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湖北省襄阳市老河口市高级中学2014-2015学年高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析



湖北省襄阳市老河口市高级中学 2014-2015 学年高二(下)期末 数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分) 1. (2013 秋?赣州期末)下列命题正确的个数是( ) ①已知复数 z=i(1﹣i) ,z 在复平面内对应的点位于第四象限; 2 2 ②若 x,y 是实数,则“x ≠y ”的充要条件是“x≠y 或 x≠﹣y”; ③命

题 P:“?x0∈R, A. ﹣x0﹣1>0”的否定¬P:“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2

考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析: ①中,化简复数 z,判定 z 在复平面内对应的点位于第几象限即可; ②中,由“x ≠y ”等价于“x≠y 且 x≠﹣y”,判定命题②是否正确; ③中,命题 P 的否定是¬P,判定命题是否正确即可. 解答: 解:对于①,复数 z=i(1﹣i)=1+i,∴z 在复平面内对应的点位于第一象限,∴ 命题①错误; 对于②,x,y 是实数,当“x≠y 且 x≠﹣y”时,“x ≠y ”;反之,当“x ≠y ”时,“x≠y 且 x≠﹣y”; ∴命题②错误; 对于③,命题 P:“?x0∈R, ﹣x0﹣1>0”的否定是¬P:“?x∈R,x ﹣x﹣1≤0”,是真命题,
2 2 2 2 2 2 2

∴命题③正确. 以上正确的命题是③; 故选:C. 点评:本题通过命题真假的判定,考查了复数的有关概念,充分与必要条件的判定,命题与 命题的否定等问题,解题时应对每一个命题进行分析,作出正确的选择. 2. (2014?安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( A. C. 件 ) 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条

考点:充要条件. 专题:计算题;简易逻辑. 分析:根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据不等式的性质是解决本题的关键, 比 较基础.

3. (2012?宁波模拟)设双曲线

的左、右焦点分别为 F1,F2,

离心率为 e,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△ F1AB 是以 A 为直角顶点的 2 等腰直角三角形,则 e =( ) A. B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:利用双曲线的定义等腰直角三角形的性质可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF1|﹣|BF2|=2a, |BF1|=|AF2|+|BF2|,再利用等腰直角三角形的性质、勾股定理即可得出. 解答: 解:如图所示, ∵|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF1|﹣|BF2|=2a, |BF1|=|AF2|+|BF2|, ∴|AF2|=2a,|AF1|=4a. ∴ ∴|BF2|= ∵ ∴(2c) = ∴e =5﹣2 故选:C.
2 2

, . = , , .

点评:本题考查了双曲线的定义等腰直角三角形的性质、 勾股定理, 考查了推理能力与计算 能力,属于难题. 4. (2009?山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A, 若△ OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) 2 2 2 A. y =±4x B.y =4x C. y =±8x D. 2 y =8x 考点:抛物线的标准方程.
2

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而根据点斜式表示出直线 l 的方程,求得 A 的坐标,进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a,则抛物线的方程可 得. 解答: 解:抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为 则直线 l 的方程为 它与 y 轴的交点为 A 所以△ OAF 的面积为 , , ,
2



解得 a=±8. 2 所以抛物线方程为 y =±8x, 故选 C. 点评:本题主要考查了抛物线的标准方程, 点斜式求直线方程等. 考查学生的数形结合的思 想的运用和基础知识的灵活运用.

5. (2015 春?老河口市校级期末)已知双曲线 长成等差数列,则双曲线的渐近线方程为( A. y= x y= x )

=1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距

B.y=

x

C. y=

x D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:通过双曲线 =1(a>0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列,求出 a,然

后求解双曲线的渐近线方程即可. 解答: 解:双曲线 差数列, 所以:8=2a+2 ,解得 a= . =1(a>0)的实轴长 2a、虚轴长:4、焦距长 2 ,成等

双曲线

=1 的渐近线方程为:y=± x.

故选:D. 点评:本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线的渐近线方程,属于中档题.

6. (2015 春?老河口市校级期末)命题 p:函数 y=lg(x+ ﹣3)在区间[2,+∞)上是增函 数;命题 q:y=lg(x ﹣ax+4)函数的定义域为 R,则 p 是 q 成立的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条 件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:导数的综合应用;简易逻辑. 分析:先根据函数单调性和函数导数符号的关系,及对数式中真数大于 0,一元二次不等式 的解和判别式△ 的关系即可求出命题 p,q 下的 a 的范围,再根据充分条件,必要条件的概 念判断 p,q 的关系即可. 解答: 解:y′= ;
2

∵函数 y=lg(x+ ﹣3)在区间[2,+∞)上是增函数; 根据函数 y=lg(x+ ﹣3)知,x+ ﹣3>0;
2

∴x ﹣a≥0 在[2, +∞) 上恒成立, ∴ 是增函数; ∴
2

, 即函数 x+

在[2, +∞)

,∴a>2;
2

由 x ﹣a≥0 在[2,+∞)上恒成立得 a≤x 恒成立,∴a≤4; ∴2<a≤4; 2 2 y=lg(x ﹣ax+4)函数的定义域为 R,所以不等式 x ﹣ax+4>0 的解集为 R; 2 ∴△=a ﹣16<0,∴﹣4<a<4; 显然 2<a≤4 是﹣4<a<4 的既不充分又不必要条件; ∴p 是 q 成立的既不充分也不必要条件. 故选 D. 点评:考查函数单调性和函数导数符号的关系,根据单调性求最值,对数式中真数大于 0, 以及一元二次不等式的解和判别式△ 的关系.

7. (2014 秋?肇庆期末)双曲线 A. ,0) , (2



=1 的焦点坐标是(



2

(0,﹣10) , (0,10) B.(﹣10,0) , (10,0) C. (﹣ ,0) D. (0,﹣2 ) , (0,2 )

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析:求出双曲线的 a,b,再由 c=

,计算即可得到双曲线的焦点坐标.

解答: 解:双曲线 则 c= =10,



=1 的 a=6,b=8,

则双曲线的焦点分别为(﹣10,0) , (10,0) . 故选 B. 点评:本题考查双曲线的方程和性质,掌握双曲线的 a,b,c 的关系是解题的关键. 8. (2014 秋?宁城县期末) 若对任意一点 O 和不共线的三点 A、 B、 C有 则 x+y+z=1 是四点 P、A、B、C 共面的( A. C. ) 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ,

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:利用空间四点 P、A、B、C 共面的充要条件即可判断出. 解答: 解:对任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C 有 四点 P、A、B、C 共面; 因此 x+y+z=1 是四点 P、A、B、C 共面的充要条件. 故选:C. 点评:本题考查了空间四点 P、A、B、C 共面的充要条件,属于基础题. 9. (2015?龙岩一模)若命题 p:?x0∈R,sinx0=1;命题 q:?x∈R,x +1<0,则下列结论正 确的是( ) A. ¬p 为假命题 B.¬q 为假命题 C. p∨q 为假命 题 D. p∧q 真命题 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:根据 及 x ≥0 容易判断命题 p,q 的真假,然后根据¬p,¬q,p∨q,p∧q
2 2

,x+y+z=1?

的真假和 p,q 真假的关系即可判断各选项的正误,从而找到正确选项. 解答: 解: 时,sinx0=1;

∴?x0∈R,sinx0=1; ∴命题 p 是真命题; 2 2 由 x +1<0 得 x <﹣1,显然不成立; ∴命题 q 是假命题; ∴¬p 为假命题,¬q 为真命题,p∨q 为真命题,p∧q 为假命题;

∴A 正确. 故选 A. 点评:考查对正弦函数的图象的掌握, 弧度数是个实数,对?∈R 满足 x ≥0, 命题¬p, p∨q, p∧q 的真假和命题 p,q 真假的关系. 10. (2015?日照一模)已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到其焦点的 距离为 5,双曲线 数 a 的值是( A. ) B. C. D. ﹣y =1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实
2 2 2

考点:双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求得抛物线的准线方程,再由抛物线的定义可得 p=8,求出 M 的坐标,求得双曲线 的左顶点和渐近线方程,再由斜率公式,结合两直线平行的条件:斜率相等,计算即可得到 a 的值. 解答: 解:抛物线 y =2px(p>0)的准线方程为 x=﹣ , 由抛物线的定义可得 5=1+ ,可得 p=8, 即有 y =16x,M(1,4) , 双曲线 ﹣y =1 的左顶点为 A(﹣ x, ,
2 2 2

,0) ,

渐近线方程为 y=± 直线 AM 的斜率为

由双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行, 可得 = ,解得 a= ,

故选 A. 点评:本题考查抛物线和双曲线的定义、 方程和性质, 主要考查抛物线的定义和渐近线方程, 运用两直线平行的条件是解题的关键. 二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分) 11. (2014 秋?常州期末) 曲线 y=x﹣cosx 在点 ( , ) 处的切线方程为 2x﹣y﹣ =0 .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析:求出函数的导数,求得切线的斜率,再由点斜式方程即可得到所求切线方程. 解答: 解:y=x﹣cosx 的导数为 y′=1+sinx,

即有在点( 则曲线在点( 即为 2x﹣y﹣

, ,

)处的切线斜率为 k=1+sin )处的切线方程为 y﹣

=2, =2(x﹣ ) ,

=0. =0.

故答案为:2x﹣y﹣

点评:本题考查导数的运用: 求切线方程, 掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的 关键. 12. (2014 秋?江西月考)曲线 y=﹣5e ﹣3x 在点(0,﹣5)处的切线方程为 8x+y+5=0 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:欲求在点 P(0,﹣5)处的切线的方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 解答: 解:∵y=﹣5e ﹣3x, x ∴y′=﹣5e ﹣3, x ∴曲线 y=﹣5e ﹣3x 在点 P(0,﹣5)处的切线的斜率为:k=﹣8, x ∴曲线 y=﹣5e ﹣3x 在点(0,﹣5)处的切线的方程为 8x+y+5=0. 故答案为:8x+y+5=0. 点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、 直线方程的应用等基础知识, 考 查运算求解能力,化归与转化思想.属于基础题. 13. (2015?碑林区校级一模)下列说法中,正确的有 ① (把所有正确的序号都填上) . x x ①“?x∈R,使 2 >3”的否定是“?x∈R,使 2 ≤3”; ②函数 y=sin(2x+ )sin( ﹣2x)的最小正周期是 π;
x x

③命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f′(x)=0”的否命题是真命题; x 2 ④函数 f(x)=2 ﹣x 的零点有 2 个. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析:写出原命题的否定,可判断①;利用诱导公式和倍角公式化简函数的解析式,进而 求出周期可判断②;写出原命题的否命题,可判断③;确定函数 f(x)=2 ﹣x 的零点个 数,可判断④. x x 解答: 解:对于①“?x∈R,使 2 >3“的否定是“?x∈R,使 2 ≤3”,满足特称命题的否定是 全称命题的形式,所以①正确; 对于②, 函数 y=sin (2x+ 所以②不正确; ) sin ( ﹣2x) = sin (4x+ ) , 函数的最小正周期 T= = ,
x 2

对于③,命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f'(x0)=0”的否命题是:若函数 f(x)在 3 x=x0 处没极值,f'(x0)≠0,则显然不正确.例如 f(x)=x ,x=0 不是函数的极值点,但 x=0 时,导数为 0,所以③不正确; 2 x x 2 对于④,由题意可知:要研究函数 f(x)=x ﹣2 的零点个数,只需研究函数 y=2 ,y=x x 2 的图象交点个数即可.画出函数 y=2 ,y=x 的图象,

由图象可得有 3 个交点.所以④不正确; 故正确的命题只有:①, 故答案为:① 点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了特称命题的否定,函数的周期性,取最值 的条件,函数零点等知识点,难度中档. 14. (2015 春?老河口市校级期末)已知函数 y=3x +2x ﹣1 在区间(m,0)上为减函数,则 m 的取值范围是 .
3 2

考点:利用导数研究函数的单调性;二次函数的性质. 专题:计算题. 分析:先求函数 y=3x +2x ﹣1 的导函数 y′,再解不等式 y′<0,得函数的单调减区间,最后 由(m,0)?(﹣ ,0)即可得 m 的取值范围 解答: 解:依题意,y′=9x +4x,由 y′<0 得 9x +4x<0 解得﹣ <x<0, ∴函数 y=3x +2x ﹣1 的单调减区间为(﹣ ,0) ∴(m,0)?(﹣ ,0) ∴ 故答案为
3 2 2 2 3 2

点评:本题考察了利用导数求函数单调区间的方法,解题时要认真求导,熟练的解不等式, 辨清集合间的关系 15. (2013?西城区二模)已知命题 p:函数 y=(c﹣1)x+1 在 R 上单调递增;命题 q:不等 2 式 x ﹣x+c≤0 的解集是?.若 p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是 (1,+∞) . 考点:复合命题的真假. 专题:计算题. 分析:由函数 y=(c﹣1)x+1 在 R 上单调递增可得 c﹣1>0 可求 p 为真时 c 的范围,由不 2 等式 x ﹣x+c≤0 的解集是?可得△ =1﹣4c<0 可求 q 为真时 c 的范围,然后由 p 且 q 为真命 题,则 p,q 都为真命题,可求 解答: 解:∵函数 y=(c﹣1)x+1 在 R 上单调递增 ∴c﹣1>0 即 p:c>1; 2 ∵不等式 x ﹣x+c≤0 的解集是? △ =1﹣4c<0 ∴c 即 q:c

若 p 且 q 为真命题,则 p,q 都为真命题 ∴ ,即 c>1

故答案为: (1,+∞) 点评:本题主要考查了复合命题真假关系的应用,解题的个关键是命题 p,q 为真是对应 c 的范围的确定 三、解答题(75 分) 16. (2015 春?老河口市校级期末)如图:平面直角坐标系中 p(x,y) (y≠0)为一动点,A (﹣1,0) ,B(2,0)∠PBA=2∠PAB. (1)求动点 P 轨迹 E 的方程; 2 2 (2)过 E 上任意一 P(x0,y0)向(x+1) +y =1 作两条切线 PF、PR,且 PF、PR 交 y 轴 于 M、N,求 MN 长度的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意可得 tan∠PBA= tan∠PBA=tan2∠PAB= ,tan∠PAB= ,再根据

,化简可得点 P 的轨迹方程.

(2)设 PF 斜率为 k1,PR 斜率为 k2,求得 PF 和 PR 的方程,可得|MN|=(k1﹣k2)x0|,再 根据直线和圆相切的性质,k1、k2 为 k ﹣2y0(x0+1)k+
2 2

=1 的两个实数解, 即 (

+2x0)

﹣1=0,利用韦达定理可得 k1+k2 和 k1?k2,可得

|MN| = 求出|MN|的范围.

=

,再利用导数判断它的单调性,由单调性

解答: 解: (1)由题意可得 tan∠PBA=﹣KPB= 再根据∠PBA=2∠PAB,可得 tan∠PBA=tan2∠PAB=

,tan∠PAB=KPA= ,





=

,化简可得 3x ﹣y =3,即 x ﹣

2

2

2

=1 (x>1) .

(2)设 PF 斜率为 k1,PR 斜率为 k2, 则 PF:y﹣y0=k1(x﹣x0) ,PR:y﹣y0=k2(x﹣x0) , 令 x=0,可得 yM=y0﹣k1x0,yN=y0﹣k2x0,∴|MN|=(k1﹣k2)x0|, 由 PF 和圆相切得: =1,PR 和圆相切得: =1,

故:k1、k2 为

=1 的两个实数解,

故有: (

+2x0) k ﹣2y0(x0+1) k+

2

﹣1=0, 利用韦达定理可得 k1+k2=



k1?k2=



|MN| =

2

[

﹣4k1?k2]=

[

﹣4k1?k2]=



又∵



=1,∴|MN| =

2



设 g(x0)= +∞)上是增函数.

,则 g′(x0)=

(x0>1) ,故 g(x)在(1,

当 x0 趋于 1 时,g(x0)趋于 ;当 x0 趋于+∞时,g(x0)趋于 16,故|MN| ∈( ,16) , 故|MN|的范围为( ,4) .

2

点评:本题主要考查直线的斜率公式,求动点的轨迹方程,直线和圆锥曲线的位置关系,利 用导数研究函数的单调性,属于难题.

17. (2014 秋?丰台区期末)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)的

一个顶点为 A(﹣2,0) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 A,过 O 作 l 的平行线交椭圆 C 于 P,Q 两点,如果以 PQ 为直径的圆与 直线 l 相切,求 l 的方程. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)利用椭圆的焦点在 x 轴上,a=2, = ,计算即得结论;

(Ⅱ)通过设直线 l 的方程,利用以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切,即 |PQ|与原点 O 到直线 l 的距离相等,计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,椭圆的焦点在 x 轴上, ∵a=2, = ∴c=
2


2 2

,b =a ﹣c = ,

∴椭圆的方程为:

+

=1;

(Ⅱ)依题意,直线 l 的斜率显然存在且不为 0,设 l 的斜率为 k, 则可设直线 l 的方程为:y=k(x+2) , 则原点 O 到直线 l 的距离 d= 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , .

联立

,消去 y 整理得: (1+3k )x =4,

2

2

可得 P(



) ,Q(﹣

,﹣

) ,

∵以 PQ 为直径的圆与直线 l 相切, ∴ |PQ|=d,即|OP|=d, ∴( ) +(
2

) =(

2

),

2

解得:k=±1, ∴直线 l 的方程为 x﹣y+2=0 或 x+y+2=0. 点评:本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问题 的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
2

18. (2012?宁夏模拟)已知

为抛物线 y =2px(p>0)的焦点,点 N(x0,y0)

(y0>0)为其上一点,点 M 与点 N 关于 x 轴对称,直线 l 与抛物线交于异于 M,N 的 A, B 两点,且 .

(I)求抛物线方程和 N 点坐标; (II)判断直线 l 中,是否存在使得△ MAB 面积最小的直线 l',若存在,求出直线 l'的方程 和△ MAB 面积的最小值;若不存在,说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程;抛物线的简单性质. 专题:综合题;压轴题. 2 分析: (Ⅰ)由题意知:p=1,x0=2,y0 =4,y0>0,得 y0=2,由此能求出抛物线方程和 N 点坐标. (Ⅱ)由题意知直线的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x=ty+b(t∈R) ,联立方程 得

y ﹣2ty﹣2b=0,设两个交点

2

,由

,得 b=2t+3,由此能求出当 t=

﹣2 时 S 有最小值为

,此时直线 l'的方程为 x+2y+1=0. ,

解答: 解: (Ⅰ)由题意 ∴p=1,

所以抛物线方程为 y =2x. , x0=2,y0 =4, ∵y0>0, ∴y0=2, ∴N(2,2) . (4 分) (Ⅱ)由题意知直线的斜率不为 0, 设直线 l 的方程为 x=ty+b(t∈R) 联立方程 得 y ﹣2ty﹣2b=0,
2 2

2

设两个交点

(y1≠±2,y2≠±2)



,…(6 分)



整理得 b=2t+3…(8 分) 此时△ =4(t +4t+6)>0 恒成立, 由此直线 l 的方程可化为 x﹣3=t(y+2) , 从而直线 l 过定点 E(3,﹣2)…(9 分) 因为 M(2,﹣2) , 所以 M、E 所在直线平行 x 轴 三角形 MAB 面积 = ,…(11 分)
2

所以当 t=﹣2 时 S 有最小值为 , 此时直线 l'的方程为 x+2y+1=0…(12 分) 点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是 知识体系不牢固. 本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识, 解题时要注 意合理地进行等价转化.

19. (12 分) (2012?贵州三模)已知椭圆

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,

短轴两个端点为 A,B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若 C,D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于 点 P.求证: 为定值.

考点:椭圆的标准方程;平面向量数量积的运算;椭圆的应用. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的几何性质求出 a、b 的值,从而写出标准方程. (2)设 M(2,y0) ,写出直线 CM 的方程,并把它代入椭圆的方程,可求 P 的坐标,进而 得到向量 OM、OP 的坐标,计算这 2 个向量坐标的数量积,得出定值. 解答: 解: (1)∵左右焦点分别为 F1,F2,短轴两个端点为 A,B,且四边形 F1AF2B 是 边长为 2 的正方形, ∴a=2,b=c,a =b +c ,∴b =2,∴椭圆方程为
2 2 2 2

. (4 分)

(2)C(﹣2,0) ,D(2,0) ,设 M(2,y0) ,P(x1,y1) , 则 .

直线 CM:y﹣0=

(x+2) ,即

. (6 分)

代入椭圆 x +2y =4,得 和 x1, (8 分) 由韦达定理可得 x1﹣2= ,∴

2

2

,故次方程的两个根分别为﹣2

,∴





, (10 分)



+

=

=4 (定值) . (12 分)

点评:本题考查椭圆的标准方程的求法、2 个向量的数量积公式的应用,及一元二次方程根 与系数的关系,属于中档题.

20. (13 分) (2011?江西校级模拟)已知函数 f(x)=(a﹣3b+9)ln(x+3)+

+(b﹣3)

x. (1)当 a>0 且 a≠1,f′(1)=0 时,试用含 a 的式子表示 b,并讨论 f(x)的单调区间; (2)若 f′(x)有零点,f′(3)≤ ,且对函数定义域内一切满足|x|≥2 的实数 x 有 f′(x)≥0. ①求 f(x)的表达式; ②当 x∈(﹣3,2)时,求函数 y=f(x)的图象与函数 y=f′(x)的图象的交点坐标. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系. 专题:计算题;压轴题.

分析: (1)此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题.在解答时应首先考虑函 数的定义域优先原则求出定义域, 然后对函数求导, 由导函数小于或小于零, 即可获得解答. (2)①由(1)及
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又由|x|≥2(x>﹣3)有 f'(x)≥0 知 f'(x)

的零点在[﹣2, 2]内, 设g (x) =x +bx+a, 建立关于 a, b 的不等关系, 结合 (i) 解得 a, b. 从 而写出 f(x)的表达式; ②又设 φ(x)=f(x)﹣f'(x) ,先求 φ(x)与 x 轴在(﹣3,2)的交点,再利用导数研究 其单调性,得出 φ(x)与 x 轴有唯一交点(﹣2,0) ,即 f(x)与 f'(x)的图象在区间(﹣ 3,2)上的唯一交点坐标为(﹣2,16)为所求. 解答: 解: (1) 由 f'(1)=0?b=﹣a﹣1,故 (x>﹣3)…(2 分) 0<a<1 时

由 f'(x)>0 得 f(x)的单调增区间是(﹣3,a) , (1,+∞) 由 f'(x)<0 得 f(x)单调减区间是(a,1) 同理 a>1 时,f(x)的单调增区间(﹣3,1) , (a,+∞) ,单调减区间为(1,a)…(5 分) (2)①由(1)及 (i)
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又由|x|≥2(x>﹣3)有 f'(x)≥0 知 f'(x)的零点在[﹣2,2]内,设 g(x)=x +bx+a,





由 b ﹣4a≥0 结合(i) ,解得 b=﹣4,a=4…(8 分) ∴ …(9 分)

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②又设 φ(x)=f(x)﹣f'(x) ,先求 φ(x)与 x 轴在(﹣3,2)的交点 ∵ ,由﹣3<x<2 得 0<(x+3) <25
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故 φ'(x)>0,φ(x)在(﹣3,2)单调递增 又 φ(﹣2)=16﹣16=0,故 φ(x)与 x 轴有唯一交点(﹣2,0) 即 f(x)与 f'(x)的图象在区间(﹣3,2)上的唯一交点坐标为(﹣2,16)为所求 …(13 分) 点评:此题考查的是函数的单调性和导数知识的综合问题. 在解答过程当中充分体现了定义 于优先的原则、求导的思想、问题转化的思想.值得同学们体会反思. 21. (12 分) (2011?衢州模拟)已知函数 f(x)=2lnx﹣x . (Ⅰ) 求函数 y=f(x)在 上的最大值.
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(Ⅱ)如果函数 g(x)=f(x)﹣ax 的图象与 x 轴交于两点 A(x1,0) 、B(x2,0) ,且 0 <x1<x2.y=g′(x)是 y=g(x)的导函数,若正常数 p,q 满足 p+q=1,q≥p.求证:g′(px1+qx2)<0.

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系. 专题: 压轴题;解题方法. 分析: (Ⅰ) 点 ﹣1 (Ⅱ)由题意得 所以只要证明 由题意得 f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值 f(2)=2ln2﹣4,f(x)极大值=f(1)=﹣1,所以最大值为 f(1)=

= 0 即可,只需证 u(x)= 数. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=2lnx﹣x 得到: ∵ ,故 f′(x)=0 在 x=1 有唯一的极值点,
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即可,由题得 u′(t)>0 所以 u(t)在 t∈(0,1)上为增函

, ,f(2)=2ln2

﹣4,f(x)极大值=f(1)=﹣1, 且知 (Ⅱ)∵ ,所以最大值为 f(1)=﹣1. ,又 f(x)﹣ax=0 有两个不等的实根 x1,x2,

则 于是

,两式相减得到:

= ∵2p≤1,x2>x1>0,∴(2p﹣1) (x2﹣x1)≤0 要证:g′(px1+qx2)<0,只需证:

只需证:





,只需证:

在 0<t<1*u 上恒成立,

又∵



,则

,∴

,于是由 t<1 可知 t﹣1<0,

故知 u′(t)>0∴u(t)在 t∈(0,1)*u 上为增函数, 则 u(t)<u(1)=0,从而知 ,即①成立,从而原不等式成立.

点评: 此题主要考查利用导数函数的最值与函数的单调性, 利用导数求出函数的最值从而 进一步证明不等式的恒成立问题,利用导数证明不等式恒成立是高考的一个重点内容.