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甘肃省西北师大附中2012届高三第一学期期中考试试题



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2011 西北师大附中高三期中考试试卷 数学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试用时 120 分 钟。 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 球的表面积公式

S ? 4?R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V球 ? ?R 3 3

那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:
k P (k ) ? Cn ? Pk ? (1 ? P)n?k n

其中 R 表示球的半径

一.选择题: (本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 有 且只有一项是符合题目要求的)

1? i ? 1. ? ? ? ?1? i ?
A.1

2

的值等于 B.i C.-1 D. –i

2.设集合 I = { x︱︱x-2︱≤2,x∈N* },P = { 1,2,3 },Q = { 2,3,4 },

I(P∩Q)=

A.{ 1,4 }

B.{ 2,3 }
2

C.{ 1 }

D.{ 4 }

3.函数 y= log
?

( x ? 1)

2? x

的定义域是

A. ?1,2 ?

B.(1,2)?

C.(2,+∞)

D.(-∞,2)

4. “|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的
A.充分不必要条件? ? C.充分必要条件? B.必要不充分条件? D.既不充分也不必要条件?

? 5. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a4

? 18 ? a5 , 则S8 =
D.72

A.18

B.36

C.54

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6.从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有 A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种

7. 设函数 y=f(x)存在反函数 y= f ?1 ( x) ,且函数 y ? x ? f ( x) 的图象过点(1,2),则函数

y ? f ?1 ( x) ? x 的图象一定过点
A.(1,2) B.(2,0) C.(-1,2) D.(2,1)

8.函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象右如图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是?

? 1 x ( ), x ? ?? 1,0? ? 9.若函数 f ( x) ? ? 4 ?4 x , x ? ?0,1? ?
A.

则f ?

?1 ?3

1 ?? ? f ? log 4 ? ? ? 3 ?? ?

1 D. 4 4 f ?( x) 2 10.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 2), 则 lim 等于 x ??1 x ? 1
B. 3 C. A.6 B.2 C.0 D.-6 11.右图是正态分布 N~(0,1)的正态分布曲线图,下面 4 个式子中,能表示图中阴影部分面 y 积的个数为 ①

1 3

1 ? ? (?a) 2

② ? (?a) B. 2

③ ? (a) ?

1 2

④ [? ( a ) ? ? ( ? a )] D. 4 a a O x

1 2

A.1 12.已知(x)= ? A.(0,1)

C. 3

?(3a ? 1) x ? 4a ?log a x
B.(0, )?
1 3

( x ? 1) ( x ? 1)
1 7

是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是
1 7

C.[ , )

1 3

D.[ ,1)?

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上。 )

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2 13. ( x ?

1 9 ) 的展开式中 x9 的系数是 2x
3 2012



14.已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是 15.i + i + i +??+ i
2

2

=

.

16.已知函数 f(x)=x -2x+3 在闭区间[0,m]上最大值为 3,最小值为 2,则 m 的取值范围为

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ?

1 3 x ? ax ? b , (a, b ? R) 在 x ? 2 处取得极小值 3

?

4 。求 a+b 的值 3

18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 中, Sn 为前 n 项和且 a1 ? a3 ? 5 , S4 ? 15 , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式。 (Ⅱ)设 bn ?

5 log 2 an ,求 bn 的前 n 项和 Tn 的值。 2

19. (本小题满分 12 分)盒子内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色小球,3 个白色小球,4 个黑色小球,规定取出 1 红色小球得到 1 分, 取出 1 白色小球得到 0 分, 取出 1 个黑色小 球得到-1 分,现从盒子中任取 3 个小球。 (Ⅰ)求取出的 3 个球颜色互不相同的概率; (Ⅱ)求取出的 3 个球得分之和恰好为 1 分的概率; (Ⅲ)设ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求ξ 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分 12 分已知 f(x)是实数集 R 上的函数, 且对任意 x ? R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (Ⅰ)求证:f(x)是周期函数. (Ⅱ)已知 f(-4)=2,求 f(2012). 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? ax2 ?a ? 0? 是奇函数,并且函数 f (x) 的图象经过点(1,3). x?b

(Ⅰ)求实数 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 的值域. 22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? a ? ln x x

a?R,

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(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值 (Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 R 上恒成立,求 k 的取值范围 (Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? e ,求证 x1 ? x2 ? x1 x2
?

2011—2012 学年西北师大附中高三期中考试 数学试卷----参考答案 一.选择题: 1;C 2;A 3;B 9; D 10;D 11;C 二.填空题: 13; ? 4;B 12;C 14; ( ? 5; D 6;A 7; C 8;A

21 2

1 2 , ) 2 3

15; 0

16;〔1,2〕

三.解答题:

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17;解: f ' ( x) ? x 2 ? a 由已知 f (2) ? ?
4 ∴ 3

???????4 分

8 4 ? 2a ? b ? ? 3 3

(1)

?????6 分

f ' (2) ? 0

∴ 4 ? a =0 ∴a?b ? 0

(2)

?????6 分 ????10 分

由(1) (2)得; a ? ?4, b ? 4

18;解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,∵ a1 ? a3 ? 5 , S4 ? 15 公比 q≠1,否则与已知矛盾 ∴ a1 ? a1q 2 ? 5 ,

S4 ?

a1 ?1 ? q 4 ? 1? q

? 15

???????3 分

解得: q ? 2 ,则 an ? 2n?1 (2)∵ bn ?

???????6 分

5 5 5 log 2 an ? ? n ? 1? , bn ? bn ?1 ? , b1 ? 0 ,??????9 分 2 2 2

? ?bn ? 是等差数列,

5 ((0 ? (n ? 1))?n 5 2 bn 的前 n 项和 Tn ? ? (n ? 1)n 。 2 4

???????12 分

1 1 1 C2C3C4 2 19;解: (1)取出的 3 个球颜色互不相同的概率 P ? ? ,?????4 分 3 C9 7

(2)取出的 3 个球得分之和恰好为 1 分的概率 P ? (3)ξ 的分布列为:

1 2 1 C2 C32 ? C2 C4 5 ?8 分 ? 3 42 C9

?
P 数学期望 E? ?

0

1

2

3

20 84

45 84

18 84

1 84
???????12 分

1 ? 45 ? 36 ? 3? ? 1 84

20; (1)证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1)∴f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f ?( x ? 1) ? 1? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ? ? f ( x ? 1). ∴f(x+3)=f ?( x ? 1) ? 2? ? ? f ?( x ? 1) ? 1? ? ? f ( x). ?????5 分 f(x+6)=f ?( x ? 3) ? 3? ? ? f ( x ? 3) ? f ( x). ∴f(x)是周期函数且 6 是它的一个周期. (2)解
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???????7 分

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f(2 012)=f(335×6+2)=f(2)=f(6+(-4))=f(-4)=2. ??12 分

21;解: (1)?函数 f ( x) ?
2

1 ? ax2 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) x?b

?

1 ? a?? x ? 1 ? ax2 ?? ,? a ? 0,? ? x ? b ? ? x ? b,? b ? 0 ?3分 ? x?b x?b
1? a ? 3,? b ? 0, 1? b

又函数 f (x) 的图像经过点(1,3) ? f (1) ? 3,? , ∴a=2 (2)由(1)知 f ( x) ?

?????????????6分

1 ? 2x 2 1 ? 2 x ? ? x ? 0? x x

?????7分

当 x ? 0 时, 2 x ?

1 1 1 ? 2 2 x ? ? 2 2 , 当且仅当 2 x ? , x x x
…………………9分

即x ?

2 时取等号 2

当 x ? 0 时, ?? 2 x ? ?

1 1 1 ? 2 ?? 2 x ? ? ? 2 2 ,? 2 x ? ? ?2 2 ?x ?x x
?????11分

当且仅当 (?2 x) ?

1 2 ,即x ?? 时取等号 ?x 2

综上可知函数 f (x) 的值域为 (??,?2 2 ] ? [2 2 ,??). ??12 分
' 22; (理)解: (1)∵ f ( x) ?

a ? ln x a ' ,令 f ( x) ? 0 得 x ? e 2 x

x ? ( 0 ea , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为增函数, x ? (ea , ??) , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 为减函数 , )
∴ f ( x ) 有极大值
?

f (ea ) ? e?a

????????4 分

(2)欲使 ln x ? kx ? 0 <在 R 上恒成立, 只需 设 g ( x) ?

ln x ? k 在 R ? 上恒成立 x

ln x x

( x ? 0) , g ' ( x) ?

1 ? ln x x2

x ? (0, e) , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 为增函数
, x ? (e ,?? ) g ' ( x) ? 0 , g ( x) 为减函数 ∴ x ? e 时, g (e) ?

1 是最大值 e

只需

1 1 ? k ,即 k ? ???8 分 e e

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(3)∵ e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 由(2)可知 g ( x) 在 (0, e) 上单调增,

l n x1 ? x2 ) ( ? x1 ? x2
相加得 ( x1 ? x2 )

l n1 x x ln( x1 ? x2 ) x ln( x1 ? x2 ) ,那 1 ? ln x1 ,同理 2 ? ln x2 x1 x1 ? x2 x1 ? x2
ln( x1 ? x2 ) ? ln( x1 x2 ) ,∴ ln( x1 ? x2 ) ? ln( x1 x2 ) , x1 ? x2
???????12 分

得: x1 ? x2 ? x1 x2

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