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必修一第八讲:对数与对数函数



必修一第八讲:对数与对数函数
(1) 、对数的概念: b 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的 b 次幂等于 N, 就是 a ? N ,那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数,记作 loga N ? b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数
王新敞
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题型一:对数的运算 【例题 1】 、将下列指数式写成对

数式: (1) 5 =625
4

(2) 2 =

?6

1 64

(3) 3 =27

a

(4)( ) =5.73
m

1 3

【练习 1】 、将下列对数式写成指数式: (2) 、对数的运算性质: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0

(3) 、重要的公式 ①、负数与零没有对数; ②、 loga 1 ? 0 , loga a ? 1 (4) 、对数的换底公式及推论: I、对数换底公式:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M 有: loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
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(1) log 1 16 ? ?4 ; (2) log2 128=7;
2

(3)lg0.01=-2;
7 5

(4)ln10=2.303

【例题 2】(1) log5 25, (2) log0.4 1, 、 【练习 2】 、求下列各式的值:

(3) log2 ( 4 × 2 ) (4)lg 5 100 ,

③、对数恒等式 a

loga N

?N

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(1) log2 6- log2 3 (3) log5 3+ log5

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(2)lg5+lg2

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loga N ?

logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

1 3

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(4) log3 5- log3 15

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【例题 3】 、已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 用 a, b 表示 log42 56 【练习 3】 、计算:① 5
1?log0.2 3

(5) 、两个常用的推论: ①、 loga b ? logb a ? 1 ,
n ② 、 log a m b ?

loga b ? logb c ? logc a ? 1
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② log 4 3 ? log 9 2 ? log 1
2

4

32

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(6) 、对数函数的定义

n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m
x

函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数;
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题型二:对数函数 【例题 4】 、求下列函数的定义域 (1) y ? loga x 2 ;
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它是指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的反函数 对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的定义域为 (0,??) ,值域为 (??,??) (7) 、对数函数的图像与性质

(2) y ? loga (4 ? x) ;

(3) y ? loga ( 9 ? x )

【练习 4】 、求下列函数的定义域 (1)y= log3 (1-x) (2)y=

y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a ?1 x ?1
图 象

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1 log2 x

(3)y= log 7

1 1 ? 3x

(4) y ? l o g x 3

0 ? a ?1 x ?1

【例题 5】 、比较下列各组数中两个值的大小: (1) l o g 3.4, l o g8.5 ; 2 2 ⑵ l o g3 1.8, l o g3 2.7 ; 0. 0. ⑶ l o g 5.1, l o g 5.9(a ? 0, a ? 1) a a
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y ? loga x

【练习 5】 、比较下列各组中两个值的大小:

(1, 0)

(1, 0)

(1) log6 7, log7 6 ;

⑵ log3 ? , log2 0.8

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(3) log1 0.5 与 log1 6.2
3 3

y ? loga x
(1)定义域: (0, ??) 性 质 (2)值域: R (3)过点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 (4)在(0,+∞)上是增函数
1

(4) log3 8 与 log2 8 一、 加强题型练习 【例题 1】 、求下列函数的值域。 (1) y ? lg( x ? x ? 1)
2

(5) log2 3 与 log0.5 0.8

(6) log1.1 2.3 与 log1.2 2.2

(4)在 (0, ??) 上是减函数

(2) y ? lg( x ? 3x ? 1)
2

【例题 2】 、求下列函数的定义域 (1) y ? log x ? 2

对数与对数函数家庭作业
(2) y ? log2 x?1 (32 ? 4 )
x

2 x ? 3x ? 2
2

1 【例题 3】 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ? a ? x 、 ,求 a 的值。 2 ?1 3 2 【例题 4】 、求函数 y ? log2 ( x ? x ? ) 的定义域,值域,单调区间。 4
一. 选择题认真冷静: 1. 若 log7 [log3 (log2 x)] ? log5 (tan45?) ,则 x A.
? 1 2

一、选择题: 1、已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是(
a

) D、 3a ? a
2

A、 a ? 2

B、 5a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)2

2、已知 x2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0 ,且 log a (1 ? x) ? m, log a 等于( ) A、 m ? n B、 m ? n
? 1 2

1 3

B.

1 2 3

C.

1 3 3

1 ? n, 则 log a y 等于( 1? x 1 1 C、 ? m ? n ? D、 ? m ? n ? 2 2




D. 以上都不对 ) C. (??, ? 3) D. (??, 3] )

3、已知 log7 [log3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A、

等于( C、

2. 函数 y ? log1 x( x ? (0, 8]) 的值域是(
2

1 3

B、

1 2 3

1 2 2


D、

1 3 3

A. [?3, ? ?)

B. [3, ? ?)

4、函数 y ? log(2 x ?1) 3x ? 2 的定义域是( A、 ?

2 x 3. 若函数 y ? lg(a ? 1) 在 (??, ? ?) 内是减函数,则 a 满足的条件是(

A. | a |? 1

B. | a |?

2

C. a ? )

2

D. 1 ?| a |?

2

?1 ? ?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? C、 ? , ?? ? ?2 ? ?3 ? 5、若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( )
B、 ? A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1

?2 ? ,1? ? ?1, ?? ? ?3 ?

D、 ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

4. 函数 y ? 0.2 ?x ? 1 的反函数是( A. y ? log5 x ? 1 ( x ? 1) C. y ? log5 ( x ? 1) ( x ? 1) 二. 填空题: 1. y ? log2 (log1 x) 的定义域是
2
2

D、 0 ? m ? n ? 1

B. y ? logx 5 ? 1 ( x ? 2) D. y ? log5 x ? 1 ( x ? 0)

。 。 。

2. 函数 y ? ln(4 ? 3x ? x ) 的单调递增区间是 3. 若 1 ? a ? 2 ,则 y ? 4. (1) log1.1 2.3 三. 解答题充分利用: 1. 求函数 y ? log1 (3 ? 2 x ? x ) 的单调区间和值域。
2 2

2 ) ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3 ? 2? ?2 ? ?2 ? ? 2? ?2 ? A、 ? 0, ? ? ?1, ?? ? B、 ? , ?? ? C、 ? ,1? D、 ? 0, ? ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ? ?3 ? ? 3? ?3 ? 1 x ? 3 ? 27 ,则 x 的取值范围 7、已知不等式为 3 1 1 1 1 (A) ? ? x ? 3 (B) ? x ? 3 (C) R (D) ? x ? 2 2 2 3 x ?2 8、函数 y ? a ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点
6、 log a (A)(0,1) 二、填空题认真分析:
4 ? 4? 3 ?3 9、 0.064 ? ? ? ? ? ?? 2? ? 16?0.75 ? 0.012 ? ________ ? 5? 10、若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? 。 ? 1 1 3 0

logx (a ? 1) 中 x 的取值范围是
(2) log5 24

(B)(1,1)

(C) (2, 0)

(D) (2,2)

log1.1 2.2

2

?

?

2. 已知函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) , (1)若定义域为 R,求 a 的范围; (2)若值域为 R,求 a 的范围。
2

11、函数 y ? log( x-1) (3- x) 的定义域是 12、函数 f ( x) ? lg

。 (奇、偶)函数。

?

x2 ? 1 ? x 是

?

2



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