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2015年函数部分三:求函数解析式的六种常用方法(教师版含练习)



2015 年函数部分三: 求函数解析式的六种常用方法(教师版)
一、换元法 已知复合函数 f [g(x)]的解析式,求原函数 f(x)的解析式.令 g(x)= t ,求 f(t)的解析式,再把 t 换为 x 即可.例 1 已知 f(

x ?1 x2 ?1 1 ? ,求 f(x)的解析式. )= x x2 x x ?1 1 解: 设 = t ,则 x= (t≠1) , x t ?1 1 2 ( ) ?1 1 2 t ? 1 ∴f(t)= = 1+ (t ? 1) +(t-1)= t2-t+1 ? 1 2 1 ( ) t ?1 t ?1
故 f(x)=x2-x+1 (x≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法 例 2 已知 f( x +1)= x+2 解: f( x +1)= ( x ) +2
2

x ,求 f(x)的解析式. x +1-1= ( x ? 1) 2 -1,

∴ f( x +1)= ( x ? 1) 2 -1 ( x +1≥1) ,将 x +1 视为自变量 x,则有 f(x)= x2-1 (x≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 例 3 已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x)的解析式. 解:设二次函数 f(x)= ax2+bx+c,则 f(0)= c= 0 f(x+1)= a ( x ? 1) +b(x+1)=
2

① ②

ax2+(2a+b)x+a+b

由 f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得

?2a ? b ? b ? 2 ? ?a ? b ? 8
四、消去法

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 7.

故 f(x)= x2+7x.

评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式.

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x 1 1 分析:欲求 f(x) ,必须消去已知中的 f( ) ,若用 去代替已知中 x,便可得到另一个方程,联立方程组求解 x x 1 1 1 1 即可.解:∵ f(x)+2 f( )= x (x≠0) ①由 代入得 2f(x)+f( )= (x≠0) ② x x x x 2 x 解 ①② 构成的方程组,得 f(x)= - (x≠0). 3x 3
例 4 设函数 f(x)满足 f(x)+2 f( 五、特殊值法 例5 设是定义在 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意的实数 x,y, 有 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,求 f(x)函数解析式. 分析:要 f(0)=1,x,y 是任意的实数及 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,得到 f(x)函数解析式,只 有令 x = y. 解: 令 x = y ,由 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) 得 f(0)= f(x)- x(2x-x+1) ,整理得 f(x)= x2+x+1. 六、对称性法 即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式,求另一区间上的解析式. 1

例 6 已知是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-x2,求 f(x)函数解析式. 解:∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴y=f(x)的图象关于原点对称. 当 x≥0 时,f(x)=2x-x2 的顶点(1,1) ,它关于原点对称点(-1,—1) , 因此当 x<0 时,y= ( x ? 1) -1= x2 +2x.故 f(x)= ?
2

?2 x ? x 2 x≥0, 2 ? x ? 2 x x<0.

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

解析式练习
1:若 f(sinx)=2-cos2x,则 f(cosx)等于( ) A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x 2:已知 f( D D.2+cos2x ) C

1? x2 1? x )= ,则 f(x)的解析式可取为( 1? x 1? x2
B.-

A.

x 1? x2

2x 1? x2

C.

2x 1? x2

D.-

x 1? x2

3:设 f (cosx ? 1) ? cos2 x ,求 f ( x) . 4:已知 f (a x?1 ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x) .

f ( x) ? ( x ? 1) 2 , x ? [?2,0] ? f ( x) ? log2 a x ? 2 loga x ? 3 f ( x) ? x 2 ? 1

5:已知 f ( x) 是二次函数,且满足 f [ f ( x)] ? x 4 ? 2x 2 , 求f ( x)
1 6:设 f ( x) 满足 af ( x) ? bf ( ) ? cx x

(其中 a, b, c均不为 0, 且a ? ?b) ,求 f ( x) . f ( x) ?

acx2 ? bc (a 2 ? b 2 ) x
f(x)=x2+x+1.

7:已知 f(x–y)=f(x) –y(2x–y+1),且 f(0)=1, 求 f(x)的表达式. (提示:令 x=0,解方程组法) 8
(提示:令 x=y)

设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且对任意实数 x,y 满足 f(x-y)=f(x)+f(y)+xy-1 恒成,求函数 f(x)的解析式。

2f(x)=-x?+2

9: 已知 f ?0? ? 1, f ?a ? b? ? f ?a ? ? b?2a ? b ? 1? ,求 f ( x) (提示:令 a=0,换元法) 10:设 f ( x) 是定义在 N 上的函数,满足 f (1) ? 1 ,对于任意正整数 x , y ,均有
?

f ?x ? ? x 2 ? x ? 1 )

f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? xy ,求 f ( x) .

(提示:令 y=-x,解方程组法)

2



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