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1112.2.1椭圆及其标准方程第2、3课时(用)



第二课时

1

椭圆的定义

MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? 2c ? 0)

y

y

图形 标准方程 焦点坐标 a,b,c的关系
焦点位置的 判断
2

a b F 1 co
2

r />M M
F2 x

F 2

M

o
F 1

x

x y ? ? 1 ? a ? b ? 0? 2 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

F1(0,-c),F2(0,c) F1(-c,0),F2(c,0) a 2 ? c 2 ? b2 (a ? c ? 0, a ? b ? 0)

看分母的大小,焦点在分母 大的那一项对应的坐标轴上.

上节课我们认识了椭圆的定义及推导出了它的标准方程.
椭圆的标准方程:(这两种坐标系下的方程形式,是最简的 2 )

复习:1、 (1) 设F1(-3, 0)、F2(3, 0),
且|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹
是 .
2 2

x y (2)若M为椭圆 ? ? 1上一点, 25 16
F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,
并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱= .
3

2、 判断下列椭圆的焦点位置,指出焦点的 坐标:
x y (1) ? ?1 16 9
2 2

(2) 25x ? 16 y ? 400
2 2

x y ( 3) ? ? 1( m ? n ? 0) m n

2

2

例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭

圆上一点P到两焦点的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0, -2)和(0, 2),

3 5 并且椭圆经过点 (- , ). 2 2

(2)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (0 ,-2)
3 5 (? , ) (0 ,2)并且经过点 2 2 求椭圆的标准方程.
y
M
2 2

法(1)定义法
解:由椭圆的定义知:
2 2

F2
O

? 3? ? 5 ? ? 3? ? 5 ? 2a ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 10 ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2 ?

2 2 2 c ? 2 , ∴ a ? 10 ,又 b ? a ?c ? 6

x

F1

因为椭圆的焦点在y轴上

y x 所以椭圆的标准方程为: ? ? 1 10 6

2

2

6

法(2)待定系数法
解:由题意可设椭圆的标准方程为

y x ? 2 ?1 2 a b


2

2

? a ? b ? 0?
5 2 3 2 ( ) (? ) 2 ? 2 ?1 a2 b2

∵椭圆的焦点为(0,-2),(0,2)



a 2 ? b2 ? 22
2 2

又∵椭圆过点 ( ? 3 ,5 ) ∴ 由⑴ ⑵可得 a2 ? 10 b2 ? 6



所以椭圆的标准方程为:

y x ? ?1 10 6

2

2

7

例2:已知椭圆的焦点在x轴上,且经过 点 A( 3 ,-2)和B(-2 3 ,1) , 求椭圆的标准方程

思考:
上例中,如果已知椭圆的 焦点在坐标轴上,如何求解?

8

归纳:用待定系数法求椭圆的标准方程
思路一:几何视角

1.根据焦点位置确定方程形式; 2.根据椭圆定义确定a,b,c; 3.写出椭圆的标准方程
思路二:代数视角 1.根据焦点位置确定方程形式; 2 2 a , b 2.根据条件列方程组,求解 3.写出椭圆的标准方程
9

例3、在圆 x ? y ? 4上任取一点P,过点P 作X轴的垂线段PD,D为垂足。当点P在圆上 运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么? 为什么? y
2 2

相关点法
即:利用中间变量
o

P

M

x

求曲线方程.
10

练习 已知线段AB, B点的坐标(6,0), A点在曲线y=x2+3上运动, 求AB的中点M的轨迹方程. 2
y
y=x +3

相关点法

A (x0,y0)
M (x,y)

O

B(6,0) x

例 4: 设点 A、B 的坐标分别为 (?5, 0), (5, 0) , 直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜
4 率之积是 ? ,求点 9

M 的轨迹方程.

12

例 5 已知 B、C 是两个定点, BC ? 8 , 且△ABC 的周长等于 18,求顶点 A 的轨迹方程. y
A

?

B

O

C

?

x
13

14

例 1⑴已知动点 P 到点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
解:⑴由椭圆定义可知,动点 P 的轨迹是椭圆, 且焦点是 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,∴ c ? 2 . ∵ PF1 ? PF2 ? 12 ,∴ 2a ? 12 ,∴ a ? 6 , ∴ b ? a ? c ? 36 ? 4 ? 32 2 2 x y ∴所求的轨迹方程为 ? ? 1. 32 36 ⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有 共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2 2 2
15

例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
解: ⑵∵椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0,± 5 ) , x2 y2 则可设所求椭圆方程为: ? =1(m>0)? m m?5 4 9 ?1 将 x=2, y=3 代入上式得: ? m m?5 解得:m=10 或 m=-2(舍去)? x2 y2 ? ∴所求椭圆的方程为: =1. 10 15
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
16

例 2 已知 B、C 是两个定点, BC ? 6 ,且△ABC 的周长 等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(?3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)

∵ AB ? AC ? BC ? 16 , ∴ BA ? CA ? 10 .

x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 ? ?1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线,∴ y ? 0 .
x2 y2 ∴所求的点的轨迹方程为 ? ? 1( y ? 0) 25 16
17

例 3:已知圆 B: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 及点 A(1, 0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 点 P 的轨迹方程.

18

(补充)如图,线段 AB 的两个端点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动, AB ? 5 ,点 M 是 AB 上的一点,且

AM ? 2 ,求点 M 随线段 AB 运动而变化,求点 M
的轨迹方程.

y
?A
0

?M
Bx

19

课堂练习
课本P37 练习A 1

20

求椭圆标准方程的解题步骤:
(1)确定焦点的位置;

(2)设出椭圆的标准方程;
(3)用待定系数法确定a、b的值, 写出椭圆的标准方程.

求椭圆的标准方程需求几量?
答:两个;a、b 或 a、c 或 b、c;

且满足 a2 = b2 + c2.

21



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