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2.1.3分层抽样导学案教师版



新郑二中分校 2015——2016 年度下学期必修三导学案

高一数学组

§2.1.3 分层抽样、三种抽样方法的联系
一、学习目标 1.能够熟练说出三种抽样方法,并且会根据不同情况判断使用哪一种; 2. 能够熟练说出分层抽样的概念能够判断使用分层抽样的条件; 二、预习课本,自主掌握: 1.常用的抽样方法有: ; ; 。 2.最常

用的简单随机抽样方法有两种: ; 。 3.分层抽样的概念:一般地,在抽样时,将总体分成 ,然后 , 从 抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分 层抽样。 4.当总体是由 组成时,往往选用分层抽样的方法。 5.分层抽样时,每个个体被抽到的机会是 。 6.在抽样方法中,如果总体的个数较少时,一般采用 ,总体中个体较多的的时候,宜采 用 ,总体由差异明显的几部分组成,应采用 。 7. 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别 类别 简单随机抽样 系统抽样 将总体均分成几个部分, 各自特点 从 中逐个抽取 按事先确定的规则在各 部分抽取 相互联系 在起始部分采用 分层抽样 将总体分成几层, 分层进 行抽取 在各层抽样时采用简单 随机抽样或 总体由存在 几部分组成 ; 的

适用范围

总体中的个体数

总体中的个体数

共同点

1.抽样过程中每个个体被抽到的可能性 2.每次抽出个体后 ,即不放回抽样

三、基础自测: 1.1.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法 抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( ) A.30 B.25 C.20 D.15 2.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为了调查产 品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①②这两项调查 宜采用的抽样方法依次是( ) A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 3.某校为了了解高三年级学生的视力状况,按男生和女生分层抽样,从全部 600 名学生中抽取 60 名 进行检查,在抽取的学生中有男生 36 名,则高三年级中共有__________名女生. 4.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸奶、婴幼 儿奶粉、成人奶粉分别有 30 种、10 种、35 种、25 种不同的品牌.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为 n 的样本进行三聚氰胺安全检测,若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是 7,则 n=________.
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150 x 答案:1.C 设样本中松树苗的数量为 x,由 = ,得 x=20. 30000 4000 2.B ①因为抽取的销售点与地区有关,因此要采用分层抽样法;②从 20 个特大型销售点中抽取 7 个调查,总体和样本容量都比较少,适合采用简单随机抽样法. 600 3.240 ×36=360(名), 60 ∴女生有 600-360=240(名). n 7 4.20 根据分层抽样规则有 = ,则 n=20. 100 35 四、合作、探究、展示: 题型一:分层抽样的概念 例 1. (1)某政府机关在编人员共 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人,工人 20 人, 上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取 20 人,用下列哪种方法最合适( A.系统抽样法 C.分层抽样法 B.简单随机抽样法 D.随机数法 )

(2)分层抽样又称类型抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以 分层抽样为保证每个个体等可能抽样,必须进行( A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽个体数量相同 [解析] (1)总体由差异明显的三部分构成,应选用分层抽样. (2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征,为了保证这一点,分层抽样时必须 在所有层都按同一抽样比等可能抽取. [答案] (1)C (2)C 题型二:分层抽样的步骤: (1)分层:按某种特征(一定的标准)将总体进行分层; (2)按比例确定每层抽取个体的个数,即确定各层容量; (3)各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取? (4)综合每层抽样,组成样本? 例 2. 某企业共有 3200 名职工,其中,老、中、青职工的比为 5:3:2,从所有职工中抽取一个样本容 量为 400 的样本,采用哪种抽样方法更合理?并求出老、中、青职工的人数。 )

变式二. (1)将一个总体分为 A,B,C 三层,其个体数之比为 5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量 为 100 的样本,则应从 C 中抽取________个个体. [解析]∵A,B,C 三层个体数之比为 5∶3∶2, 又有总体中每个个体被抽到的概率相等, 2 ∴分层抽样应从 C 中抽取 100× =20. 10
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[答案] 20 (2)某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,剩下的为 50 岁以上(包 括 50 岁)的人,用分层抽样的方法从中抽 20 人,各年龄段分别抽取的人数为( A.7,5,8 C.7,5,9 B.9,5,6 D.8,5,7 )

20 1 1 解析: 选 B 由于样本容量与总体个体数之比为 = , 故各年龄段抽取的人数依次为 45× =9(人), 100 5 5 1 25× =5(人),20-9-5=6(人). 5 (3)某中学高一、高二、高三三个年级的学生数之比为 12∶11∶10.现用分层抽样方法从所有学生中 抽出一个容量为 n 的样本.已知从高一学生中抽取的人数为 60 人,那么此样本的容量 n=________. 答案:165 因某中学高一、高二、高三三个年级学生数之比为 12∶11∶10,从高一学生中抽取了 60 人,所以高二、高三年级分别抽取了 55 人,50 人,故样本容量 n=60+55+50=165. 题型三:三种抽样方法的综合运用 例 3. 某中学举行了为期 3 天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了了解这次活 动在全校师生中产生的影响, 分别在全校 500 名教职员工、 3 000 名初中生、 4 000 名高中生中做问卷调查, 如果要在所有答卷中抽出 120 份用于评估. (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论? (2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作? (3)为了从 4 000 份高中生的答卷中抽取一个容量为 64 的样本, 如何使用系统抽样抽取到所需的样本? [解] (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的

方法进行抽样. 120 2 因为样本容量=120,总体个数=500+3 000+4 000=7 500,则抽样比: = , 7 500 125 2 2 所以有 500× =8,3 000× =48, 125 125 2 4 000× =64, 125 所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是 8、48、64. 分层抽样的步骤是: ①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层. ②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是 8、48、64. ③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本. ④综合每层抽样,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论. (2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数法.如果用抽签法,要作 3 000 个号签,费时费力, 因此采用随机数表法抽取样本,步骤是: ①编号:将 3 000 份答卷都编上号码:0 001,0 002,0 003,?,3 000. ②在随机数表上随机选取一个起始位置.
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③规定读数方向:向右连续取数字,以 4 个数为一组,如果读取的 4 位数大于 3 000,则去掉,如果 遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满 48 个号码为止. (3)由于 4 000÷ 64=62.5 不是整数,则应先使用简单随机抽样从 4 000 名学生中随机剔除 32 个个体, 再将剩余的 3 968 个个体进行编号:1,2,?,3 968,然后将整体分为 64 个部分,其中每个部分中含有 62 个个体,如第 1 部分个体的编号为 1,2,?,62.从中随机抽取一个号码,如若抽取的是 23,则从第 23 号 开始,每隔 62 个抽取一个,这样得到容量为 64 的样本:23,85,147,209,271,333,395,457,?,3 929. 变式三:某单位有工程师 6 人,技术员 12 人,技工 18 人,要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本, 如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加 1 个,则在采用系统抽样时, 需要在总体中先剔除 1 个个体,求得样本容量为________. [解析] 总体容量 N=36. 36 当样本容量为 n 时,系统抽样间隔为 ∈N*,所以 n 是 36 的约数; n n n n n 分层抽样的抽样比为 ,求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为 、 、 ,所以 n 应是 6 的倍 36 6 3 2 数, 所以 n=6 或 12 或 18 或 36. 35 当样本容量为 n+1 时,总体中先剔除 1 人时还有 35 人,系统抽样间隔为 ∈N*,所以 n 只能是 6. n+1 [答案] 6 五、课堂检测: 1.现要完成下列 3 项抽样调查: ①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查; ②科技报告厅有 32 排,每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取 意见,需要请 32 名听众进行座谈; ③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行政人员 16 名,后勤人员 24 名.为了了解教 职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为 20 的样本. 较为合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 2.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 10∶8∶7,从中抽取 200 名职员作为样本,若每人被 抽取的概率是 0.2,则该单位青年职员的人数为( ) A.280 B.320 C.400 D.1000 3.(2009 天津高考,理 11)某学院的 A,B,C 三个专业共有 1200 名学生.为了调查这些学生勤工俭 学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知该学院的 A 专业有 380 名学生,B 专 业有 420 名学生,则在该学院的 C 专业应抽取________名学生. 4.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人,其生活能否自理的情况如下表所示.

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则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人. 1.A 2.C 设青年职员人数∶中年职员人数∶老年职员人数=10k∶8k∶7k,则该单位共有 10k+8k+7k 200 =25k(人),由 =0.2,得 k=40.所以,该单位青年职员共有 40×10=400(人). 25k 400 3.40 由题意知 C 专业有学生 1200-380-420=400(名),那么 C 专业应抽取的学生数为 120× 1200 =40(名). x 23 4.60 设 15000 位老人中男性与女性生活不能自理的人数分别为 x,y,由 = ,得 x=690, 15000 500 同理可得 y=630.于是 x-y=690-630=60(人). 5.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、 20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的 植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 1 答案:C 共有食品 100 种,抽取容量为 20 的样本,各抽取 ,故抽取植物油类与果蔬类食品种数之 5 和为 2+4=6. 6.某县进行换届选举,现要从某选区选举产生人民代表 5 人,该选区由甲、乙、丙、丁四个单位组成, 选举委员会计划由各单位民主推荐产生候选人 40 名,其中,甲单位有 1800 人,乙单位有 1600 人,丙单 位有 2400 人,丁单位有 2200 人.则分给甲、乙、丙、丁四个单位比较合理的候选人数分别为( ) A.10、10、10、10 B.9、8、12、11 C.8、10、10、12 D.9、8、10、13 答案:B 由于代表的选举涉及各个单位的利益,所以,应该按照各单位的人员比例进行推举候选人, 采用类似分层抽样的方法推举候选人.四个单位总人数为 8000,候选人的推举比例为 40∶8000=1∶200, 那么根据比例,各单位的候选人数分别为 9,8,12,11. 7.某高级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样 时, 将学生按一、 二、 三年级 依次统一编号为 1,2, ?, 270; 使用系统抽样时, 将学生统一随机 编号为 1,2, ?, .. .. 270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样 10 10 答案:D 如果按分层抽样时,在一年级抽取 108× =4(人),在二、三年级各抽取 81× =3(人), 270 270 则在号码段 1,2, ?, 108 中抽取 4 个号码, 在号码段 109,110, ?, 189 中抽取 3 个号码, 在号码段 190,191, ?, 270 中抽取 3 个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样; 如果按系统抽样时,抽取出的号码应该是“等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽 样.②④都不能为系统抽样. 8.(2009 山东临沂高三第二次检测,文 13)某学校有初中生 1080 人,高中生 900 人,教师 120 人.现 对该学校的师生利用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本,已知抽取的高中生为 60 人,则样本容量 n 为________.
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1080 120 +60+ =72+60+8=140. 15 15 9.某校进行数学竞赛,将考生的成绩分成 90 分以下、90 分~120 分、120 分~150 分三种情况进行 统计, 发现三个成绩段的人数之比依次为 5∶3∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为 m 的样本, 其中分 数在 90 分~120 分的人数是 45,则此样本的容量 m=________. 个体容量 各层个体容量 答案:135 ∵ = , 样本容量 各层样本容量 45 3 ∴ = ,即 m=135. m 5+3+1 10.某校高一年级有 x 名学生,高二年级有 y 名学生,高三年级有 z 名学生,采用分层抽样抽取一个 容量为 45 的样本,高一年级被抽取 20 人,高二年级被抽取 10 人,高三年级共有学生 300 人,则此学校 共有________人. 答案:900 样本容量为 45,高一年级被抽取 20 人,高二年级被抽取 10 人,故高三年级应抽取 45- 15 1 20-10=15(人).又高三年级共有学生 300 人,∴抽样比为 = .故此学校共有学生 45×20=900(人). 300 20 11.一批产品中,有一级品 100 个,二级品 60 个,三级品 40 个,分别用系统抽样法和分层抽样法, 从这批产品中抽取一个容量为 20 的样本,写出抽样过程. 答案:140 由题意可知每 15 人抽取 1 人,于是 n=

答案:解:(1)系统抽样:将 200 个产品进行随机编号 001,002,003,?,200,将其分为 20 组,每组 10 个, 在第一组中采用简单随机抽样法, 抽取一个个体记下编号(如 004), 则抽取的样本为 004,014,024, ?, 184,194 共 20 个. (2)分层抽样:采用分层抽样可按一、二、三级品的个数之比 5∶3∶2,从一级品中抽取 10 个,从二 级品中抽取 6 个,从三级品中抽取 4 个.抽取时,将一级品中的 100 个产品按 00,01,02,?,99 编号;将 二级品中的 60 个产品按 00,01,02,?,59 编号;将三级品中的 40 个产品按 00,01,02,?,39 编号,用 随机数表法分别抽取 10 个,6 个,4 个产品,这样取得一个容量为 20 的样本. 12.某中学有教职工 300 人,分为业务人员、管理人员、后勤服务人员三部分,其组成比为 8∶1∶1. 现用分层抽样法从中抽取容量为 20 的样本,并写出抽取的过程. 答案:解:设管理人员有 x 人,则后勤服务人员也有 x 人,业务人员有 8x 人.由 8x+x+x=300,得 x=30.故业务人员、管理人员、后勤服务人员的人数依次为 240 人、30 人、30 人. 20 240 30 30 抽样过程如下:(1)确定抽样比 =1∶15;(2)确定各层抽样数目为 =16, =2, =2;(3)用系 300 15 15 15 统抽样法从业务人员中抽取 16 人,用简单随机抽样法分别从管理人员和后勤服务人员中各抽取 2 人;(4) 将上述各层所抽的个体之和作为样本. 点评:由于使用分层抽样法抽取样本时,每一个个体被抽取的可能性相同,所以各层的个体数之比等 样本容量 每一层抽取的个体数 于在各层中抽取的个体数之比.故抽样比= = . 总体中的个体数 该层的个体数 13.某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加了其中一组, 在参加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%.登山组的职工占参加活动总人数 1 的 ,且该组中,青年人占 50%,中年人占 40%,老年人占 10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次 4 活动的满意程度,现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为 200 的样本,试确定: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

答案:解:(1)设登山组人数为 x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a、b、c,则 x· 40%+3xb x· 10%+3xc 有 =47.5%, =10%,解得 b=50%,c=10%. 4x 4x 故 a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%、50%、 10%.
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3 3 (2)游泳组中,抽取的青年人数为 200× ×40%=60(人);抽取的中年人数为 200× ×50%=75(人); 4 4 3 抽取的老年人数为 200× ×10%=15(人). 4 14.下列问题与方法配对正确的是( ) 问题⑴某社会团体有 500 个家庭,其中高收入家庭 125 个,中等收入家庭 280 个,低 收入家庭 95 个,为了了解社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为 100 的样本. 问题(2)从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈会. 方法Ⅰ: 简单随机抽样方法 方法Ⅱ: 系统抽样方法 方法Ⅲ: 分层抽样方法 A(1) Ⅲ,(2)Ⅰ B (1)Ⅰ,(2)Ⅱ C (1)Ⅱ,(2)Ⅲ D(1)Ⅲ,(2)Ⅱ 15.某单位有职工 100 人,不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,剩下的为 50 岁以上的人, 用分层抽样的方法从中抽取 20 人,各年龄阶段各抽取多少人( ) A.7,5,8 B.9,5,6 C.6,5,9 D.8,5,7 16.某班有 30 名男生。现调查平均身高,已知男女身高有明显不同,用分层抽样法抽出男生 3 人,女 生有 2 人,则该班女生有( )人 A.15 B.5 C.20 D.10 17.有 A,B,C 三种零件,分别为 a 个,300 个,b 个.采用分层抽样法抽取一个容量为 45 的样本,A 种零 件被抽取 20 个,C 种零件被抽取 10 个,这三种零件共( )个 A.900 B.850 C.800 D.750 18.计划从三个街道 20000 人中抽取一个 200 人的样本,现已知三个街道人数之比为 2:3:5,采用分 层抽样的方法抽取,应分别抽取( )人 A.20,30,150 B.30,35,135 C.40,60,80 D. 40,60,100 19.调查某单位职工健康情况,已知青年人为 300,中年人为 K,老年人为 100,用分层抽样抽取容量为 22 的样本,已知抽取的青年与老年的人数分别为 12 和 4,那么中年人数 K 为 20.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽样方法抽出一个 容量为 n 的样本,样本中型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n= 21.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容 量为 36 的样本,用分层抽样法应分别从老年人,中年人,青年人中各抽取 人, 人, 人。 14——21 题答案:D B C A D 19:150 20: 80 21: 6 12 18 谈谈你的收获:

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