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鄂州二中2012年秋高一数学上学期期末考试模拟试卷及答案



鄂州二中 2012 年秋高一数学上学期期末考试模拟试卷
全卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2013.1.18

★祝考试顺利★ 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) ? ? 1 1 1.设向量 a ? (1,0), b ? ( , )

, 则有( A ) 2 2

? ? ? A. (a ? b) ? b
2. 已知 sin ? ?

? ? 2 B. a? ? b 2

? ? C. |a|=|b|

? ? D. a // b

3 4 ,cos ? ? ? , 那么角 2? 是( B 5 5
B.第二象限角 C.第三象限角

) D.第四象限角

A.第一象限角

1 3. 已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x ,若实数 x0 是 f(x)的一个零点,且 0 ? x1 ? x0 ,则 3

f ( x1) 的值 C
A.等于 0 B.不大于 0 C. 恒为正值 D.恒为负值

? 个单位,再将横坐标缩短为原来的一半, 4 最后向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( A ) ? ? A. y ? sin(4 x ? ) ? 1 B. y ? sin(4 x ? ) ? 1 2 2 ? ? C. y ? sin( x ? ) ? 1 D. y ? sin( x ? ) ? 1 2 4 ? ? 5.点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v ? (4, ?3) (即点 P 的运动方向与 v
4.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移
? 相同, 且每秒移动的距离为 v 个单位) 设开始时点 P 的坐标为 . (-10, 10) ,

则5秒后点 P 的坐标为( A. (-2,4)
1 3

C

) C.(10,-5) D.(5,-10) B )

B.(-30,25)
1 2

1 ?1? ?1? 6. 已知 a ? ? ? , b ? ? ? , c ? log 1 ,则 a, b, c 之间的大小关系为( ?2? ? 3? 2 3

A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

7.在△ABC 中,AB= 3 ,AC=2,若 O 为△ABC 内部的一点, → → → → BC → 且满足OA+OB+OC=0,则AO· =( A. 1 2 B. 1 3 C. 2 5 B) D. 1 4

8. 已知锐角 ? 、 ? 满足 sin ? ? A.
3? 4

B.

5 3 10 ,则 ? ? ? 为( D) , cos ? ? 5 10 ? ? 3? ? C. 或 D. 4 2 4 4

→ → → → AB AC AB AC 1 → 与AC满足( → → =0 且 9. 已知非零向量AB BC → + → )· → ·→ = ,则△ABC |AB| |AC| |AB| |AC| 2 为( D ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 1 10.函数 y ? 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 2) 的图像所有交点的横坐标之 x 和等于( B ) A.-2 B.0 C.2 D.4 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.化简 cos13°cos32°? sin 32°sin13°=_______
2 _____________. 2

12. 已知 ? ? ? ?

5? ,则 (1 ? tan ? )(1 ? tan ? ) =___2___ 4

1 ? ? 2 3 13.已知 sin ? ? , 2? ? ? ? 3? , 那么 sin ? cos ? . ? 3 2 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ?? 14. 已知向量 a, b, c 两两所成的角相等,且 a ? 1, b ? 2, c ? 3 ,求 a ? b ? c =6 或

3

? a, a ? b 15. 定义运算 a ? b , a ? b = ? ,例如 1? 2 ? 1 ,则函数 f ( x) ? sin x ? cos x ?b, a ? b
? 2? 的值域为____ ? ?1, ? ______. 2 ? ?

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答题应写出文字说明、证明过程 或演算步骤) 16. (本小题共 12 分)化简求值: (1)
1 ? 2sin ? cos ? 1 ? 2sin ? cos ? . ? cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? 2sin 2 ?

(2)已知 tan ? ? 16.解: (1)原式= (2)原式=

3 ,求 2sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos2 ? 的值. 2

cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? ? ?1 cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? ? ? ? ? ? 17. (本小题满分 12 分)已知向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 3, a 与 b 的夹角为 120°.求

2sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 5cos2 ? 2tan 2 ? ? 3tan ? ? 5 20 ? ?? 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 13

? ? (1) a ? b
17.(1) (2)



? ? (2) 3a ? b ;

(3)

? ? ? 3a ? b 与 a 的夹角.

? ? a ? b ? ?3

? ?2 ?2 ? ? ?2 3a ? b ? 9a ? 6a ? b ? b ? 36 ? 18 ? 9 ? 27
? ? ? 3a ? b ? 3 3

? ? ? ? ? ?2 ? ? (3) ? (3a ? b) ? a ? 3a ? a ? b ? 9 ,设 a, b 的夹角为 ?(? ??0,? ?) ? ? ? ? (3a ? b) ? a 9 3 ?? ? ? 则 cos ? ? ? ? ? ? 6 2 3a ? b ? a 3 3 ? 2
? ? 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2) . ? ? (1)若 a ∥ b ,求 tan ? 的值; ? ? (2) a ? b , 0 ? ? ? ? , 求 ? 的值.
? ? 18. 解: (1) a ∥ b ,? 2sin ? ? cos ? ? 2sin ?
? 2sin ? ? cos ? , tan ? ? 1 4

? ? (2) a ? b ? sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? ) 2 ? 5

得 1 ? 2sin 2? ? 4sin 2 ? ? 5

? 2 降次,? sin 2? ? cos 2? ? ?1 ,sin(2? ? ) ? ? 4 2

4 4 ? 3? ?? ? 或 2 4 19.(本题满分 12 分)如图, 现要在一块半径为 1m, 圆 ? 心角为 的扇形纸报 AOB 上剪出一个平行四边形 3 ? MNPQ, 使点 P 在弧 AB 上, 点 Q 在 OA 上, 点 M、 N 在 OB 上, 设∠BOP= ? , 平行四边形 MNPQ 的面 积为 S. (1)求 S 关于 ? 的函数关系式; (2)求 S 的最大值及相应的 ? 角. 19、解(1)分别过 P、Q 作 PD⊥OB 于 D,QE⊥OB 于 E,则 QEDP 为矩形 ··· 分) ··(2 n 由扇形半径为 1cm PD ? s i ? OD ? cos ?
3 3 QE ? PD 3 3 3 MN=OD-OE= cos? ? sin ? 3

由0 ?? ??,

?

? 2? ?

?

?

9? ? 5? 7? , ? 2? ? ? 或 , 4 4 4 4

在 Rt△OEQ 中 OE ?

··· 分) ··(4
3 sin ? )? ? sin 3

S ? MN ?PD ? (cos ? ? sin ? cos? ?

(2) S ? 当? ?

3 2 3 sin(2? ? ) ? 3 6 6

3 2 ? sin ? ? ? (0, ) ·· 分) ·(6 3 3 ? 2 5? ? 1 2? ? ? ( , ) s i n ? 2 ? ) ( , 1 ] (? 6 6 6 6 2

?
6



Sm a x ?

3 2 (m ) 6

··· ··(12 分)

20. (本题满分 13 分) 已知向量 a ? ( 3sin ?x,cos ?x), b ? (cos ?x, ? cos ?x),(? ? 0) 函数 f ( x ) ? a ? b ?
1 ? 的图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2 4 3 7 5 (1)若 x ? ( ?, ?) 时, f ( x) ? ? ,求 cos 4 x 的值; 24 12 5 1 (2)若 cos x ? , x ? (0, ?) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2

20.解:由题意, f ( x ) ?

3 1 ? cos 2? x 1 sin 2? x ? ? 2 2 2

f ( x) ? 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ?

1 2

?

? 3 1 sin 2?x ? cos2?x ? sin( 2?x ? ) , 6 2 2

? 2? ? ? , ∴? ? 2 . ,∴ T ? 2? 2 4 ? 3 (1)由题意得, f ( x) ? sin( 4 x ? ) ? ? , 6 5 7 5 ? 3 ? 4 , ) , ∴ 4 x ? ? (? , ? ) ,∴ cos( 4 x ? ) ? ? , ∵x?( 24? 12 6 2 6 5 ? ? ? ? ? ? ∴ cos 4 x ? cos( 4 x ? ? ) ? cos( 4 x ? ) cos ? sin( 4 x ? ) sin 6 6 6 6 6 6
∵两相邻对称轴间的距离为
4 3 3 1 2 3 3 ? (? ) ? ? (? ) ? ? ? ? . 5 2 5 2 5 10
1 ? ,且余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数, ∴ x ? (0, ] , 2 3 1 ? 令 f ( x) ? a ? b ? = sin( 4 x ? ) ,g ( x) ? m ,在同一直角坐标系中作出两个函 2 6 1 数的图象,可知 m ? 1或m ? ? . 2 21(本小题满分 14 分)

(2)? cos x ?

b ? 2x 已知定义在 R 上函数 f ( x) ? 是奇函数. a ? 2 x?1

(1)对于任意 t ? R 不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立, 求 k 的取值范围. (2)若对于任意实数,m,x, f ( x) ? m2 ? 2tm ? t ? 恒成立,求 t 的取值范围. (3)若 g ( x) 是定义在 R 上周期为 2 的奇函数, 且当 x ? (?1,1) 时,g ( x) ? f ( x) ? x , 求 g ( x) ? 0 的所有解 21、 (1)∵ f ( x) 为奇函数,即 f (0) ? 0 ∴ f ( x) ?
1 ? 2x 1 1 ? ? 2 x ?1 ? 2 2 x ? 1 2

5 2

∴ b ? 1, f (? x) ? f ( x) ? 0

a?2

··· 分) ··(2 ··· 分) ··(3

易证 f ( x) 在 R 上单调递减

由 f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) 得 t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立 又 3t 2 ? 2t ? 3(t ? )2 ? ? ? ∴ k ? ? (2)由 f ( x) ?
x

1 3

1 3

1 3

1 3

··· 分) ··(5

1 1 1 1 ? 单减可知 f ( x) ? (? , ) 2 ?1 2 2 2 5 1 5 又 f ( x) ? m2 ? 2mt ? t ? 恒成立∴只需 ? m2 ? 2mt ? t ? 2 2 2

··· 分) ··(7

即 m2 ? 2mt ? t ? 2 ? 0(m ? R) 恒成立∴ 4t 2 ? 4(t ? 2) ? 0 即 t 2 ? t ? 2 ? 0 ∴ t ? [?1, 2] (3)∵ g ( x) 为奇函数 又 g ( x) 的周期为 2
g (? 1 ? g (? ) ) 1 0

··· 分) ··(9

∴ g (?1) ? g (?1 ? 2) ? g (1) ∴ g (?1) ? g (1) ? 0 ··· ··(10 分)
x

1 1 ? ? x 为单调递减 2 ?1 2 由 g(x)的周期为 2,?所有解为 x ? n(n ? Z )
当 x ? ( ?1,1) 时 g ( x) ? f ( x) ? x ?

g ( 0 ) 0··· ? ··(11 分)
··· ··(14 分)



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