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贵州省大方县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理



大方一中 2015-2016 学年第一学期高二级学期考试 理科数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分 ? ? bx ? a , 参考公式:回归直线的方程是: y

其中 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( yi ? y )

r />i

? (x
i ?1

? x)

? i 是与xi 对应的回归估计值. , a ? y ? b x; 其中y

2

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确的答案填在后面的括号内). 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( )

A

棱台

B 棱锥

C 棱柱

D

都不对 )

2.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α ,且 sin α +cos α =0,则 a-b=( A.1 B.-1 C.0 D.-2

3. 从 1,2,3,4,5,6 这 6 个数中,不放回地任意取两个数,每次取 1 个数, 则所取的两个数都是偶数的概率为( A. )

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5
).

4. 读下面的程序框图,若输入的值为-5,则输出的结果是(

开始

输入x

x ? 0?




y ? 4 ? log2 x

输出y

结束

x ? 2x
A.-1 B.-2 C.2
2 2

D.1 )

5. 过点(3, -2)且与椭圆 4x +9y =36 有相同焦点的椭圆的方程是(

1

A.

x2 y 2 ? ?1 15 10

B.

x2 y 2 ? ?1 5 10

C.

x2 y 2 ? ?1 10 15

D.

x2 y 2 ? ?1 25 10


6. 过双曲线 A.28

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6, 则 ?ABF( 的周长是 ( 2 F2 为右焦点) 16 9
B.22 C.14 D.12

7.用最小二乘法计算利润额 y 对销售额 x 的回归直线方程,当销售额为 4(千万元)时,估计 利润额的大小( 商店名称 销售额 x(千万元) 利润额 y(百万元) A. B.
2

) A 3 2 C. B 5 3 D.2.4 C 6 3 D 7 4 E 9 E 5 9

8. 函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ,x ?? ?5 , 5? ,在定义域内任取一点 x0 ,使 f ( x0 ) ≤ 0 的概率是 ( ) A.

1 10

B.

2 3

C.

3 10

D.

4 5
)

9. l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面

D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 10. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示.求众数、中位数、平均数(

)

A. 63、64、66

B.65、65、67

C.65、64、66

D.64、65、64

11. 已知点 A(2,3), B(?3, ?2) ,若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是( A. k ? )

3 4

B.

3 ?k?2 4

C. k ? 2或k ?

3 4

D. k ? 2

2

12. 已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴.过点 A(-4,

a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=
A.2 B. 4 2

( C.6

) D. 2 10

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别是 1600 辆、6000 辆和 2000 辆,为检验公司的 产品质量,现从这三种型号的轿车种抽取 48 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 14. 在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,若将运 动员按成绩由好到差编为 1-35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间

[139,151] 上的运动员人数是

.

15.已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90 ,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积 的最大值为 36,则球 O 的表面积为 16.如图,半径为 2 的半圆有一内接梯形 ABCD ,它的下底 AB 是⊙O 的直径,上底 CD 的 端点在圆周上.若双曲线以 A、 B 为焦点,且过 C、D 两点,则当梯形 ABCD 的周长最大 时,双曲线的实轴长为

0

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) 求与 x 轴相切, 圆心 C 在直线 3x-y=0 上, 且截直线 x-y=0 得的弦长为 2 7 的圆的方程.

1 ? ? 2 18. (12 分) 已知命题 p: 函数 f(x)=lg?ax -x+ a?的定义域为 R; 命题 q: 不等式 2x+1 16 ? ? <1+ax 对一切正实数 x 均成立.如果命题 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范 围.

3

19. (12 分)如图,四棱锥

的底面是正方形, S ? ABCD

底面 SA ?

, ABCD

E 是 SC上一点.
(I)求证:平面 EBD平面 ? ; SAC

A (II)设 SA ? , 求点 到平面 4 AB ? 2

SBD 的距离;

(III)设 SA ? 4 , AB ?当 2 OE 丄 SC 时求二面角 E-BD-C 余弦值。

S

E A
O

D C

B

20. (12 分)为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测 试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2:4:17:15:9:3,第二小组频数为 12. (I) 第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (II) 若次数在 110 以上 (含 110 次) 为达标, 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少? (III)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明理由。
频率/组距 0.03 6 0.03 2 0.028 0.024 0.020 0.01 6 0.01 2 0.00 8 0.00 4 o 90 100 110 120 130 140 150 次数 4

21.(12 分)如图所示,已知 P(4,0)是圆 x +y =36 内的一点,A、B 是圆上两动点,且满足 ∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程。

2

2

y
B Q

R A

o

P

x

22. (12 分) 已知椭圆 C1 :

1 x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,且经过点 M ( ? 3, ) ,圆 C2 的直 2 2 a b 2

径为 C1 的长轴.如图,C 是椭圆短轴的一个端点,动直线 AB 过点 C 且与圆 C2 交于 A, B 两 点, CD 垂直于 AB 交椭圆于点 D .

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)求△ ABD 面积的最大值,并求此时直线 AB 的方程.

5

6

参考答案 一.选择题:A CDAA ADCBB 二.13.8、30、10 三.解答题: 17. 解:因为圆心 C 在直线 3x-y=0 上,设圆心坐标为(a,3a), 圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离为 d= 又圆与 x 轴相切,所以半径 r=3|a|, 设圆的方程为(x-a) +(y-3a) =9a , 设弦 AB 的中点为 M,则|AM|= 7 . 在 Rt△AMC 中,由勾股定理,得
? - 2a ? ? 2 ? ? ? +( 7 )2=(3|a|)2. ? ?
2 2 2 2

CC 15.144π 16. 2 3 -2

14.4

- 2a 2



2

(第 17 题)

解得 a=±1,r =9. 故所求的圆的方程是(x-1) +(y-3) =9,或(x+1) +(y+3) =9.
2 2 2 2

1 2 18. 解: 命题 p 为真命题等价于 ax -x+ a>0 对任意实数 x 均成立.当 a=0 时,- 16

x>0,其解集不是 R,∴a≠0. a>0, ? ? 于是有? 1 2 1- a <0, ? ? 4
解得 a>2,故命题 p 为真命题等价于 a>2. 2x+1-1 2x 2 命题 q 为真命题等价于 a> = = 对一切实数 x 均成 x x? 2x+1+1? 2x+1+1 立. 由于 x>0,∴ 2x+1>1, 2x+1+1>2, 2 ∴ <1,从而命题 q 为真命题等价于 a≥1. 2x+1+1 根据题意知,命题 p、q 有且只有一个为真命题, 当 p 真 q 假时实数 a 不存在; 当 p 假 q 真时,实数 a 的取值范围是 1≤a≤2. 19.(1)证明:? SA ? 底面 ABCD

? SA ? BD

S

E A

7
D C

B

且 BD ? AC

? BD ? 平面SAC

? 平面 EBD ? 平面 SAC

V ? VS-ABD ,且 (2)解:因为 A-SBD

S ?SBD ?

1 ?2 2 ?3 2 2 ,

4 可求得点 A 到平面 SBD 的距离为 3
(3) 20.解: (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 因此第二小组的频率为:

4 ? 0.08 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3

又因为频率=

第二小组频数 样本容量 第二小组频数 12 ? ? 150 第二小组频率 0.08

所以

样本容量 ?

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17 ? 15 ? 9 ? 3 ?100% ? 88% 2 ? 4 ? 17 ? 15 ? 9 ? 3
(3)由已知可得各小组的频数依次为 6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为 69, 前四组的频数之和为 114,所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。 21.解 设 AB 的中点为 R,坐标为(x,y),则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR| 又因为 R 是弦 AB 的中点, 依垂径定理 在 Rt△OAR 中, |AR| =|AO| -|OR| =36-(x +y ) 又|AR|=|PR|= ( x ? 4) 2 ? y 2 所以有(x-4) +y =36-(x +y ),即 x +y -4x-10=0 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y),R(x1,y1),因为 R 是 PQ 的中点,所以 x1= 代入方程 x +y -4x-10=0,得
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x?4 y?0 , , y1 ? 2 2

x?4 2 y x?4 -10=0 ) ? ( )2 ? 4 ? 2 2 2 2 2 整理得 x +y =56,这就是所求的轨迹方程 (
22.解: (1)由已知得到

a 2 ? b2 3 c 3 2 2 ? ,所以 ,即 a ? 4b . ? a 2 a 2
3 1 ? 2 ? 1, 2 4b 4b
8

又椭圆经过点 M ( ? 3, ) ,所以

1 2

解得 b2 ? 1,? a2 ? 4 ,

所以椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 4

(2)因为直线 AB ? CD 且两直线都过点 C (0,1) , ①当

AB 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 , 设 直 线 AB : y ? kx ? 1 , 直 线 CD : y ? ? x ? 1 , 即
1 k 2 ?1
, 所 以

1 k

到) 直 线 AB 的 距 离 为 d ? x ? ky ? k ? 0 , 所 以 圆 心 ( 0 , 0

AB ? 2 4 ? d 2 ?

2

4 k2 ? 3 k 2 ?1
,

? x ? ky ? k ? 0, ? 2 2 由 ? x2 得 (4 ? k ) x ? 8kx ? 0 , 2 ? y ? 1, ? ? 4
所以 xC ? xD ?

8k , k ?4
2

CD ? 1 ?

1 1 64k 2 8 k 2 ?1 2 , ( x ? x ) ? 4 x x ? (1 ? ) ? C D C D k2 k 2 (k 2 ? 4)2 k2 ? 4
1 1 2 4k 2 ? 3 8 k 2 ? 1 8 4k 2 ? 3 AB CD ? ? ? 2 ? . 2 2 k ?4 k2 ? 4 k 2 ?1
2

所以 S? ABD ?

t2 ? 3 2 ,t ? 3, 令 t ? 4k ? 3 ,则 k ? 4
2

S? ABD ?

8t 32t 32 16 13 ? 2 ? ? . 13 t ?3 t ? 13 t ? 13 ?4 t 4
2

当t ?

13 10 , t ? 13 ,即 4k 2 ? 3 ? 13, k ? ? 时,等号成立, t 2
16 13 10 ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? ?1. 13 2

故△ ABD 面积的最大值为

②当 AB 的斜率为 0,即 AB / / x 时, S? ABD ? 2 3 ?

16 13 ; 13

9

当 AB 的斜率不存在时,不符合题意; 综上, △ ABD 面积的最大值为

16 13 10 ,此时直线 AB 的方程为 y ? ? ?1. 13 2

10



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