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!1.3.2 球的的体积和表面积



第一章

空间几何体

1.3 空间几何体的表面积和体积 1.3.2 球的表面积和体积 (时间:60 分钟 看课本,清知识 (共 10 分,每题 2 分) 总分:100 分)

1.球的体积 V球 ? ______ 2.即为球的表面积公式 S ? ______ 3.球的直径伸长为原来的 2 倍,体积变为原来的______倍. 4.若球半径变为原来的 2 倍,则表面积变为原来的________倍 3 5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,这个球的体积为___cm .
王新敞
奎屯 新疆

答案: 1.

4 3 ?R 2. 4? R 2 3. 8 倍 4. 4 倍 5. 32 3? 3
(共 90 分)

做练习,练能力

一、 选择题(个数、分值自定) 1、一个底面直径是 32cm 的圆柱形水箱装入水,然后放入一个铁球,该球被水淹没,水面升 高 9cm,则球的表面积是( C ) A.144 ? B.288 ? C.576 ? D.2304 ? 答案:C 2.( 2000·全国卷)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比 是( ) 1+2π (A) 2π 1+4π (B) 4π 1+2π (C) π 1+ 4π (D) 2π

答案 A 分析 本题考查圆柱的展开图及其表面积. 侧面展开图是一个正方形,可知正方形的边长是 圆柱的高,也是圆柱的底面周长. 解答 设圆柱的底面半径为 r,则底面圆周长 2π r 为展开图的一边长,故圆柱的高 2π r 2 2 2 2 2 2 2 ∴S 侧面=(2π r) =4π r ,S 全面积= S 侧面+2 S 底面=4π r +2π r =2π r (2π +1) 1+2π ∴S 全面积:S 侧面= 2π (该题与球无关) 3、 10.从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水,容器中水面的高 度与注水时间 t 之间的关系用图象表示应为( A )

1

答案: A 二、填空题(个数、分值自定) 4、将棱长为 1 的正方体木块加工成一个体积最大的球,那么球的体积为______ 解析:体积最大的球为正方体的内切球.此题相当于求正方体的内切球的体积 4 1 π ∴V= π × ( )3= 3 2 6 π 答案: 6 5、 (2009 福建省)某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积等 于______ 答案:

28 ? 3

三、解答题(个数、分值自定) 6、如图(单位:cm) ,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
解:由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、侧面和一半球面. S 半球=8π , S 圆台侧=35π ,S 圆台底=25π. 故所求几何体的表面积为 68π . 由 V圆台 ? ? [? ? 22 ? (? ? 22) ? (? ? 52) ? ? ? 52 ]? 52? ,

A

2

D

1 3

4 C

4 1 16 V半球 ? ? ? 23 ? ? ? . 3 2 3
所以,旋转体的体积为 V圆台 ? V半球 ? 52? ?

B

5

16 140 ?? ? (cm3 ) . 3 3

(该题与球无关) 7、 .阿基来德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是如右图 中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的 几何体称为圆柱容球,在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 面积也是圆柱全面积的

2 ,球的表 3

2 ,请你试着证明。 3

解:设圆的半径为 R,球的体积与圆柱的体积分别为 V球 和 V柱 ,球的表面与圆柱的全面积分 别为 S球 和 S柱 ,则有

2

4 V球 = ?R 3 3

V柱 = ?R 2 ? 2 R = 2?R 3 ,故 V球 =

2 V 3 柱 2 S 3 柱

S球 = 4?R 2 , S柱 =侧面积+上下底面积= 2?R ? 2 R ? 2?R 2 = 6?R 2 ,故 S 球 =

(08 惠州一模)如图,是一个奖杯的三视图(单位:cm) , 底座是正四棱台. (Ⅰ)求这个奖杯的体积( ? 取 3.14 ) ; (Ⅱ)求这个奖杯底座的侧面积. 4 、解 : (Ⅰ) 球的体 积是 V球 ?

4 3 ? r ? 36? ; 圆柱的 体积是 3

V圆柱 ? Sh1 ? 64? ;
1 h2 ( S上 ? S上 S下 ? S下 ) ? 336 ; 3 3 此几何体的体积是 V ? 100? ? 336 ? 650 (cm ) .
正四棱台的体积是 V正四棱台 ? (Ⅱ) 底座是正四棱台, 斜高是 h ' ? (cm )
2

1 b a 2 侧面积是: S侧 ? (c ? c ')h ' ? 180 ( ? ) 2 ? h2 ? 5, 2 2 2

自我评价与反思
总分

3

1、知识不扎实: 2、审题不细致: 失分原因与 3、知识、方法不会用: 改进意见 4、运算能力: 5、其他:

a 10. (2002·北京)64 个直径为 的小球,记它们的体积和为 V 甲,表面积和为 S 甲,一个直 4 径为 a 的小球,记其体积为 V 乙,表面积为 S 乙,则(C) A V 甲>V 乙且 S 甲>S 乙 B V 甲<V 乙 且 S 甲<S 乙 C V 甲=V 乙 且 S 甲>S 乙 D V 甲=V 乙 且 S 甲=S 乙 4 a 1 解答:V 甲=64× π × ( )3 = π a3 3 8 6 4 a 1 V 乙= π × ( )3= π a3 3 2 6 a S 甲=64× 4π ( )2=4π a2 8 a S 乙=4π ( )2=π a2 2

1、 13.一个球的表面积是 144π cm2,它的体积是 分析:这是考查球的表面积与体积的基本公式. 解答: 由公式得 S=4π R2=144π 故 R=6 4 4 则 V= π R3= π ×63=288π 3 3 答案: 288π cm3 5.

.

4

14.球、球的内接正方体的体积之比是 . 分析:本题考查球的体积公式及组合体的知识,球的内接正方体换一种表述为正方体内接于球, 球是正方体的外切球,正方体是球的内接正方体.则球与正方体的特征量之间的关系是:球 的直径等于正方体的体对角线长,即 2R= 3a (R 为球的半径, a 为正方体的边长) 解答:由题意得 2R= 3a ∴ R= 3a 2 V 正方体= a3

4 4 3a 3 3 3 ∴V 球= π R3= π ×( )= πa 3 3 2 2 V 球÷V 正方体= 答案: 3π 2 3 3 3 π a ÷a =( 3π )÷2 2

6 正方体的内切球和外接球的体积比为 (答案: 3 3 : 1 ; 3 :1)

,表面积比为



7.长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这 个球的表面积是 。 (答案 50 ? ) 2、 答案 C 2、若球的面积扩大为原来的 2 倍,则球的体积比原来增加( )倍 A 2 B 4 C 2 2 D 2 2-1 答案: D 分析:解此题要特别注意“扩大为”不同于“扩大”,类似地还有“增大到” “增大” “减少到” 、 “减少”等等.解答:根据球的面积公式,球的面积扩大为原来的 2 倍,则半径扩 大为原来的 2倍.从而增加后的球的体积为 4 π ( 2r)3 3

4 π (2 2-1)r3 3 4 4 3 4 3 3 , 球增加的体积为 π ( 2r) - π r = π (2 2-1)r 所求为 =2 2-1 3 3 3 4 3 πr 3

1、有一种空心钢球,质量为 142 g ,测得外径等于 5 cm ,求它的内径(钢的密度为 7.9 g / cm2 , D 精确到 0.1cm ) . C A B 解:设空心球内径(直径)为 2 x cm ,则钢球质量为 O D 4 5 4 C A 7.9 ? [ ? ? ? ( )3 ? ? x3 ] ? 142 , B 3 2 3 C 5 142 ? 3 A ∴ x3 ? ( )3 ? ? 11.3 , ∴ x ? 2.24 , 2 7.9 ? 4 ? 3.14 O C A ∴直径 2 x ? 4.5 ,即空心钢球的内径约为 4.5cm .
' ' ' '
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