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2015 38套 应用题



2015 年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷
18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t) (0<t≤25,单位:米) ;曲线 BC 是抛物 2 线 y=﹣ax +50(a>0)的一部分;CD⊥AD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径.假定拟建体育馆 的高 OB=50 米.

(1)若要求 CD=30 米,AD= 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 ,求 AD 的最大值. ,则 )

(参考公式:若

【解答】解: (1)∵CD=50﹣t=30,解得 t=20. 此时圆 E:x +(y﹣20) =30 , 令 y=0,得 , ∴ 将点 解得 . , 代入 y=﹣ax +50(a>0)中,
2 2 2 2

(2)∵圆 E 的半径为 50﹣t, ∴CD=50﹣t,在 y=﹣ax +50 中,令 y=50﹣t,得 则由题意知 ∴ 故 (3)当 恒成立,而当 ,解得 时,
2 2



对 t∈(0,25]恒成立, ,即 t=25 时, 取最小值 10,

. ,
2 2

又圆 E 的方程为 x +(y﹣t) =(50﹣t) , 令 y=0,得 ∴ 从而 , , ,

又∵f′(t)=5

=



令 f'(t)=0,得 t=5, 当 t∈(0,5)时,f'(t)>0,f(t)单调递增;当 t∈(5,25)时,f'(t)<0,f(t)单调 递减,从而当 t=5 时,f(t)取最大值为 25 . 答:当 t=5 米时,AD 的最大值为 25 米. (3)方法二: (三角换元)令 = ,其中 ? 是锐角,且 从而当 方法三:令 (2x+y)的最大值. 根据线性规划知识,当直线 y=﹣2x+ 与圆弧 x +y =25(x≥0,y≥0)相切时,z 取得最大值 为 25 米.
2 2

,则



时,AD 取得最大值为 25

米.
2 2

,则题意相当于:已知 x +y =25(x≥0,y≥0) ,求 z=AD=5×

江苏省南通市 2015 届高三上数学期末考试
18.在长为 20m,宽为 16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点 C) ,展厅入口 位于长方形的长边的中间,在展厅一角 B 点处安装监控摄像头,使点 B 与圆 C 在同一水平 面上,且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示) .

(1)若圆盘半径为 2 m,求监控摄像头最小水平视角的正切值; (2)过监控摄像头最大水平视角为 60°,求圆盘半径的最大值. (注:水平摄像视角指镜头 中心点水平观察物体边缘的实现的夹角. ) 【解答】解: (1)过 B 作圆 C 的切线 BE,切点为 E,设圆 C 所在平面上入口中点为 A,连 接 CA,CE,CB,则 CE⊥BE,⊥CA⊥AB ∴监控摄像头水平视角为∠ABE 时,水平视角最小.

在直角三角形 ABC 中,AB=10,AC=8,tan∠ABC= , 在直角三角形 BCE 中,CE=2 ,BE= , ; =12,tan∠CBE= ,

∴tan∠ABE=tan(∠ABC+∠CBE)=1+ ∴监控摄像头最小水平视角的正切值为 1+

(2)当∠ABE=60°时,若直线 BE 与圆 C 相切,则圆 C 的半径最大. 在平面 ABC 内, 以 B 为坐标原点, BA 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则直线 BE 方程为 y= x, ∴CE= =5 ﹣4, ﹣4(m) .

∴圆 C 的半径最大为 5

苏州市 2015 届上学期高三期末调研考试(零模)
17.如图,某生态园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为水果园种 植桃树, 已知角 A 为 120?, AB, AC 的长度均大于 200 米, 现在边界 AP, AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1)若围墙 AP,AQ 总长度为 200 米,如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大? (2)已知 AP 段围墙高 1 米,AQ 段围墙高 1.5 米,造价均为每平方 米 100 元.若围围墙用了 20000 元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
A Q P B C

17.解 设 AP ? x 米, AQ ? y 米. (1)则 x ? y ? 200 , ?APQ 的面积

S?

1 2

xy sin120? ?

3 4

xy .

??????????????????????3 分

∴S ≤

3 x? y 2 ( ) ? 2500 3 . 4 2

当且仅当 x ? y ? 100 时取“=”. ??????????????????????6 分 (注:不写“=”成立条件扣 1 分) (2)由题意得 100 ? (1? x ? 1.5 ? y) ? 20000 ,即 x ? 1.5 y ? 200 . 要使竹篱笆用料最省,只需其长度 PQ 最短,所以 ???????8 分

PQ2 ? x2 ? y 2 ? 2xy cos120? ? x2 ? y 2 ? xy

? (200 ?1.5 y)2 ? y 2 ? (200 ?1.5 y) y

? 1.75 y 2 ? 400 y ? 40000 ( 0 ? y ?
当y?

400 ) 3

???????????????11 分

800 200 200 21 时, PQ 有最小值 ,此时 x ? . 7 7 7

??????????13 分

答: (1)当 AP ? AQ ? 100 米时,三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米; (2)当 AP ?

200 800 米 , AQ ? 米时,可使竹篱笆用料最省.????????? 14 分 7 7

2014-2015 学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷
17.某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满 足 P= (其中 0≤x≤a,a 为正常数) .已知生产该产品还需投入成本 6(P+ )万元(不含 )元/件.

促销费用) ,产品的销售价格定为(4+

(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 【解答】解: (Ⅰ)由题意知,y=(4+ 将 p= 代入化简得:y=19﹣ )p﹣x﹣6(p+ ) ,

﹣ x(0≤x≤a) ;

(Ⅱ)y=22﹣ ( 当且仅当

+x+2)≤22﹣3

=10,

=x+2,即 x=2 时,上式取等号;

当 a≥2 时,促销费用投入 2 万元时,该公司的利润最大; y=19﹣ ﹣ x,y′= ﹣ ,

∴a<2 时,函数在[0,a]上单调递增, ∴x=a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,该公司的利润最大.

2014-2015 学年江苏省常州市高三(上)期末数学试卷
17.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为 900m 的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域 之间间隔 1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分 别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(m) ,三块种植 植物的矩形区域的总面积为 S
2

(m ) . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值. 【解答】解: (1)根据题意,设矩形温室的室内长为 x(m) , 则室内宽为 (m) ,

2

∴三块种植植物的矩形区域的总面积为: S=(x﹣3﹣3﹣1﹣1) ( =(x﹣8) ( =﹣2x﹣ ﹣2) +916, ﹣1﹣1)

其中 即 x∈(8,450) ;

, …(6 分)

(2)因为 8<x<450, 所以 ,…(8 分)

当且仅当 x=60 时等号成立; …(10 分) 从而 S≤﹣240+916=676; …(12 分) 答:当矩形温室的室内长为 60m 时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为 676m . …(14 分)
2

镇江市 2014-2015 学年度第一学期期末试卷
17.某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛 O 附近.现派出四艘搜救船 A, B, C , D , 为方便联络,船 A, B 始终在以小岛 O 为圆心,100 海里为半径的圆上,船 A, B, C , D 构成正 方形编队展开搜索,小岛 O 在正方形编队外(如图) . 设小岛 O 到 AB 的距离为

x,

?AOB ? ? , D 船到小岛 O 的距离为 d .
(1)请分别求 d 关于 x, ? 的函数关系式 d ? g ( x), d ? f (? ) ;并分别写出定义域; (2 )当 A, B 两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大(即 d 最 大).

17. 解:设 x 的单位为百海里 (1)由 ?OAB ? ? , AB ? 2OA cos A = 2cos A , AD ? AB ? 2 cos ? ,
π 在△ AOD 中, OD ? f (? ) ? OA2 ? OB 2 ? 2 ? OA ? OB cos(? ? ) 2

??2 分 ??3 分

π ? 1 ? 4cos2 ? ? 4cos ? sin ? ; ? ? (0, ) (定义域 1 分) ??5 分 2

若小岛 O 到 AB 的距离为 x , AB ? 2 12 ? x2 ,
OD ? g ( x) ? ( x ? AD 2 AB 2 ) ?( ) 2 2

??6 分 ??8 分

? ? x2 ? 2 x 1 ? x2 ? 2 , x ? (0,1)
π (2) OD2 ? 4cos2 ? ? 1 ? 4cos ? sin ? ; ? ? (0, ) 2 ? 4?

(定义域 1 分)

??10 分

1 ? cos 2? sin 2? ? 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?1? 4? 2 2

π π ? 2 2 sin(2? ? ) ? 3,? ? (0, ) . 4 2
π π π 5π π π 当 2? ? ? ( , ) ,则 2? ? ? 时,即 ? ? , OD 取得最大值, 4 4 4 4 2 8
π 此时 AB ? 2cos ? 2 ? 8 1 ? cos 2 π 4 ? 2 ? 2 (百海里).

??11 分 ??12 分

??13 分 ??14 分

答:当 AB 间距离 100 2 ? 2 海里时,搜救范围最大.

2014-2015 学年江苏省扬州市高三(上)期末数学试卷
18.如图,某商业中心 O 有通往正东方向和北偏东 30°方向的两条街道,某公园 P 位于商业 中心北偏东 θ 角(0<θ< ) ,且与商业中心 O 的距离为 公里处,现

要经过公园 P 修一条直路分别与两条街道交汇于 A,B 两处. (1)当 AB 沿正北方向时,试求商业中心到 A,B 两处的距离和; (2)若要使商业中心 O 到 A,B 两处的距离和最短,请确定 A,B 的最佳位置.

【解答】解: (1)以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立坐标系.设 P(m,n) , ∵ 则 , , ,∴ , ,…(4 分) ,

依题意,AB⊥OA,则 OA= ,OB=2OA=9,商业中心到 A、B 两处的距离和为 13.5km.

(2)设 A(n,0) ,AB:

,得



, 当且仅当 即 n=6 时取等号.

答:A 选地址离商业中心 6km,B 离商业中心 3km 为最佳位置.

2015 泰州市第一学期期末考试高三数学试卷
17.如图,我市有一个健身公园,由一个直径为 2km 的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角 三角形 ?PRQ 构成,其中 O 为 PQ 的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道

ABCD ,按实际需要,四边形 ABCD 的两个顶点 C、D 分别在线段 QR、PR 上,另外两 B、 C D 个顶点 A、B 在半圆上, AB / /CD / / PQ , 且A
的周长为 c km. (1)若 C、D 分别为 QR、PR 的中点,求 AB 长; (2)求周长 c 的最大值.
R C Q B

间的距离为 1km. 设四边形 ABCD

O

D A P

17. (1) 解: 连结 RO 并延长分别交 AB、CD 于 M 、N , 连结 OB , ∵ C、D 分别为 QR、PR 的中点, PQ ? 2 ,∴ CD ?

Q B C

1 PQ ? 1 , 2
R

? ?PRQ 为等腰直角三角形, PQ 为斜边,? RO ?

1 PQ ? 1 , 2

N

M O

NO ?

1 1 1 RO ? .∵ MN ? 1 ,∴ MO ? .??????3 分 2 2 2

D A P

在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? ∴ AB ? 2BM ? 3 .

BO 2 ? OM 2 ?

3 , 2
?????6 分

(2) 解法1 设 ?BOM ? ? , 0 ? ? ?

?
2



在 Rt ?BMO 中, BO ? 1 ,∴ BM ? sin ? , OM ? cos ? . ∵ MN ? 1 ,∴ CN ? RN ? 1 ? ON ? OM ? cos ? ,
2 ∴ BC ? AD ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ,????????????????????8 分 2 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(sin ? ? cos ? ? 1 ? (sin ? ? cos ? ) ) ??????10 分

(当 ? ? ? 2 2 (sin ? ? cos ? )2 ? ( 1 ? (sin ? ? cos ? ) 2 ) 2 ? 2 6 , ∴当 ? ?

?
12



?
12

或? ?

5? 时,周长 c 的最大值为 2 6 km . 12

5? 时取等号) 12

???????14 分

解法2 以 O 为原点, PQ 为 y 轴建立平面直角坐标系.
2 2 设 B(m, n) , m, n ? 0 , m ? n ? 1, C (m ? 1, m) ,

2 ∴ AB ? 2n , CD ? 2m , BC ? AD ? 1 ? (m ? n) .???????????8 分

2 ∴ c ? AB ? CD ? BC ? AD ? 2(m ? n ? 1 ? (m ? n) )

?????????10 分

? 2 2 (m ? n)2 ? ( 1 ? (m ? n) 2 ) 2 ? 2 6 ,
(当 m ?

6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时取等号) 4 4 4 4 6? 2 6? 2 6? 2 6? 2 ,n ? 或m ? ,n ? 时,周长 c 的最大值为 4 4 4 4
?????14分

∴当 m ?

2 6 km .

2015 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市高三数学第一学 期期末考试
18.如图,有一个长方形地块 ABCD,边 AB 为 2km,AD 为 4km. ,地块的一角是湿地(图 中阴影部分) ,其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要 铺设一条过边缘线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF,E,F 分别在边 AB,BC 上(隔离带不

能穿越湿地,且占地面积忽略不计) .设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km) ,△BEF 的面 积为 S(单位:km ) . (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; 2 (2)是否存在点 P,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3km ?并说明理由.
2

【解答】解: (1)如图,以 A 为坐标原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 则 C 点坐标为(2,4) . 2 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y=ax , 2 把(2,4)代入,得 4=a×2 ,解得 a=1, 2 ∴抛物线的方程为 y=x . ∵y'=2x, 2 2 ∴过 P(t,t )的切线 EF 方程为 y=2tx﹣t . 令 y=0,得 ∴ ∴ (2) 由 S'(t)>0,得 ∴S(t)在 , 上是增函数,在 . 上是减函数, ;令 x=2,得 F(2,4t﹣t ) , , ,定义域为(0,2]. ,
2

∴S 在(0,2]上有最大值 又∵ ,

∴不存在点 P,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3km .

2

2015 年江苏省盐城市、南京市高考数学二模试卷
17.如图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形 ABCD,上部是圆 AB,该圆弧所在的 圆心为 O,为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E,F 在圆弧 AB 上,G,H 在弦 AB 上) .过 O 作 OP⊥AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交 圆弧 AB 于 P,已知 OP=10,MP=6.5(单位:m) ,记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位:m ) (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠POF=θ(rad) ,将 S 表示成 θ 的函数; (ii)设 MN=x(m) ,将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时?通风窗 EFGH 的面积 S 最大?
2

【解答】解: (1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5. (i)在 Rt△ONF 中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ. 在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5, 故 S=EF×FG=20sinθ(10cosθ﹣3.5)=10sinθ(20cosθ﹣7) . 即所求函数关系是 S=10sinθ(20cosθ﹣7) ,0<θ<θ0,其中 cosθ0= (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 在 Rt△ONF 中,NF= 在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 故 S=EF×FG=x 即所求函数关系是 S=x . , (0<x<6.5) . = = ,FG=MN=x, . .

(2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ)=sinθ(20cosθ﹣7) , 则 f′(θ)=cosθ(20cosθ﹣7)+sinθ(﹣20sinθ)=40cos θ﹣7cosθ﹣20. 由 f′(θ)=40cos θ﹣7cosθ﹣20=0,解得 cosθ= ,或 cosθ=﹣ . 因为 0<θ<θ0,所以 cosθ>cosθ0,所以 cosθ= . 设 cosα= ,且 α 为锐角, 则当 θ∈(0,α)时,f′(θ)>0,f(θ)是增函数;当 θ∈(α,θ0)时,f′(θ)<0,f (θ)是减函数, 所以当 θ=α,即 cosθ= 时,f(θ)取到最大值,此时 S 有最大值. 即 MN=10cosθ﹣3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. 方法二:选择(ii)中的函数模型: 因为 S=
2 2 2 2



令 f(x)=x (351﹣28x﹣4x ) , 则 f′(x)=﹣2x(2x﹣9) (4x+39) , 因为当 0<x< 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 <x< 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值. 即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大.

2015 年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷
17.如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 10 米的扇形区域 OCD,河的 另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离) ,且 OB 的连线恰好 与河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧 的交点为 E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在

点 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45°,30°和 60°. (1)求烟囱 AB 的高度; (2)如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长.

【解答】解: (1)设 AB 的高为 h,则 在△CAB 中,∵∠ACB=45°,∴CB=h, 在△OAB 中,∵∠AOB=30°,∠AEB=60°, ∴OB= ∴ h﹣ h,EB= h=10 h, ,

∴h=15m; (2)在△OBC 中,cos∠COB= 所以在△OCE 中, = , =10m.

2015 泰州二模
17.如图,某市有一条东西走向的公路 l ,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m .在施工过程中发现在 O 处的正北 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决 定以 A 为圆心,1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l 、 m ,欲再新建一条公 路 PQ ,点 P 、 Q 分别在公路 l 、 m 上,且要求 PQ 与圆 A 相切.
Q


(1)当 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长; (2)当公路 PQ 长最短时,求 OQ 的长.
A l

O m

P



17. 解: 以 O 为原点, 直线 l 、m 分别为 x , y 轴建立平面直角坐标系. 设 PQ 与圆 A 相切于点 B , 连结 AB , 以 1 百米为单位长度, 则圆 A 的 方程为 x ? ( y ?1) ? 1 ,
2 2



Q

B A l m

O

P



(1)由题意可设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? 2 y ? 2q ? 0 , (q ? 2) , 2 q
? 1 ,解得 q ?
8 百米. 3

∵ PQ 与圆 A 相切,∴

2 ? 2q q ?2
2 2

8 , 3
?????5 分

故当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为 (2)设直线 PQ 的方程为

x y ? ? 1 ,即 qx ? py ? pq ? 0 , ( p ? 1, q ? 2) , p q
2 ?1, 化简得 p ?

∵ PQ 与圆 A 相切, ∴

p ? pq q ?p
2 2

q , 则P Q q?2

2

? p 2? q 2?

q ?q q?2

2



??8 分

2 2(q ? 1)(q 2 ? 3q ? 1) q 2 ? q (q ? 2) ,∴ f ?(q) ? 2q ? 令 f (q ) ? ? (q ? 2) , q?2 (q ? 2)2 (q ? 2)2
当2? q ?

3? 5 3? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 (2, ) 上单调递减; 2 2

当q ?

3? 5 3? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f ( q ) 在 ( , ??) 上单调递增, 2 2 3? 5 3? 5 时取得最小值,故当公路 PQ 长最短时, OQ 的长为 百米. 2 2
8 百米; (2)当公路 PQ 长最短时, OQ 的 3
?????14 分

∴ f (q) 在 q ?

答: (1)当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为

长为

3? 5 百米. 2

南京市 2015 届高三年级第三次模拟考试
17.如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长 度为 240m 的景观带 MN,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM=60m.点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处,记?AOP=?,? ∈(0,π). 2? (1)当? = 3 时,求点 P 距地面的高度 PQ; (2)试确定? 的值,使得?MPN 取得最大值.
B P

O ? A Q M (第 17 题图) N

17.解: (1)由题意,得 PQ=50-50cos? . 2? 2? 从而,当? = 3 时,PQ=50-50cos 3 =75. 即点 P 距地面的高度为 75m. ?????????? 4 分

(2) (方法一)由题意,得 AQ=50sin? ,从而 MQ=60-50sin? ,NQ=300-50sin? . 又 PQ=50-50cos? , NQ 6-sin? MQ 6-5sin? 所以 tan?NPQ= PQ = ,tan?MPQ= PQ = . 1-cos? 5-5cos? ?????????? 6 分 从而 tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ) 6-sin? 6-5sin? - 1-cos? 5-5cos? tan?NPQ-tan?MPQ = = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 6-sin? 6-5sin? 1+ × 1-cos? 5-5cos? = 12(1-cos?) . 23-18sin?-5cos? ?????????? 9 分

12(1-cos?) 令 g(? )= ,? ∈(0,π), 23-18sin?-5cos? 12×18(sin?+cos?-1) 则 g?(?)= ,? ∈(0,π). (23-18sin?-5cos?)2 ? 由 g?(?)=0,得 sin? +cos? -1=0,解得? = 2. ?????????? 11 分 ? ? 当? ∈(0,2)时,g?(? )>0,g(? )为增函数;当? ∈(2,?)时,g?(? )<0,g(? )为减函数, ? 所以,当? = 2时,g(? )有极大值,也为最大值. ? ? 因为 0<?MPQ<?NPQ<2,所以 0<?MPN<2, 从而当 g(? )=tan?MPN 取得最大值时,?MPN 取得最大值. ? 即当? = 2时,?MPN 取得最大值. ?????????? 14 分

(方法二)以点 A 为坐标原点,AM 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则圆 O 的方程为 x2+(y-50)2=502,即 x2+y2-100y=0,点 M(60,0),N(300,0). 设点 P 的坐标为 (x0,y0),所以 Q (x0,0),且 x02+y02-100y0=0. NQ 300-x0 MQ 60-x0 从而 tan?NPQ= PQ = y ,tan?MPQ= PQ = y . 0 0 ?????????? 6 分

从而 tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ) 300-x0 60-x0 - y y0 tan?NPQ-tan?MPQ 0 = = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 300-x0 60-x0 1+ y × y
0 0

24y0 = . 10y0-36x0+1800 由题意知,x0=50sin? ,y0=50-50cos? , 所以 tan?MPN== (下同方法一) 12(1-cos?) . 23-18sin?-5cos? ?????????? 9 分

2015 年江苏省苏锡常镇四市联考高考数学三模试卷
17.如图,甲船从 A 处以每小时 30 海里的速度沿正北方向航行,乙船在 B 处沿固定方向匀 速航行,B 在 A 北偏西 105°方向用与 B 相距 10 海里处.当甲船航行 20 分钟到达 C 处 时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 D 处,此时两船相距 10 海里. (1)求乙船每小时航行多少海里? (2)在 C 的北偏西 30°方向且与 C 相距 海里处有一个暗礁 E,周围 海里范围内为

航行危险区域. 问: 甲、 乙两船按原航向和速度航行有无危险?若有危险, 则从有危险开始, 经过多少小时后能脱离危险?若无危险,请说明理由.

【解答】解:如图,连接 AD,CD,由题意 CD=10,AC= ∴△ACD 是等边三角形, ∴AD=10, ∵∠DAB=45° △ABD 中,BD= =10,

=10,∠ACD=60°

∴v=10×3=30 海里. 答:乙船每小时航行 30 海里. (2)建立如图所示的坐标系,危险区域在以 E 为圆心,r= y= x,∠DAB=∠DBA=45°

的圆内,直线 BD 的方程为

E 的坐标为(ABcos15°﹣CEsin30°,ABsin15°+CEcos30°+AC) , 求得 A(5 +5,5 ﹣5) ,C(5 +5,5 +5) ,E(5+ =1< > ,9+5 ) ,

E 到直线 BD 的距离 d1= 点 E 到直线 AC 的距离 d2= 以 E 为圆心,半径为

,故乙船有危险;

,故甲船没有危险. =2,

的圆截直线 BD 所得的弦长分别为 l=2 = (小时) ,

乙船遭遇危险持续时间为 t=

答:甲船没有危险,乙船有危险,且在遭遇危险持续时间

小时后能脱离危险.

2015 年江苏省连云港、徐州、宿迁三市高考数学三模试卷
17.如图,在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正北方向的公路 AC 和 BD,现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F,为缓解交通压力,决定修 建两条互相垂直的公路 PE 和 PF,设∠EPA=α(0<α< ) .

(1)为减少对周边区域的影响,试确定 E,F 的位置,使△PAE 与△PFB 的面积之和最小; (2)为节省建设成本,试确定 E,F 的位置,使 PE+PF 的值最小.

【解答】 (1)在 Rt△PAE 中,由题意可知∠APE=α,AP=8,则 AE=8tanα. 所以 S△APE= PA×AE=32tanα.…(2 分) 同理在 Rt△PBF 中,∠PFB=α,PB=1,则 BF= 所以 S△PBF= PB×BF= .…(4 分)

故△PAE 与△PFB 的面积之和为 32tanα+ 32tanα+ ≥2 =8 ,即 tanα= 时取等号,

…(5 分)

当且仅当 32tanα=

故当 AE=1km,BF=8km 时,△PAE 与△PFB 的面积之和最小.…(6 分) (2)在 Rt△PAE 中,由题意可知∠APE=α,则 PE= 同理在 Rt△PBF 中,∠PFB=α,则 PF= 令 f(α)=PE+PF= + ,0<α< …(8 分)

则 f′(α)=

=

(10 分)

f′(α)=0 得 tanα= 所以 tanα= ,f(α)取得最小值,…(12 分) 此时 AE=AP?tanα=8× =4,BF= 当 AE 为 4km,且 BF 为 2km 时,PE+PF 的值最小.…(14 分)

2015 年江苏省扬州市高考数学三模试卷
18.为丰富市民的文化生活,市政府计划在一块半径为 200m,圆心角为 120°的扇形地上建 造市民广场.规划设计如图:内接梯形 ABCD 区域为运动休闲区,其中 A,B 分别在半径 OP,OQ 上,C,D 在圆弧 上,CD∥AB;△OAB 区域为文化展示区,AB 长为 m;

其余空地为绿化区域,且 CD 长不得超过 200m. (1)试确定 A,B 的位置,使△OAB 的周长最大? (2)当△OAB 的周长最大时,设∠DOC=2θ,试将运动休闲 区 ABCD 的面积 S 表示为 θ 的函数,并求出 S 的最大值.

【解答】解: (1)设 OA=m,OB=n,m,n∈(0,200],

在△OAB 中, 即 ,…2 分



所以,

,…4 分

所以 m+n≤100,当且仅当 m=n=50 时,m+n 取得最大值,此时△OAB 周长取得最大值. 答:当 OA、OB 都为 50m 时,△OAB 的周长最大.6 分 (2)当△AOB 的周长最大时,梯形 ACBD 为等腰梯形. 过 O 作 OF⊥CD 交 CD 于 F,交 AB 于 E,则 E、F 分别为 AB,CD 的中点, 所以∠DOE=θ,由 CD≤200,得 在△ODF 中,DF=200sinθ,OF=200cosθ. 又在△AOE 中, 所以, = = , 令 , .…12 分 , , , 又 y= 故 f'(θ)在 因 于是,f(θ)在 所以当 答:当 及 y=cos2θ 在 上为单调递减函数. >0,故 f'(θ)>0 在 上为单调递增函数.…14 分 . m .…16 分.
2

.8 分

,故 EF=200cosθ﹣25.10 分

上均为单调递减函数,

上恒成立,

时,f(θ)有最大值,此时 S 有最大值为 时,梯形 ABCD 面积有最大值,且最大值为

2015 年江苏省盐城市高考数学三模试卷
17.某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥 墩 A、B 造价总共为 100 万元,当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中 64<x<100) ,中间 每个桥墩的平均造价为 万元,桥面每 1 米长的平均造价为(2+ )万元.

(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f(x) ; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩 A、B 除外)应建多少个桥墩?

【解答】 解: (1) 由桥的总长为 640 米, 相邻两个桥墩的距离为 x 米, 知中间共有 个桥墩, 于是桥的总造价 ,

即 <100)…(7 分) (表达式写成

=

(64<x

同样给分)

(2)由(1)可求



整理得 由 f′(x)=0,解得 x1=80, 又当 x∈(64,80)时,f′(x)<0; (舍) ,



当 x∈(80,100)时,f′(x)>0, 所以当 x=80,桥的总造价最低,此时桥墩数为 …(14 分)



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