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§2.2等差数列前n项和(2)



§2.2 等差数列的前 n 项和(2)
(朱通 西工大附中 710032)

【教材版本】北师大版 【教材分析】
1.问题的引入有两个例子,一个是物品堆放的实际问题,一个是数学家高斯小时候计 算特殊数列 1+2+3+?+100 的问题,例 1 是体现等差数列与生活的密切联系,例 2 是由高斯 的速算故事出发,可以引出等差数列的“任意的第 k

项与倒数的第 k 项的和都等于首项与末 项之和”性质,从而顺水推舟引入“倒序求和法” ,进而推导出等差数列的前 n 项和公式。 这样不仅渗透了等差数列的“对称性”性质,而且也能够增加课堂的文化氛围,使课堂教学 更有趣,激发学生的学习兴趣。 2.利用倒序相加得到等差数列前 n 项和的公式 S n ?

n(a1 ? an ) 后,教材给出了一种直 2

观的几何图形解释,目的是强化学生对公式的记忆与理解。此外,首项为 a1 ,公差为 d 的等 差数列前 n 项和的公式可以写为: sn ? na1 ?

n(n ? 1)d ,当 d ? 0 时, s n 可以看作是 n 的二 2

次函数,于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题,如可以根 据二次函数的图象了解等差数列前 n 项的增减变化、极值等情况。 3.教材增加了大量的应用问题,例 8 是与我国古代文化相关的问题,体现数列文化价 值的例子,例 10 是与生活紧密联系的问题,旨在培养学生应用知识解决问题的意识和能力。

【学情分析】
等差数列前 n 项和公式是最基本的公式,学生应熟练得掌握它,并灵活的应用它。

【教学目标】
1.知识与与技能 (1)掌握等差数列前 n 项和公式,掌握“倒序相加的求和”方法。能用等差数列的前 n 项和公式解决简单的相关的问题。 (2)掌握从函数与方程的思想多角度的认识与理解等差数列的前 n 项和公式。 2.过程与方法 (1)通过对小高斯求和的方法分析,引导学生从特殊的等差数列求和到一般等差数列求 和,启发学生归纳公式的推导方法,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、类比、 归纳、分析、推理的能力。 (2)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,强化方程思想 在解决等差数列中的作用,提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观 (1)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树立 学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。 (2)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏 陶。

【重点难点】
教学重点:等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用。 教学难点:应用等差数列前 n 项公式解决有关问题。

【教学环境】
◆多媒体教室

【教学过程】
一、复习引入
等差数列前 n 项和公式是什么?等差数列前 n 项和公式是如何得到的? (学生回答老师 纠正)

二、新课讲授
这节课主要讲解等差数列前 n 项和公式的应用 先看几个例题: 例 1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 3n , 求数列的通项公式, 它是等差数列吗? 问: (1)如果改成 Sn ? 2n2 ? 3n ?1 呢? (2)通过做以上题后,你发现了什么?(某数列是等差数列的充要条件是

Sn ? an2 ? bn ) 。
课 堂 练习 : 等差 数 列 ?an ? 和 ?bn ? 的 前 n 项 和分 别 为 Sn 和 Tn , Tn
Sn

?

3 n ?1 2 n ?1 , 求

a6 b6

?
解:
Sn Tn
n



给一种解法问学生这种解法错在哪里?

?

3 n ?1 2 n ?1 ,

?设 S

? (3n ? 1)k ,(k ? 0), Tn ? (2n ? 1)k ,(k ? 0)

则 a6 ? (3? 6 ? 1)k ? (3? 5 ? 1)k ? 3k , b6 ? (2 ? 6 ? 1)k ? (2 ? 5 ? 1)k ? 2k

?

a6 b6

?

3 2

提炼:1.等差数列的充要条件是 Sn ? an2 ? bn 2. 等差数列

?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,则

a n S 2 n?1 ? b n T2 n?1

例 2 等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn , 已知 a ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 , 指出 S1 , S2 , 哪一个值最大? 提问学生后老师注重讲解以下几个问题: (1)如何找数列中正负项分界项,项与和的互化公式; (2)如何利用 Sn ? an2 ? bn 的图像解题。 课堂练习: (1)在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a8 ? 0, a9 ? 0 ,则 S1 , S2 , 最小?

, S12 中

, S9 中哪一个值

(2)等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为 S7 ,且 a7 ? a8 ,求使的 n 的最大值。 三、课堂小结 1.判断某数列是等差数列的充要条件是 Sn ? an2 ? bn 。想一想还有哪些? 2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的最值的求法。 四、作业布置 P20 B 组 4,5 题



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