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第一章



第一章 空间几何体 单元测试(一)
一、选择题
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的( )

[来源:学科网]

A B C D 2.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥侧面 分成的三部分 的面积之比为( ) A. 1 : 2 : 3 B. 1 : 3 : 5 C. 1 : 2 : 4 D. 1 : 3 :

9 3.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形, 则截去 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( )
[来源:学科网 ZXXK]

A.

2 3

B.

7 6

C.

4 5

D.

5 6

4.已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别 为 V 1 和 V 2 ,则 V 1 : V 2 ? (



A. 1 : 3 B. 1 : 1 C. 2 : 1 D. 3 : 1 5.如果两个球的体积之比为 8 : 2 7 ,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 : 2 7 B. 2 : 3 C. 4 : 9 D. 2 : 9 6 . 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 及 其 尺 寸 如 下 ( 单 位 cm ) 则 该 几 何 体 的 表 面 积 及 体 积 为 : ,

5

6

A. 2 4 ? c m , 1 2 ? c m
2

2

B. 1 5 ? c m , 1 2 ? c m
2

2

C. 2 4 ? c m , 3 6 ? c m
2

2

D. 以上都不正确

二、填空题
1. 若圆锥的表面积是 1 5 ? ,侧面展开图的圆心角是 6 0 ,则圆锥的体积是_______。
0

2.一个半球的全 面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是 3.球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
[来源:Zxxk.Com]

.

4.一个直径为 3 2 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高 9 厘米则此球的半径 为_________厘米. 5.已知棱台的上下底面面积分别为 4 , 1 6 ,高为 3 ,则该棱台的体积为__________ _。

三、解答题 1. (如图)在底半径为 2 ,母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3 的圆柱, 求圆柱 的表面积

0 0 2.如图,在四边形 A B C D 中, ? D A B ? 9 0 , ? A D C ? 1 3 5 , A B ? 5 , C D ? 2 2 , A D ? 2 ,求四

边 形 A B C D 绕 A D 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

空间几何体 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.A 几 何体是圆台上加了个圆锥,分别由直角梯形和直角三角形旋转而得 2.B 从此圆锥可以看出三个圆锥, r1 : r2 : r3 ? 1 : 2 : 3, l1 : l 2 : l 3 ? 1 : 2 : 3,
S1 : S 2 : S 3 ? 1 : 4 : 9, S1 : ( S 2 ? S1 ) : ( S 3 ? S 2 ) ? 1 : 3 : 5

3.D 4.D 6.A

V 正 方 体 ? 8V 三 棱 锥 ? 1 ? 8 ? V1 : V 2 ? ( S h ) : ( 1 3

1 3

?

1 2

?

1 2

?

1 2

?

1 2

?

5 6

S h ) ? 3 : 1 5.C

V 1 : V 2 ? 8 : 2 7 , r1 : r2 ? 2 : 3, S 1 : S 2 ? 4 : 9

此几何体是个圆锥, r ? 3, l ? 5, h ? 4 , S 表 面 ? ? ? 3 2 ? ? ? 3 ? 5 ? 2 4 ? V ?

1 3

? ? 3 ? 4 ? 1 2?
2

[来

二、填空题 1 .
25 7 3

?

设 圆 锥 的 底 面 半 径 为 r , 母 线 为 l , 则 2? r ?

1 3

? l , 得 l ? 6r ,

S ? ? r ? ? r ? 6 r ? 7? r
2

2

? 1 5 ? ,得 r ?

15 7

,圆锥的高 h ?

35 ?

15 7

V ?

1 3

?r h ?
2

1 3

? ?

15 7

?

35 ?

15 7

?

25 7 Q 3?

3

?

2.

10 9

Q

S 全 ? 2? R

2

?? R

2

? 3? R

2

? Q,R ?

V ?

2 3

? R ? ? R ? h, h ?
3 2

2 3

R , S ? 2? R
2

2

? 2? R ? 4 3
3

2 3

R ?
3

10 3

?R

2

?

10 9

Q

3. 8 5. 2 8

r2 ? 2 r1 , V 2 ? 8 V 1 4. 1 2

V ? Sh ? ? r h ? 1 3 ? (4 ?

? R ,R ?

64 ? 27 ? 12

V ?

1 3

(S ?

SS ? S )h ?
' '

4 ? 16 ? 16) ? 3 ? 28

三、解答题

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

1.解:圆锥的高 h ?

4 ?2
2

2

? 2 3 ,圆柱的底面半径 r ? 1 ,
3 ? (2 ? 3 )?

S 表 面 ? 2 S 底 面 ? S 侧 面 ? 2? ? ? ?   

2 1. 解: S 表 面 ? S 圆 台 底 面 ? S 圆 台 侧 面 ? S 圆 锥 侧 面 ? ? ? 5 ? ? ? ( 2 ? 5 ) ? 3 2 ? ? ? 2 ? 2 2

?
? 25( 2 ? 1) ? V ? V 圆 台 ? V 圆 锥

1 3

? ( r1 ? r1 r2 ? r2 ) h ?
2 2

1 3

?r h
2

?

148 3

?

第一章 空间几何体
一、选择题 1、下列说法中正确的是( A.棱柱的侧面可以是三角形 )
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱 C.所有的几何体的表面都能展成平面图形 D.棱柱的各条棱都相等 2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( A.一个圆台、两个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 B.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 ) )

3、过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为(

A.

B.

C.

D.

解析:设球半径为 R,截面半径为 r.

+r =R ,

2

2

∴r =

2

.



. )

4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的,其中正确的是(

解析:由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用,知 A 正确. 答案:A 5、长方体的高等于 h,底面积等于 S,过相对侧棱的截面面积为 S′,则长方体的侧面积等于( A. C. B. D. )

参考答案与解析:解析: 设长方体的底面边长分别为 a、 过相对侧棱的截面面积 S′= b,

①,S=ab②,

由①②得:(a+b) = 答案:C

2

+2S,∴a+b=

,S 侧=2(a+b)h=2h

.

6、 长方体的对角线长度是 4, 设 过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是 60°,则此长方体的体积是(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案与解析:解析:设长方体的过一顶点的三条棱长为 a、b、c,并且长为 a、b 的两条棱与对角线的 夹角都是 60°,则 a=4cos60°=2,b=4cos60°=2. 根据长方体的对角线性质,有 a +b +c =4 , 即 2 +2 +c =4 .∴c=
2 2 2 2 2 2 2 2

. = .

因此长方体的体积 V=abc=2×2× 答案:B 主要考察知识点:简单几何体和球

7、棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别 为 S1、S2、S3,则( A.S1<S2<S3 ) B.S3<S2<S1 C.S2<S1<S3 D.S1<S3<S2

参考答案与解析:解析:由截面性质可知,设底面积为 S.

;

;

可知:S1<S2<S3 故选 A.

用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一 些比例关系: 截得面积之比就是对应高之比的平方, 截得体积之比,就是对应高之比的立方,所谓“高”,是指大棱锥、小棱锥 的高,而不是两部分几何体的 高. 答案:A 主要考察知识点:简单几何体和球 8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )

A.

B.

C.

D.

参考答案与解析:解析:球心到正四面体一个面的距离即球 的半径 r,连结球心与正四面体的四个顶点.把

正四面体分成四个高为 r 的三棱锥,所以 4×

S·r=

·S·h,r=

h

(其中 S 为正四面体一个面的面积,h 为正四面体的高) 答案:C 主要考察知识点:简单几何体和球

9、若圆台两底面周长的比是 1∶4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部分的体积比是 ( ) B.3∶27 C.13∶129 D.39∶129

A.1∶16

参考答案与解析:解析:由题意设上、下底面半径分别为 r,4r,截面半径为 x,圆台的高为 2h,则有

,

∴x=

.

∴ 答案:D 主要考察知识点:简单几何体和球

.

10、在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩 下的凸多面体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

参考答案与解析:解析:用共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,所得三棱锥的体积为

,

故剩下的凸多面体的体积为 答案:D 主要考察知识点:简单几何体和球

.

[来源:学&科&网]

11、 已知高为 3 的直棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形(如图), 则三棱锥 B1-ABC 的体积为(
[来源:学科网]

)

A.

B.

C.

D.

参考答案与解析:解析:

.

答案:D 主要考察知识点:简单几何体和球 12、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中 的( )

参考答案与解析:解析:如果水瓶形状是圆柱,V=π r h,r 不变,V 是 h 的正比例函数,其图象应该是过原 点的直线,与已知图象不符.由已知函数图可以看出,随着高度 h 的增加 V 也增加,但随 h 变大,每单位 高度的增加,体积 V 的增加量变小,图象上升趋势变缓,其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶 逐渐变小. 答案:B 主要考察知识点:简单几何体和球

2

二、填空题 1、下列有关棱柱的说法: ①棱柱的所有的面都是平的; ②棱柱的所有的棱长都相等; ③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形; ④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等; ⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等. 正确的有__________. 参考答案与解析:①④⑤ 主要考察知识点:简单几何体和球 2、一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的四分之一,那么当桶直立时,水的高度与桶的高度的 比为_________.

参考答案与解析:解析:横放时水桶底面在水内的面积为 =π R x,∴x:h=(π -2):4π 答案:(π -2):4π 主要考察知识点:简单几何体和球
2

.V 水=

,直立时 V 水

3、一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为_________.

参考答案与解析:解析:由三视图知正三棱柱的高为 2 cm,由侧视图知正三棱柱的底面三边形的高为 cm.

设底面边长为 a,则 ∴a=4. ∴正三棱柱的表面积 S=S 侧+2S 底

,

=3×4×2+2× 答案:8(3+

×4× )(cm).

=8(3+

)(cm)

主要考察知识点:简单几何体和球 4、一圆台上底半径为 5 cm,下底半径为 10 cm,母线 AB 长为 20 cm,其中 A 在上底面上,B 在下底面上, 从 AB 中点 M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到 B 点, 则这条绳子最短长为____________. 解析:画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,扉形圆心角 90° 答案:50cm 主要考察知识点:简单几何体和球

三、解答题 1、画出图中两个几何体的三视图.

参考答案与解析:解析:(1)如下图

(2)如下图

[来源:学科网 ZXXK]

主要考察知识点:简单几何体和球 2、在图中,M、N 是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点,若从 M 点绕圆柱体的侧面到达 N, 沿怎么样的路线路程最短?

解析:沿圆柱体的母线 MN 将圆柱的侧面剪开辅平,得出圆柱的侧面展开图,从 M 点绕圆柱体的侧面到达 N 点, 实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点 M 到达不相邻的另一个顶点 N.而两点间以线段的长度最短. 所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线. 如图所示.

主要考察知识点:简单几何体和球 3、倒圆锥形容器的轴截面是正三角形,内盛水的深度为 6 cm,水面距离容器口距离为 1 cm,现放入一个 棱长为 4 cm 的正方体实心铁块,让正方体一个面与水平面平行,问容器中的水是否会溢出? 解析:如图甲所示:

O′P=6 cm,OO′=1 cm.当正方体放入容器后,一部分露在容器外面,看容器中的水是否会溢出,只要比较 圆锥中 ABCD 部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定. 如图甲,设水的体积为 V1,容器的总容积为 V,则容器尚余容积为 V ? V1. 由题意得,O′P=6,OO′=1.

∴OP=7,OA =

2

,O′C =12,

2

∴V=

π OA ×7=

2

×49π ,

V1=

π O′C ×6=24π .

2

∴未放入铁块前容器中尚余的容积为

V-V1=

×49π -24π ≈44.3 cm .

3

如图所示,放入铁块后,EMNF 是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面. ∴MN= ,∴O1M= ,O1P= ,∴GM=7,

∴正方体位于容器口下的体积为 4×4×(7)=112≈33.6<44.3,

∴放入铁块后容器中的水不会溢出. 主要考察知识点:简单几何体和球 4、棱长为 2 cm 的正方体容器盛满水,把半径为 1 cm 的铜球放入水中刚好被淹没.然后再放入一个铁球, 使它淹没水中,要使流出来的水量最多,这个铁球的半径应该为多大? 参考答案与解析:解析:本题考查球与多面体相切问题,解决此类问题必须做出正确的截面(即截面一定要 过球心),再运用几何知识解出所求量. 过正方体对角面的截面图如图所示.

AC1=

,AO=

,AS=AO-OS=



设小球的半径 r,tan∠C1AC= 在△AO1 D 中,AO1= ∴AS=AO1+O1S, ∴ -1= r+r.
[来源:学科网]

.

r,

解得:r=2-

(cm)为所求.

主要考察知识点:简单几何体和球 5、小迪身高 1. 6 m,一天晚上 回家走到两路灯之间,如图所示,他发现自己的身影的顶部正好在 A 路灯 的底部,他又向前走了 5 m,又发现身影的顶部正好在 B 路灯的底部,已知两路灯之间的距离为 10 m,(两 路灯的高度是一样的)求:

(1)路灯的高度. (2)当小迪走到 B 路灯下,他在 A 路灯下的身影有多长? 参考答案与解析:解:如下图所示,设 A、B 为两路灯,小迪从 MN 移到 PQ,并设 C、D 分别为 A、B 灯的底部.

由题中已知得 MN=PQ=1.6 m, NQ=5 m,CD=10 m (1)设 CN=x,则 QD=5-x,路灯高 BD 为 h ∵△CMN∽△CBD,

即 又△PQD∽△ACD

即 由①②式得 x=2.5 m,h=6.4 m, 即路灯高为 6.4 m. (2)当小迪移到 BD 所在线上(设为 DH),连接 AH 交地面于 E. 则 DE 长即为所求的影长.

∵△DEH∽△CEA

解得 DE=

m,即影长为

m.

主要考察知识点:简单几何体和球 6、如图 1 在透明塑料做成的长方体容器中灌进一些水,固定容器的一边将其倾倒,随着容器的倾斜度不 同,水的各个表面的图形的形状和大小也不同.试尽可能多地找出这些图形的形状和大小之间所存在的各 种规律(不少于 3 种).

图1 参考答案与解析:解析:思考问题时,最好做一个实际的水槽进行演示.下面是可能找到的有关水的各个表 面的图形的形状和大小之间所存在的规律: (1)水面是矩形. (2)四个侧面中,一组对面是直角梯形,另一组对面是矩形. (3)水面面积的大小是变化的,如图 2 所示,倾斜度越大(即 α 越小),水面的面积越大. (4)形状为直角梯形(如 ABDC)的两个侧面的面积是不变的;这两个直角梯形全等. (5)侧面积不变. (6)在侧面中,两组对面的面积之和相等. (7)形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值. 在图中,我们可以得到

(8)a+b 为定值. (9)如果长方体的倾斜角为 α ,则 水面与底面所成的角为 90°-α . (10)底面的面积=水面的 面积×cos(90°-α )=水面的面积×sinα .当倾斜度增大,点 A 在 BD 上时,有最 大值. (11)A 与 B 重合时 b=2h(h 为原来水面的高度). (12)若容器的高度 PD<2h,当 A 与 B 重合时,水将溢出. (13 )若 A 在 BD 的内部,△ADC 的面积为定值,即 bc 为定值.

点评:本题对空间想象能力有一定的要求,我们可以边操作边分析,观察并得出结论. 主要考察知识点:简单几何体和球

空间几何体检测题
(时间 120 分钟 分数 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、一个长方体的长、宽、高分别为 3,8,9,若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,则孔的半径 为( ) A. 3 B .8 C. 9 D. 3 或 8 或 9 2、要使圆柱的体积扩大 8 倍,有下面几种方法:①底面半径扩大 4 倍,高缩小 倍,高缩为原来的
8 9 1 2

倍;②底面半径扩大 2

;③底面半径扩大 4 倍,高缩小为原来的 2 倍;④底面半径扩大 2 倍,高扩大 2 倍;

⑤底面半径扩大 4 倍,高扩大 2 倍,其中满足要求的方法种数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在用斜二测画法画水平放置的平面图形直 观图时,与轴不平行的线段的大小( ) A. 变大 B. 变小 C. 一定改变 D. 可能不变 4、向高为 H 的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如下面左图所示,那么水 瓶的形状是( )
[来源:Zxxk.Com]

5 、设正方体的全面积为 24,那么其内切球的体积是(



A.

6?

B.

4 3

?

C.

8 3

?

D.

32 3

?

6、圆锥的表面积是底面积的 3 倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( A. 120 0 B. 150 0 C. 180 0 D. 240 0



7、四棱柱有两个侧面互相平行,并且这两个侧面的面积之和为 S,它们的距离为 h,那么这个四棱柱的体 积是( ) A. Sh B.
1 2

Sh

C.

1 3

Sh

D. 2Sh

8、长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为 3、4、5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面 积是( ) A.
20 2 ?

B.

25

2 ?

C.

50 ?

D. 200 ? )

9、如图所示的直观图的 平面图形 ABCD 是( A. 任意梯形 B. 直角梯形 C. 任意四边形 D. 平行四边形

10、体积相等的球和正方体,它们的表面积的大小关系是( A.
S 球 ? S 正方体



[来源:学科网 ZXXK]

B.

S 球 ? S 正方体

C.
6 6

S 球 ? S 正方体

D. 不能确定

11、正三棱锥的底面边长为 a ,高为

a ,则此棱锥的侧面积等于(



A.

3 4

a

2

B.

3 2

a

2

C.

3 4

3

a

2

D.

3 2

3

a

2

12、一个圆台的上、下底面面积分别是 1 cm 2 和 49 cm 2 ,一个平行底面的截面面积为 25 cm 2 ,m 则这个 截面与上、下底面的距离之比是( A. 2 : 1 B. 3: 1 C. )
2 :1

D.

3 :1

二、填空题(本题共 4 小题,每小 题 4 分,共 16 分) 11、轴截面是等边三角形的圆锥,它的侧面展开图的圆心角等于 12、一个圆柱的底面直径和高 都等于一个球的直径,则这个圆柱的体积与球的体积之比为 13、把一根长 4m,直径 1m 的圆木锯成底面为正方形的方木,则方木的体积为 14、三棱柱 ABC ? A ? B ?C ? 的底面是边长为 1cm 的正三角形,侧面是长方形,侧棱长为 4cm,一个小虫从 A 点出发沿表面一圈到达 A ? 点,则小虫所行的最短路程为 cm 三、解答题(本题共 6 小题,第 17-21 题每题 12 分,第 22 题 14 分,共 74 分) 17、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成,球的半径为 R,正四棱台的上 、下底面边长分别 为 2 . 5 R 和 3 R ,斜高为 0 . 6 R (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示,焊接处对面积的影响忽略不 记) ;

(2) R ? 2 cm , 若 为盖子涂色时所用的涂料每 0 . 4 kg 可以涂 1m 2 , 计算 100 个这样的盖子约需涂 料多少 kg (精确到 0 . 1 kg )

18、直平行六面体的底面是菱形,
Q 1 , Q 2 ,求直平行六面体的侧面积

两个对角面的面积分别为

19、画出下面实物的三视图

20、一个圆锥 底面半径为 R ,高为 3 R ,求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值

21、如果棱台的两底面积分别是 S 、 S ? ,中截面(过棱台高的中点且平行于底面的截面)的面积是 S 0 求

证: 2 S 0 ?

S ?

S?

22、已知正三棱锥 S ? ABC ,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三 棱锥的底面上,若正三棱锥的高为 15 cm ,底面边长为 12 cm ,内接正三棱柱的侧面积为 120 cm ( 1)求正三棱柱的高; (2)求棱柱上底面截的小棱锥与原棱锥侧面积的比 参考答案: 一、选择题 1 A 2
[来源:学。科。网 Z。X。

2



3 D A

4
[来源:学§科§网 Z

5 B

6 C

7 B

8 C

9 B

10 C

11 A

12 A

X。K]

D

§X§X§K]

二、填空题 13、180
0

14、3 : 2

15、 2 m

3

16、

5

三、解答题 17、 (1) S ? ( 21 . 85 ? 4 ? ) R (2)约需 0 . 6 kg 18、 S ? 2 Q 1 ? Q 2 19、略 2 0、当内接正四棱柱的底面边长是 21、略 22、 (1)正三棱柱的高为 10 cm 或 5 cm (2)1:9 或 4:9
3R 6 ?1
2 2
2

时表面积有最大值为

6R

2

6 ?1



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