e? 存在零点”是“ a ? ?1 ”的必
要不充分条件,选 B.
6.B 【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部,其中 A ? ?2,0 ? , B ? , ? , C ? 0, ?1? ,因此当

? 4 5? ? 3 3?

x ? ?1 时 z ? 2 x ? 2 ? y 过点 B 时取最大值
取最大值 2 ;综上 2 x ? 1 ? y 的最大值是

19 ; 当 x ? ?1 时 z ? ?2 x ? 2 ? y 过点 A 时 3

19 .选 B. 3

点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是 虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 7.A 【解析】 f ? t ? ?

???? ?2 ???? ? ???? ???? 2 MN x2 ? 2 MN ? MP x ? MP ,

?

?

???? ? 2 ???? 2 ???? ? ???? 4MN MP ? 4 MN ? MP t? ???? ?2 4 MN

?

?

2

???? 2 ???? ? MP ? MP cos?
2

?

?

2

?

? MP sin? ?
????

2

? d P ? MN

由题意得 ? dP?MN ?max ? 3, 因此 dO ? MN ? 2, MN ? 2 4 ? 2 ? 4 3. 选 A.
2

答案第 1 页,总 10 页

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8.D 【解析】设 P ? x1 , y1 ? ,则 PA ? PB ? ?

??? ? ??? ? ? bx b2 x 2 a2 ?? bx ? 1 ? y1 ?? ? 1 ? y1 ? ? y12 ? 21 ? ?b2 ? ? a 4 ? a ?? a ?

所以 a 2 ? 4 c 2 ? a 2 , c 2 ?

?

?

5 2 5 a ,e ? . 选 D. 4 2

点睛: 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程 或不等式,再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a , c 的关系式,而建立关于 a, b, c 的方程或不等 式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 9.C 【解析】初始状态直线 AD 与直线 BC 成的角为 0? ,翻折过程中当 BC ? BD 时, 直

? ?? 线 AD 与直线 BC 成的角为直角,因此直线 AD 与直线 BC 成的角范围为 ?0, ? ,选 ? 2?
C. 10.B 【解析】由题意 f ? x ? 在 ? ??,1 上递减 得 t ? 1 ,由 对任意的 x1, x2 ? 0, t ? 1 ,总有

?

?

?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 , 得 f ? x?m a x? f ? x ?

mi n

? 2 , 即 f ? 0? ? f ? t? ? 2, 2 t ? 2, 因 此

1 ? t ? 2 , 选 B.
点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单 调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量, 构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. 11.2 【解析】由题意得 2S2 ? a1 ? 5,2 ?1 ? q ? ? 1 ? 5, q ? 2 . 12.

1 6? 2 ? 3

2 5

20 3

【解析】几何体为一个三棱锥 D ? ABE 与一个四棱锥 D ? BCFE 的组合体,如图,其中

AD ? AE ? 2 2, DE ? 2 6, DF ? BD ? 2 5, AB ? BC ? CF ? EF ? BE ? 2, CD ? 4
所以表面积为

1 1 1 1 1 ? 4 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 4? ? 2 ? ? 2 ? 2 5 ? ? 2 ? 2 6 2 2 2 2 2 1 1 2 1 20 ? 16 ? 2 3 ? 2 5 ,体积为 ? 2 ? ? 2 ? ? 4 ? 22 ? . 3 2 3 3

点睛:空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题, 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的 位置关系及数量.
答案第 2 页,总 10 页

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(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 13.

a2 ? 2b

2 y? x ? x? 0?

【解析】由题意得 CA ? AD ? 0 ,即 ? a,2? ? ? ?a, b ? ? 0, ?a ? 2b ? 0, a ? 2b ;
2 2
2 设 B ? x, y ? ,则 x ? a ? 0, y ? 0 ? 2b ,所以 ? ? x ? ? y , x ? y ,因为 a ? 0 ,所以 x ? 0 , 2

??? ? ????

从而点 B 的轨迹 E 的方程为 y ? x

2

? x ? 0? .

14. 0 2 【解析】由题意 a ? b ? c ? d ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ? 8 ,无满足条件 a ? b ? c ? d ? 8 的事件, 故所求概率为 0 ; 集合 P 的元素中含奇数个数可能情况为 0,1, 2,3, 4 , 对应概率分别



4 3 1 2 2 1 3 4 C4 C4 C4 C4 C4 C4 C4 C4 , , , , , C84 C84 C84 C84 C84















4 3 1 2 2 1 3 4 C4 C4 C4 C4 C4 C4 C4 C4 0 ? 4 ? 1? 4 ? 2 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 2. C8 C8 C8 C8 C8

点睛:求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”,第二步是“探求概率”,第三步是“写分布列”,第四步是“求期 望值”. 常利用排列组合、枚举法、概率公式求概率. 15. ? ?

?1 15 ? ?3? 6 ? ? ? ?

5 sin ?? 5 3 或 【 解 析 】 由 题 意 得 sin ?? cos ? , 因 为 sin 2? ? cos2? ? 1 , 所 以 { 2 2 cos ?? 3 5 sin? ? ? 3 ,因此 cos ? ? ? π ? ? 1 cos? ? 3 sin? ? ? ? 1 ? 15 ? . { ? ? ? ? ?3 3? 2 2 6 ? 2 ? ? ? cos? ? ? 3
16. ?2, ?1?
2 【解析】由题意得 ? x ? y ? ? 3 y ? 1 ,令 x ? y ? cos? , y ? 2

?

3 sin? ?? ? ? ? π, 0 ? ? ,则 3

π? ? x ? 2 y ? cos? ? 3sin? ? 2sin ? ? ? ? 6? ?

, 且 x ? cos? ?

3 sin? ? 0 3

, 所 以

答案第 3 页,总 10 页

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? ? ? ? π, ? ? , ? ? ? ? ? , ? ? , ?1 ? sin ? ? ? ? ? ? ,即 x ? 2 y ???2, ?1? . 6 ? 6 6? 6? 2 3? ? ?
17. 4,5

?

π?

π

? 5π

π?

?

π?

1

? ?

x 20 ? 0 ? a ? 0 ,两函数零点为 a , ,由题意得两零点之间无正 a a 20 ? 5 ,不满足题意;当 a ? 5 时 , 整数,因为 4 ? 5 ? 20 ,所以当 0 ? a ? 4 时 , a 20 20 0? ? 4 ,不满足题意;当 4 ? a ? 5 时 , 4 ? ? 5 ,满足题意. a a
【解析】由定义域可知 18. (1) f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ;(2) ? 0,1? . 3?

【解析】试题分析: (1)由条件 f ? x ?

? ?

??

? ? ? f ? x ? 得周期,由周期求 ? ;由图像变换 2?

的函数为奇函数得 ? 的等量关系,由 ? ?

?
2

,解出 ? ; ( 2 )由正弦定理将边角关系

? 2c ? a? cosB ? bcosA 转化为角的关系,解出 B ;由锐角条件解出 A 取值范围;根据
f ? A? 函数关系式,结合正弦函数性质确定 f ? A? 的取值范围.

?? ? 试题解析: (1)∵ f ? x ? ? ? ? f ? x ? , 2? ?

?? ? ∴ f ? x ? ? ? ? ? f ? x ? ? ? f ? x? , 2? ?
∴ T ? ? , ∴ ? ? 2 , 则 f ? x? 的 图 象 向 左 平 移

? 个单位后得到的函数为 6

? ? ? ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,而 g ? x ? 为奇函数,则有 ? ? ? k? , k ? Z ,而 ? ? , 3 2 3 ? ?
则有 ? ? ?

?

?? ? ,从而 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? . 3 3? ?

(2) ? 2c ? a ? cosB ? bcosA , 由正弦定理得: 2sinCcosB ? sin ? A ? B ? ? sinC ,

? ?? ∵ C ? ? 0, ? ,∴ sinC ? 0 , ? 2?

答案第 4 页,总 10 页

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∴ cosB ?

2? ? ? A? , 3 2 ? ? ? 2? ∴ ? A ? ,∴ 0 ? 2 A ? ? , 6 2 3 3
∵ ?ABC 是锐角三角形, C ?

1 ? ,∴ B ? 2 3

?? ? ∴ sin ? 2 A ? ? ? ? 0,1? , 3? ?
?? ? ∴ f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? 0,1? . 3? ?
19. (1)见解析;(2)

10 . 4

【解析】试题分析: (1)证明线面平行,一般方法为利用线面平行判定定理,即从

线线平行出发给予证明, 而线线平行的寻找往往利用平几知识, 如本题设 AC 与 BD

AM
交于点 N ,利用三角形相似可得 AN ? 2CN ,再根据平行四边形性质可得
,(2)求 FN 线面角, 关键在找平面 BEF 的垂线, 由 AC ? CF , AC ? BC 可得: AC ? 平面 BCF ,

即 EF ? 平面 BCF , 平面BEF ? 平面 BCF ,因此过点 C 作 BF 的垂线交 BF 于点 H , 则由面面垂直性质定理可得 CH ? 平面 BEF .又 AC / / EF ,所以点 A 到平面 BEF 的 距离等于点 C 到平面 BEF 的距离,最后根据直角三角形求线面角. 试题解析: (1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB / / CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60? , ∴四边形 ABCD 是等腰梯形,且 ?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? , ∴ ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ,∴ AC ? BC , 又∵ AC ? BD ? 3a ,∴ AB ? 2a . 设 AC 与 BD 交于点 N , ?NBC ? ?NBA ? 30? ,

AB AN ? ? 2 ,连接 FN , BC NC 则 AN / / MF 且 AN ? MF , ∴四边形 AMFN 是平行四边形,∴ AM / / NF , 又 NF ? 平面 BDF ,∴ AM / / 平面 BDF . (2) 由题知: AC / / EF , ∴点 A 到平面 BEF 的距离等于点 C 到平面 BEF 的距离, 过点 C 作 BF 的垂线交 BF 于点 H , ∵ AC ? CF , AC ? BC , BC ? CF ? C ,
由角平分线定理知:
答案第 5 页,总 10 页

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∴ AC ? 平面 BCF ,即 EF ? 平面 BCF ,∴ CH ? EF , 又∵ CH ? BF , EF ? BF ? F ,∴ CH ? 平面 BEF . 在 Rt ?BCF 中, CH ?

2 a, 2
AE 2 ? EM 2 ? 2 3 a, 3

在 ?AEM 中, AM ?

∴直线 AM 与平面 BEF 所成角的正弦值为

CH 6 , ? AM 4
10 . 4

即直线 AM 与平面 BEF 所成角的余弦值为
20. (1) ?3 ? a ? ?2 ;(2)见解析. 【解析】 ,

试题分析: (1)由题意得导函数有两个不同的零点,由韦达定理得实数 a 与 x1 , x2 关
系,消去 x2 得 a 关于 x1 函数关系式,由 x1 取值范围,结合导数研究函数单调性,进而求出

实数 a 的取值范围; ( 2 )先化简所证不等式 x2 ? x12 ? 9 ,再利 用 x ? x2 放缩证 明
2 x2 ? x12 ? 9 ,利用韦达定理再次转化不等式为 ?a a2 ? 4a ?12 ? 9 ,最后根据 a 的取值范

围可证. 试题解析: (1) f ? ? x ? ? x2 ? ax ? a ? 3 , 由题可知: x1 , x2 为 f ? ? x ? 的两个根,且 ? ? a2 ? 4 ? a ? 3? ? 0 ,得 a ? 6 或 a ? ?2 . 而{

x1 ? x2 ? ? a, ?1? x1 x2 ? a ? 3, ? 2 ?

由(1) (2)得: ?a ? x1 ?

3 ? x1 ,设 u ? x1 ? 1??1,2? , x1 ? 1

有 ?a ? x1 ? 而y ?u?

3 ? ? u ? 1? 4 3 ? x1 ?u? ?2 ? u ?1 ? u x1 ? 1 u

4 ? 2 在 ?1, 2? 上为减函数, u 4 则 2 ? u ? ? 2 ? 3 ,即 2 ? ? a ? 3 ,即 ?3 ? a ? ?2 , u 综上, ?3 ? a ? ?2 .
(2)证明:由 0 ? x1 ? 1, x1 ? x ? x2 ,知,
答案第 6 页,总 10 页

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? ? x ? ? f ? ? x ? ? a ? x ? x1 ?
? ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? a ? x ? x1 ?

? ? x ? x1 ?? x ? x2 ? a ?
? ? x ? x1 ?? x ? x2 ? x1 ? x2 ?
? x2 ? x12 ? 0
2 ? ? x ? ? ? ? x ? ? x 2 ? x12 ? x2 ? x12

? ? x2 ? x1 ?? x2 ? x1 ?
? ? x2 ? x1 ?

? x2 ? x1 ?

2

? 4 x2 x1

? ?a a2 ? 4a ?12 ,
由(1)可知 ?3 ? a ? ?2 ,所以 0 ? a 2 ? 4a ? 12 ? 9 , 所以 ? ? x ? ? 9 .
点睛: 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? .根据 差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2) 根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或 利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 21. (1) ? 2, 0 ? ;(2) x ? ?

3 ? 17 y ? 1. 2

【解析】试题分析: (1) ?AQF ? ?CQF 等价于 k AQ ? kOQ ? 0 ,所以设坐标进行转化:

设 A? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? , Q ? q,0? , AC: x ? ty ? 1 ,即 2ty1 y2 ? ?1? q?? y1 ? y2 ? ? 0 ,
利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理代入化简得 ?2t ? 2t ?1 ? q ? ? 0 ,最后 根据 t 的任意性可得 q 值, (2) 由 (1) 可得四边形 ABCD 是一个等腰梯形, 四边形 ABCD

的面积 S ? x1 ? x2 ·y1 ? y2 ,利用直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理可得面
积关于 t 的函数关系式,最后利用导数求 S 最值,并确定取最值时直线 AC 的方程.

试题解析: (1)设 A? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? , Q ? q,0? , 当 A, C 不在 x 轴上时,设直线 AC 的方程为 x ? ty ? 1,
答案第 7 页,总 10 页

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代入椭圆 M 的方程可得: 则 y1 ? y2 ? ?

?2 ? t ? y
2

2

? 2ty ? 1 ? 0 .

2t 1 , y1 y2 ? ? , 2 2?t 2 ? t2

由题知, k AQ ? kOQ ?

y1 y ? 2 x1 ? q x2 ? q

?

y1 ? x2 ? q ? ? y2 ? x1 ? q ?

? x1 ? q ?? x2 ? q ?

?

y1 ? ty2 ? 1 ? q ? ? y2 ? ty1 ? 1 ? q ?

? x1 ? q ?? x2 ? q ?

?

2ty1 y2 ? ?1 ? q ?? y1 ? y2 ?

? x1 ? q ?? x2 ? q ?

?0

即 2ty1 y2 ? ?1 ? q ?? y1 ? y2 ? ? 0 ? ?2t ? 2t ?1 ? q ? ? 0 , 由题知无论 t 取何值,上式恒成立,则 q ? 2 , 当 A, C 在 x 轴上时定点 Q ? 2,0? 依然可使 ?AQF ? ?CQF 成立, 所以点 Q 的坐标是 ? 2, 0 ? . (2)由(1)知, ?AQF ? ?CQF , ?BQF ? ?DQF , 所以 B, C 关于 x 轴对称, A, D 关于 x 轴对称. 所以四边形 ABCD 是一个等腰梯形, 则四边形 ABCD 的面积 S ? x1 ? x2 ·y1 ? y2 由对称性不妨设 t ? 0 , 求导可得: S ? ? ?8?

? t· | y1 ? y2 |

2

?t ? 8? ?t

2 2

?1 t
2

? ? 2?

?t

4

? 3t 2 ? 2
2

?t

?2

?

3

?,

令 S ? ? 0 ,可得 t 2 ? 由于 S ? t ? 在 ? 0,

3 ? 17 2

? ? ?

? 3 ? 17 ? 3 ? 17 ? ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减, ? ? 2 ? 2 ? ? ?

所以当 t 2 ?

3 ? 17 时,四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值. 2
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此时,直线 AC 的方程是 x ? ?

3 ? 17 y ? 1. 2

点睛:解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题 的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者 多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 22. (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【解析】试题分析: (1)由于是隔项,所以先由 an ?1 ?

an ? 1 求出 a2n?1 与 a2n?1 之间关 12an

系,并在利用归纳假设时,注意对称性,两个式子同时运用:

a2 k ?3 ? a2 k ?1 ?

13a2 n?1 ? 1 13a2 n?1 ? 1 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? , (2)奇数项隔项递 12 ? a2n?1 ? 1? 12 ? a2n?1 ? 1? ? a2k ?1 ? 1?? a2k ?1 ? 1?
1 , (同 6

减,且最大值为 1 ? a1 ,所以研究偶数项单调性:隔项递增,且最小值为 a2 ?
(1) 的方法给予证明) , 最后需证明 a2n ? a2n?1 , 根据归纳可借助第三量

1 , 作差给予证明; 3

(3)先探求数列 ? an ?1 ? an ? 递推关系: an? 2 ? an?1 ?

an?1 ? an an ? 1

?

6 an?1 ? an ,再利用 7

?6? 1? ? ? 5 ? 7 ? ? 6. 等比数列求和公式得 S n ? ? 6 6 1? 7
试题解析: (1)由题知, a1 ? 1 ? 0 , an ?1 ?

n

an ? 1 ? 0 n? N* 12an

?

?

①当 n ? 1 时, a1 ? 1 , a2 ?

a1 ? 1 1 ? , 12a1 6

a3 ?

a2 ? 1 7 ? , a3 ? a1 成立; 12a2 12

②假设 n ? k 时,结论成立,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ,

a2 n ?1 ? 1 ?1 a2 n ? 1 12a2 n ?1 13a2 n ?1 ? 1 ? ? 因为 a2 n ?1 ? 12a2 n 12?a2 n ?1 ? 1 12 ? a2 n ?1 ? 1? 12a2 n ?1
所以 a2 k ?3 ? a2 k ?1 ?

13a2 n?1 ? 1 13a2 n?1 ? 1 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ?0 12 ? a2n?1 ? 1? 12 ? a2n?1 ? 1? ? a2k ?1 ? 1?? a2k ?1 ? 1?
答案第 9 页,总 10 页

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即 n ? k ? 1 时也成立, 由①②可知对于 PAC ,都有 a2n?1 ? a2n?1 成立. (2)由(1)知, a2n?1 ? a2n?1 , 所以 1 ? a1 ? ? ? a2n?1 ? a2n?1 , 同理由数学归纳法可证 a2n ? a2n? 2 ,

a2 n ? a2 n ? 2 ? ? ? a2 ?
猜测: a2 n ?

1 . 6

1 ? a2 n ?1 ,下证这个结论. 3

1? ? ? ? an ? ? 1 3? 因为 an ?1 ? ? ? , 3 4an
1 1 1 1 1 所以 an ?1 ? 与 an ? 异号.注意到 a1 ? ? 0 ,知 a2 n ?1 ? ? 0 , a2 n ? ? 0 , 3 3 3 3 3 1 即 a2 n ? ? a2 n ?1 . 3 1 所以有 a1 ? ? ? a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? ? a2 n ? a2 n ? 2 ? ? ? a2 , 3 1 从而可知 ? an ? 1 . 6
(3) an ? 2 ? an ?1 ?

an ?1 ? 1 an ? 1 an ?1 ? an ? ? 12an?1 12an 12an an ?1
2

?

an?1 ? an an ? 1

?

an?1 ? an a2 ? 1
a2 ? a1

?

6 an ?1 ? an 7
n ?1

6 ?6? ?6? 所以 an?1 ? an ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? ? ? 7 ?7? ?7?
所以 Sn ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an

n ?1

5?6? ? · ? ? 6?7?

5? 6 ?6? ?6? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6? ?7? ? 7 ?7?
2
n

n ?1

? ? ? ?

?6? 1? ? ? 5 35 36 7 ? ? ? ? ? ? ?6 6 6 6 6 1? 7

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