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广东省湛江市遂溪县2015届高三上学期第一次统考数学试卷(理科)



广东省湛江市遂溪县 2015 届高三上学期第一次统考数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设 U={1,2,3,4},且 M={x∈U|x ﹣5x+P=0},若?UM={2,3},则实数 P 的值为 () A.﹣4 B. 4 C . ﹣6 D.6

2. (5 分)若复数(a ﹣3a+2)+(a﹣1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为() A.1 B. 2 C. 1 或 2 D.﹣1 3. (5 分)不等式 1<x< A.充分不必要条件 C. 充要条件 成立是不等式(x﹣1)tanx>0 成立的() B. 必要不充分条件 D.非充分非必要条件
2

4. (5 分)设 y 是 1﹣x 与 1+x 的等比中项,则 3x+4y 的最大值为() A.3 B. 4 C. 5 D.7 5. (5 分)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)满足条件 f(x+ )+f(x)=0,则 ω 的 值为() A.2π B. π C. D.

6. (5 分)已知向量 =(1,n) , =(﹣1,n) ,若 A.1 B. C.

+ 与 垂直,则| |=() D.4

7. (5 分)若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题 个数是() ①若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α、β 互相垂直,m、n 互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④m、n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m、n 互相垂直. A.1 B. 2 C. 3 D.4

8. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1.f′(x)为 f(x)的导函数,已知函数 y=f′ (x)的图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.(﹣∞,﹣3)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.其中 14.15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 9. (5 分)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 条.

10. (5 分)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3=

4xdx,则公比 q 的值为.

11. (5 分) 某中学举行电脑知识竞赛, 满分为 100 分, 80 分以上为优秀 (含 80 分) 现将 2014-2015 学年高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组,绘制成频率分布直方图如图所示.已 知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、0.15、10、0.05,而第二小组的 频数是 40,则参赛的人数是;成绩优秀的频率是.

12. (5 分)已知(x﹣ ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系 数的和是. 13. (5 分)已知 M 是△ ABC 内的一点,且 △ MAB 的面积分别为 的最小值为. ,∠BAC=30°,若△ MBC,△ MCA,

8

三、选做题(共 1 小题,满分 5 分)

14. (5 分)直线

(t 为参数)被圆(x﹣3) +(y+1) =25 所截得的弦长为多少.

2

2

四、选做题(共 1 小题,满分 0 分) 15.如图所示,AC 和 AB 分别是圆 O 的切线,且 OC=3,AB=4,延长 AO 到 D 点,则△ ABD 的面积是.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (13 分)为支持 2010 年广洲亚运会,广洲市某校某班拟选派 4 人为志愿者参与亚运会, 经过初选确定 5 男 4 女共 9 名同学成为候选人,每位候选人当选志愿者的机会均等. (1)求女生 1 人,男生 3 人当选时的概率? (2)设至少有几名男同学当选的概率为 Pn,当 时,n 的最大值?

17. (12 分)已知向量 =(sin ,cos ) , =(cos ,

cos ) ,函数 f(x)= ? ,

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; 2 (2)如果△ ABC 的三边 a、b、c,满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域. 18. (13 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=2,D 为 AA1 中点. (Ⅰ)求证:CD⊥B1C1; (Ⅱ)求证:平面 B1CD⊥平面 B1C1D; (Ⅲ)求三棱锥 C1﹣B1CD 的体积.

19. (14 分)已知向量

,O 是坐标原点,动点 P 满足:

(1)求动点 P 的轨迹; (2)设 B、C 是点 P 的轨迹上不同两点,满足 否存在点 A(m,0) ,使得
2

,在 x 轴上是

,若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

20. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx(a≠0)的导函数 f′(x)=﹣2x+7,数列{an}的前 n 项和 * 为 Sn,点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (I)求数列{an}的通项公式及 Sn 的最大值; (II)令 ,其中 n∈N ,求{nbn}的前 n 项和.
*

21. (14 分)设 a 为非负实数,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣a. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数的单调区间; (Ⅱ)讨论函数 y=f(x)的零点个数,并求出零点.

广东省湛江市遂溪县 2015 届高三上学期第一次统考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)设 U={1,2,3,4},且 M={x∈U|x ﹣5x+P=0},若?UM={2,3},则实数 P 的值为 () A.﹣4 B. 4 C . ﹣6 D.6 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U 和集合 M 的补集确定出集合 M,得到集合 M 中的元素是集合 M 中方程的 解,根据韦达定理利用两根之积等于 P,即可求出 P 的值. 解答: 解:由全集 U={1,2,3,4},CUM={2,3}, 2 得到集合 M={1,4},即 1 和 4 是方程 x ﹣5x+P=0 的两个解, 则实数 P=1×4=4. 故选 B 点评: 此题考查学生理解掌握补集的意义,灵活利用韦达定理化简求值,是一道基础题. 2. (5 分)若复数(a ﹣3a+2)+(a﹣1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为() A.1 B. 2 C. 1 或 2 D.﹣1 考点: 复数的基本概念;复数的代数表示法及其几何意义.
2

分析: 注意到复数 a+bi,a,b∈R 为纯虚数的充要条件是 解答: 解:由 a ﹣3a+2=0 得 a=1 或 2,且 a﹣1≠0 得 a≠1∴a=2. 故选 B. 点评: 本题是对基本概念的考查,属于基础题.
2

3. (5 分)不等式 1<x< A.充分不必要条件 C. 充要条件

成立是不等式(x﹣1)tanx>0 成立的() B. 必要不充分条件 D.非充分非必要条件

考点: 充要条件. 专题: 阅读型. 分析: 先根据 x 的范围,判定(x﹣1)tanx 的符号,然后取 x=4 时, (x﹣1)tanx>0,但 4?(1, 条件. 解答: 解:∵1<x< ∴(x﹣1)>0,tanx>0 则(x﹣1)tanx>0 ) ) ,从而说明若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要

而当 x=4 时, (x﹣1)>0,tanx>0 则(x﹣1)tanx>0,但 4?(1, ∴不等式 1<x<

成立是不等式(x﹣1)tanx>0 成立的充分不必要条件

故选 A. 点评: 判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 4. (5 分)设 y 是 1﹣x 与 1+x 的等比中项,则 3x+4y 的最大值为() A.3 B. 4 C. 5 D.7 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据三个数字成等比数列,写出 x,y 之间的关系,根据 x,y 在单位圆上,设出圆 的参数方程,写出要求的代数式,根据三角函数恒等变形,得到结果. 解答: 解:∵y 是 1﹣x 与 1+x 的等比中项, 2 ∴y =(1﹣x) (1+x) , 2 2 ∴x +y =1, ∴设 x=cosa,y=sina,a∈[o,2π) ∴3x+4y=3cosa+4sina=5sin(a+θ)

∴3x+4y 的最大值为 5, 故选 C. 点评: 本题考查等比数列的性质和圆的参数方程,解题的关键是写出参数方程,把求最值 得问题转化为求三角函数的最值的问题.

5. (5 分)已知 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)满足条件 f(x+ )+f(x)=0,则 ω 的 值为() A.2π B. π C. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 先把 x+ 可知函数的周期为 出 ω 的值. 解答: 证明:f(x+ ∴函数 f(x)的周期是 又 f(x+ )+f(x)=0,?f(x+1)+f(x+ )=0, ∴f(x+1)=f(x) , ∴函数 f(x)的周期是 1 ∴ =1?ω=2π )=Asin(ωx+2π+φ)=Asin(ωx+φ)=f(x) 代入函数式,根据三角函数的诱导公式可求得 f(x+ )=f(x) ,进而

.又满足条件 f(x+ )+f(x)=0,得出其周期是 1,两者相等即可求

故选 A. 点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法.属基础题.

6. (5 分)已知向量 =(1,n) , =(﹣1,n) ,若 A.1 B. C.

+ 与 垂直,则| |=() D.4

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先求出 + 的坐标,然后按照向量的数量积的坐标运算表示 + 与 垂直,得

到关于 n 的方程解之,然后求| |的模. 解答: 解:∵向量 =(1,n) , =(﹣1,n) , + 与 垂直



+ =(1,3n) ,∴( =

+ )? =3n ﹣1=0,解得 n= ;

2



∴| |=

故选:C. 点评: 本题考查了向量的加减运算以及数量积的坐标运算. 7. (5 分)若 m、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题 个数是() ①若 m、n 都平行于平面 α,则 m、n 一定不是相交直线; ②若 m、n 都垂直于平面 α,则 m、n 一定是平行直线; ③已知 α、β 互相垂直,m、n 互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④m、n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m、n 互相垂直. A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 对于①,利用平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,即可下结论; 对于②,因为垂直于同一平面的两直线平行,可得其为真命题; 对于③,④,只要能找到反例即可说明其为假命题. 解答: 解:因为平行于同一平面的两直线可以平行,相交,异面,故①为假命题; 因为垂直于同一平面的两直线平行,故②为真命题; 在③中 n 可以平行于 β,也可以在 β 内,故③为假命题; ④中,m、n 也可以不互相垂直,故④为假命题. 故真命题只有一个. 故选 A. 点评: 本题考查空间中直线和直线的位置关系以及直线和平面的位置关系,是对课本基础 知识的考查,属于基础题,但也是易错题. 8. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1.f′(x)为 f(x)的导函数,已知函数 y=f′ (x)的图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是()

A.

B.

C.

D.(﹣∞,﹣3)

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据导函数的图象判断原函数的单调性,从而确定 a、b 的范围,最后利用不等式 的性质得到答案.

解答: 解:由图可知,当 x>0 时,导函数 f'(x)>0,原函数单调递增, ∵两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1, 又由 f(4)=1,即 f(2a+b)<4, 即 2a+b<4, 又由 a>0.b>0; 点(a,b)的区域为图中阴影部分,不包括边界, 的几何意义是区域的点与 A(﹣2,﹣2)连线的斜率, 直线 AB,AC 的斜率分别是 ,3;则 故选 C. ;

点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.其中 14.15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 9. (5 分)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 2 条. 考点: 两条平行直线间的距离. 专题: 直线与圆. 分析: 所求直线是以 A、B 为圆心,以 1、2 为半径的圆的公切线,判两圆的位置关系即可. 解答: 解:∵到点 A(1,2)距离为 1 的直线是以 A 为圆心,1 为半径的圆的切线, 到点 B(3,1)距离为 1 的直线是以 B 为圆心,2 为半径的圆的切线, ∴所求直线为两圆的公切线, 易判两圆的为值关系为相交,公切线有两条, 故满足条件的直线有 2 条, 故答案为:2 点评: 本题考查点到直线的距离公式,转化为两圆的公切线是解决问题的关键,属基础题.

10. (5 分)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3=

4xdx,则公比 q 的值为 1 或﹣ .

考点: 等比数列的前 n 项和;定积分在求面积中的应用;等比数列的通项公式. 专题: 计算题.

分析: 先根据定积分的定义求出前三项和 S3,然后根据 a3=6,S3=18 建立 a1 与 q 的方程组, 解之即可求出公比 q. 解答: 解:S3= 4xdx=2x |0 =18
2 3

∵a3=6,S3=18 2 ∴a1q =6,a1+a1q+6=18 ∴2q ﹣q﹣1=0 解得 q=1 或﹣ 故答案为:1 或﹣ 点评: 本题主要考查了等比数列的前 n 项和,以及定积分的计算和等比数列的通项公式, 同时考查了方程组的求解,属于基础题. 11. (5 分) 某中学举行电脑知识竞赛, 满分为 100 分, 80 分以上为优秀 (含 80 分) 现将 2014-2015 学年高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组,绘制成频率分布直方图如图所示.已 知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为 0.30、0.15、10、0.05,而第二小组的 频数是 40,则参赛的人数是 100;成绩优秀的频率是 0.15.
2

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图中各频率和等于 1,求出第二小组的频率,再求样本容量以及成 绩优秀的频率. 解答: 解:根据题意,第二小组的频率为 1﹣(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40, ∴样本容量是 N= =100;

∴成绩优秀(80 分以上)的频率是 0.10+0.05=0.15. 故答案为:100,0.15. 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应用频率= 基础题.
8

进行计算,是

12. (5 分)已知(x﹣ ) 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系 数的和是 1 或 6561. 考点: 二项式系数的性质.

专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项, 令 x 的指数为 0 得常数项列出方程求出 a, 给二项式中的 x 赋值求出展开式中各项系数的和. 解答: 解:Tr+1=C8 ?x 令 8﹣2r=0, ∴r=4.
4 4 r 8﹣r

?(﹣ax ) =(﹣a) C8 ?x

﹣1

r

r

r

8﹣2r



∴(﹣a) C8 =1120, ∴a=±2. 8 当 a=2 时,令 x=1,则展开式系数和为(1﹣2) =1. 8 8= 当 a=﹣2 时,令 x=1,则展开式系数和为(1+2) =3 6561. 故答案为 1 或 6561. 点评: 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具;赋值法是 求展开式的系数和的重要方法. 13. (5 分)已知 M 是△ ABC 内的一点,且 △ MAB 的面积分别为 ,∠BAC=30°,若△ MBC,△ MCA,

的最小值为 18.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: 利用向量的数量积的运算求得 bc 的值,利用三角形的面积公式求得 x+y 的值,进而 把 + 转化成 2( + )×(x+y) ,利用基本不等式求得 =bccos∠BAC=2 + 的最小值.

解答: 解:由已知得

?bc=4,

故 S△ ABC=x+y+ = bcsinA=1?x+y= , 而 + =2( + )×(x+y) )≥2(5+2 )=18,

=2(5+ +

故答案为:18. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,向量的数量积的运算.要注意灵 活利用 y=ax+ 的形式.

三、选做题(共 1 小题,满分 5 分) 14. (5 分)直线 (t 为参数)被圆(x﹣3) +(y+1) =25 所截得的弦长为多少.
2 2

考点: 直线的参数方程. 专题: 直线与圆.

分析: 将直线的参数方程化为一般式方程,利用直线与圆的位置关系,构造直角三角形运 用勾股定理,即可求解. 解答: 解:∵直线 (t 为参数) ,

∴直线的一般式方程为 x+y+1=0, ∵圆(x﹣3) +(y+1) =25,则圆心为(3,﹣1) ,半径 r=5, ∴圆心(3,﹣1)到直线 x+y+1=0 的距离 d=
2 2 2 2 2

=



设弦长为 l,则根据勾股定理可得,d +( 故( ) +(
2

) =r ,

) =25,解得 l=

2



故直线被圆所截得的弦长为 . 点评: 本题考查了直线的参数方程,考查了直线与圆的位置关系,求直线被圆所截得的弦 长问题,要注意运用弦长的一半,半径,弦心距构成的直角三角形求解.属于基础题. 四、选做题(共 1 小题,满分 0 分) 15.如图所示,AC 和 AB 分别是圆 O 的切线,且 OC=3,AB=4,延长 AO 到 D 点,则△ ABD 的面积是 .

考点: 与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题: 选作题;立体几何. 分析: 利用勾股定理,计算出 AO,可得 AD,即可求出 sin∠BAD,从而可求△ ABD 的面 积. 解答: 解:∵AC 和 AB 分别是圆 O 的切线,AB=4, ∴AB=AC=4, ∵OC⊥AC,OC=3, 2 2 2 2 2 ∴AO =AC +OC =3 +4 , ∴AO=5, ∴AD=8, ∴ 故答案为: . .

点评: 本题考查三角形面积的计算,考查勾股定理,考查学生的计算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (13 分)为支持 2010 年广洲亚运会,广洲市某校某班拟选派 4 人为志愿者参与亚运会, 经过初选确定 5 男 4 女共 9 名同学成为候选人,每位候选人当选志愿者的机会均等. (1)求女生 1 人,男生 3 人当选时的概率? (2)设至少有几名男同学当选的概率为 Pn,当 时,n 的最大值?

考点: 相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)本题是一个等可能事件的概率,每位候选人当选的机会均等,9 名同学中选 4 人共有 C9 种选法,其中女生 1 人且男生 3 人当选共有 C4 C5 种选法,根据等可能事件的概 率公式得到结果. (2)根据题意写出至少有 n 名男同学当选的概率为 Pn 的值,求出 n=4,3,2 的概率值,把概 率值同 进行比较,得到要使 ,n 的最大值为 2. 种选法,其中
4 1 3

解答: 解: (1)由于每位候选人当选的机会均等,9 名同学中选 4 人共有

女生 1 人且男生 3 人当选共有

种选法,故可求概率

.…(4 分)

(2)∵

…(6 分)

…(8 分)

…(10 分) ∴要使 ,n 的最大值为 2.…(12 分)

点评: 本题考查等可能事件的概率,考查探究当男生数目不同时,对应的概率的取值范围, 属于中档题.

17. (12 分)已知向量 =(sin ,cos ) , =(cos , (1)求函数 f(x)的单调递增区间;
2

cos ) ,函数 f(x)= ? ,

(2)如果△ ABC 的三边 a、b、c,满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域. 考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (1)利用向量的数量积公式及辅助角公式,化简函数,即可求得函数 f(x)的单调 递增区间; 2 (2)通过 b =ac,利用余弦定理求出 cosx 的范围,然后求出 x 的范围,进而可求三角函数的 值域.

解答: 解: (1)∵向量 =(sin ,cos ) =(cos , ∴函数 f(x)= ? =sin( 令 2kπ﹣ ≤ ≤2kπ+ )+ ,解得 ,

cos ) ,

. .

故函数 f(x)的单调递增区间为

(2) 由已知 b =ac, cosx= ∴ ∴ ∴ <sin( <sin( )≤1, )+ ≤1+ ]

2

=



= , ∴ ≤cosx<1, ∴0<x≤

∴f(x)的值域为(

,1+

点评: 本题是中档题,考查三角函数的化简求值,余弦定理的应用,正弦函数的值域的求 法,考查计算能力. 18. (13 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ACB=90°,AA1=BC=2AC=2,D 为 AA1 中点. (Ⅰ)求证:CD⊥B1C1; (Ⅱ)求证:平面 B1CD⊥平面 B1C1D; (Ⅲ)求三棱锥 C1﹣B1CD 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)关键是证明 B1C1⊥平面 ACC1A1,利用直三棱柱的性质及底面是直角三角形 易证之. (Ⅱ)用勾股定理证明 CD⊥DC1,又由(Ⅰ)知 B1C1⊥CD,所以有 CD⊥平面 B1C1D,从而 证明面面垂直. (Ⅲ)等体积法,VC1﹣DCB1=VB1﹣DCC1 ,进行求解. 解答: 证明: (Ⅰ)∵∠A1C1B1=∠ACB=90°

∴B1C1⊥A1C1 又由直三棱柱性质知 B1C1⊥CC1(2 分) ∴B1C1⊥平面 ACC1A1 又 CD?平面 ACC1A1 ∴B1C1⊥CD(4 分) (Ⅱ)由 AA1=BC=2AC=2,D 为 AA1 中点, 可知
2 2


2

∴DC +DC1 =CC1 =4 即 CD⊥DC1(6 分) 又 B1C1⊥CD∴CD⊥平面 B1C1D 又 CD?平面 B1CD 故平面 B1CD⊥平面 B1C1D(9 分) (Ⅲ)解:VC1﹣DCB1=VB1﹣DCC1 = = = . (12 分) 点评: 通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的,通过证明一个平面内存在一条直线和 另一个平面垂直,从而证明面面垂直,用等体积法求三棱锥的体积,是常用的一种方法.

19. (14 分)已知向量 (1)求动点 P 的轨迹;

,O 是坐标原点,动点 P 满足:

(2)设 B、C 是点 P 的轨迹上不同两点,满足 否存在点 A(m,0) ,使得

,在 x 轴上是

,若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

考点: 平面向量的综合题;平面向量的正交分解及坐标表示;数量积判断两个平面向量的 垂直关系. 专题: 综合题;数形结合;转化思想;综合法. 分析: (1)令 P(x,y) ,由模的坐标表示与内积的坐标表示即可得到点 P 的轨迹方程. (2)设 BC:x=ky 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,将直线的方程与点 P 的轨迹方程联立得到 B, C 两点的坐标与参数 k 的关系,再由 ,得到(x1﹣m) (x2﹣m)+y1y2=0,建立起参数

m,k 的方程,由其形式作出判断求参数的取值范围,若能求出则说明存在,否则说明不存在. 解答: 解: (1)令 P(x,y) ,则



即 y =4(x+1) (4 分) ,

2

(2)存在?﹣2≤m<﹣1 或 m≥2 使得

设 BC:x=ky 设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ?y ﹣4ky﹣4=0 y1+y2=4k,y1y2=﹣4(6 分) ∵ 即(x1﹣m) (x2﹣m)+y1y2=0 即 2 2 (k +1)y1y2﹣mk(y1+y2)+m =0(8 分) 2 2 ∴﹣4(k +1)﹣mk﹣4k+m =0 2 2 (4m+4)k =m ﹣4(10 分)
2

若存在则

?﹣2≤m<﹣1 或 m≥2. (12 分)

点评: 本题考查平面向量的正交分解与坐标表示,解题的关键是由向量的坐标表示与模与 内积的坐标表示求出点 P 的轨迹方程以及利用直线与圆锥曲线的位置关系及向量的内积为 0 建立起参数的方程.本题综合性强运算量大,思维含量较大,极易因变形及运算出错,解题时 要严谨认真. 20. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx(a≠0)的导函数 f′(x)=﹣2x+7,数列{an}的前 n 项和 * 为 Sn,点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (I)求数列{an}的通项公式及 Sn 的最大值; (II)令 ,其中 n∈N ,求{nbn}的前 n 项和.
* 2

考点: 等差数列的通项公式;导数的运算;等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (I)求出 f(x)的导函数即可得到 a 与 b 的值,然后把 Pn(n,Sn)代入到 f(x) 2 中得到 Sn=﹣n +7n,利用 an=Sn﹣Sn﹣1 得到通项公式,令 an=﹣2n+8≥0 得到 n 的范围即可求出 Sn 的最大值; (II)由题知,数列{bn}是首项为 8,公比是 的等比数列,表示出{nbn}的各项,利用错位相 减法求出{nbn}的前 n 项和即可. 2 解答: 解: (I)∵f(x)=ax +bx(a≠0) ,∴f'(x)=2ax+b 2 由 f'(x)=﹣2x+7 得:a=﹣1,b=7,所以 f(x)=﹣x +7x * 2 又因为点 Pn(n,Sn) (n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上,所以有 Sn=﹣n +7n 当 n=1 时,a1=S1=6 * 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2n+8,∴an=﹣2n+8(n∈N ) 令 an=﹣2n+8≥0 得 n≤4,∴当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 12 * 综上,an=﹣2n+8(n∈N ) ,当 n=3 或 n=4 时,Sn 取得最大值 12 (II)由题意得

所以

,即数列{bn}是首项为 8,公比是 的等比数列,
3 2
﹣n+4

故{nbn}的前 n 项和 Tn=1×2 +2×2 ++n×2

① ②

所以①﹣②得:

∴ 点评: 考查学生利用做差法求等差数列通项公式的能力,以及掌握用错项相减的方法求数 列前 n 项的和.考查学生求导数的能力,以及灵活运用等比数列的前 n 项和公式来解决问题. 21. (14 分)设 a 为非负实数,函数 f(x)=x|x﹣a|﹣a. (Ⅰ)当 a=2 时,求函数的单调区间; (Ⅱ)讨论函数 y=f(x)的零点个数,并求出零点. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数零点的判定定理;分段函数的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)先讨论去绝对值,写成分段函数,然后分别当 x≥2 时与当 x<2 时的单调区间; (II)讨论 a 的正负,利用二次函数的单调性以及函数的极小值与 0 进行比较,进行分别判定 函数 y=f(x)的零点个数. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,
2 2

,①当 x≥2 时,

f(x)=x ﹣2x﹣2=(x﹣1) ﹣3, ∴f(x)在(2,+∞)上单调递增; 2 2 ②当 x<2 时,f(x)=﹣x +2x﹣2=﹣(x﹣1) ﹣1, ∴f(x)在(1,2)上单调递减,在(﹣∞,1)上单调递增; 综上所述,f(x)的单调递增区间是(﹣∞,1)和(2,+∞) ,单调递减区间是(1,2) . (Ⅱ) (1)当 a=0 时,f(x)=x|x|,函数 y=f(x)的零点为 x0=0; (2)当 a>0 时, ,

故当 x≥a 时,

,二次函数对称轴



∴f(x)在(a,+∞)上单调递增,f(a)<0; 当 x<a 时, ∴f(x)在 上单调递减,在 ,二次函数对称轴 上单调递增; ,

∴f(x)的极大值为 1°当



,即 0<a<4 时,函数 f(x)与 x 轴只有唯一交点,即唯一零点,

由 x ﹣ax﹣a=0 解之得函数 y=f(x)的零点为 2°当

2



(舍去) ;

,即 a=4 时,函数 f(x)与 x 轴有两个交点,即两个零点,分别为 x1=2 和

; 3°当 ,即 a>4 时,函数 f(x)与 x 轴有三个交点,即有三个零点,

由﹣x +ax﹣a=0 解得,

2



∴函数 y=f(x)的零点为 综上可得,当 a=0 时,函数的零点为 0;





当 0<a<4 时,函数有一个零点,且零点为 当 a=4 时,有两个零点 2 和 当 a>4 时,函数有三个零点 ; 和





点评: 本题主要考查了函数的单调性,以及函数零点问题,同时考查了分类讨论的数学思 想和计算能力,属于中档题.



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