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湖北省襄阳市枣阳市白水高中2014-2015学年高二下学期第一次(3月)月考数学试卷(理科) Word版含解析



湖北省襄阳市枣阳市白水高中 2014-2015 学年高二下学期 3 月月考数学试卷(理科)

一、选择题: 1.已知集合 A={x|x ﹣2x≤0},B={x|y=log2(x﹣1)},则 A∩B=( A.{x|1≤x<2} B.{x|1<x<2} C.{x|1<x≤2}
2

) D.{x|1≤x≤2}

点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:利用不等式知识和交集定义求解. 解答: 解:∵集合 A={x|x ﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}, B={x|y=log2(x﹣1)}={x|x﹣1>0}={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 故选:C. 点评:本题考查交集的求法,是基础题.解题时要注意不等式知识的合理运用.
2

2.双曲线两条渐近线的夹角为 60°,该双曲线的离心率为( A. 或2 B. 或 C. 或2

) D. 或

考点:双曲线的简单性质. 分析:由题意得, 或 分类讨论利用双曲线的性质即可得出.

解答: 解:∵双曲线两条渐近线的夹角为 60°, ∴ 或 .



时,

,∴b =3a ,又 c =a +b ,∴c =4a ,即

2

2

2

2

2

2

2



同理可得当 故选:A.

时,



点评:本题考查了双曲线的简单性质,属于基础题.

3.在一个投掷硬币的游戏中,把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A, “第 二次出现正面”为事件 B,则 P(B|A)等于( A. B. C. ) D.

考点:条件概率与独立事件. 专题:计算题;概率与统计. 分析:本题是一个条件概率,第一次出现正面的概率是 ,第一次出现正面且第二次也出现正 面的概率是 × = ,代入条件概率的概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个条件概率, 第一次出现正面的概率是 , 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是 × = , ∴P(B|A)= 故选:A. 点评:本题考查条件概率,本题解题的关键是看出事件 AB 同时发生的概率,正确使用条件概 率的公式. = .

4.与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是( A. ( ,1,1) B. (﹣1,﹣3,2)

) ,﹣3,﹣2 )

C. (﹣ , ,﹣1) D. (

考点:向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题:空间向量及应用. 分析:利用向量共线定理即可判断出. 解答: 解:对于 C 中的向量: (﹣ , ,﹣1)=﹣ (1,﹣3,2)=﹣ 因此与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是 , .

故选:C. 点评:本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题.

5.已知 A(﹣1,﹣2,6) ,B(1,2,﹣6)O 为坐标原点,则向量 A.0 B. C.π

与 D.

的夹角是(

)

考点:空间向量的夹角与距离求解公式. 专题:空间向量及应用. 分析:由 cos< >= =﹣1,能求出向量 与 的夹角为 π .

解答: 解:∵A(﹣1,﹣2,6) ,B(1,2,﹣6)O 为坐标原点, ∴向量 ∴cos< ∴向量 与 =(﹣1,﹣2,6) , >= 的夹角为 π . =(1,2,﹣6) , =﹣1,

故选:C. 点评:本题考查空间中两向量的夹角的求法,解题时要认真审题,是基础题.

6.当 0<a<1 时,关于 x 的不等式 A. (2, ) B. ( ,2)

>1 的解集是(

)

C. (﹣∞,2)∪(

,+∞) D. (﹣∞,

)∪(2,+∞)

考点:其他不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:要解的不等式即 等式的解集. 解答: 解:当 0<a<1 时,关于 x 的不等式 即?(x﹣2)<0. >1 即 , ,即?(x﹣2)<0.再根据 >2,求得不

由于 故选:A.

>2,∴2<x<



点评:本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,注意判断 属于基础题.

>2,

7.若 ab≠0,则 ax﹣y+b=0 和 bx +ay =ab 所表示的曲线只可能是图中的(

2

2

)

A.

B.

C.

D.

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析:方程可化为 y=ax+b 和 .由此利用直线和椭圆的性质利用排除法求解.

解答: 解:方程可化为 y=ax+b 和 从 B,D 中的两椭圆看 a,b∈(0,+∞) , 但 B 中直线有 a<0,b<0 矛盾,应排除; D 中直线有 a<0,b>0 矛盾,应排除;



再看 A 中双曲线的 a<0,b>0,但直线有 a>0,b>0,也矛盾,应排除; C 中双曲线的 a>0,b<0 和直线中 a,b 一致. 故选:C. 点评:本题考查直线与椭圆的图象的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意直线与椭圆的 性质的合理运用.

8.到两定点 A(0,0) ,B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹方程是( A.3x﹣4y=0(x>0) B.4x﹣3y=0(0≤x≤3) ﹣4x=0(y>0)

)

C.4y﹣3x=0(0≤y≤4) D.3y

考点:两点间距离公式的应用. 专题:计算题;直线与圆. 分析:根据两点的距离公式,算出|AB|=5,可得所求的轨迹为线段 AB,求出直线 AB 的方程即 可得到答案. 解答: 解:∵A(0,0) ,B(3,4) ∴|AB|= =5,

因此到定点 A、B 距离之和为 5 的点,在线段 AB 上 由直线 AB 的方程为 4x﹣3y=0,得所求点的轨迹方程为 4x﹣3y=0(0≤x≤3) 故选:B 点评:本题给出动点满足的条件,求轨迹方程.着重考查了两点间的距离公式和直线的方程等 知识,属于基础题.

9. 过抛物线 y =4x 的焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 则 A.3 B.﹣3 C.12 D.﹣12

2

的值是(

)

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:计算题. 分析:由抛物线 y =4x 与过其焦点(1,0)的直线方程联立,消去 y 整理成关于 x 的一元二次 方程,设出 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点坐标, 案. 解答: 解:由题意知,抛物线 y =4x 的焦点坐标为(1,0) ,∴直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) , 由 得 k x ﹣(2k +4)x+k =0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2 2 2 2 2 2

=x1?x2+y1?y2,由韦达定理可以求得答



,y1?y2=k(x1﹣1)?k(x2﹣1)=k

2



=x1?x2+y1?y2=



从而排除 A、C、D; 故选 B.

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系, 解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线 方程,利用韦达定理予以解决,属于基础题.

10.不等式组

的解集记为 D,有下列四个命题: p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2 p4:? (x,y)∈D,x+2y≤﹣1

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3 其中真命题是( A.p2,p3 ) B.p1,p4

C.p1,p2

D.p1,p3

考点:命题的真假判断与应用;二元一次不等式的几何意义. 专题:不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析:作出不等式组 解答: 解:作出图形如下: 的表示的区域 D,对四个选项逐一分析即可.

由图知,区域 D 为直线 x+y=1 与 x﹣2y=4 相交的上部角型区域, p1:区域 D 在 x+2y≥﹣2 区域的上方,故:? (x,y)∈D,x+2y≥﹣2 成立; p2:在直线 x+2y=2 的右上方和区域 D 重叠的区域内,? (x,y)∈D,x+2y≥2,故 p2:? (x, y)∈D,x+2y≥2 正确; p3:由图知,区域 D 有部分在直线 x+2y=3 的上方,因此 p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3 错误; p4:x+2y≤﹣1 的区域(左下方的虚线区域)恒在区域 D 下方,故 p4:? (x,y)∈D,x+2y≤ ﹣1 错误;

综上所述,p1、p2 正确; 故选:C. 点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属 于难题.

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 个条棱中,最长的棱的长度为( )

A.6

B.4

C.6

D.4

考点:简单空间图形的三视图;多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 专题:空间位置关系与距离. 分析:画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可. 解答: 解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C 到 BD 的中点的距离为:4, ∴BC=CD= =2 .AC= =6,AD=4 ,

显然 AC 最长.长为 6. 故选:C.

点评:本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.

12.我们把离心率为 e=

的双曲线



=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,A1,

A2 是右图双曲线的实轴顶点,B1,B2 是虚轴的顶点,F1,F2 是左右焦点,M,N 在双曲线上且过 右焦点 F2,并且 MN⊥x 轴,给出以下几个说法: ①双曲线 x ﹣
2 2

=1 是黄金双曲线;

②若 b =ac,则该双曲线是黄金双曲线; ③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线; ④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的是( )

A.①②④

B.①②③

C.②③④

D.①②③④

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:①由双曲线 x ﹣ 双曲线; ②由 b =ac,可得 c ﹣a ﹣ac=0,化为 e ﹣e﹣1=0,又 e>1,解得 e,即可判断出该双曲线是 否是黄金双曲线; ③如图,由∠F1B1A2=90°,可得
2 2 2 2 2 2

=1,可得离心率 e=

,即可判断出该双曲线是否是黄金

,可得 b +c +b +a =(a+c)

2

2

2

2

,化为 c ﹣ac﹣a =0,即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线; ,可得△MOF2 是等腰直角三角形,得到

2

2

④如图,由∠MON=90°,可得 MN⊥x 轴, c= ,即可判断出该双曲线是否是黄金双曲线.

解答: 解:①由双曲线 x ﹣ 曲线是黄金双曲线;

2

=1,可得离心率 e=

=

=

,故该双

②∵b =ac,∴c ﹣a ﹣ac=0,化为 e ﹣e﹣1=0,又 e>1,解得 金双曲线; ③如图,∵∠F1B1A2=90°,∴
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

,因此该双曲线是黄



∴b +c +b +a =(a+c) ,化为 c ﹣ac﹣a =0,由②可知该双曲线是黄金双曲线; ④如图,∵∠MON=90°, ∴MN⊥x 轴, ∴c=
2

,且△MOF2 是等腰直角三角形.

,即 b =ac,由②可知:该双曲线是黄金双曲线.

综上可知:①②③④所给出的双曲线都是黄金双曲线. 故选:D. 点评:本题考查了新定义、双曲线的标准方程及其性质,属于中档题.

二、填空题 13.已知 , . ,方程 x sinα +y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围
2 2

考点:椭圆的标准方程. 专题:计算题;综合题. 分析:方程表示焦点在 y 轴的椭圆,可得 x 、y 的分母均为正数,且 y 的分母较大,由此建 立关于 α 的不等式.最后结合锐角范围内正弦和余弦的大小关系,解这个不等式,即得 α 的 取值范围. 解答: 解:方程 x sinα +y cosα =1 化成标准形式得:
2 2 2 2 2

+

=1

.∵方程表示焦点在 y 轴上的椭圆, ∴ > >0,解之得 sinα >cosα >0

∵ ∴ 故答案为:

, ,即 α 的取值范围是 , ,

点评:本题给出含有字母参数的方程表示椭圆,要我们求参数的取值范围,着重考查了椭圆标 准方程和三角函数的大小比较等知识,属于基础题.

14.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y=

x,它的一个焦点在抛物

线 y =24x 的准线上,则双曲线的方程为

2



=1.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:求出抛物线的准线方程,可得双曲线的焦点,即有 c=6,再由渐近线方程可得 a,b 的 方程,解出 a,b,进而得到双曲线的方程. 解答: 解:由题意可得,抛物线 y =24x 的准线为 x=﹣6, 双曲线的一个焦点为(﹣6,0) ,即有 c=6, 又 = ,36=a +b =4a ,a =9,b =27,
2 2 2 2 2 2

则所求双曲线的方程为



=1.

故答案为:



=1.

点评:本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查运算能力,属于 基础题.

15.已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若

= (

+

) ,则



的夹角为 90°.

考点:数量积表示两个向量的夹角.

专题:平面向量及应用. 分析:根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论. 解答: 解:在圆中若 即2 即 + = + , = ( + ) ,

的和向量是过 A,O 的直径,

则以 AB,AC 为邻边的四边形是矩形, 则 即 ⊥ 与 , 的夹角为 90°,

故答案为:90° 点评: 本题主要考查平面向量的夹角的计算, 利用圆直径的性质是解决本题的关键, 比较基础.

16.双曲线

和直线 y=2x 有交点,则它的离心率的取值范围是



) .

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:先计算双曲线的渐近线的方程,过原点的直线 y=2x 要与双曲线有交点,则其斜率应在 (﹣ , )范围内,从而利用 a、b、c 间的平方关系推出离心率的范围

解答: 解:双曲线

的渐近线方程为 y=± x

双曲线和直线 y=2x 有交点,则﹣ <2<

即 4<


2

>4

即 e ﹣1>4,

即 e >5,e> ∴双曲线的离心率的取值范围是( 故答案为( ,+∞) ,+∞)

2

点评:本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质,直线与双曲线的位置关系,双曲线渐近线 方程及渐近线的作用,离心率的定义及其计算方法

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(x+1)﹣f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

考点:函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)由二次函数可设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,由 f(0)=1 求得 c 的值,由 f(x+1) ﹣f(x)=2x 可得 a,b 的值,即可得 f(x)的解析式; (2)欲使在区间上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,只须 x ﹣3x+1﹣m>0 在区间上恒成立,也 就是要 x ﹣3x+1﹣m 的最小值大于 0,即可得 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意可知,f(0)=1,解得,c=1, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x.可知,﹣(ax +bx+1)=2x, 化简得,2ax+a+b=2x, ∴ ,
2 2 2 2

∴a=1,b=﹣1. ∴f(x)=x ﹣x+1; (2)不等式 f(x)>2x+m,可化简为 x ﹣x+1>2x+m, 即 x ﹣3x+1﹣m>0 在区间上恒成立, 设 g(x)=x ﹣3x+1﹣m,则其对称轴为 ∴g(x)在上是单调递减函数. 因此只需 g(x)的最小值大于零即可, g(x)min=g(1) ,
2 2 2 2



∴g(1)>0, 即 1﹣3+1﹣m>0,解得,m<﹣1, ∴实数 m 的取值范围是 m<﹣1. 点评: 本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式, 以及函数的恒成立与函数的最 值求解的相互转化,主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用.属于中档题.

18.已知顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2x+1 截得的弦长为 物线方程.

,求此抛

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 专题:计算题. 分析:设出抛物线的方程,直线与抛物线方程联立消去 y,进而根据韦达定理求得 x1+x2 的值, 进而利用弦长公式求得|AB|,由 AB= 可求 p,则抛物线方程可得.
2

解答: 解:由题意可设抛物线的方程 y =2px(p≠0) ,直线与抛物线交与 A(x1,y1) ,B(x2, y2) 联立方程 可得,4x +(4﹣2p)x+1=0
2





,y1﹣y2=2(x1﹣x2) = =

= 解得 p=6 或 p=﹣2 ∴抛物线的方程为 y =12x 或 y =﹣4x
2 2

=

点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程. 解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练 应用

19.已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1、a2、a5 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n+800?若存在,求 n 的最 小值;若不存在,说明理由.

考点:数列的求和;等比关系的确定. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等差数列的前 n 项和公式可得 Sn,再利用一元二次不等式的解法即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1=2,且 a1、a2、a5 成等比数列. ∴ =a1a5,即(2+d) =2(2+4d) ,解得 d=0 或 4.
2

∴an=2,或 an=2+4(n﹣1)=4n﹣2. (2)当 an=2 时,Sn=2n,不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800. 当 an=4n﹣2 时, Sn= 化为 n ﹣30n﹣400>0, 解得 n>40, ∴n 的最小值为 41. 点评:本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、一元二次不等式的解法,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.
2

=2n , 假设存在正整数 n, 使得 Sn>60n+800, 即 2n >60n+800,

2

2

20.如图,设 P1,P2,?,P6 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点.现从这六个点中任选其中 三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量 S. (1)求 S= 的概率;

(2)求 S 的分布列及数学期望 E(S) .

考点:离散型随机变量的期望与方差;等可能事件的概率. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)由古典概型的概率计算公式,能求出取出的三角形的面积 S= (2)由题设条 S 的所有可能取值为为 机变量 S 的分布列及期望. 解答: 解: (1)从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形,共有 其中 S= 所以, 的为有一个角是 30°的三角形,共 6×2=12 种 . 种不同的选法, , , 的概率.

,分别求出相应的概率,由此能求出随

(2)S 的所有可能取值为







的为顶角是 120°的等腰三角形(如△P1P2P3) ,共 6 种, 所以, .

的为等边三角形(如△P1P3P5) ,共 2 种, 所以, , ( 8 分)

P(S=

)= ,

所以 S 的分布列为 S P ES= × + × + × = .

点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.

21.已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆的焦点,直

线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过离心率得到 a、c 关系,通过 A 求出 a,即可求 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)将 y=kx﹣2 代入 ,利用△>

0,求出 k 的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ 的面积表达式,利用换元法以及 基本不等式求出最值,然后求解直线方程. 解答: 解: (Ⅰ) 设 F(c,0) ,由条件知 所以 a=2?,b =a ﹣c =1,故 E 的方程
2 2 2

,得 .?.

?又



(Ⅱ)依题意当 l⊥x 轴不合题意,故设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 将 y=kx﹣2 代入 ,得(1+4k )x ﹣16kx+12=0,
2 2

当△=16(4k ﹣3)>0,即

2

时,

从而

??

又点 O 到直线 PQ 的距离

,所以△OPQ 的面积

=





,则 t>0,



当且仅当 t=2,k=±

等号成立,且满足△>0, x﹣2 或 y=﹣ x﹣2.?

所以当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为:y=

点评:本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思 想以及计算能力.

22.已知 A(1,1,1) 、B(2,2,2) 、C(3,2,4) ,求△ABC 的面积.

考点:空间两点间的距离公式. 专题:解三角形;空间向量及应用. 分析: 利用坐标表示 的面积. 解答: 解:∵A(1,1,1) 、B(2,2,2) 、C(3,2,4) , ∴ ∴ | | =(1,1,1) , ? |= |= =(2,1,3) , 、 , 求出 与 夹角的余弦值, 从而得出 A 的正弦值, 再计算△ABC

=1×2+1×1+1×3=6, = = , ;

∴cos<



>=

=

=



即 cosA= ∴sinA=

, = ;

△ABC 的面积为 S△ABC= | || |sinA= × × × = .

点评:本题考查了空间向量的坐标运算的应用问题,也考查了求三角形的面积问题,是基础题 目.



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